2020郑州二模数学试卷
2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年河南省郑州市中原名校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. −18的相反数是( )A. 18B. −18C. 118D. −1182. 霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米(1米=1000000微米)用科学记数法可表示为( )A. 2×105米B. 0.2×10−4米C. 2×10−5米D. 2×10−4米3. 如图，AB//CD ，BD =CD ，若∠C =40°，则∠ABD 的度数为( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°4. 下列运算正确的是( )A. (x +1)2=x 2B. √7−√2=√5C. (−x 3)2=x 6D. 2a 3+3a 2=5a 55. 如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体( )A. 主视图改变，左视图改变B. 主视图改变，左视图不变C. 俯视图改变，左视图改变D. 俯视图不变，左视图不变 6. 一元二次方程x 2−2x −1=0，其解的情况正确的是( )。
A. 有两个相等的实数解B. 有两个不相等的实数解C. 没有实数解D. 不确定7. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S 甲2=0.65，S 乙2=0.55，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8. 已知A(−1,y 1)，B(2,y 2)C(1,y 3)是抛物线y =x 2−2x +b 上三点，y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A. y 1>y 2>y 3B. y 1<y 2<y 3C. y 3>y 1>y 2D. y 1>y 3>y 29.一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 510.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD//x轴且AD=4，∠A=60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是()A. (0,2√3)B. (2,−4)C. (2√3,0)D. (0,2√3)或(0,−2√3)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：2√27−(3.14−π)0+(13)−1=______．12.不等式组{3−x2≤03x+2≥1的解集是______．13.如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为____________．14.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=4，以BC为直径的半圆O交斜边AC于点D，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E，则阴影部分面积为______(结果保留π)．15.如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=15，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处，点P是线段CB延长线上的动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b ÷(1b−1a)，其中a=√5+1，b=√5−1．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE．(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)已知BC=4.填空．①当DE=______时，四边形DOCE为正方形；②当DE=______时，△BOD为等边三角形．18.某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的结果分为A(不喜欢)、B(一般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级，图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图．(1)C等级所占的圆心角为______°；(2)请直接在图2中补全条形统计图；(3)若该校有学生1000人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．19.如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．(结果保留一位小数)参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.5520.某超市销售甲、乙两种零件，购买3个甲种零件和1个乙种零件共需44元，购买1个甲种零件和2个乙种零件共需38元．(1)求每个甲、乙两种零件的价格；(2)若购买甲、乙两种零件共20个，且总价不超过230元，问甲种零件最少购买多少个？21.请根据函数相关知识，对函数y=x−1x−3的图象与性质进行了探究，并解决相关问题。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，且A ∩B＝A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，9]B．（﹣∞，9）C．[2，9]D．（2，9）2．（5分）已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z 的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．234．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2＝4B．（x+4）2+（y﹣6）2＝4C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4D．（x+6）2+（y+4）2＝4 5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）A．30米B．20米C．15米D．15米6．（5分）若α∈（，π），则2cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．1D．7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini ＝；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini ＝．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．360 10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π12．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y ＝﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（x+）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．（5分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD ＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则||的最小值为．16．（5分）设函数的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，S7＝77，且满足a112＝a1•a61．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：；其中n＝a+b+c+d独立性检验临界表：P（K2＞k0）0.1000.0500.010K 2.706 3.841 6.63519．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将△ACD 折起，使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上．（1）求证：平面ACD⊥平面BCD；（2）当时，求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F（3，0）的距离与A到定直线x＝4距离之比为．（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点M，N是轨迹C上两个动点直线OM，ON与轨迹C 的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于﹣，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数F（x）＝在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据A∩B＝A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A＝∅时，a+1＞3a﹣5；A≠∅时，，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，且A＝{x|a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|3＜x＜22}，∴①A＝∅时，a+1＞3a﹣5，解得a＜3；②A≠∅时，，解得3≤a＜9，∴综上得，实数a的取值范围是（﹣∞，9）．故选：B．2．【分析】利用复数的运算法则化简z，再根据共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．故选：C．3．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．4．【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．【解答】解：由圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x﹣y+8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a，b）则解得：a＝4，b＝6，故圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4，故选：C．5．【分析】如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，可得OA＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．【解答】解：如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°．△OAB为等边三角形，∴OA＝30，∵OP⊥平面ABCDEF，∴∠OAP＝45°，∴OP＝OA＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m．故选：A．6．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）＝（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα＝﹣，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα＝，则有1+sin2α＝，sin2α＝﹣；故选：B．法2：∵α∈（，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．7．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．【分析】可由当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，可由判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④【解答】解：①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini＝，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f（x）＜x，则对∀x∈（0，1），均有＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），a＝，Gini＝，④对，故选：B．9．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．【解答】解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A44＝24种，则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种，故选：B．10．【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，可得：a32＝a1a13，即（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1＝1，∴a32＝a1a13，∴（1+2d）2＝1+12d，d≠0，解得d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．S n＝n+×2＝n2．∴＝＝＝n+1+﹣2≥2﹣2＝4，当且仅当n+1＝时取等号，此时n＝2，且取到最小值4，故选：A．11．【分析】由题意，PB为球的直径，求出PB，可得球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD 为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．12．【分析】根据题意直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y＝﹣x得A（，﹣），由＝2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣＝1，即＝1，整理可得c＝a，即离心率e＝＝．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】令x＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．【解答】解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C x6﹣k•（）k＝C•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量+的模长表达式，再求最小值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以＝（2，﹣b），＝（1，a﹣b）；所以+＝（3，a﹣2b），所以＝9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，||取得最小值为＝3．故答案为：3．16．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx （x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入①式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝lnt，代入①式得：﹣t2+（lnt）（t3+t2）＝0，即m＝（t+1）lnt②，令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e，∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于m≥e+1，方程②总有解，即方程①总有解．故答案为：[e+1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d 的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题由题干可得．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{}的通项公式，接着计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则解得．∴a n＝5+2•（n﹣1）＝2n+3，n∈N*．（Ⅱ）依题意，由，可得．则当n≥2时，＝（n﹣1）（n﹣2+5）+3＝n（n+2）．当n＝1时，，即＝3也满足上式，∴＝n（n+2），∴b n＝＝（﹣），n∈N*．T n＝b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．【分析】（I）作出2×2列联表，求出k2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，ξ服从二项分布．由此能求出ξ的分布列、数学期望．【解答】解：（I）作出2×2列联表：青春组风华组合计男生7613女生51217合计121830由列联表数据代入公式得，因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ）用A表示“至少有1人在青春组”，则至少有1人在青春组的概率为．（III）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布．ξ的取值为0，1，2，3，4．且．所以得ξ的分布列为：ξ01234P数学期望．19．【分析】（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE推导出DE⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，进而BC⊥AD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ACD⊥平面BCD．（2）过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，则DE⊥AC，AC⊥平面DME，EM⊥AC，从而∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）设点D在平面ABC上的射影为点E，连结DE，则DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD．解：（2）在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连结ME，∵DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC，又DM∩DE＝D，∴AC⊥平面DME，∴EM⊥AC，∴∠DMC是二面角D﹣AC﹣B的平面角，设AD＝a，则AB＝2a，在△ADC中，由题意得AM＝，DM＝a，在△AEM中，，解得EM＝a，∴cos∠DME＝＝．∴二面角D﹣AC﹣B的余弦值为．20．【分析】（I）先设A的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A的轨迹方程；（II）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I）设A（x，y），由题意，，化简得x2+4y2＝12，所以，动点A的轨迹C的方程为，（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由斜率之积，得，，因为点M，N在椭圆C上，所以．所以＝（）（3﹣），化简得．直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2＝0，原点O到直线MN的距离为．所以，△MON的面积，根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S＝2|x1y2﹣x2y1|，所以，，＝4[﹣]，＝，所以S＝12．所以，四边形MNPQ的面积为定值12．21．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II）先对F（x）求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，曲线．．x＝1时，切线的斜率为，又切线过点（1，0）所以切线方程为x﹣2y﹣1＝0，（Ⅱ），，当a＜0时，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令，，当△≤0时，即0＜a≤4，k（x）≥0，此时F'（x）≥0，函数F （x）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a＞4，方程有两个不等实根x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，此时，函数F（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减．综上所述，当a＜0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；当a＞4时，F（x）的单减区间是，单增区间是当0＜a≤4时，F（x）单增区间是（0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
备战2020中考郑州市中考第二次模拟考试数学试题含答案【含多套模拟】
