高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
高中数学1.2.11任意角的三角函数导学案新人教A版必修4
§ 1.2.1 任意角三角函数（1）..…学习目标1. 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2. 掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备（预习教材Pn~ P15，找出疑惑之处）在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，你能说出锐角三角函数的定义吗？探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小有无类似性质？问题5:随着角的确定，三个比值是否唯一确定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ]，k Z变式训练⑴：已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵：角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5，求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0，试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角，且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限，则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质， 特殊角的三角函数值， 三角函数的符号问题 符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0)，则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12)，则sin .4、若a 是第二象限角，则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上，3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3)，求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0)，求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 ： 4 (且均不为零)， 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。
人教A版高中数学必修四 1.2.1《任意角的三角函数》导学案(1)
1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）. 【导入新课】【复习导入一】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin ,cos ,tan a b a A A A c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 【情境导入二】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==；cos OM a OP r α==;tan MP bOM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==;cos OM a OP α==;tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 新授课阶段1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义. ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切 是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数.2．三角函数的定义域、值域义{|,}2k k Z ααπ≠+∈例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值. 解： 变式训练：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.解：例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值：（1）0；（2）π；（3）32π．解：例3 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的正弦值、余弦值、正切值. 解：变式训练：求函数xxxxytantancoscos+=的值域.解析：答案：4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈．课堂小结1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式.作业 见 同步练习 拓展提升1.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x42cos =α，则αsin 的值为（ ）A. 410B. 46C. 42D.410-2.α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．如果,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin θ<θ<θ B. sin cos tan θ<θ<θ C. tan sin cos θ<θ<θ D. cos sin tan θ<θ<θ 二、填空题4.已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 .5.函数x x y tan sin +=的定义域为 .6.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （正数，负数，0，不存在）. 三、解答题7.已知角α的终边上一点P的坐标为（y ）（y 0≠），且sin y 4α=，求cos tan αα和1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案参考答案例1解：因为2,3x y ==-，所以r ==sin13y r α===-；cos 13x r α===； 3tan 2y x α==-. 变式训练 解：4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 例2解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以sin 00=， cos 01=， tan 00=；（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=；（3）因为当32πα=时，0x =，y r =-，所以 3sin12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在. 例3解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==.当0siny a r α>====时，cosx r α===；2tan =α；当0siny a r α<===时，cosx r α===；2tan =α． 变式训练：解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}拓展提升一、选择题：1. A 2 . C 3． D二、填空题4.]3,2(- 5. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z∈+≠kkxx,2|ππ6. 负数三、解答题7. 解：由题意，得：sin y4α==解得：y=cos tan43α=-α=±。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)导学案新人教A版必修4(2021年整理)
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1.2。
1 任意角的三角函数(二)学习目标1。
掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2。
了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。
3。
能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一三角函数的定义域思考正切函数y＝tan x为什么规定x∈R且x≠kπ＋错误!，k∈Z？答案当x＝kπ＋错误!,k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P（0，y P），因为错误!无意义，因而x的正切值不存在。
所以对正切函数y＝tan x，必须要求x∈R且x≠kπ＋错误!，k∈Z。
梳理正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x 的定义域是{x｜x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z｝。
