5.3 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
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13
0
由于 K>0，所以 ，所以R>R0 且 u↑→ R↑ 汽车具有不足转向特性
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3）过多转向
ωr uL 当 K＜0 时，由 ＜ = δ s 1+ Ku2
1+ Ku2 < 1
ωr 比中性转向时要大。 横摆角速度增益 比中性转向时要大。 δ s
(
)
消去v 消去
9
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
ωr = δ s
uL uL = a b 2 1+ Ku2 m 1+ 2 − u L k2 k1
ωr 称为稳态横摆角速度增益，也称转向灵敏度。 称为稳态横摆角速度增益，也称转向灵敏度。 δ s
由于 k1<0 , k2<0
如果K 如果 > 0
a b − >0 k2 k1
b / k1 > a / k2
|k1|↓,|k2|↑,b↑,a↓,不足转向量越大。 ,不足转向量越大。
奔驰CLK跑车：前轮205/55R16，后轮 跑车：前轮 奔驰 跑车 ，后轮225/50R16。 。 的轮胎组合， 前205、后225的轮胎组合，使得前轮的侧偏刚度小于后轮， 、 的轮胎组合 使得前轮的侧偏刚度小于后轮， 有利于营造不足转向特性。 有利于营造不足转向特性。
aω bω & k1 β + r − δ + k2 β − r = m(v + uωr ) u u aω bω & ak1 β + r −δ − bk2 β − r = IZωr
u u
由于
∑F = ma & ∑M = I ω
R=
L
δ
R 与 u 无关，汽车具有中性转向的特性。 无关，汽车具有中性转向的特性。
11
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
当汽车低速转向时， 当汽车低速转向时，离心 力很小， 也很小。 力很小，FY1和FY2也很小。
δ
α1 = α2 = 0
δ ≈ L / R0 R0 ≈ L / δ
中性转向汽车的转向 L
(u + ∆u)cos∆θ − u − (v + ∆v)sin∆θ
= ucos∆θ + ∆ucos∆θ − u − vsin∆θ − ∆vsin∆θ
4
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
考虑到 ∆θ很小并忽略二阶微量
ucos∆θ + ∆ucos∆θ − u − vsin∆θ − ∆vsin∆θ = ∆u − v∆θ
Y y
Z Z
r
整理后得二自 由度汽车运动微分 方程式
1 & ( k1 + k2 ) β + ( ak1 − bk2 ) ωr − k1δ = m( v + uωr ) u 1 2 & ( ak1 − bk2 ) β + ( a k1 + b2k2 ) ωr − ak1δ = IZωr u
22
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
转向半径的比值R/R0曲线 转向半径的比值
23
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
曲线与稳定性因数K值曲线 转向半径的比值 R/R0 曲线与稳定性因数 值曲线
24
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
25
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
u
δ
半径R等于汽车以极低车 半径 等于汽车以极低车 O 速转向（忽略侧偏角） 速转向（忽略侧偏角） 时的转向半径R 时的转向半径 0。
12
R0
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2）不足转向
uL ωr = 当 K＞0 时，由 ＞ 1 + Ku2 > 1 δ s 1+ Ku2 横摆角速度增益比中性转向时要小。 横摆角速度增益比中性转向时要小。
m a b K= 2 − L k2 k1
K—稳定性因数。 —稳定性因数。
10
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2.稳态响应的三种类型 1）中性转向
当 K=0 时，由
ωr uL = δ s 1+ Ku2
ωr =u L δ s
u/ R
δ
u = L
u bωr =β− u
u α1 = −(δ −ξ )
7
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
aωr bωr ∑ FY = k1 β + − δ + k2 β − u u aωr bωr ∑ MZ = ak1 β + − δ − bk2 β − u u
已知u、 已知 、ωr、δ即可确定 α1 −α2 。
21
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2）转向半径的比R/R0
已知 R = R0 1+ Ku2
(
)
R = 1+ Ku2 R0
K=0， R/R0=1，汽车具有中性转向特点； ， ，汽车具有中性转向特点； K>0， R/R0>1，汽车具有不足转向特点； ， ，汽车具有不足转向特点； K<0， R/R0<1，汽车具有过多转向特点。 ， ，汽车具有过多转向特点。