中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a63．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±15．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D．3（x﹣5）+2x﹣1＝66．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了道题．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：S S；比较3月份与5月份，月份的更稳定．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx﹣8k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．【分析】根据：a0＝1（a≠0）可得结论．【解答】解：20＝1，故选：B．【点评】本题考查了零指数幂的计算，比较简单，熟练掌握公式是关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a6【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；C、a2b2＝（ab）2，故此选项错误；D、（a3）2＝a6，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验；B、要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；C、要了解我国15岁少年身高情况，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；D、要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，必须选用普查；故选：D．【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0，x﹣1≠0，解得：x＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．5．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D．3（x﹣5）+2x﹣1＝6【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：等式两边同时乘以6可得：3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6，故选：C．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；B、y＝，k＝2＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故B错误；C、y＝﹣2x2+1（x＞0），二次函数，a＜0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故C错误；D、y＝2x，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故D正确．故选：D．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．【分析】根据四边形CDEF是正方形，即可得出CD＝＝2，根据矩形ABCD的面积为6，即可得出AD＝3，再根据勾股定理即可得到AC的长．【解答】解：由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，由折叠可得，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴CD＝＝2，又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，∴Rt△ACD中，AC＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC【分析】根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，故A正确；∵CD∥BE，DB∥CE，∴四边形BDCE是平行四边形，故C正确；∵△ABC的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积＝△ADB的面积＝△AOD的面积+△AOB的面积，∴△AOD的面积＝△BOC的面积，故D正确；∵∠AOB＝∠COD，∴∠DOC＝∠OCE＞∠ACB，故B错误；故选：B．【点评】此题考查相似三角形的判定，关键是根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答．9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．【分析】具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案．【解答】解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合．故选：D．【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解答】解：①当k＞0时，y＝kx﹣k过一、三、四象限；y＝过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx﹣k过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知，只有A选项符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝2b．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2b，故答案为：2b【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．（3分）不等式组的解集是x＞0．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣x＜0得x＞0，解不等式3x+5＞0得x＞﹣，所以不等式组的解集为x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝15．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，∴，即，解得：BC＝15，故答案为：15【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是0.28．【分析】直接利用5各小组的频率之和为1，进而得出答案．【解答】解：∵某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，∴第4组和第5组的频率和为：1﹣0.3﹣0.14＝0.56，∵第4组和第5组的频率相等，∴第5组的频率是：0.28．故答案为：0.28．【点评】此题主要考查了频率的意义，正确得出第4组和第5组的频率和是解题关键．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了19道题．【分析】设他做对了x道题，则小英做错了（25﹣x）道题，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设他做对了x道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，解得：x＝19．故答案为：19．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数列出关于x的一元一次方程是解题的关键．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是2．【分析】连接DF，过E作EG⊥BD于G，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值．【解答】解：如图所示，连接DF，过E作EG⊥BD于G，∵AC垂直平分BD，∴FB＝FD，AB＝AD，∴EF+BF＝EF+FD，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝30°，又∵AB＝4，点E是AB的中点，∴EG＝BE＝1，AH＝AB＝2，∴BG＝，BH＝2，GH＝，∴DH＝2，DG＝3，∴Rt△DEG中，DE＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣（﹣2）﹣6＝1+2﹣6＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】在▱ABCD中，AD＝BC，又BE＝DF，可得AF＝EC，得出AF平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形∴AD＝BC．又∵BE＝DF，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．【分析】利用平方差公式可将原式化简成a+b，再根据方程的系数结合根的判别式可得出a+b＝5，此题得解．【解答】解：﹣＝，＝，＝a+b．∵a、b（a＞b）是方程x2﹣5x+4＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝5，∴原式＝a+b＝5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及平方差公式，利用平方差公式将原式化简成a+b是解题的关键．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是3℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：S＜S；比较3月份与5月份，3月份的更稳定．【分析】（1）最低气温14℃的有3天，据此补充频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是15﹣12＝3（℃）；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定．【解答】解：（1）最低气温14℃的有3天，所以补充频数分布直方图如下：（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是15﹣12＝3（℃），故答案为3；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定，故但为＜，3．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）根据函数图象中的数据可以求得第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大，并求出Q的最大值．【解答】解：（1）由图①可得，当0≤t≤30时，可设日销售量w＝kt，∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k．∴k＝2，即w＝2t；当30＜t≤40时，可设日销售量w＝k1t+b．∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴，解得，k1＝﹣6，b＝240，∴w＝﹣6t+240．综上所述，日销售量w＝；即当0≤t≤30时，日销售量w＝2t；当30＜t≤40时，日销售量w＝﹣6t+240；（2）由图①知，当t＝30（天）时，日销售量w达到最大，最大值w＝60，又由图②知，当t＝30（天）时，产品A的日销售利润y达到最大，最大值y＝60（元/件），∴当t＝30（天）时，日销售量利润Q最大，最大日销售利润Q＝60×60＝3600（元），答：第一批产品A上市后30天，这家商店日销售利润Q最大，日销售利润Q最大是3600元．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B 点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）【分析】过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F，已知AD＝AF+FD，则分别求得AF、DF的长即可求得AD的长．【解答】解：过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F．在Rt△ABF中，∵∠F AB＝60°，AB＝20，∴AF＝AB cos∠F AB＝20×＝10．在Rt△BCE中，∵∠EBC＝45°，BC＝40，∴BE＝BC cos∠EBC＝40×＝20．在矩形BEDF中，FD＝BE＝20，∴AD＝AF+FD＝10+20．答：AD的长为（10+20）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx﹣8k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．【分析】（1）令y＝0，得kx﹣8k＝0，解出即可；（2）作OD⊥AB，垂足为D．可知点O到直线AB的距离为线段OD的长度，利用勾股定理可得OD的长；（3）介绍两种方法：方法一，先根据勾股定理计算DN的长，证明Rt△OMD∽Rt△NOD，列比例式求OM的长，可得结论；方法二：先得∠OND＝30°．根据30度的正切列式可得OM的长，可得结论．【解答】解：（1）令y＝0，得kx﹣8k＝0，∵k≠0，解得x＝8，∴直线l与x轴的交点N的坐标为（8，0）．（2）连接OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D．∴点O到直线AB的距离为线段OD的长度，∵⊙O的半径为5，∴OB＝5．又∵AB＝6，∴BD＝AB＝＝3．在Rt△OBD中，∵∠ODB＝90°，∴OD＝＝＝4．答：点O到直线AB的距离为4．（3）由（1）得N的坐标为（8，0），∴ON＝8．由（2）得OD＝4．方法一：∴在Rt△ODN中，DN＝＝＝4．又∵∠OMD+∠MOD＝90°，∠NOD+∠MOD＝90°，∴∠OMD＝∠NOD．∵∠ODM＝∠ODN，∴Rt△OMD∽Rt△NOD，∴．∴OM＝•NO＝×8＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．方法二：∴在Rt△OND中，sin∠OND＝＝．∴∠OND＝30°．∵在Rt△OMN中，tan30°＝∴OM＝ON•tan∠OND，∴OM＝8tan30°＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．【点评】此题考查了一次函数的综合题，考查了待定系数法和解直角三角形，三角形相似的性质和判定，同时也利用了垂径定理和勾股定理解决问题，难度适中．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）【分析】（1）通过解直角三角形可求出点A，B，C的坐标，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出a，b，c的值；（2）求出当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时点E，F的坐标，结合点B的坐标可得出将△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3﹣3）个单位长度可使点E与点B 重合，再结合点F的坐标即可得出平移后点F的坐标；（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，分两种情况考虑：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，则四边形Q1CR1P1是正方形，设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，在Rt△P1R1B中通过解直角三角形BR1＝r1，进而可得出BC＝（+1）r1，结合BC＝6可求出r1的值，由BR1＝r1，结合OP1＝OB﹣BP1可求出点P1的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF 沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）个单位长度可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，则四边形Q2CR2P2是正方形，同理，可求出点P2的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度可使⊙E与直线AC 和BC均相切．综上，此题得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6，∴∠ABC＝30°，OC＝BC•sin∠ABC＝6×sin30°＝3，∴点C的坐标为（0，3）；在Rt△COB中，OC＝3，∠OBC＝30°，∴OB＝OC•cot∠OBC＝3×cot30°＝3，∴点B的坐标为（3，0）；在Rt△AOC中，OC＝3，∠CAO＝60°，∴AO＝OC•cot∠CAO＝3×cot60°＝，∴点A的坐标为（﹣，0）．将A（﹣，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴a＝﹣，b＝，c＝3．（2）当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时，∵DE＝6，∴OE＝OF＝DE＝×6＝3，∴点F起始位置的坐标为（0，﹣3），点E起始位置的坐标为（3，0）．∵点B的坐标为（3，0），∴BE＝OB﹣OE＝3﹣3，∴△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3﹣3）个单位长度，可使点E与点B重合，∴当点E与点B重合时，点F的坐标为（3﹣3，﹣3）．（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，有两种情况：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，如图③所示．∵∠ACB＝90°，∴四边形Q1CR1P1是矩形．∵⊙P1与AC、BC相切于点Q1、R1，∴R1P1＝P1Q1，∴矩形Q1CR1P1是正方形．设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，∴在Rt△P1R1B中，BR1＝R1P1cot∠CBA＝r1cot30°＝r1，∴BC＝CR1+BR1＝r1+r1＝（+1）r1，又∵BC＝6，∴（+1）r1＝6，∴r1＝＝＝3（﹣1）＝3﹣3．∴P1B＝2R1P1＝2r1＝2（3﹣3）＝6﹣6，∴OP1＝OB﹣BP1＝3﹣（6﹣6）＝6﹣3，∴P1的坐标为（6﹣3，0）．∵OE＝3，∴EP1＝OE﹣OP1＝3﹣（6﹣3）＝3﹣3，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，如图④所示．∵∠ACB＝90°，∴∠R2CQ2＝90°，∵⊙P2与AC、BC相切于点Q2、R2，∴矩形Q2CR2P2是正方形．设Q2C＝CR2＝R2P2＝P2Q2＝r2，∴在Rt△P2R2B中，BR2＝R2P2cot∠CBA＝r2cot30°＝r2，∴BC＝BR2﹣CR2 ＝r2 ﹣r2＝（﹣1）r2，又∵BC＝6，∴（﹣1）r2＝6，∴r2＝＝＝3（+1）＝3+3，∴P2B＝2R2P2＝2r2＝2（3+3）＝6+6，∴OP2＝BP2﹣OB＝6+6﹣3＝6+3，∴P2的坐标为（﹣6﹣3，0）．∵OE＝3，OP2＝6+3，∴EP2＝OE+OP2＝3+（6+3）＝9+3，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．综上所述，把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3﹣3）或（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．【点评】本题考查了解直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形、正方形的判定与性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出a，b，c的值；（2）利用等腰直角三角形的性质求出点E，F的坐标；（3）分两种情况求出点P的坐标（即点E移动到的位置）．25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）①根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可；②在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠CEF＝90°，AD∥EF．∴∠1＝∠2．在△AMD和△FMN中，∵∴△AMD≌△FMN（ASA）（2）答：△DEM是等腰直角三角形．由（1）得△AMD≌△FMN，∴MD＝MN，AD＝FN．在正方形ABCD中，∵AD＝DC，∴DC＝NF，又∵EC＝EF，∴EC﹣DC＝EF﹣NF，即ED＝EN．又∵∠DEN＝90°，∴△DEN是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD．∴△DEM是等腰直角三角形；（3）答：仍然成立．如图，在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H．在△AMD和△FMP中，∵∴△AMD≌△FMP（SAS）．∴∠3＝∠4，AD＝PF，又∵四边形ABCD、四边形CGFE均为正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠ADC＝90°，∠CEF＝∠ADC＝∠EFG＝∠ECG＝90°．∴DC＝PF．∵∠3＝∠4，∴AD∥FH．∴∠H＝∠ADC＝90°．∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∠GCH＝180°﹣∠H﹣∠5，∠GFH＝180°﹣∠G﹣∠6，∴∠GCH＝∠GFH．∵∠GCH+∠DCE＝∠GFH+∠PFE＝90°，∴∠DCE＝∠PFE，在△DCE和△PFE中，∵∴△DCE≌△PFE（SAS）．∴ED＝EP，∠DEC＝∠PEF，∵∠CEF＝90°，∴∠DEP＝90°．∴△DEP是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD，∴△DEM是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是四边形的综合题，关键是根据正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的判定进行解答．中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a63．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±15．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6D．3（x﹣5）+2x﹣1＝66．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD 的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(文科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．（5分）已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by ＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sinA+cosA）b，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x1234566.6 6.777.17.27.4年产量（万吨）（I）根据表中数据，建立y关于x 的线性回归方程＝x+a （II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i ﹣）（y i ﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．【解答】解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【解答】解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A 的三角函数，则最大值可求．【解答】解：∵b＝，c＝（sinA+cosA）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．【解答】解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．【解答】解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A 1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB 为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．【解答】解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
河南省郑州市2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