知识点二三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A（1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T,如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α,cos α，tan α与MP，OM,AT的关系吗？答案 sin α＝MP,cos α＝OM,tan α＝AT.思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0，x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35D.－45答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－32答案 C解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2D.－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－34答案 A解析 sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t 9＋16t2，则4t9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15B.±55C.±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案 一或二解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 ∵y ＝3x 且sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案 {－4，0，2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4，0，2}. 三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数(第二课时)导学案
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数（第二课时）导学案1.2.1任意角的三角函数（第二课时）【学习目标】1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.了解角的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域；3.掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题.【新知自学】知识回顾：1.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)____叫做的正弦，记作____，即____；（2）___叫做的余弦，记作____，即____；（3）___叫做的正切，记作___，即_____.2．三角函数的符号正弦值对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y0) 余弦值对于第一、四象限为_____(x>0,r>0),对于第二、三象限为___(x0) 正切值对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．新知梳理：1.诱导公式终边相同的角的_________________相等.公式一:_______=sin，____________=cos，_________=tan.（其中，）2．正弦线、余弦线、正切线：如上图，分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线.对点练习：1、比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果是_______________．3．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“(1)sin23π________sin34π；(2)cos23π________cos34π；(3)tan23π________tan34π.【合作探究】典例精析：题型一：诱导公式的应用例1.求下列三角函数值：（1）；（2）；（3）变式练习（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500; 变式练习（2）sin(.题型二：三角函数线的应用例2.在单位圆中，画出满足的角的终边.变式练习（3）已知，确定的大小关系.变式练习（4）：如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是() A．cosα＜sinα＜tanαB．tanα＜sinα＜cosαC．sinα＜cosα＜tanαD．cosα＜tanα＜sinα【课堂小结】【当堂达标】1．=（）A.B.C.D.2．若，则的大小关系是3.求值：.4、利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5；(3)cos2π3与cos4π5.【课时作业】1.若，则角一定是（）A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.不确定2.的值为（）A.2B.2或0C.2或0或D.不确定3.求下列各式的值：（1）（2）.*4.用三角函数线，比较sin1与cos1的大小.*5.在单位圆中，用阴影部分表示出满足的角的集合，并写出该集合. 6．用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1【延伸探究】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ规律提示：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．。
1.2.1任意角的三角函数(2015年人教A版数学必修四导学案)
一：学习目标
1. 2. 进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α 的正弦线、 余弦线、正切线分别表示任意角α 的正弦、余弦、正切函数值； 进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各 象限的符号。
备
注
二：课前预习 （1）已知角 的终边经过 点 (1, 2) ，则 cos 的值为_______________。
2 、 若 三角 形的 两 内角 、 满 足 sin cos 0 ， 则 此三 角 形形 状 是 ( ) B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
A、锐角三角形 3、求下列函数 y
2 cos x 1 定义域
4、已知角 的终边经过点 P( 3, y) ，且 sin （1）求 y （2）求 的终边所在的象限
3 y( y 0) 。 4
（3）求 tan
【课后检测】 1、利用单位圆写出符合下列条件的角
（1）sin
y
1 2
（2）cos
y
1 2
（3） tan 1
y
O
x
O
x
O
x
2 、 当 、 满 足 什 么条 件时 ，有 sin sin ？ 又 什 么条 件时 ， 有
例 2、 已知点 M (4, x) 在角 的终边上， 且满足 x < 0 ，cos = 的值。
4 ， 求 tan 5
例 3、求函数 y = sin x cos x 的定义域。
四：学后反思
课堂检测 任意角的三角函数（2）
班级：
姓名：
1、若角 ( 0 2 )的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么 的值 为
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
人教A版必修四第一章“1.2.1 任意角的三角函数(一)”导学案
1.2.1 任意角的三角函数（一）阅读教材第11-13页例3止的内容，找出疑惑之处，完成知识归纳思考1：（1）初中是如何定义锐角的三角函数的？你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？小结：如图在直角坐标系中，设锐角α的顶点与_________重合，始边与________________重合，那么它的终边在______象限. 在α的终边上任取一点P (a,b )，它与原点的距离r =________>0. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为________，线段MP 的长度为__________.根据初中的三角函数的定义，有sin α=_____，cos α=_____，tan α=_____.思考2：上面结论中的三个比值会不会随着点P 在α的终边上的位置的改变而改变？为什么？思考3：为了使sin α，cos α的表示式更简单，你认为点P 的位置选在何处最好？定义：在直角坐标系中，以________为圆心，以___________为半径的圆为单位圆.思考4：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ，y ），为了与当α为锐角时的三角函数保持统一，你认为α对应的三角函数该如何定义？三角函数的定义：在直角坐标系中，设角α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ，y ）那么，sin α=_____，cos α=_____，tan α=_____.这样，任意角的正弦、余弦、正切都是以_____为自变量，以坐标的_____________为函数值的函数，统称为三角函数. 当角用弧度表示时，三角函数可看成是自变量为________的函数.M y例1已知角α的终边与单位圆的交点是)23,21(-p ，求角α的正弦、余弦和正切值 .例2求35π的正弦、余弦和正切值.变式:求下列角的三个三角函数值：（1）76π （2）2π.例3已知角α的终边经过点)4,3(0--p ，求角α的正弦、余弦和正切值 .任意角的三角函数定义推广：在直角坐标系中，设角α终边上任意一点P 的坐标为（x ，y ），它与原点的距离为r =________>0，则sin α=_____，cos α=_____，tan α=_____.变式：已知角α的终边在32y x =上，求α的正弦、余弦、正切 .思考与探究：330tan 330cos 330sin )4(200tan 200cos 200sin )3(105tan 105cos 105sin )2(40tan 40cos 40sin 1）（判断下列各式的符号：将你发现的规律填入图中：例4确定下列三角函数值的符号.⑴o 250cos ⑵)4sin(π-⑶)672tan(o - ⑷π3tan【总结提升】谈谈你的这节课收获：【课后作业】1、 课本P15练习第1题、第2题、第3题、第5题、第6题.2、（1）已知角α的终边在射线2(0)y x x =≥上，求α的正弦、余弦和正切值；（2）已知角α的终边在直线2y x =上，求α的正弦、余弦和正切值.课后思考?390tan 30tan )3(390cos 30cos )2(390sin 30sin )1(角函数公式思考：你发现了什么三求下列各式的值：。
1.2.1 任意角的三角函数导学案
鸡西市第十九中学学案
问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b OP r ==；= = ；OM
== .
问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ .
