(完整版)振动力学试题
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1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束,如图所示。求系统的固有频率。
解:
系统的动能为 2
2
1•=θJ T
2k 和3k 相当于串联,则 32θθθ
+= 3322θθk k =
联立以上两式得 θθ3
23
2k k k +=
θθ3223k k k +=
系统的势能为 (
)[]2
2
33222213
23
23212
1212121θ
θθθk k k k k k k k k k U +++=
++=
利用θωθn =•
和U T =可得 ()
()
3232132n k k J k k k k k +++=
ω
2.面积为S ,质量为m 的薄板连接于弹簧下端,在粘性流体中振动,如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=,S 2为薄板总面积,ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ,在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。
解:
平面在液体中上下振动时:
02=++•
•
•kx x S x m μ d
n d n T T m k πξωωπω2-1,220====
k
S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==⇒= k
S k 2
22
--1μξ=
2020220
-2-22T T T ST m
k S k T T T T d d
d πμμ=⇒=
3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ,求系统的频率方程。
解:
先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得:
22212111a k b k a a k b b k k +=⋅+⋅=
b k 221-k =
令1,0==x θ得:
a k k 212-=
222-k k =
则刚度矩阵为:⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+=2222221--k a
k a k a k b k K
再求质量矩阵。 令0,1==•
••
•x θ ,得:
0,3
1
212111==m a m m
令1,0==•
•••x θ,得:
22212,0m m m ==
则质量矩阵为: ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡=22
1
003
1m a m M
故频率方程为: 0-2
=M K ω
4.在图所示系统中,已知m 和k 。用瑞利法计算系统的基频。
解:
近似的选取假设模态为
()T
5.25.11=ψ
先求解刚度矩阵:
令0,2-,30,11312113,21===⇒==k k k k k x x 令k k k k k k x x -,3,2-0,12322213,12===⇒== 令k k k k k x x ===⇒==3323132,13,-,00,1 则刚度矩阵为:
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=k k
k k k k k K -0
-32-02-3
易得质量矩阵为:()m m m diag M 2=
由瑞利商公式:
()2175.115.2ω==ψψψψ=ψm
k
M K R T
T
m
k 461
.01=⇒ω
5.长为l 、单位长度质量为l ρ的弦左端固定,右端连接在一质量弹簧系统的物块上,如图所示。物块质量为m ,弹簧刚度系数为k ,静平衡位置在0=y 处。弦线微幅振动,弦内张力F 保持不变,求弦横向振动的频率方程。
解:
模态函数的一般形式为: ()a
x
C a
x
C x ωωφcos
sin
21+=
边界条件为: ()()()()t l ky t
t l y m x t l y F t y ,-,-,,0,022∂∂=∂∂= 边界条件化为: ()()()()l k l m l F φφωφ
φ-,002'
==
导出02=C 及频率方程: ()
k
m a F a
l
-tan 2
ωω
ω=
,其中l
F
a ρ=