河南省郑州市2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在3-，1-，0，1这四个数中，最小的数是( ) A ．3-B ．1-C ．0D ．12．反比例函数是y=2x的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限3．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r4．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（0，﹣1）5．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．16．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位7．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC ＝26°，则∠OBC 的度数为( )A ．54°B ．64°C ．74°D ．26°8．如图，在平面直角坐标系中，以A （-1，0），B （2，0），C （0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）A ．（3，1）B ．（-4，1）C ．（1，-1）D ．（-3，1）9．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（）A ．53cmB ．25cmC ．48cm 5D ．24cm 510．下列各式中，互为相反数的是（ ） A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32-11．一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形12．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（ ） A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为_______.14．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为34，第3个图形中阴影部分的面积为916，第4个图形中阴影部分的面积为2764，…则第n 个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n 表示）15．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．16．方程21x-=1的解是_____．17．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为______cm （结果保留π）．18．完全相同的3个小球上面分别标有数－2、－1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值：2569122x xx x-+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中x＝－520．（6分）如图，在五边形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．21．（6分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车离乙地的距离为y1（km），快车离乙地的距离为y2（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图①所示，S与x的函数关系图象如图②所示：（1）图中的a=______，b=______．（2）求快车在行驶的过程中S关于x的函数关系式．（3）直接写出两车出发多长时间相距200km?22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，经过C作CD⊥AB于点D，CF是⊙O的切线，过点A作AE⊥CF于E，连接AC．（1）求证：AE=AD．（2）若AE=3，CD=4，求AB的长．23．（8分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD=AE，BD=CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知）AH⊥BC（所作）∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）又∵BD=CE（已知）∴BD+DH=CE+EH（等式的性质）即：BH=又∵（所作）∴AH为线段的垂直平分线∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴（等边对等角）24．（10分）如图1，在等腰△ABC 中，AB=AC，点D，E 分别为BC，AB 的中点，连接AD．在线段AD 上任取一点P，连接PB，PE．若BC=4，AD=6，设PD=x（当点P 与点 D 重合时，x 的值为0），PB+PE=y．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表：x 0 1 2 3 4 5 6y 5.2 4.2 4.6 5.9 7.6 9.5说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．2≈1.4143≈1.7325≈2.236）（2）建立平面直角坐标系（图2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）求函数 y 的最小值（保留一位小数），此时点 P 在图 1 中的什么位置．25．（10分）已知，如图1，直线y=34x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，点B 在x 轴上，点B 的横坐标为94，抛物线经过A 、B 、C 三点．点D 是直线AC 上方抛物线上任意一点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若P 为线段AC 上一点，且S △PCD =2S △PAD ，求点P 的坐标；（3）如图2，连接OD ，过点A 、C 分别作AM ⊥OD ，CN ⊥OD ，垂足分别为M 、N ．当AM+CN 的值最大时，求点D 的坐标．26．（12分）如图，点B 在线段AD 上，BC DE P ，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.27．（12分）如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP=60°，PA=PD ．试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；若点C 是弧AB 的中点，已知AB=4，求CE•CP 的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案． 【详解】由正数大于零，零大于负数，得3101-<-<<，最小的数是3-， 故选A ．【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键． 2．B 【解析】 【分析】 【详解】解：∵反比例函数是y=2x中，k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限． 故选B ． 3．B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v v v -= 故错误.故选B. 4．C如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．5．A【解析】【分析】由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解．【详解】∵|-1|=1，|-1|=1，∴|-1|＞|-1|=1＞0，∴四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1．故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．6．D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；故选D.7．B【解析】【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ∥CD ，AB ＝BC ，∴∠MAO ＝∠NCO ，∠AMO ＝∠CNO ， 在△AMO 和△CNO 中，MAO NCO AM CNAMO CNO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMO ≌△CNO(ASA)， ∴AO ＝CO ， ∵AB ＝BC ， ∴BO ⊥AC ， ∴∠BOC ＝90°， ∵∠DAC ＝26°，∴∠BCA ＝∠DAC ＝26°， ∴∠OBC ＝90°﹣26°＝64°． 故选B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 8．B 【解析】 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得. 【详解】 如图所示：①以AC 为对角线，可以画出▱AFCB ，F （-3，1）；②以AB 为对角线，可以画出▱ACBE ，E （1，-1）； ③以BC 为对角线，可以画出▱ACDB ，D （3，1）， 故选B. 9．D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在RT △BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE ，可得出AE 的长度． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形， ∴CO=12AC=3，BO=12BD=，AO ⊥BO ，∴BC 5==． ∴ABCD 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形． 又∵ABCD S BC AE =⋅菱形， ∴BC·AE=24， 即()24AE cm 5=． 故选D ．点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 10．A 【解析】 【分析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确；B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误. 故选A. 【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．11．C【解析】【分析】任何多边形的外角和是360°，用360°除以一个外角度数即可求得多边形的边数．【详解】360°÷72°=1，则多边形的边数是1．故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．12．C【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得-2＜-1＜1＜1，∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．故选C．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（3，2）．【解析】【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵13OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．3()4n﹣1（n为整数）【解析】试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（34）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（34）1=34；第3个图形中阴影部分的面积=（34）2=916；第4个图形中阴影部分的面积=（34）3=2764；…根据此规律可得第n个图形中阴影部分的面积=（34）n-1（n为整数）•考点：图形规律探究题．15．±1．【解析】【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，故答案为±1． 【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 1+b 1=1和ab=1是解此题的关键．16．x=3【解析】去分母得：x ﹣1=2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，故答案为3.【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解． 17．12π【解析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可得，2120612360p p ´=，∴该圆锥的侧面面积为：12π， 故答案为12π.18．23【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到能两次摸到的球上数之和是负数的结果，根据概率公式计算可得．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为6293 ， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．13x -,-18【解析】分析：首先把括号里的式子进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简,最后代值计算. 详解：2569122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭()23223x x x x -+=⨯+- 13x =-． 当5x =-时，原式18=-. 点睛：本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序,并熟练掌握同分、因式分解、约分等知识点. 20．65°【解析】∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP 平分∠EAB ，∴∠PAB=12∠EAB.同理可得，∠ABP=12∠ABC. ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-12∠EAB-12∠ABC=180°-12（∠EAB+∠ABC ）=180°-12×230°=65°. 21．（1）a=6, b=154；（2）1516060004151606006460(610)x x S x x x x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩„„剟 ；（3）52h 或5h 【解析】【分析】（1）根据S 与x 之间的函数关系式可以得到当位于C 点时，两人之间的距离增加变缓，此时快车到站，指出此时a 的值即可，求得a 的值后求出两车相遇时的时间即为b 的值；（2）根据函数的图像可以得到A 、B 、C 、D 的点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可. （3）分两车相遇前和两车相遇后两种情况讨论，当相遇前令s=200即可求得x 的值.【详解】解：（1）由s 与x 之间的函数的图像可知：当位于C 点时，两车之间的距离增加变缓，由此可以得到a=6，∵快车每小时行驶100千米，慢车每小时行驶60千米，两地之间的距离为600， ∴15600(10060)4b =÷+=； （2）∵从函数的图象上可以得到A 、B 、C 、D 点的坐标分别为：（0，600）、（154，0）、（6，360）、（10，600），∴设线段AB 所在直线解析式为：S=kx+b ， ∴6001504b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：k=-160，b=600，设线段BC 所在的直线的解析式为：S=kx+b ， ∴15046360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：k=160，b=-600，设直线CD 的解析式为：S=kx+b ，636010600k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：k=60，b=0 ∴1516060004151606006460(610)x x S x x x x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩„„剟 （3）当两车相遇前相距200km ，此时：S=-160x+600=200，解得：52x =， 当两车相遇后相距200km ，此时：S=160x-600=200，解得：x=5， ∴52x =或5时两车相距200千米 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，特别是本题中涉及到了分段函数的知识，解题时主要自变量的取值范围.22．（1）证明见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直定义和切线性质定理证出△CAE≌△CAD（AAS），得AE=AD；（2）连接CB，由（1）得AD=AE=3，根据勾股定理得：AC=5，由cos∠EAC=，cos∠CAB==，∠EAC=∠CAB，得=.【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，∵CD⊥AB，AE⊥CF，∴∠AEC=∠ADC=90°，∵CF是圆O的切线，∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，∴AE∥OC，∴∠EAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠EAC=∠CAO，在△CAE和△CAD中，，∴△CAE≌△CAD（AAS），∴AE=AD；（2）解：连接CB，如图所示，∵△CAE≌△CAD，AE=3，∴AD=AE=3，∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，根据勾股定理得：AC=5，在Rt△AEC中，cos∠EAC==，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴cos∠CAB==，∵∠EAC=∠CAB，∴=，即AB=．【点睛】本题考核知识点：切线性质，锐角三角函数的应用. 解题关键点：由全等三角形性质得到线段相等，根据直角三角形性质得到相应等式.23．见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质解答即可.【详解】过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知），AH⊥BC（所作），∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD=CE（已知），∴BD+DH=CE+EH（等式的性质），即：BH=CH．∵AH⊥BC（所作），∴AH为线段BC的垂直平分线．∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．∴∠B=∠C（等边对等角）．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的底边中线、底边上的高、顶角的角平分线三线合一；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；24．（1）4.5（2）根据数据画图见解析；（3）函数y 的最小值为4.2，线段AD上靠近D点三等分点处. 【解析】【分析】（1）取点后测量即可解答；（2）建立坐标系后，描点、连线画出图形即可；（3）根据所画的图象可知函数y的最小值为4.2，此时点P 在图 1 中的位置为．线段AD 上靠近D 点三等分点处.【详解】（1）根据题意，作图得，y=4.5故答案为：4.5（2）根据数据画图得（3）根据图象，函数y 的最小值为 4.2，此时点P 在图 1 中的位置为．线段AD 上靠近 D 点三等分点处.【点睛】本题为动点问题的函数图象问题，正确作出图象，利用数形结合思想是解决本题的关键.25．（1）y=﹣13x2﹣712x+3；（2）点P的坐标为（﹣83，1）；（3）当AM+CN的值最大时，点D的坐标9373-373-+）．【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，由点B所在的位置结合点B的横坐标可得出点B的坐标，根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，则△APE∽△ACO，由△PCD、△PAD有相同的高且S△PCD=2S△PAD，可得出CP=2AP，利用相似三角形的性质即可求出AE、PE的长度，进而可得出点P的坐标；（3）连接AC交OD于点F，由点到直线垂线段最短可找出当AC⊥OD时AM+CN取最大值，过点D作DQ⊥x轴，垂足为点Q，则△DQO∽△AOC，根据相似三角形的性质可设点D的坐标为（﹣3t，4t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其负值即可得出t值，再将其代入点D的坐标即可得出结论．【详解】（1）∵直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，3）．∵点B在x轴上，点B的横坐标为94，∴点B 的坐标为（94，0）， 设抛物线的函数关系式为y=ax 2+bx+c （a≠0）， 将A （﹣4，0）、B （94，0）、C （0，3）代入y=ax 2+bx+c ，得： 164081901643a b c a b c c -+=⎧⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：137123a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的函数关系式为y=﹣13x 2﹣712x+3； （2）如图1，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，∵△PCD 、△PAD 有相同的高，且S △PCD =2S △PAD ，∴CP=2AP ，∵PE ⊥x 轴，CO ⊥x 轴，∴△APE ∽△ACO ，∴13AE PE AP AO CO AC ===， ∴AE=13AO=43，PE=13CO=1， ∴OE=OA ﹣AE=83， ∴点P 的坐标为（﹣83，1）； （3）如图2，连接AC 交OD 于点F ，∵AM ⊥OD ，CN ⊥OD ，∴AF≥AM ，CF≥CN ，∴当点M 、N 、F 重合时，AM+CN 取最大值，过点D 作DQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，则△DQO ∽△AOC ，∴34OQ CO DQ AO ==， ∴设点D 的坐标为（﹣3t ，4t ）．∵点D 在抛物线y=﹣13x 2﹣712x+3上， ∴4t=﹣3t 2+74t+3， 解得：t 1=373+（不合题意，舍去），t 2373-+，∴点D 的坐标为（93738-，3732-+）， 故当AM+CN 的值最大时，点D 的坐标为（9373-，373-+）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式；（2）利用相似三角形的性质找出AE 、PE 的长；（3）利用相似三角形的性质设点D 的坐标为（﹣3t ，4t ）．26．证明见解析【解析】【分析】若要证明∠A=∠E ，只需证明△ABC ≌△EDB ，题中已给了两边对应相等，只需看它们的夹角是否相等，已知给了DE//BC ，可得∠ABC=∠BDE ，因此利用SAS 问题得解.【详解】∵DE//BC∴∠ABC=∠BDE在△ABC 与△EDB 中AB DE ABC BDE BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDB （SAS)∴∠A=∠E27．（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）1.【解析】试题分析：（1）连结OP ，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD 和∠D 的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD 是⊙O 的切线；（2）连结BC ，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC 长，再证明△CAE ∽△CPA ，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．。
2020年河南省郑州市高考(文科)数学二模试卷 (word版含解析)