一、线性二自由度汽车模型运动微分方程
思考：车辆坐标系中，汽车共有多少个自由度？ 思考：车辆坐标系中，汽车共有多少个自由度？ 1.建模中假设
1）忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入； ）忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入； 2）忽略悬架的作用；车身只作平行于地面的平面运动，绕 z 轴的 ）忽略悬架的作用；车身只作平行于地面的平面运动， 位移、绕 y 轴的俯仰角和绕 x 轴的侧倾角均为零，且 FZr = FZl ； 轴的侧倾角均为零， 位移、 3）汽车前进速度不变。 ）汽车前进速度不变。 在上述假设下， 在上述假设下，汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的两轮 汽车模型。 汽车模型。 假定汽车 ay≤0.4g，轮胎侧偏特性处于线性范围内；不计地面切向 ，轮胎侧偏特性处于线性范围内； 力FX、外倾侧向力 度的影响。 度的影响。
考虑到δ角较小
cosδ = 1
FY1 = k1α1
FY 2 = k2α2
∑ FY = k1α1 + k2α2 ∑ MZ = ak1α1 − bk2α2
6
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
v 质心侧偏角 β = u v + aωr ξ= u aωr =β+
aωr =β+ −δ u v − bωr α2 =
8
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
二、前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应 —等速圆周行驶 1.稳态响应
稳态时ω 稳态时 r为定值
& v =0
& ωr = 0
代入运动微分方程式得
v 1 (k1 + k2 ) + (ak1 − bk2 )ωr − k1δ = muωr u u v 1 2 (ak1 − bk2 ) + a k1 + b2k2 ωr − ak1δ = 0 u u
α1 −α2 > 0 则R > R0
汽车具有不足转向特性
α1 −α2 < 0 则R < R0
汽车具有过多转向特性
19
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
20
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
思考： 思考：如何得到
α1 −α2
？
bωr aωr α2 = β − α1 = β + −δ u u Lωr aωr bωr +δ α1 −α2 = + +δ = u u u
18
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
由
R=
(1+ Ku ) δ
L
2
当汽车以极低车速行驶时
L KLu 得δ = + R R
2
α1 = α2 = 0
R = R0 =
L
δ
L = + LKay R L δ = + (α1 −α2 ) R L R= δ − (α1 −α2 )
提高后， 当 u 提高后，如果
du dθ & ax = −v = u − vωr dt dt
上式除以∆t并取极限得 上式除以 并取极限得 并取极限
同理可得
& ay = v + uωr
5
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4.二自由度汽车动力学分析
∑ FY = FY1cosδ + FY 2 ∑ MZ = aFY1cosδ − bFY 2
3）用静态储备系数S.M.来表征汽车稳态响应
中性转向点：使汽车前、 中性转向点：使汽车前、后轮产生相等侧偏角的侧向力 作用点。 作用点。 静态储备系数 S.M.：中性转向点到前轮的距离 a′与汽 ： 之差与轴距L之比 之比。 车质心到前轴距离 a 之差与轴距 之比。
a′ − a S.M. = L
26
第五章 汽车的操纵稳定性
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输 入的响应
本节将首先建立线性二自由度汽车模型， 本节将首先建立线性二自由度汽车模型，在此基础 上，分析汽车的稳态响应特性、瞬态响应特性和频率响 分析汽车的稳态响应特性、 应特性。 应特性。
1
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
17
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3.几个表征稳态响应的参数 1）前、后轮侧偏角绝对值之差α1-α2
m a b may a b K= 2 − = 2 − L k2 k1 L ay k2 k1
1 FY 2 FY1 1 may a / L mayb / L = = − k ay L k2 − k1 Lay k1 2
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
k2 FY 2 L = L a′ = k1 + k2 FY1 + FY 2
a′ − a k2 a S.M. = = − L k1 + k2 L
a′ = a a′ > a
a′ < a
S.M. = 0 S.M. > 0
S.M. < 0
FY1
汽车质心
FY1 +FY 2
ucr
称为临界车速。临界车速越低，过多转向量越大。 称为临界车速。临界车速越低，过多转向量越大。 临界车速