【单位圆定义任意角三角】么： 叫做α的正弦，记作α，即cos α＝ ；y
x
叫做
【终边定义定义任意角的三角函数】
试一试：
角34π与单位圆的交点坐标为角2π与单位圆的交点坐标为小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关
三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．
判断下列各式的符号：
cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan
若sin αcos α<0，则α是第________象限角．
代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．。
人教版高中数学必修四《-2任意角的三角函数》导学案
§1.2.1 任意角三角函数（2）1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。
2.培养分析、探究问题的能力。
促进对数形结合思想的理解和感悟。
一、课前准备（预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的定义。
想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）二、新课导学※探索新知问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢？问题2：在三角函数定义中，是否可以在角 的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。
问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。
※典型例题例1：作出下列各角的三角函数线（1）611π （2）32π-例2:比较下列各组数的大小(1)sin1和sin 3π (2)cos 74π和cos 75π (3)tan89π和tan 79π (4)sin 5π和tan 5π变式训练①：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较αααtan ,sin ,之间的大小关系。
变式训练②：根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。
例3：利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合（1）21sin -=α， （2）21sin ->α ，(3) 3tan ≤α 。
变式训练①：已知角α的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则α的终边在 （ ）A 第一象限角平分线上B 第二象限角平分线上C 第三象限角平分线上D 第四象限角平分线上变式训练②：当角α,β满足什么条件时有βαsin sin =.变式训练③：sin α>cos α,则α的取值范围是_________。
变式训练④：已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0πθ2≤≤},F={θtan θ<sin θ}。
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A层学案）学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；2.记住诱导公式一并会应用。
学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。
学习难点：任意角的三角函数的定义。
一、课前预习案1．任意角三角函数(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y；②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x；③yx叫做α的________，记作______，即tanα＝yx(x≠0)．(2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为：sinα＝cosα＝tanα＝2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号记忆口诀：。
3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.二、课内探究案知识点一利用定义求角的三角函数值例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：（1）已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.（2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．知识点二：三角函数值的符号问题例2.（1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )αααα或tan α（2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”).(3)函数的值域是_______.变式训练2：判断下列各式的符号.(1)sin 370°+cos 370°.知识点三诱导公式一的应用例3求下列各式的值． (1) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4 ; (2) sin 420° (3)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；变式训练3：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°课堂小结：当堂检测 1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x 42cos =α，则αsin 的值为（ ）A.410 B. 46 C. 42 D. 410-2. α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 3. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则a 的取值范围是 。
高中数学1.2.1任意角的三角函数 教案 新人教版必修4
三角函数4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b === ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；（4）比值xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（5）比值rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（6）比值ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=与secrxα=无意义；同理，当()k k Zαπ=∈时，xcoyyα=与cscryα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
1.2.1任意角的三角函数 导学案-人教版高中数学必修四
(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
图2
图3
图4
(1)y叫做α的
图6
分5个板块
（1）复习高一的任意角和角的研究方法。
α――L
R
角与实数一一对应。
（2）任意角的三角函数的定义。
（四个象限数形结合）
（3）取R＝1定义单位圆。
（4）例题、练习题。
（思路、方法）（5）总结归纳，作业布置。
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．。
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。
人教新课标版数学高一- 人教B版必修4 任意角的三角函数 导学案
§1.2.1任意角的三角函数（课前预习案）
班级：___ 姓名：________ 编写：
一、新知导学
1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）
的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r ，那么（1）比值
y r
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（2）比值x r 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（
3）比值y x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（4）比值x y
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿；（5）
比值r x
叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿； （6）比值r y 叫做α的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿. 2.三角函数在各象限的符号
①正弦值sin y r α=
对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；②余弦值cos x r
α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负；③正切值tan y x α=对于第＿＿＿象限为正，对于第＿＿＿象限为负．
3．三角函数的定义域。
二、课前自测 1、设sinθ<0且cosθ>0，确定θ是第 象限角。
2、tan()4x π+
的定义域为（ ） A 、x≠kπ B 、2x k π
π≠+ C 、4x k π
π≠+ D 、4x k π
π≠-
3、已知点P （tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 象限。
250；672)；。
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1.2.1任意角的三角函数（A层学案）
学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；
2.记住诱导公式一并会应用。
学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。
学习难点：任意角的三角函数的定义。
一、课前预习案
1．任意角三角函数
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y；
②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x；
③y
x
叫做α的________，记作______，即tanα＝
y
x
(x≠0)．
(2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为：sinα＝
cosα＝
tanα＝
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
记忆口诀：。
3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，
tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
角α0π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π
3
4
π
5
6
ππ
3
2
π2π
sin αcos αtan α
二、课内探究案
知识点一利用定义求角的三角函数值
例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：
（1）已知角α的终边过点
0(3,4)
P--，求角α的正弦、余弦和正切值.
（2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
知识点二：三角函数值的符号问题
例2.
（1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )
A.sin α
B.cos α
C.tan α
D.cos α或tan α
（2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”).
(3)函数的值域是_______.
变式训练2：判断下列各式的符号.
(1)sin 370°+cos 370°.
知识点三 诱导公式一的应用
例3 求下列各式的值．
(1) cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15π4 ; (2) sin 420° (3)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；
变式训练3：
(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4；
(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°
课堂小结：
当堂检测
1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且
x 42cos =α， 则αsin 的值为（ ） A. 410 B. 46 C. 42 D.
410- 2. α是第二象限角，且2cos 2cos αα
-=，则2α是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则a 的取值范围是 。
4. 函数x x y tan sin +=的定义域为 。
5.已知角α的终边上一点P 的坐标为（y ）（y 0≠），且
sin y 4α=，求cos tan αα和。