2020年河南省郑州市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住;②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%;④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a;（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x 轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3} D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20 B．21 C．20.5 D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4] C．（4，10] D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC 的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l 在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ （a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ （a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|-1＜x＜1}，B={y|y＞0}，则A∩（∁R B）=（）A. （-1，0）B. （-1，0]C. （0，1）D. [0，1）2.已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=（）A. 5B.C.D.3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f（x）=2019x2018+2018x2017+…+2x+1，程序框图设计的是f（x）的值，在M处应填的执行语句是（）A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2+y2-6x=0截得的线段长为（）A. B. 3 C. D.5.将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等6.将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数g（x）在[π，2π]上的最大值为1B. 将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g（x）图象的一个对称中心D. 函数g（x）在区间上为增函数7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. {0，1，2，3}B. {0，1，2}C. {1，2，3}D. {1，2}8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 29.已知抛物线C：y2=2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为（）A. 2B. 3C.D. 410.已知平面向量满足，，，若对于任意实数k，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=1，，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为（）A. B. 1 C. D.12.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A. （0，2）B. （0，3）C. （2，3）D. （3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知O为坐标原点，向量，，若，则=______．14.设实数x，y满足，则的取值范围为______．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C+2sin C cos B=sin A，，，，则b=______．16.已知函数，若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足：，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求满足的最小正整数n．18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若E在线段BC上，且，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D-CEG的体积．19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1．将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；电子阅读纸质阅读合计青少年中老年合计（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k0 2.0722.7063.8415.0246.635K2=．20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△AF1F2的周长为，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2（O为坐标原点），且，求|OP|的取值范围．21.已知函数f（x）=ax lnx-bx2-ax．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求a，b的值；（Ⅱ）若a≤0，时，∀x1，x2∈（1，e），都有，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，直线l的参数方程为为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23.设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0），g（x）=x2-x．（Ⅰ）当a=1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∁R B={y|y≤0}；∴A∩（∁R B）=（-1，0]．故选：B．进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集、补集的运算．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得2z=i-iz，则z=，∴|z|=．故选：C．3.答案：B解析：解：由题意，n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n=2019-i．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.答案：D解析：解：∵双曲线的离心率e=，∴双曲线是等轴双曲线，则双曲线的一条渐近线为y=x，代入x2+y2-6x=0得x2+x2-6x=0，即x2-3x=0，得x=0或x=3，对应的y=0或y=3，则交点坐标为A（0，0），B（3，3），则|AB|==3，故选：D．根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线，得到双曲线的渐近线方程为y=x，联立方程求出交点坐标即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质以及直线和圆相交的弦长的计算，根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．5.答案：C解析：解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）=29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）=30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2=×[（26-29）2+（28-29）2+（29-29）2+（31-29）2+（31-29）2]=．乙成绩的方差为：s2=×[（28-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（32-30）2]=2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31-26=5．乙的极差是32-28=4，两者不相等，故错误．故选：C．根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，可得y=2sin（x+）的图象，然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=2sin（x+）的图象，在[π，2π]上，+∈[，]，g（x）=2sin（x+）的最大值为，故A错误；将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的解析式为y=2sin（x+），它不是奇函数，图象不关于原点对称，故B错误；当x=时，g（x）=≠0，故点不是函数g（x）图象的一个对称中心，故C错误；在区间上，+∈[，]，故函数g（x）在区间上为增函数，故D正确，故选D．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数值域的计算，结合分式函数的分子常数法先求出f（x）的取值范围是解决本题的关键，属于基础题.利用分式函数分子常数化，结合指数函数的性质先求出f（x）的取值范围，结合[x]的定义进行求解即可．【解答】解：==1+，∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，则0＜＜2，1＜1+＜3，即1＜f（x）＜3，当1＜f（x）＜2时，[f（x）]=1，当2≤f（x）＜3时，[f（x）]=2，综上函数y=[f（x）]的值域为{1，2}，故选：D．8.答案：A解析：解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.答案：C解析：解：设直线AB的方程为：x=my+t，A（x1，y1），B（22，y2）．由⇒y2-2my-2t=0⇒y1y2=-2t由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=⇒y1y2=-4，∴t=2，即直线AB过定点（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．故选：C．利用由OA⊥OB⇒y1y2=-4，即可得直线AB过定点（2，0）．即可求抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．本题考查了抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题．10.答案：B解析：解：由，，，得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，即△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，故选：B．由向量的模的运算得：易得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，得解．本题考查了向量的模的运算、平面向量数量积的性质及其运算及二次不等式恒成立问题，属中档题11.答案：C解析：解：：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，设BR⊥AC，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与R重合时，BP=BR最短，此时△PBB1的面积最小，由等积法：BR×AC=BE×BF，=，∴BP=，又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，∴△PBB1的面积为：=，故选：C．由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．此题考查了线面平行，面面平行，有探索性质，设计较好，难度适中．12.答案：B解析：解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e x（x-2），可知当x∈（0，2）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e0（0-2）=-2＜0，，所以f（0）＜0，x∈（2，+∞）时，函数φ（x）是单调增函数，且f（3）=0，则φ（3）=3f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，所以不等式f（x）＜0的解集为：{x|0＜x＜3}．故选：B．构造函数，φ（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．13.答案：解析：解：∵，；∴；∴；∴．故答案为：．根据即可求出，带入的坐标即可求出的坐标，从而求出．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法运算．14.答案：[-3，-]解析：解：实数x，y满足约束条件的平面区域如图所示，A（-2，），B（-1，3），的几何意义是可行域上的点到原点的斜率；当直线为OA时，z有最大值为；当直线为OB时，z有最小值为-3；所以，的取值范围为：[-3，-]．故答案为：[-3，-]．先根据约束条件画出可行域，根据的几何意义求最值．本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．画出可行域，的几何意义是可行域上的点到原点的斜率，由图即可求解．15.答案：解析：解：∵sin C+2sin C cos B=sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，∴可得：sin C+sin C cos B=sin B cos C，∴sin C=sin B cos C-sin C cos B=sin（B-C），∵，，，可得B为锐角，sin B==，∴B-C∈（-，），∴C=B-C，可得：B=2C，∴cos B=cos2C=1-2sin2C=，可得：sin C=，cos C=，∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C==，∴由正弦定理可得：b===．故答案为：．由两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin C=sin（B-C），结合角的范围可求B=2C，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin C，进而可求cos C的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，根据正弦定理即可解得b 的值．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（0，]解析：解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x=0有两个零点x1，x2，∴=x1，=x2，两式作比，得==，令x2-x1=t，①，则，②∴，代入①，得：，由②，得，∴t≥ln2，令g（t）=，t≥ln2，则g′（t）=，令h（t）=e t-1-te t，则h′（t）=-te t＜0，∴h（t）单调递减，∴h（t）≤h（ln2）=1-2ln2＜0，∴g（t）单调递减，∴g（t）≤g（ln2）=ln2，即x1≤ln2，∵a=，令μ（x）=，则＞0，∴μ（x）在x≤ln2上单调递增，∴μ（x）≤，∴a≤，∵f′（x）=ae x-x有两个零点x1，x2，μ（x）在R上与y=a有两个交点，∵，在（-∞，1）上，μ′（x）＞0，μ（x）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x）＜0，μ（x）单调递减，∴μ（x）的最大值为μ（1）=，大致图象为：∴0＜a＜，∵，，∴0＜a．∴实数a的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．由题意可得=x1，=x2，作比，得=，令x2-x1=t，结合条件将x1定成关于t的函数，求导分析得到x1的范围，再结合a=得到a的范围，与函数f（x）有两个极值点时a的范围取交集即可．本题考查利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用整体换元方法，体现了减元思想，是难题．17.答案：解：（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，两式相减得，，即a n=2n（n+1）（n≥2）．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n（n+1）；（Ⅱ），∴=．由＞，解得n＞9．∴满足的最小正整数n=10．解析：（Ⅰ）由已知数列递推式可得（n≥2），与原递推式作差可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.答案：（Ⅰ）证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠BAD=，∴BF⊥AD，又PF∩BF=F，∴AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AD⊥BF，又PD⊥BF，AD∩PD=D，∴BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD∩平面PAD=AD，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD，又∵GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD，∵，∴，∴，则=．解析：（Ⅰ）连接PF，由已知可得PF⊥AD，BF⊥AD，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，进一步得到PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，得到平面DEG⊥平面ABCD，然后利用等积法求四面体D-CEG的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）=1，解得a=0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5；（Ⅱ）根据题意填写列联表如下，电子阅读纸质阅读合计青少年9020110中老年603090合计15050200计算K2=≈6.061＞5.024，所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．解析：（Ⅰ）根据频率和为1，列方程求出a的值，再计算数据的平均值；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算观测值，对照数表得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，所以a+c=2+…①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=…②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=1，c=，可得椭圆方程为+y2=1，（Ⅱ）当直线AB的斜率k不存在时，直线OA的方程为，此时不妨取A（，），B（，-），P（，0），则|OP|=．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立，消y得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2-m2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．∵，∴4y1y2+x1x2=0，⇒4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2═（1+4k2）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=4m2-4-+4m2=0．整理，得：2m2=4k2+1，∴，△=16m2＞0．设P（x0，y0），，，∴|OP|2=．|OP|的取值范围为[，）．综上，|OP|的取值范围为[，]．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，bc=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，利用韦达定理，结合题设条件能求出|OP|的取值范围．21.答案：解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=a（1+ln x）-2bx-a=a ln x-2bx，由f′（1）=-2b=-1，得b=，又f（1）=-b-a=-，∴a=1．即a=1，b=；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3．即f（x1）-f（x2）＜3x2-3x1，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2．令g（x）=f（x）+3x，则g（x）在（1，e）上为单调增函数，∴有g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立．即a≥，x∈（1，e），令h（x）=，x∈（1，e），h′（x）=，令t（x）=ln x+，t′（x）=．∴t（x）在（1，e）上单调递减，t（x）＞t（e）=，则h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上为单调增函数，∴h（x）＜h（e）=e-3，即a≥e-3．综上，e-3≤a≤0．解析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f′（1）=-2b=-1，求得b，再由f（1）=-b-a=-求解a；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，构造函数g（x）=f（x）+3x，得到g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立，分离参数a，得到a≥，x∈（1，e），再由导数求函数h（x）=，x∈（1，e）的最值，可得a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想方法，属难题．22.答案：解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，转换为直角坐标方程为：．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（-2，0）．把直线l的参数方程为为参数）．代入椭圆的方程为：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：t1•t2=-4．故：|PM|•|PN|=|t1•t2|=4（Ⅱ）由椭圆的直角坐标方程转换为（），所以：以A为顶点的内接矩形的周长为4（2）=16sin（）（）所以：当时，周长的最大值为16．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：（1）当a=1时，g（x）≥f（x）⇔或或，解得x≤-1或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}（2）f（x）=，当0＜a≤1时，f（x）min=f（a）=a2+1≥2，a=1；当a＞1时，f（x）max=f（-）=a+≥2，a＞1，综上：a∈[1，+∞）解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（1）分3种情况去绝对值，解不等式组再相并；（2）按照0＜a≤1和a＞1求出分段函数的最小值，由最小值大于等于2可得．。
2020年河南省郑州市高考(文科)数学第二次模拟试卷 含解析