15
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4）汽车的稳态横摆角速度增益曲线
16
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
5）影响稳定性因数 K 的因素
m a b K= 2 − L k2 k1
中性转向点
α1 = α2 中性转向
α1 > α2 不足转向
α1 < α2 过多转向
F2 Y
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
u/ R uL = δ 1+ Ku2
R=
当uch = 1 K
2
ωr →m ax δ s
(1+ Ku ) = R (1+ Ku ) δ
L
2
横摆角速度增益为与轴距L相等 横摆角速度增益为与轴距 相等 的中性转向汽车横摆角速度增益 的一半。 的一半。 称为特征车速。 uch称为特征车速。当不足转向量 增加时， 增大，特征车速降低。 增加时，K 增大，特征车速降低。
α1 −α2 > 0
K>0，不足转向 ，
由于a ）、F 由于 y与FY1/k1（即α1）、 Y2/k2 符号相反， （即α2）符号相反，当α1、 α2取绝对 值时， 值时，ay也取绝对值
K= 1 (α1 −α2 )Baidu Nhomakorabeaay L
α1 −α2 = 0
K=0，中性转向 ，
α1 −α2 < 0
K<0，过多转向 ，
由 R = R0 (1+ Ku2 )
R<R0
u↑→ R↓→ 汽车具有过多转向特性。 ↓ 汽车具有过多转向特性。
14
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
ωr uL = δ s 1+ Ku2
当车速为
ucr = -1 K
ωr →∞ δ
s
这意味着很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度， 这意味着很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度， 很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度 汽车将发生激转而侧滑或侧翻。 汽车将发生激转而侧滑或侧翻。由于过多转向汽车有失 去稳定性的危险，汽车应具有适度的不足转向特性。 去稳定性的危险，汽车应具有适度的不足转向特性。
2
Fy、回正力矩 TZ、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚 γ
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2.两轮汽车模型及车辆坐标系 y
x
3
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3.运动学分析
确定汽车质心（ 确定汽车质心（绝 对）加速度在车辆坐标 系的分量a 系的分量 x和ay。
沿Ox轴速度分 轴速度分 量的变化为
0
由于 K>0，所以 ，所以R>R0 且 u↑→ R↑ 汽车具有不足转向特性
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3）过多转向
ωr uL 当 K＜0 时，由 ＜ = δ s 1+ Ku2
1+ Ku2 < 1
ωr 比中性转向时要大。 横摆角速度增益 比中性转向时要大。 δ s
(
)
消去v 消去
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
ωr = δ s
uL uL = a b 2 1+ Ku2 m 1+ 2 − u L k2 k1
ωr 称为稳态横摆角速度增益，也称转向灵敏度。 称为稳态横摆角速度增益，也称转向灵敏度。 δ s
由于 k1<0 , k2<0
如果K 如果 > 0
a b − >0 k2 k1
b / k1 > a / k2
|k1|↓,|k2|↑,b↑,a↓,不足转向量越大。 ,不足转向量越大。
奔驰CLK跑车：前轮205/55R16，后轮 跑车：前轮 奔驰 跑车 ，后轮225/50R16。 。 的轮胎组合， 前205、后225的轮胎组合，使得前轮的侧偏刚度小于后轮， 、 的轮胎组合 使得前轮的侧偏刚度小于后轮， 有利于营造不足转向特性。 有利于营造不足转向特性。
aω bω & k1 β + r − δ + k2 β − r = m(v + uωr ) u u aω bω & ak1 β + r −δ − bk2 β − r = IZωr
u u
由于
∑F = ma & ∑M = I ω
R=
L
δ
R 与 u 无关，汽车具有中性转向的特性。 无关，汽车具有中性转向的特性。
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
当汽车低速转向时， 当汽车低速转向时，离心 力很小， 也很小。 力很小，FY1和FY2也很小。
δ
α1 = α2 = 0
δ ≈ L / R0 R0 ≈ L / δ
中性转向汽车的转向 L
(u + ∆u)cos∆θ − u − (v + ∆v)sin∆θ
= ucos∆θ + ∆ucos∆θ − u − vsin∆θ − ∆vsin∆θ
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
考虑到 ∆θ很小并忽略二阶微量
ucos∆θ + ∆ucos∆θ − u − vsin∆θ − ∆vsin∆θ = ∆u − v∆θ