2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n ＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n 的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x （x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。
2020年郑州市中原名校中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年郑州市中原名校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2020的相反数是()A. 2020B. −2020C. 12020D. −120202.某人的头发的直径约为85微米，已知1微米=0.000001米；则该人头发的直径用科学记数法表示正确的是()米．A. 8.5×105B. 8.5×10−5C. 85×10−8D. 8.5×10−83.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a//b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°4.下列计算正确的是()A. √8+√2=3√2B. (a−b)2=a2−b2C. a2+a3=a5D. (2a2b3)3=−6a6b35.如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图()A. 主视图改变，俯视图改变B. 主视图不变，俯视图改变C. 主视图不变，俯视图不变D. 主视图改变，俯视图不变6.一元二次方程x2+5x+7=0解的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定7.甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则这5次测试成绩最稳定的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.抛物线y=x2上有三个点(1,y1)，(−2,y2)，(3,y3)，那么y1、y2、y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y2<y3<y19.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有()A. 5个B. 15个C. 20个D. 35个10.如图，已知菱形OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第30秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1,−1)B. (−1,−1)C. (√2,0)D. (0,−√2)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：(13)−2+(2−π)0=．12.不等式组{2(x+1)>5x−7x+103>2x的解集是______．13.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E.若△ADE的周长为8cm，则AB=______ cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，以BC为直径的半圆交AB于点D，则阴影部分的面积为______．15.如图矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，当△DFC是等腰三角形时，DE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：a2−b2a ÷(a−2ab−b2a)，其中a=2+√3，b=2−√3．17.如图，在等腰三角形PAD中，PA=PD，以AB为直径的⊙O经过点P，点C是⊙O上一点，连接AC，PC，PC交AB于点E，已知∠ACP=60°．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)连接OP，PB，BC，OC，若⊙O的直径是4，则：①当DE=______，四边形APBC是矩形；②当DE=______，四边形OPBC是菱形．18.某市为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该市九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按A(优秀)，B(良好)，C(合格)，D(不合格)四个等级进行统计，并将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)此次共调查了多少名学生？(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数．(3)该市九年级共有8000名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上(含良好)的人数．19.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.3米，点B距地面10.8米，为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，√2≈1.4)20.某超市销售甲、乙两种零件，购买3个甲种零件和1个乙种零件共需44元，购买1个甲种零件和2个乙种零件共需38元．(1)求每个甲、乙两种零件的价格；(2)若购买甲、乙两种零件共20个，且总价不超过230元，问甲种零件最少购买多少个？21.请根据函数相关知识，对函数y=x−1的图象与性质进行了探究，并解决相关问题。
河南省2020年中考数学二模试卷(解析版)
2020年河南省中考数学二模试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．﹣的相反数是（）A．2020 B．﹣2020 C．D．﹣2．国家统计局公布，2019年我国国内生产总值按年平均汇率折算达到14.4万亿美元，稳居世界第二位．其中14.4万亿用科学记数法可以表示为（）亿．A．1.44×1012B．1.44×1013C．1.44×104D．1.44×1053．下列图形中，不是正方体平面展开图的是（）A．B．C．D．4．下列运算中结果正确的是（）A．＝±2 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．3x2y﹣2yx2＝x2y D．a6÷a2＝a35．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分81 77 ■80 82 80 ■则被遮盖的两个数据依次是（）A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，26．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣x＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝07．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，现分别以点B，D为圆心，以大于BD 的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接OF交AD于点E，再连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（）A．28 B．24 C．20 D．148．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．化简÷（a﹣）的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P 作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（每题3分，共15分）11．计算：（﹣3）﹣1+＝．12．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为．13．从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，BD是△ABC的内角平分线．以A为圆心，AD为半径作弧交AB于E，再以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，则图中阴影部分的面积为．15．如图，菱形ABCD边长为4 cm，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝cm时，△BCE 是直角三角形．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+y），其中x，y满足方程组．17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O外一点．DB和DC都与⊙O相切，切点分别是点B，C，连接OD交⊙O于点E，连接AC．（1）求证：AC∥OD；（2）如果AB＝2，①当BD＝时，四边形OACE是菱形；②当BD＝时，四边形OCDB是正方形．18．（9分）我市某学校九年级（2）班开展了为期一周的“帮父母做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A，B，C，D，E 五个等级，老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．等级帮助父母做家务时间（小时）频数A 2.5≤t＜3 2B 2≤t＜2.5 10C 1.5≤t＜2 aD 1≤t＜1.5 bE 0.5≤t＜1 3（1）求a，b的值；（2）该班的小明同学这一周帮父母做家务2 h．他认为自己帮家长做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由；（3）若今年我市约有3.5万九年级学生，依据以上调查结果请你估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于2 h的学生总人数．19．（9分）抗击突如其来的“新冠”疫情，彰显我们全国一盘棋的制度优势，抗疫期间甲市急需乙市生产的一种紧急抗疫物资，乙市安排一辆厢式货车往甲市运送，同时甲市一辆轿车前去迎接，以便提前运回一部分急用．两车相遇后，轿车带一部分物资按原速返回（两车交接货物的时间不计），厢式货车以原速把余下物资送到甲市．设厢式货车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲市到乙市两地相距km，两车出发后h相遇；（2）轿车行驶的速度是km/h，厢式货车行驶的速度是km/h；（3）请判断线段DC的延长线是否经过点A，并说明理由．20．（9分）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）21．（10分）已知一块矩形草坪的两边长分别是2 m与3 m，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a m，另一边长加长b m，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是，这个函数值y的取值范围是．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝||的图象和性质，请根据函数y＝的图象，画出函数y＝||的图象；（3）根据函数y＝||的图象，写出两条函数的性质．（4）根据函数y＝||的图象解答下列问题：①方程||＝0有个实数根，该方程的根是；②如果方程||＝a只有一个实数根，则a的取值范围是；③如果方程||＝a有2个实数根，则a的取值范围是．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P在斜边AB上，点D，E，F分别是线段P A，PB，PC的中点，易知△DEF是直角三角形．“现把△DEF以点P为中心，顺时针旋转α，其中0°＜α＜360°．连接AD，BE，CF．（1）操作发现如图2，若点P是AB的中点，连接PF，可以发现＝，＝；（2）类比探究如图3，Rt△ABC中，CP⊥AB于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果∠CAB＝30°，且AB＝4，在△DEF旋转的过程中，当以点C，D，F，P四点为顶点的四边形与以点B，E，F，P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD，CF，BE的长．23．（11分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（n，y2）是第一象限内抛物线上的两个动点，且m＜n．分别过点M，N做MC，ND垂直于x轴，分别交直线AB于点C，D．①如果四边形MNDC是平行四边形，求m与n之间的关系；②在①的前提下，求四边形MNDC的周长L的最大值；（3）如图2，设抛物线与，x轴的另一个交点为A′，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠AP A′＝∠ABO？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由？2020年河南省洛阳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：C．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：14.4万亿＝144000亿＝1.44×105亿．故选：D．3．【分析】根据正方体的展开图的种类和特征，综合进行判断即可．【解答】解：根据正方体的展开图的特征可知，共有11种情况，可以分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，没有“1﹣2﹣3型”的，因此选项B不是正方体平面展开图，故选：B．4．【分析】分别根据立方根的定义，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A.，故本选项不合题意；B．（﹣3a2b）2＝9a4b2，故本选项不合题意；C.3x2y﹣2yx2＝x2y，故本选项符合题意；D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意．故选：C．5．【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．【解答】解：根据题意得：80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），则丙的得分是80分；众数是80，故选：A．6．【分析】分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对A，B，C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断．【解答】解：A.△＝（﹣6）2﹣4×9＝0，所以方程有两个相等的实数解，所以A选项错误；B.△＝（﹣2）2﹣4×3＜0，所以方程没有实数解，所以B选项正确；C.△＝（﹣1）2﹣4×0＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误；D.方程两个的实数解为x1＝﹣2，x2＝1，所以D选项错误．故选：B．7．【分析】证明△ABE的周长＝AB+AD即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为28，∴AB＝CD，AD＝BC，AB+AD＝14，由作图可知，OE垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD＝14，故选：D．8．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．9．【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算除法即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，故选：C．10．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A＝30°，AP＝x，∴PQ＝x tan30°＝，∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．∴＝＝．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．二、填空题：（每题3分，共15分）11．【分析】直接利用算术平方根的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣+3＝．故答案为：．12．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE＝∠E＝30°，然后求出∠ACF的度数，再根据直角三角形的两锐角互余列式求解即可．【解答】解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，在Rt△ACF中，∠AFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣15°＝75°．故答案为：75°．13．【分析】画出树状图，找到b＝2a的结果数，再根据概率公式解答．【解答】解：画树状图如图所示，一共有6种情况，其中b＝2a的有（2，4）和（3，6）两种，所以点（a，b）在直线y＝2x上的概率是＝，故答案为：．14．【分析】解直角三角形求得AC，AB，根据等腰三角形的判定证得AD＝BD，根据勾股定理求出BD，可求出AD，BE，进而求出两个扇形的面积，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去扇形ADE和扇形BEF的面积之和．【解答】解：连接BD，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，∵BC＝，∴AC＝BC•tan∠B＝×＝3，AB＝2BC＝2，∴DC＝3﹣AD＝3﹣BD，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，∴BD2＝（）2+（3﹣BD）2，解得：BD＝2，∴AD＝AE＝2，∴BE＝2﹣2，阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形ADE﹣S扇形BEF＝×3×﹣﹣＝﹣π，故答案为：﹣π．15．【分析】根据题意分两种情况讨论：①当∠EBC＝90°时，根据菱形的性质可得∠ANM＝90°，进而可得AN的值；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，根据点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，可得N为AD的中点，进而可得AN的值．【解答】解：∵菱形ABCD边长为4 cm，点M为AB的中点，∴AM＝BM＝2 cm，由翻折可知：EM＝AM＝BM，∴∠MBE＝∠MEB，①当∠EBC＝90°时，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠MBE＝∠MEB＝30°，∴∠BME＝120°，∴∠AMN＝∠EMN＝30°，∴∠MNA＝90°，∴AN＝AM＝1cm；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，∵点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，∴点N为AD的中点，∴AN＝AD＝2 cm．所以当AN＝1或2 cm时，△BCE是直角三角形．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．【分析】（1）先求出x与y的值，然后将原式化简，再把x与y的值代入即可求出答案．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2﹣2xy＝2xy，∵，∴，∴两式相减可得：4xy＝13，∴原式＝．17．【分析】（1）想办法证明AC⊥BC，OD⊥BC即可判断．（2）①当BD＝时，四边形OACE是菱形．根据四边相等的四边形是菱形证明即可．②当BD＝1时，四边形OCDB是正方形．根据有一个角是90°的菱形是正方形证明即可．【解答】（1）证明：连接BC，OC．∵DB，DC是⊙O的切线，∴DB＝DC，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AC∥OD．（2）解：①当BD＝时，四边形OACE是菱形．理由：连接EC．∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥OB，∴∠OBD＝90°，∴tan∠DOB＝＝，∴∠DOB＝60°，∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∵AC∥OE，∴四边形OACE是平行四边形，∵OA＝OE，∴四边形OACE是菱形．故答案为．②当BD＝1时，四边形OCDB是正方形．理由：∵BD，DC是⊙O的切线，∴DB＝DC，∵OB＝OC＝1，BD＝1，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OCDB是菱形，∵∠OBD＝90°，∴四边形OCDB是正方形．故答案为1．18．【分析】（1）读图可知：C等级的频率为40%，总人数为50人，可求出a，则b也可得到；（2）求得中位数后，根据中位数的意义分析；（3）利用样本估计总体的方法即可估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于两小时的学生总人数．【解答】解：（1）a＝50×40%＝20，b＝50﹣2﹣10﹣20﹣3＝15；（2）符合实际．设中位数为m，根据题意，m的取值范围是：1.5≤m＜2，因为小明同学这一周帮父母做家务2小时，大于中位数，所以他帮家长做家务的时间比班级里一半以上的同学多；（3）35000×＝8400（人），答：估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于两小时的学生总人数为8400人．19．【分析】（1）由A，B两点坐标结合图形中坐标系点的意义即可得出结论；（2）由函数图象的特点知，C点为轿车运回甲市，由相遇问题和追及问题求出两车的速度和与速度差，进而得结果；（3）用待定系数法求出直线CD的解析式，再验证A点是否在直线CD上便可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝640，可知甲、乙两地之间的距离为640 km；当x＝4时，y＝0，可知甲、乙两车出发后4 h相遇；故答案为：640；4；（2）由函数图象可知，C（m，160）表示行驶m h后，两车相距160 km，此时轿车回到了乙市，∵轿车返回甲市的时间与轿车从甲市到两车相遇处的时间相等，∴轿车返回用时4 h，设轿车的速度为x km/h，厢式货车行驶的速度是y km/h，则，∴，∴轿车的速度为100 km/h，厢式货车行驶的速度是60 km/h，故答案为：100；60；（3）线段DC的延长线经过点A．理由如下：由（2）知，m＝4+4＝8，∴C（8，160），厢式货车到达乙市的时间为：640÷60＝，∴D（，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣60x+640，当x＝0时，y＝640，∴直线CD经过点A（0，640），∴线段DC的延长线经过点A．20．【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，求出直角三角形的锐角，利用锐角三角函数求出PC，与16比较得出答案；改变航线后，画出图形，求出∠PBD的度数，再根据点B所测的方位角，即可求出改变航线后的方位角．【解答】解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．21．【分析】（1）根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据≠0，确定y的值即可．（2）把函数y＝的图象的x轴的上方部分沿x轴翻折，可得函数y＝||的图象．（3）根据函数的图象，可得结论．（4）①②③利用图象法解决问题即可．