Y y
Z Z
r
整理后得二自 由度汽车运动微分 方程式
1 & ( k1 + k2 ) β + ( ak1 − bk2 ) ωr − k1δ = m( v + uωr ) u 1 2 & ( ak1 − bk2 ) β + ( a k1 + b2k2 ) ωr − ak1δ = IZωr u
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
转向半径的比值R/R0曲线 转向半径的比值
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
曲线与稳定性因数K值曲线 转向半径的比值 R/R0 曲线与稳定性因数 值曲线
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
u
δ
半径R等于汽车以极低车 半径 等于汽车以极低车 O 速转向（忽略侧偏角） 速转向（忽略侧偏角） 时的转向半径R 时的转向半径 0。
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R0
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2）不足转向
uL ωr = 当 K＞0 时，由 ＞ 1 + Ku2 > 1 δ s 1+ Ku2 横摆角速度增益比中性转向时要小。 横摆角速度增益比中性转向时要小。
m a b K= 2 − L k2 k1
K—稳定性因数。 —稳定性因数。
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2.稳态响应的三种类型 1）中性转向
当 K=0 时，由
ωr uL = δ s 1+ Ku2
ωr =u L δ s
u/ R
δ
u = L
u bωr =β− u
u α1 = −(δ −ξ )
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
aωr bωr ∑ FY = k1 β + − δ + k2 β − u u aωr bωr ∑ MZ = ak1 β + − δ − bk2 β − u u
已知u、 已知 、ωr、δ即可确定 α1 −α2 。
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2）转向半径的比R/R0
已知 R = R0 1+ Ku2
(
)
R = 1+ Ku2 R0
K=0， R/R0=1，汽车具有中性转向特点； ， ，汽车具有中性转向特点； K>0， R/R0>1，汽车具有不足转向特点； ， ，汽车具有不足转向特点； K<0， R/R0<1，汽车具有过多转向特点。 ， ，汽车具有过多转向特点。
一、线性二自由度汽车模型运动微分方程
思考：车辆坐标系中，汽车共有多少个自由度？ 思考：车辆坐标系中，汽车共有多少个自由度？ 1.建模中假设
1）忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入； ）忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入； 2）忽略悬架的作用；车身只作平行于地面的平面运动，绕 z 轴的 ）忽略悬架的作用；车身只作平行于地面的平面运动， 位移、绕 y 轴的俯仰角和绕 x 轴的侧倾角均为零，且 FZr = FZl ； 轴的侧倾角均为零， 位移、 3）汽车前进速度不变。 ）汽车前进速度不变。 在上述假设下， 在上述假设下，汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的两轮 汽车模型。 汽车模型。 假定汽车 ay≤0.4g，轮胎侧偏特性处于线性范围内；不计地面切向 ，轮胎侧偏特性处于线性范围内； 力FX、外倾侧向力 度的影响。 度的影响。
考虑到δ角较小
cosδ = 1
FY1 = k1α1
FY 2 = k2α2
∑ FY = k1α1 + k2α2 ∑ MZ = ak1α1 − bk2α2
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
v 质心侧偏角 β = u v + aωr ξ= u aωr =β+
aωr =β+ −δ u v − bωr α2 =
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
二、前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应 —等速圆周行驶 1.稳态响应
稳态时ω 稳态时 r为定值
& v =0
& ωr = 0
代入运动微分方程式得
v 1 (k1 + k2 ) + (ak1 − bk2 )ωr − k1δ = muωr u u v 1 2 (ak1 − bk2 ) + a k1 + b2k2 ωr − ak1δ = 0 u u
α1 −α2 > 0 则R > R0
汽车具有不足转向特性
α1 −α2 < 0 则R < R0
汽车具有过多转向特性
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
思考： 思考：如何得到
α1 −α2
？
bωr aωr α2 = β − α1 = β + −δ u u Lωr aωr bωr +δ α1 −α2 = + +δ = u u u
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
由
R=
(1+ Ku ) δ
L
2
当汽车以极低车速行驶时
L KLu 得δ = + R R
2
α1 = α2 = 0
R = R0 =
L
δ
L = + LKay R L δ = + (α1 −α2 ) R L R= δ − (α1 −α2 )
提高后， 当 u 提高后，如果
du dθ & ax = −v = u − vωr dt dt
上式除以∆t并取极限得 上式除以 并取极限得 并取极限
同理可得
& ay = v + uωr
5
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4.二自由度汽车动力学分析
∑ FY = FY1cosδ + FY 2 ∑ MZ = aFY1cosδ − bFY 2
3）用静态储备系数S.M.来表征汽车稳态响应
中性转向点：使汽车前、 中性转向点：使汽车前、后轮产生相等侧偏角的侧向力 作用点。 作用点。 静态储备系数 S.M.：中性转向点到前轮的距离 a′与汽 ： 之差与轴距L之比 之比。 车质心到前轴距离 a 之差与轴距 之比。
a′ − a S.M. = L
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第五章 汽车的操纵稳定性
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输 入的响应
本节将首先建立线性二自由度汽车模型， 本节将首先建立线性二自由度汽车模型，在此基础 上，分析汽车的稳态响应特性、瞬态响应特性和频率响 分析汽车的稳态响应特性、 应特性。 应特性。
1
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3.几个表征稳态响应的参数 1）前、后轮侧偏角绝对值之差α1-α2
m a b may a b K= 2 − = 2 − L k2 k1 L ay k2 k1
1 FY 2 FY1 1 may a / L mayb / L = = − k ay L k2 − k1 Lay k1 2
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
k2 FY 2 L = L a′ = k1 + k2 FY1 + FY 2
a′ − a k2 a S.M. = = − L k1 + k2 L
a′ = a a′ > a
a′ < a
S.M. = 0 S.M. > 0
S.M. < 0
FY1
汽车质心
FY1 +FY 2
ucr
称为临界车速。临界车速越低，过多转向量越大。 称为临界车速。临界车速越低，过多转向量越大。 临界车速
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
4）汽车的稳态横摆角速度增益曲线
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
5）影响稳定性因数 K 的因素
m a b K= 2 − L k2 k1
中性转向点
α1 = α2 中性转向
α1 > α2 不足转向
α1 < α2 过多转向
F2 Y
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
u/ R uL = δ 1+ Ku2
R=
当uch = 1 K
2
ωr →m ax δ s
(1+ Ku ) = R (1+ Ku ) δ
L
2
横摆角速度增益为与轴距L相等 横摆角速度增益为与轴距 相等 的中性转向汽车横摆角速度增益 的一半。 的一半。 称为特征车速。 uch称为特征车速。当不足转向量 增加时， 增大，特征车速降低。 增加时，K 增大，特征车速降低。
α1 −α2 > 0
K>0，不足转向 ，
由于a ）、F 由于 y与FY1/k1（即α1）、 Y2/k2 符号相反， （即α2）符号相反，当α1、 α2取绝对 值时， 值时，ay也取绝对值
K= 1 (α1 −α2 )Baidu Nhomakorabeaay L
α1 −α2 = 0
K=0，中性转向 ，
α1 −α2 < 0
K<0，过多转向 ，
由 R = R0 (1+ Ku2 )
R<R0
u↑→ R↓→ 汽车具有过多转向特性。 ↓ 汽车具有过多转向特性。
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
ωr uL = δ s 1+ Ku2
当车速为
ucr = -1 K
ωr →∞ δ
s
这意味着很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度， 这意味着很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度， 很小的前轮转角将产生极大的横摆角速度 汽车将发生激转而侧滑或侧翻。 汽车将发生激转而侧滑或侧翻。由于过多转向汽车有失 去稳定性的危险，汽车应具有适度的不足转向特性。 去稳定性的危险，汽车应具有适度的不足转向特性。
2
Fy、回正力矩 TZ、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚 γ
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2.两轮汽车模型及车辆坐标系 y
x
3
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3.运动学分析
确定汽车质心（ 确定汽车质心（绝 对）加速度在车辆坐标 系的分量a 系的分量 x和ay。
沿Ox轴速度分 轴速度分 量的变化为