【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，故答案为：x≠﹣3，y≠﹣2．（2）函数y＝||的图象，如图所示：（3）根据函数的图象可知：①当x＜﹣3时，y随x的增大而增大．②函数有最小值，最小值为0．③当x＞3时，y随x的增大而增大．（4）①方程||＝0有1个实数根，该方程的根是x＝3，故答案为1，x＝3．②如果方程||a只有一个实数根，则a的取值范围是a＝2或a＝0．故答案为：a＝2或a＝0．③如果方程＝||a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．故答案为：0＜a＜2或a＞2．22．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：＝．如图3中，连接PF．利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分两种情形：如图4﹣1中，当PC∥DF时，满足条件，如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，分别求解即可．【解答】解：（1）如图2中，连接PF，BE．∵∠ACB＝90°，AP＝PB，∴PC＝P A＝PB，∵∠DFE＝90°，PD＝PE，∴PF＝PD＝PE，∵∠APC＝∠DPF，∴∠APD＝∠CPF，∴△APD≌△CPF（SAS），∴AD＝CF，∴＝1，同法可证，△BPE≌△CPF，∴CF＝BE，∴＝1．故答案为1，1．（2）结论：＝．理由：如图3中，连接PF．∵PC⊥AB，PF⊥DE，∴∠APC＝∠DPF＝90°，∵△APC∽△DPF，∴＝，∴＝，∵∠APC＝∠DPF＝90°，∴∠APD＝∠CPF，∴＝，同法可证，△CPF∽△BPE，∴＝，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴＝，∴＝．（2）如图4﹣1中，当PC∥DF时，∵∠CAB＝30°，∠APC＝90°，∴PC＝AC，∵DF＝AC，∴DF＝PC，∴四边形PCFD是平行四边形，∵∠EFD＝90°，∴EF⊥DF，∴EF⊥PC，∵PC⊥AB，∴PB∥EF，同法可证，BP＝EF＝BC，∴四边形PBEF是平行四边形，∴BE∥PF，∴∠BEP＝∠EPF＝90°，∵AB＝4，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，∵CP⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝90°，∠PCB＝30°，∴PB＝PB＝1，∵∠EPB＝∠DEF＝60°，∴BE＝PB•sin60°＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，此时BE＝PF＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．综上所述，BE＝，CF＝，AD＝．23．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组，即可解决问题．（2）①由题意M（m，﹣m2+m+3），N（n，﹣n2+n+3），C（m，﹣m+3），D（n，﹣n+3），利用平行四边形的性质推出MC＝DN，由此构建关系式，即可解决问题．②构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）如图3中，作BH平分∠OBA交OA于H，过点H作HE⊥AB于E．抛物线的对称轴x＝，设对称轴交x轴于K，则AK＝，证明∠APK＝∠OBH，推出tan∠OBH＝tan∠APK，求出PK，即可解决问题．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．（2）①由题意M（m，﹣m2+m+3），N（n，﹣n2+n+3），C（m，﹣m+3），D（n，﹣n+3），∵四边形MNDC是平行四边形，∴MC＝DN，∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，∴（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m＜n，∴m﹣n≠0，∴m+n＝4．②由题意L＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝2[﹣m2+4m+（4﹣2m）]＝2（﹣m2+4m+5﹣m）＝﹣2（m﹣）2+，∵﹣2＜0，∴m＝时，L有最大值，最大值为．（3）如图3中，作BH平分∠OBA交OA于H，过点H作HE⊥AB于E．∵∠HBE＝∠HBO，∠BOH＝∠BEH＝90°，BH＝BH，∴△BHO≌△BHE（AAS），∴BO＝BE＝3，OH＝HE，设OH＝EH＝x，∵AB＝＝＝5，∴AE＝AB﹣BE＝2，AH＝4﹣x，在Rt△AEH中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴H（，0），∵抛物线的对称轴x＝，设对称轴交x轴于K，则AK＝，∴P A＝P A′，∵PK⊥AA′，∴∠APK＝∠A′PK，∵∠AP A′＝∠OBA，∴∠APK＝∠OBH，∴tan∠OBH＝tan∠APK，∴＝∴＝，∴PK＝，∴P（，），根据对称性，P′（，﹣）也符合题意，综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）．。
2020年河南省郑州市中考数学二模试卷
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如表是郑州市2019年1月1日零点到三点的天气情况，从零点到三点最高温度与最低温度差是（）℃．234 D. 52.如图所示，该几何体的左视图是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. -3a2•2a3=-6a6B. 6a6÷（-2a3）=-3a2C. （-a3）2=a6D. （ab3）2=ab64.如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D=60°，∠ABC=20°，则∠1的度数为（）A. 25°B. 40°C. 50°D. 80°5.某校八年级“我的中国梦”朗诵比赛中，有15名学生参加比赛，他们比赛的成续各不相，其中一名学生想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的统计量是（）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（）A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，分别交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF若BD=8，AF=5，CD=4，则下列说法中正确的是（）A. DF平分∠ADCB. AF=3CFC. DA=DBD. BE=109.如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2019的坐标是（）A. （0，1）B. （﹣4，1）C. （﹣2，0）D. （0，3）10.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A. 5B.C. 8D. 2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：=______．12.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为3：4，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．13.若关于x的方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是______．14.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是______．15.在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简，再求值：，其中x是方程x2-2x=0的根．17.“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件，某校为了了解九年级家长和学生参与“青少年不良行为的知识”的主题情况，在本校九年级学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下四类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长自己参与；D．家长和学生都未参与．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了______名学生；（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数；（3）根据抽样调查结果，估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．18.如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C两点．BC与AM的延长线交于点D．（1）求证：DM=AM；（2）填空①当CM=______时，四边形AOCM是正方形．②当CM=______时，△CDM为等边三角形．19.如图：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象分别交于点A、C，点A的横坐标为-3，与x轴交于点E（-1，0）．过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，△ABE的面积是2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABCD的面积．20.五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD=1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）21.郑州市创建国家生态园林城市实施方案已经出台，到2019年5月底，市区主城区要达到或超过《国家生态园林城市标准》各项指标要求．郑州市林荫路推广率要超过85%，在推进此活动中，郑州市某小区决定购买A、B两种乔木树，经过调查，获取信息如下：如果购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果A50B5010500（）种树木与种树木的单价各多少元？（2）经过测算，需要购置A、B两种树木共100棵，其中B种树木的数量不多于A 种树木的三分之一，如何购买付款最少？最少费用是多少元？请说明理由．22.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=6，PA=，则：①线段PB=______，PC=______；②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足，直接写出的值：______．23.如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为（10，0）．一条抛物线经过O，A，B三点，直线AB的表达式为，且与抛物线的对称轴交于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，在A，B两点之间的抛物线上有一动点P，连结AP，BP，设点P的横坐标为m，△ABP的面积S，求出面积S取得最大值时点P的坐标；（3）如图3，将△OAB沿射线BA方向平移得到△DEF，在平移过程中，以A，D，Q为顶点的三角形能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出此时点E的坐标（点O除外）；如果不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：3-（-2）=5（℃）．故选：D．根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可．本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．2.【答案】B【解析】解：该几何体的左视图如选项B所示，故选：B．左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．3.【答案】C【解析】解：A、原式=-6a5，不符合题意；B、原式=-3a3，不符合题意；C、原式=a6，符合题意；D、原式=a2b6，不符合题意，故选：C．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°-∠ABC=70°，∵EF∥AB，∴∠DFE=∠ABD=70°，∴∠DEF=180°-∠D-∠DFE=50°，∴∠1=∠DEF=50°，故选：C．利用平行线的性质求出∠EDF，再利用三角形内角和定理求出∠DEF即可．本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】C【解析】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．故选：C．15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．6.【答案】B【解析】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，则BP为（4-t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（4-t）×t=，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为cm2．故选：B．设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．7.【答案】A【解析】解：解不等式2x+3≤5，得：x≤1，解不等式-3x＜9，得：x＞-3，则不等式组的解集为-3＜x≤1，故选：A．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=5，∴AE=DE=DF=AF=5，∵DE∥AC，∴，∵BD=8，AE=5，CD=4，∴BE=10，故选：D．根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，得出四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．9.【答案】D【解析】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（-2，4），再反射到P5（-4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2019÷6=336……3，即点P2019的坐标是（0，3），故选：D．按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可．本题是生活中的轴对称现象，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律．10.【答案】B【解析】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，∵AC=AD，∴DE=CE=CD，当S=15时，点P到达点D处，则S=CD•BC=（2AB）•BC=3×BC=15，则BC=5，由勾股定理得AD=AC=，故选：B．根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3；当S=15时，点P到达点D处，即可求解．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．11.【答案】5【解析】解：原式=3+2=5．故答案为：5．直接利用绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.【答案】【解析】解：设两直角边分别是3x，4x，则斜边即大正方形的边长为5x，小正方形边长为x，所以S大正方形=25x2，S小正方形=x2，S阴影=24x2，则针尖落在阴影区域的概率为=．故答案为：．针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．13.【答案】k≥-1【解析】解：当k=0时，解方程-3x-=0得：x=-，∴k=0符合题意；当k≠0时，△=（-3）2-4×k×（-）≥0，解得：k≥-1且k≠0．综上所述，实数k的取值范围为k≥-1．故答案为：k≥-1．分二次项系数为零及非零两种情况考虑，当k=0时，通过解一元一次方程可得出k=0符合题意；当k≠0时，由根的判别式△≥0可求出k的取值范围．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况考虑是解题的关键．14.【答案】π-2【解析】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=AB=2，四边形DMCN是正方形，DM=．则扇形FDE的面积是：=π．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．则阴影部分的面积是：π-2．故答案为：π-2．连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．15.【答案】1或11【解析】解：如图1：将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，∴∠AEF=∠EA'F，AE=A'E，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠CFE，∴CF=CE，∵AB=6，AD=3，AE=2，∴CF=CE=6-DF，A'E=2，BE=4，BC=3，∴EC=5，∴6-DF=5，∴DF=1；如图2：由折叠∠FEA'=∠FEA，∵AB∥CD，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴CF=5，∴DF=11；故答案为1或11；在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CF=CE，即可求解；本题考查矩形的性质，图形的折叠；根据动点的情况分析出旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上是解题的关键．16.【答案】解：====，由x2-2x=0，得x1=0，x2=2，当x=2时，原分式无意义，当x=0时，原式==-1．【解析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由x2-2x=0可以求得x的值，再将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．17.【答案】（1）200；（2）B类别人数为200-（80+60+20）=40，补全图形如下：扇形统计图中计算B类所对应扇形的圆心角的度数为360°×=72°；（3）估计该年级600名学生中“家长和学生都未参与”的人数为600×=60（人）．【解析】解：（1）在这次抽样调查中，调查的学生总人数为80÷40%=200（人），故答案为：200；（2）见答案；（3）见答案．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各类别人数之和等于总人数求出B的人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18.【答案】（1））如图1，连接OM，∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，∴MA⊥OA，MC⊥OC，在Rt△MAO和Rt△MCO中，MO=MO，AO=CO，∴△MAO≌△MCO（HL），∴MC=MA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，又∵∠DCM+∠OCB=90°，∠D+∠B=90°，∴∠DCM=∠D，∴DM=MC，∴DM=MA；（2）3，.【解析】解：（1）如图1，连接OM，∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，∴MA⊥OA，MC⊥OC，在Rt△MAO和Rt△MCO中，MO=MO，AO=CO，∴△MAO≌△MCO（HL），∴MC=MA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，又∵∠DCM+∠OCB=90°，∠D+∠B=90°，∴∠DCM=∠D，∴DM=MC，∴DM=MA；（2）①如图2，当CM=OA=3时，四边形AOCM是正方形；∵AO=CO=AM=CM=3，∴四边形AOCM是菱形，又∵∠DAB=90°，∴四边形AOCM是正方形；②连接OM，如图3，∵△DCM是等边三角形，∴CM=DM，∠D=60°，∵∠DAB=90°，∴∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∵AB=6，∴tan∠B=tan30°==，∴AD=2，设CM=x，∵OC=OA，OM=OM，∴Rt△OCM≌△OAM（HL），∴CM=AM=DM，∴CM=AD=；故答案为：①3；②．（1）根据切线的性质得：MA⊥OA，MC⊥OC，证明△MAO≌△MAO（HL），得MC=MA，根据等边对等角得：∠2=∠B，由等角的余角相等可得结论；（2）①直接可得CM=OA=3；②先根据等边三角形定义可得：DM=CM，∠D=60°，证明Rt△OCM≌△OAM（HL），得CM=AM=DM，可得结论．本题主要考查切线的性质及直角、等边三角形的性质、直角三角形特殊的全等判定、圆周角定理、三角函数的应用、正方形的判定等知识，难度适中，掌握圆周角定理和直角三角形特殊的全等判定是解题的关键．19.【答案】解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A的横坐标为-3，∴OB=3．∵点E（-1，0），∴BE=2，∵S△ABE=AB•BE=2，∴AB=2，∴A（-3，2），∵点A在反比例函数的图象上，∴a=-3×2=-6，∴反比例函数的解析式为y=-．将A（-3，2）、E（-1，0）代入y=kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=-x-1．（2）解得或，∴C（2，-3），∵CD⊥x轴于点D，∴OD=2，CD=3，∴BD=5，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=BD•AB+BD•CD=×5×2+×5×3=．【解析】（1）由△ABE的面积是2可得出点A的坐标，由点A、E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）联立方程出点C的坐标，进而可得出BD、CD的长度，再利用S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD 即可求出四边形ABCD的面积．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是求出点A、C点的坐标．20.【答案】解：由题意，可得∠FED=45°．在直角△DEF中，∵∠FDE=90°，∠FED=45°，∴DE=DF=1.5米，EF=DE=米．∵∠AEB=∠FED=45°，∴∠AEF=180°-∠AEB-∠FED=90°．在直角△AEF中，∵∠AEF=90°，∠AFE=40°+45°=85°，∴AE=EF•tan∠AFE≈×11.4=24.78（米）．在直角△ABE中，∵∠ABE=90°，∠AEB=45°，∴AB=AE•sin∠AEB≈24.78×≈17（米）．故旗杆AB的高度约为17米．【解析】在直角△DEF中，根据三角函数的定义得到EF=DE=米．在直角△AEF中根据三角函数的定义得到AE=EF•tan∠AFE≈×11.4=24.78（米）．于是得到结论．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．21.【答案】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：，解得，即A种树每棵150元，B种树每棵100元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100-a）棵，则（100-a），解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y=0.8×150a+100（100-a），即y=20a+10000．∵k=20＞0，y随a的增大而增大，∴当a=75时，y最小．即当a=75时，y最小值=20×75+10000=11500（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为11500元．【解析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木40棵，B种树木60棵，需付款11400元；如果购买A种树木50棵，B种树木50棵，需付款10500元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100-a）棵，根据“B种树木的数量不多于A种树木的三分之一”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．22.【答案】（1）①4，2（2）如图②，连接BQ，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ，∴PA=BQ，∠CBQ=∠CAP=45°，∴∠PBQ=90°，∴BQ2+PB2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2；（3）【解析】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6，∴AB=AC=6，∴PB=AB-PA=6-2=4，作CH⊥AB于H，∵CA=CB，CH⊥AB，∴AH=HB=AB=3，CH=AB=3，∴PH=AH-AP=，∴PC==2，故答案为：4；2；②PA2+PB2=PQ2，理由如下：如图①，连接QB，∵∠ACB=∠PCQ=90°，∴∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ，∴PA=BQ，∠CBQ=∠CAP=45°，∴∠PBQ=90°，∴BQ2+PB2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2，故答案为：PA2+PB2=PQ2；（2）（3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，==；当点P在线段BA的延长线上时，设BC=2x，则AB=2x，∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，∴AH=CH=AB=x，∵，∴AB=4PA，∴PA=AB=x∴PH=PA+AH=x，由勾股定理得，PC==x，∴==．【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到PA=BQ，∠CBQ=∠CAP=45°，得∠PBQ=90°，根据勾股定理计算；（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵抛物线经过O，A，B三点，点A的坐标为（10，0）．O（0，0），∴∴，∴抛物线的表达式为：y=-x2+x．（2）由得-x2+x=，∴x=2或x=10，∴点B（2，4）．如图2，作PC⊥x轴于C点，交AB于点G，∵动点P在抛物线上，直线AB的表达式为，∴设P（m，-m2+m），G（m，），∴PG=-m2+3m-5，∴S=PG（x A-x G）+PG（x G-x B）=（-m2+3m-5）（10-2）=-m2+12m-20=-（m-6）2+16，∴当m=6时，S最大=16，∴P（6，6）答：当S取得最大值时点P的坐标为（6，6）．（3）∵抛物线的对称轴为x=5，点Q在直线上，∴Q点坐标为（5，），D点在过O点且平行于AB的直线y=上，设D（a，），∴AD2=（10-a）2+a2，AQ2=25+=，QD2=（a-5）2+①当AD=AQ时，（10-a）2+a2=，解得a1=11，a2=5，∴D1（11，），D2（5，-）；∴E1（21，），E2（15，）；②当AD=QD时，（10-a）2+a2=（a-5）2+，解得a=，∴D3（），E3（，）；③当AQ=QD时，=（a-5）2+，解得a=6，∴D4（6，-3），E4（16，-3）综上所述，以A，D，Q为顶点的三角形能成为等腰三角形，点E坐标为：E1（21，），E2（15，），E3（，），E4（16，-3）．【解析】（1）将点A的坐标（10，0）．O（0，0）代入抛物线，解出b，c，再代回，即可得抛物线的解析式；（2）先将直线与抛物线解析式联立，解出点B坐标，再设出点P和点G坐标，用相关点的横纵坐标表示线段长河高，从而可得面积的表达式，再从函数角度即可得解；（3）利用勾股定理分别表示出AD2，AQ2，QD2，再分AD=AQ，AD=QD，AQ=QD，分别来求解，从而得点D坐标，再将其横坐标加10，纵坐标不变即可得点E的坐标．本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直线与抛物线所形成的三角形面积的最大值问题、图形平移形成等腰三角形后相关点的坐标等问题，综合性比较强，难度较大．。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4）D．（1，4]2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 3．定义运算||=ad﹣bc，则符合条件||=0的复数z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（）A．B．C．﹣D．﹣5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2020 B．2020 C．2020 D．20206．经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=17．平面内满足约束条件的点（x，y）形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称9．如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=log x，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（）A．8 B．10 C．12 D．1611．若数列{a n}中，满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n+（n+1）a n+1，则a10的值是﹣1（）A．4B．4C．4D．412．对∀α∈R，n∈[0，2]，向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．14．已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=．15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是．16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）•sin（﹣C）．（1）求角A的值；（2）若a=且b≥a，求2b﹣c的取值范围．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a= c=不支持b= d=合计参考数据：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥E﹣APD的体积．20．已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1，y1），=（x2，y2），且•=0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若m∈（0，），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R）（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
郑州市九年级二摸数学试卷及参考答案和评分标准
新华师大版河南中考数学摸底试卷（二）2020年郑州市九年级二摸数学试卷 B 卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 计算47+-的结果是 【 】 （A ）3 （B ）3- （C ）11 （D ）11-2. 下列运算中,正确的是 【 】 （A ）743x x x =⋅ （B ）56=-x x （C ）()222y x y x +=+ （D ）xy y x 743=+3. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体是 【 】 （A ）立方体 （B ）四棱柱 （C ）圆锥 （D ）直三棱柱第 3 题图俯视图主视图左视图第 5 题图FEDC BA4. 在攻击人类的病毒中,某类新型冠状病毒体积较大,直径约为0. 000 000 125米,含约3万个碱基,拥有RNA 病毒中最大的基因组,比艾滋病毒和丙型肝炎的基因组大三倍以上,比流感病毒的基因组大两倍.0. 000 000 125用科学记数法表示为 【 】 （A ）61025.1-⨯ （B ）71025.1-⨯ （C ）61025.1⨯ （D ）71025.1⨯5. 将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中︒=∠︒=∠45,60F A ）,使点E 落在AC 边上,且BC ED //,则AEF ∠的度数为 【 】 （A ）︒145 （B ）︒155 （C ）︒165 （D ）︒1706. 某校八年级三班进行中国诗词知识大赛,共有10道题目,该班得分情况如下表.全班40名同学的成绩的众数和中位数分别是 【 】 （A ）76 , 78 （B ）76 , 76 （C ）80 , 78 （D ）76 , 807. 若关于x 的一元二次方程0232=+-x mx 有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）89>m （B ）89<m （C ）98<m 且0≠m （D ）89<m 且0≠m 8. 如图,在平面直角坐标系中,□OABC 的顶点A 在x 轴上,︒=∠=60,4AOC OC ,且以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA 、OC 于点D 、E ;再分别以点D 、E 为圆心,大于DE 21的长度为半径画弧,两弧相交于点F ,过点O 作射线OF ,交BC 于点P ,则点P 的坐标为 【】 （A ）()32,4 （B ）()32,6 （C ）()4,32 （D ）()6,32第 8 题图第 9 题图NMFED CBA9. 如图,在Rt △ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90.点D 为BC 中点,E 为边AB 上一动点（不与A 、B 两点重合）,以点D 为直角顶点、以射线DE 为一边作︒=∠90MDN ,另一条边DN 与边AC 交于点F .下列结论中正确的是 【 】 ①AF BE =; ②△DEF 是等腰直角三角形; ③无论点E 、F 的位置如何,总有CF DF EF +=成立; ④四边形AEDF 的面积随着点E 、F 位置的不同发生变化.（A ）①③ （B ）②③ （C ）①② （D ）①②③④10. 如图,在正方形ABCD 中,边长CD 为3 cm,动点P 从点A 出发,以2cm/s 的速度沿AC 方向运动到点C 停止.动点Q 同时从点A 出发,以1 cm/s 的速度沿折线AB →BC 方向运动到点C 停止.设△APQ 的面积为y （cm 2）,运动时间为x （s ）,则下列图象能反映y 与x 之间关系的是 【 】 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 计算:()=--914.30π_________.12. 不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为11<<-x ,则()()22-+b a 的值等于_________.xy （A ）O 634.5（cm 2）（s ）x y （B ）O 634.5（cm 2）（s ）x y （C ）O 634.5（cm 2）（s ）x y （D ）O 634.5（cm 2）（s ）第 10 题图QPDCBA13. 如图,电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个灯泡,闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小灯泡发光,任意闭合电路上其中的两个开关,小灯泡发光的概率为_________.14. 如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是AB 的中点,以点E 为圆心,线段ED 的长为半径作半圆,交直线AB 于点M 、N ,分别以线段MD 、ND 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为____________.第 14 题图NDC第 15 题图F GOEDC15. 如图,矩形ABCD 中,4,3==BC AB ,对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 是AD 边上一动点,将△AEO 沿直线EO 折叠,点A 落在点F 处,线段EF 、OD 相交于点G .若△DEG 是直角三角形,则线段DE 的长为____________. 三、解答题（共75分）16.（8分）先化简,再求值:12211122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-x x x x x x ,其中︒+=60cos 22x .17.（9分）期末考试后,某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况,决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析,已知九年级共有12个班,每班48名学生,请按要求回答下列问题: 【收集数据】（1）若要从全年级学生中抽取一个48人的样本,你认为以下抽样方法中比较合理的有_________;（只要填写序号即可）①随机抽取一个班级的48名学生;②在全年级学生中随机抽取48名学生;③在全年级12个班中分别各抽取4名学生;④从全年级学生中随机抽取48名男生; 【整理数据】（2）将抽取的48名学生的成绩进行分组,绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下,请根据图表中数据填空:①C 类和D 类部分的圆心角度数分别为_________、_________; ②估计全年级A 、B 类学生大约一共有_________名;D 类（0 ~ 39）48C 类（40 ~ 59）0. 25B 类（60 ~ 79）0. 5A 类（80 ~ 100）频率频数成绩（单位:分）D 类C 类B 类25%A 类50%（3）学校为了解其他学校教学情况,将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比,得下表:你认为哪所学校的教学效果较好?结合数据,请给出一个解释来支持你的观点.18.（9分）如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,以斜边AB 上的中线CD 为直径作⊙O ,分别与AC 、BC 交于点E 、F ,过点F 作⊙O 的切线交AB 于点M . （1）求证:AB MF ⊥; （2）若⊙O 的直径是6,填空:①连结OF 、OM ,当=FM _________时,四边形OMBF 是平行四边形; ②连结DE 、DF ,当=AC _________时,四边形CEDF 是正方形.B19.（9分）图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B —A —O 表示固定支架,AO 垂直水平桌面OE 于点O ,点B 为旋转点,BC 可转动,当BC 绕点B 顺时针旋转时,投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ,经测量:4.6=AO cm,8=CD cm,40=AB cm,45=BC cm.（1）如图2,︒=∠70ABC ,OE BC //. ①填空:=∠BAO _________;②投影探头的端点D 到桌面OE 的距离是_________cm;（2）如图3,将（1）中的BC 向下旋转,︒=∠30ABC 时,求投影探头点D 到桌面OE 的距离. （参考数据:77.040cos ,64.040sin ,34.070cos ,94.070sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）20.（9分）在学习函数时,我们经历了“确定函数的表达式、利用函数图象研究其性质、运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象.同时,我们也学习过绝对值的意义()()⎩⎨⎧<-≥=00a a a a a .结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数b kx y +-=1中,当0=x 时,2-=y ;当1=x 时,3-=y . （1）求这个函数的表达式;（2）在给出的平面直角坐标系中,请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质; （3）函数x y 3-=的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式b kx +-1≤x3-的解集.21.（10分）某淘宝网店销售甲、乙两种电器,已知甲种电器每个的售价比乙种电器多60元,马老师从该网站购买了3个甲种电器和2个乙种电器,共花费780元.（1）该店甲、乙两种电器每个的售价各是多少元?（2）根据销售情况,店主决定用不少于10800元的资金购进甲、乙两种电器,这两种电器共100个,已知甲种电器每个的进价为150元,乙种电器每个的进价为80元.若所购进电器均可全部售出,请求出网店所获利润W（元）与甲种电器进货量m（个）之间的函数关系式,并说明当m为何值时所获利润最大?最大利润是多少?22.（10分）已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,AE AD AC AB ==,,︒=∠=∠90DAE BAC .（1）观察猜想如图1所示,连结BE 、CD 交于点H ,再连结CE ,那么BE 和CD 的数量关系和位置关系分别是_________、_________; （2）探究证明将图1中的△ABC 绕点A 逆时针旋转到图2的位置时,分别取BC 、CE 、D E 的中点P 、M 、Q ,连结MP 、PQ 、MQ ,请判断MP 、MQ 的数量关系和位置关系,并说明理由; （3）拓展延伸已知4,2==AD AB ,在（2）的条件下,将△ABC 绕点A 旋转的过程中,若︒=∠45CAE ,请直接写出此时线段PQ 的长.图 1HECBAM QP图 2H ECB A备用图ECBA23.（11分）如图,抛物线bx ax y +=2过()0,4A ,()3,1-B 两点,点C 、B 关于抛物线的对称轴对称,过点B 作直线x BH ⊥轴,交x 轴于点H . （1）求抛物线的表达式;（2）点P 是抛物线上一动点,当△ABP 的面积为3时,求点P 的坐标;（3）若点M 在直线BH 上运动,点N 在x 轴上运动,点R 是坐标平面内一点,当以点C 、M 、N 、R 为顶点的四边形为正方形时,请直接写出此时点R 的坐标.备用图新华师大版河南中考数学摸底试卷（二）2020年郑州市九年级二摸数学试卷 B 卷 参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 2- 12. 12- 13. 53 14. 52 15. 21或45 部分选择题、填空题答案解析9. 如图所示,在Rt △ABC 中,,90︒=∠BACAC AB =.点D 为BC 中点,E 为边AB 上一动点（不与A 、B 两点重合）,以点D 为直角顶点、以射线DE 为一边作︒=∠90MDN ,另一条边DN 与边AC 交于点F .下列结论中正确的是 【 】 ①AF BE =;②△DEF 是等腰直角三角形;③无论点E 、F 的位置如何,总有CF DF EF +=成立;④四边形AEDF 的面积随着点E 、F 位置的不同发生变化.（A ）①③ （B ）②③ （C ）①②（D ）①②③④ 解析:∵AC AB BAC =︒=∠,90 点D 为BC 中点∴△ABC 为等腰直角三角形第 9 题图NMFED CBA︒=∠=∠45CAD B ,BC BD AD 21== BC AD ⊥∵︒=∠+∠901ADE ︒=∠+∠902ADE ∴21∠=∠在△BDE 和△ADF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠21AD BD DAF DBE ∴△BDE ≌△ADF （ASA ） ∴DF DE AF BE ==, ∴△DEF 是等腰直角三角形. 故结论①、②正确.在△DCF 中,由三边之间的关系定理得: 对于③,当点E 为AB 边的中点时,点F 为AC边的中点（为什么?） ∴CD BC EF ==21,AC CF DF 21== ∴CD AC CF DF ≠=+ ∴CF DF EF +≠. ∴结论③错误;对于④,∵△BDE ≌△ADF∴ADF BDE S S ∆∆=∵ADE ADF AEDF S S S ∆∆+=四边形 ∴ABD ADE BDE AEDF S S S S ∆∆∆=+=四边形 ∴随着点E 、F 位置的不同,四边形AEDF 的面积不变. 故结论④错误.综上所述,正确的是结论是①、②. ∴选择答案【 C 】.10. 如图,在正方形ABCD 中,边长CD 为3 cm,动点P 从点A 出发,以2cm/s 的速度沿AC 方向运动到点C 停止.动点Q 同时从点A 出发,以1 cm/s 的速度沿折线AB →BC 方向运动到点C 停止.设△APQ 的面积为y （cm 2）,运动时间为x （s ）,则下列图象能反映y 与x 之间关系的是 【 】第 10 题图（A ）（B ）（C ）（D ）解析:分为两种情况: ①当点Q 在AB 边上运动时由题意可知:△APQ 为等腰直角三角形 （为什么?） ∴x AQ PQ ==cm ∴22121x x x S APQ=⋅=∆（x <0≤3） 即221x y =（x <0≤3）;②当点Q 在BC 边上运动时,此时点P 与点C 重合,如下图所示.( P )()x PQ -=6cm∴()92362321+-=-=⋅=∆x x AB PQ S APQ 即923+-=x y （x <3≤6）.综上所述,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<=63923)30(212x x x x y .∴选择答案【 D 】.14. 如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是AB 的中点,以点E 为圆心,线段ED 的长为半径作半圆,交直线AB 于点M 、N ,分别以线段MD 、ND 为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为____________.解析:如下页图所示,图中阴影部分的面积为:ABC S S ∆=阴影第 14 题图在第14题图中,∵MN 为⊙E 的直径 ∴︒=∠90MDN即△MDN 为直角三角形 根据上面的结论,有:MDN S S ∆=阴影 ∵E 是AB 的中点 ∴121==AB AE 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:5122222=+=+=AE AD DE∴522==DE MN ∴522522121=⨯⨯=⋅=∆AD MN S MDN ∴52=阴影S .15. 如图,矩形ABCD 中,4,3==BC AB ,对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 是AD 边上一动点,将△AEO 沿直线EO 折叠,点A 落在点F 处,线段EF 、OD 相交于点G .若△DEG 是直角三角形,则线段DE 的长为____________.第 15 题图解析:分为两种情况:①当︒=∠90DGE 时,如上图所示. 设x DE =,由勾股定理得:5432222=+=+=BC AB AC∵四边形ABCD 为矩形∴2521===AC OD OA 由折叠可知:25==OA OFODA OAD F ∠=∠=∠易证:△DGE ∽△DAB∴54,xDG DB DE DA DG == ∴x DG 54=,x DG OD OG 5425-=-=∵ODA F ∠=∠∴BDABOF OG ODA F =∠=,sin sin ∴53255425=-x ,解之得:45=x ∴45=DE ;②当︒=∠90DEG 时,如下图所示,此时CD EF //,作EF OH ⊥,则x OH -=2∵ODA OAD F ∠=∠=∠∴BDABOF OH ODA F =∠=,sin sin ∴53252=-x ,解之得:21=x∴21=DE .综上所述,线段DE 的长为21或45.三、解答题（共75分） 16.（8分）先化简,再求值:12211122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-x x x x x x ,其中︒+=60cos 22x .解:12211122++-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-x x x x x x()()()()()21121211111222-+⋅+--=+-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=x x x x x x x x x x x xx x --=2 ………………………………5分当12212260cos 22+=⨯+=︒+=x 时…………………………………………6分 原式()23412122--=--+-=. ……………………………………………8分 17.（9分）期末考试后,某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况,决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析,已知九年级共有12个班,每班48名学生,请按要求回答下列问题: 【收集数据】（1）若要从全年级学生中抽取一个48人的样本,你认为以下抽样方法中比较合理的有_________;（只要填写序号即可） ①随机抽取一个班级的48名学生;②在全年级学生中随机抽取48名学生;③在全年级12个班中分别各抽取4名学生;④从全年级学生中随机抽取48名男生; 【整理数据】（2）将抽取的48名学生的成绩进行分组,绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下,请根据图表中数据填空: ①C 类和D 类部分的圆心角度数分别为_________、_________;②估计全年级A 、B 类学生大约一共有_________名;D 类C 类B 类25%A 类50%D 类（0 ~ 39）48C 类（40 ~ 59）0. 25B 类（60 ~ 79）0. 5A 类（80 ~ 100）频率频数成绩（单位:分）（3）学校为了解其他学校教学情况,将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比,得下表:你认为哪所学校的教学效果较好?结合数据,请给出一个解释来支持你的观点.解:（1）②、③;（填对一个、两个都给满分） ……………………………………………2分 （2）①︒︒30,60;（不带单位不扣分） ……………………………………………4分 提示:C 类部分圆心角的度数为:︒=⨯︒60488360 D 类部分圆心角的度数为:︒=⨯︒30484360.②432;……………………………………7分 提示:()432%25%504812=+⨯⨯（名）. （3）本题答案不唯一,以下两个答案仅供参考:答案一:第一中学成绩较好,两校平均分相同,极差、方差小于第二中学,说明第一中学学生两极分化较小,学生之间的差距比第二中学小. ………………………………………9分答案二:第二中学成绩较好,两校平均分相同,A 、B 类的频率和大于第一中学,说明第二中学学生的及格率比第一中学高.……………………………………………9分18.（9分）如图,在Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,以斜边AB 上的中线CD 为直径作⊙O ,分别与AC 、BC 交于点E 、F ,过点F 作⊙O 的切线交AB 于点M . （1）求证:AB MF ⊥; （2）若⊙O 的直径是6,填空:①连结OF 、OM ,当=FM _________时,四边形OMBF 是平行四边形;②连结DE 、DF ,当=AC _________时,四边形CEDF 是正方形.MOFED CBA（1）证明:连结OF . ……………………1分 ∵OF OC = ∴OFC OCF ∠=∠∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线∴AB CD BD 21== ……………………2分∴OCF B ∠=∠ ∴OFC B ∠=∠∴BD OF // ……………………………3分 ∵FM 是⊙O 的切线∴FM OF ⊥……………………………4分 ∴AB MF ⊥;……………………………5分 （2）①3 ; ………………………………7分 ②26. …………………………………9分 提示:由（1）可知:BD OF //∵OD OC = ∴BF CF =若四边形OMBF 是平行四边形 则BC OM // ∴BM DM =∴FM 是△BCD 的中位线 ∴321==CD FM ; ②若四边形CEDF 是正方形 则︒=∠=∠4521ACB ACD ∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线 ∴AB AD CD 21== ∴︒=∠=∠45CAD ACD∴△ACD 为等腰直角三角形 ∴262==CD AC .19.（9分）图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B —A —O 表示固定支架,AO 垂直水平桌面OE 于点O ,点B 为旋转点,BC 可转动,当BC 绕点B 顺时针旋转时,投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ,经测量:4.6=AO cm,8=CD cm,40=AB cm,45=BC cm.（1）如图2,︒=∠70ABC ,OE BC //. ①填空:=∠BAO _________;②投影探头的端点D 到桌面OE 的距离是_________cm;（2）如图3,将（1）中的BC 向下旋转,︒=∠30ABC 时,求投影探头点D 到桌面OE 的距离. （参考数据:77.040cos ,64.040sin ,34.070cos ,94.070sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）解:（1）①︒160;…………………………2分 ②36 ; ……………………………………5分提示:如图1所示,作BC AG // ∴OE AG ABC GAB //,70︒=∠=∠ ∴︒=∠90GAO∴︒=︒+︒=∠1609070BAO .如图2所示,延长OA 交BC 于点F ,则BC AF ⊥在Rt △ABF 中 ∵ABAF=︒70sin ∴︒⋅=70sin AB AF6.3794.040=⨯≈cm∴446.374.6=+=+=AF OA OF cm ∴投影探头的端点D 到桌面OE 的距离是:36844=-cm.（2）如图3所示,过点C 作直线OE CD ⊥于点H ,作CD BM ⊥于点M ,延长OA 交BC 于点H ,则四边形OFMH 为矩形 ∴MH OF = 在Rt △ABF 中 ∵ABAF=︒70sin ∴︒⋅=70sin AB AF6.3794.040=⨯≈cm∴446.374.6=+=+=AF OA OF cm ∴44=MH cm …………………………7分 由题意可知:︒=︒-︒=∠403070CBM在Rt △BCM 中 ∵BCMC=︒40sin ∴8.2864.04540sin =⨯≈︒⋅=BC MC cm ∴CD MC MH DH --=2.788.2844=--=cm……………………………………………8分 答:投影探头点D 到桌面OE 的距离为7.2cm. ……………………………………………9分 20.（9分）在学习函数时,我们经历了“确定函数的表达式、利用函数图象研究其性质、运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象.同时,我们也学习过绝对值的意义()()⎩⎨⎧<-≥=00a a a a a .结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数b kx y +-=1中,当0=x 时,2-=y ;当1=x 时,3-=y . （1）求这个函数的表达式;（2）在给出的平面直角坐标系中,请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质;（3）函数xy 3-=的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式b kx +-1≤x3-的解集.解:（1）由题意可得:⎩⎨⎧-=+--=+3121b k b 解之得:⎩⎨⎧-==31b k∴31--=x y ;…………………………3分 （2）如图所示. …………………………5分性质1: 函数31--=x y 的图象关于直线1=x 对称;性质2: 当1<x 时,y 随x 的增大而减小;当x ≥1,y 随x 的增大而增大;……………………………………………7分 性质3: 当1=x 时,函数取得最小值,最小值为3-.（写对两个即可）（3）3-≤0<x 或1≤x ≤3.……………………………………………9分提示:函数31--=x y 的图象可由绝对值函数x y =的图象两次平移得到,如下:21.（10分）某淘宝网店销售甲、乙两种电器,已知甲种电器每个的售价比乙种电器多60元,马老师从该网站购买了3个甲种电器和2个乙种电器,共花费780元.（1）该店甲、乙两种电器每个的售价各是多少元?（2）根据销售情况,店主决定用不少于10800元的资金购进甲、乙两种电器,这两种电器共100个,已知甲种电器每个的进价为150元,乙种电器每个的进价为80元.若所购进电器均可全部售出,请求出网店所获利润W （元）与甲种电器进货量m （个）之间的函数关系式,并说明当m 为何值时所获利润最大?最大利润是多少?解:（1）设该店甲种电器每个的售价为x 元,则乙种电器每个的售价为()60-x 元,由题意可得:()7806023=-+x x解之得:180=x12060180=-（元）答:甲种电器每个的售价为180元,乙种电器每个的售价为120元;……………………4分 （2）由题意可得:()m m -+10080150≥10800解之得:m ≥40 …………………………6分 ∵()()()m m W --+-=10080120150180 ∴400010+-=m W ……………………8分 ∵010<-=k∴W 随m 的增大而减小∴当40=m 时,所获利润最大,最大利润为:360040004010max =+⨯-=W （元）答:当40=m 时,所获利润最大,最大利润为3600元.…………………………………10分 22.（10分）已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,AE AD AC AB ==,,︒=∠=∠90DAE BAC .（1）观察猜想如图1所示,连结BE 、CD 交于点H ,再连结CE ,那么BE 和CD 的数量关系和位置关系分别是_________、_________; （2）探究证明将图1中的△ABC 绕点A 逆时针旋转到图2的位置时,分别取BC 、CE 、D E 的中点P 、M 、Q ,连结MP 、PQ 、MQ ,请判断MP 、MQ 的数量关系和位置关系,并说明理由; （3）拓展延伸已知4,2==AD AB ,在（2）的条件下,将△ABC 绕点A 旋转的过程中,若︒=∠45CAE ,请直接写出此时线段PQ 的长.解:（1）CD BE CD BE ⊥=,;……………………………………………2分 提示:易证:△ABE ≌△ACD （SAS ） ∴CD BE =,ACD ABE ∠=∠∴︒=∠+∠=∠+∠90CGH ACD AGB ABE ∴,90︒=∠BHC 即CD BE ⊥.图 1图 2备用图EDCBA（2）MQ MP MQ MP ⊥=,.……………………………………………3分 理由如下:∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AE AD AC AB ==, ∵︒=∠=∠90DAE BAC∴BAD DAE BAD BAC ∠+∠=∠+∠∴BAE CAD ∠=∠ 在△ABE 和△ACD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE CAD BAE AC AB ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）……………………………………………4分∴CD BE =,ACD ABE ∠=∠∵︒=∠+∠=∠+∠90BGH ABE AGC ACD ∴CD BE ⊥ ……………………………6分∵点P 、M 、Q 分别是边BC 、CE 、DE 的中点∴BE MP BE MP 21,//=CD MQ CD MQ 21,//=∴MQ MP MQ MP ⊥=,; ………………8分 （3）5或13.………………………10分 提示:分为两种情况:①如图3所示.图 3由（2）可知:MQ MP MQ MP ⊥=, 即△PMQ 为等腰直角三角形 连结AQ,则︒=∠=∠4521DAE EAQ∵︒=∠+∠+∠180EAQ CAE BAC ∴B 、A 、Q 三点共线∵△ADE 为等腰直角三角形,点Q 为DE 的中点∴DE AQ ⊥,△BEQ 为直角三角形 求得:2221,242=====DE EQ AQ AD DE ∴23=+=AQ AB BQ 在Rt △BEQ 中,由勾股定理得: ()()2622232222=+=+=EQ BQ BE ∵MP 为△BCE 的中位线∴22621==BE MP∴1322622=⨯==MP PQ ; ②如图4所示.图 4此时A 、C 、Q 三点共线2222=-=-=AC AQ CQ在Rt △DCQ 中,由勾股定理得: ()()102222222=+=+=DQ CQ CD ∵MQ 为△DCE 的中位线∴21021==CD MQ ∴521022=⨯==MQ PQ . 综上所述,线段PQ 的长为5或13. 23.（11分）如图,抛物线bx ax y +=2过()0,4A ,()3,1-B 两点,点C 、B 关于抛物线的对称轴对称,过点B 作直线x BH ⊥轴,交x 轴于点H .（1）求抛物线的表达式;（2）点P 是抛物线上一动点,当△ABP 的面积为3时,求点P 的坐标;（3）若点M 在直线BH 上运动,点N 在x 轴上运动,点R 是坐标平面内一点,当以点C 、M 、N 、R 为顶点的四边形为正方形时,请直接写出此时点R的坐标.解:（1）把()0,4A ,()3,1-B 分别代入bx ax y +=2可得:⎩⎨⎧-=+=+30416b a b a ,解之得:⎩⎨⎧-==41b a∴抛物线的表达式为x x y 42-=;……………………………………………3分备用图（2）分为两种情况:①当点P 在直线AB 的上方时,如图1所示.图 1设直线AB 的解析式为c kx y += 把()0,4A ,()3,1-B 分别代入c kx y +=得:⎩⎨⎧-=+=+304c k c k ,解之得:⎩⎨⎧-==41c k ∴直线AB 的解析式为4-=x y .设点P 为()m m m 4,2-,过点P 作y PE //轴,交直线AB 于点E ,则()4,-m m E ∴442+--=-=m m m y y PE E P 452+-=m m ∵3=∆ABP S∴3=-∆∆PAE PBE S S∴()()32121=-⋅--⋅A P B P x x PE x x PE ∴()321=-⋅B A x x PE ∴()()31445212=-⨯+-⨯m m 整理得:0252=+-m m 解之得:2175,217521-=+=m m ∴点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2171,2175或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2171,2175;……………………7分 ②当点P 在直线AB 的下方时,如图2所示.图 2过点P 作y PF //轴,交直线AB 于点F ,则()4,-m m F∴m m m y y PF P F 442+--=-= 452-+-=m m ∵3=∆ABP S∴()321=-⋅B A x x PF ∴()()31445212=-⨯-+-⨯m m 整理得:0652=+-m m 解之得:3,221==m m∴点P 的坐标为()4,2-或()3,3-.综上所述,点P 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2171,2175或⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2171,2175或()4,2-或()3,3-; ……………………………………………9分 （3）()1,4-或()5,2--或()2,0-或()2,6. …………………………………………11分学生整理用图。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数29y x =-的定义域为A ，函数(3)y ln x =-的定义域为B ，则(A B =I)A ．(,3)-∞B ．（一8，3)-C ．{3}D ．[3-，3)2．（5分）已知复数()z a i a R =-∈，若8z z +=，则复数(z = ) A ．4i +B ．4i -C ．4i -+D ．4i --3．（5分）已知命题:0p x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．（5分）若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥B ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥D ．若m αγ=I ，n βγ=I ，//m n ，则//αβ5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞7．（5分）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．58-B ．14 C ．18D ．1188．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( ) A ．2B ．10C ．10D ．229．（5分）函数2||()24x x f x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收人完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为211([0,1])y x x =--∈，则12Gini π=-；其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为( ) A ．86πB ．36πC ．323πD ．646π12．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m = ． 14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3b =，3(sin 3)c A A b =，则ABC ∆的面积的最大值为 ．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有 ．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足11(*)n n n b n N a a +=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 6 年产量（万吨）6.66.777.17.27.4()I 根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+ ()II 根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归直线ˆˆybx a =+的斜率和截。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|135}A x a x a =+-剟，{|322}B x x =<<，且A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，9] B ．(,9)-∞C ．[2，9]D ．(2,9)2．（5分）已知复数22iz i+=（其中i 是虚数单位，满足21)i =-则z 的共轭复数是( ) A ．12i -B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+3．（5分）郑州市2019年各月的平均气温()C ︒数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()A ．20B ．21C ．20.5D ．234．（5分）圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为( ) A ．22(3)(2)4x y +++= B ．22(4)(6)4x y ++-= C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．（5分）在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为( ) A ．30米 B ．20米 C ．152 D ．15米6．（5分）若(2πα∈，)π，则2cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为( ) A ．18B ．78-C ．1D ．787．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是( )A ．(2,)∞B ．(2，4]C ．(4，10]D ．(4,)+∞8．（5分）为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收人完全平等g 劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为OKL ∆的面积．将aGini S=，称为基尼系数对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =． 其中不正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为( ) A ．96B ．84C ．120D ．36010．（5分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为( )A ．4B ．3C ．232-D ．211．（5分）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A 6πB ．2πC ．6πD ．24π12．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若2FB FA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为( )A 3B ．2C 5D 7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式62()x x+展开的所有项的系数和为 ，展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-g ，当[4x π∈-，4]π且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是 ．15．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒．AD l =，2BC =，M 是AB 边上的动点，则||MC MD +u u u u r u u u u r的最小值为 ．16．（5分）设函数32,,x x x e y lnx x e m⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数m 的取值范围是 ．。