2011年河北省高中数学竞赛试题
2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 ， 即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 ， 即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 ． 从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 ， 否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 ， 则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上， 或点 B 重合． 所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ，解得 t 1 = −1, t 2 = −3 ． 故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1 ．设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ，则集合 A = ． 解 显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 ， 故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合 A = {−3, 0, 2, 6} ．
2011 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)
（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。
2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。
2011年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）
数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 ．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO （1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2 如果对点集A 中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A 里，则集合A 称为是凸的．定义3 设n M M M ,,,21 是多边形，如果12n M M M M = 并且当j i ≠时，i M 与j M 没有公共的内点，则称多边形M 剖分为多边形12,,,n M M M ．定义4 如果凸边形N 的所有顶点都在凸多边形M 的边上，则称多边形N 内接于多边性M ． 定理1 两点之间直线距离最短．推论 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2 三角形的内角之等于180．凸n 边形（3≥n ）的n 个内角和等于(2)180n - ；外角和为180（每一个顶点处只计算一个外角）．证明 如图1，过C 作//CE AB ，则有 ECA A ∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 得 ()A B C A C B ∠+∠+∠=∠+∠+∠ （结合律）ECB B =∠+∠（等量代换）180= ．（两直线平行，同旁内角互补 图1推论 三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3 三角形中大边对大角、小边对小角．证明 （1）如图2，在ABC 中，已知AB AC >，可在AB 上截取AD AC =，则在等腰ACD 中有 12∠=∠．（等腰三角形的性质定理）又在BCD 中，2B ∠>∠，（外角定理）更有 12C B ∠>∠=∠>∠．（传递性）说明 由上面的证明知,,,AB AC B C AB AC B C AB AC B C >⇒∠<∠⎧⎪=⇒∠=∠⎨⎪<⇒∠>∠⎩这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下： 图2（2）反之，在ABC 中，若C B ∠>∠，这时,AB AC 有且只有三种关系AB AC <，AB AC =，AB AC >．若AB AC <，由上证得C B ∠<∠，与已知C B ∠>∠矛盾．若AB AC =，由等腰三角形性质定理得C B ∠=∠，与已知C B ∠>∠矛盾． 所以AB AC >．定理4 在ABC 与111A B C 中，若1111,AB A B AC AC ==，则111A A BC B C ∠>∠⇔>． 定理5 凸四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是：180ABC CDA ∠+∠= （或180BAD DCB ∠+∠= ）．证明 当四边形ABCD 内接于圆时，由圆周角定理有1122ABC CDA ADC ABC ∠+∠=+ 1118022ADC ABC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 同理可证180BAD DCB ∠+∠=．反之，当180ABC CDA ∠+∠=时，首先过不共线的三点,,A B C 作O ，若点D 不在O 上，则有两种可能：（1）D 在O 的外部（如图3（1））．记AD 与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有ASC CDA ∠>∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠=，得180180ABC CDA ABC ASC =+∠<∠+∠=，矛盾．图3（2）D 在O 的内部（如图3（2））．记AD 的延长线与O 相交于S ，连CS ，在CDS 中有 ASC CDA ∠<∠．又由上证，有180ABC ASC ∠+∠= ， 得 180180ABC CDA ABC ASC =+∠>∠+∠= ，矛盾． 定理6 凸四边形ABCD 外切于圆的充分必要条件是AD BC CD AB +=+．证明 当凸四边形ABCD 外切于圆时，设各边的切点分别为,,,P Q R S （如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有,,,.AP AS PB BQ CR QC DR DS ====相加 AP PB CR DR AS BQ QC DS +++=+++， 得 AD BC CD AB +=+． 图4反之，若AD BC CD AB +=+，我们引,B C ∠∠的平分线，因为360B C ∠+∠<，所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N ，则N 到三边,,AB BC CD 的距离相等，可以以N 为圆心作N 与,,AB BC CD 同时相切，这时AD 与N 的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．（1）若AD 与N 相离（如图5（1））．过A 作切线与CD 相交于/D ，在/ADD 中，有 //DD AD AD >-． ①但由上证，有//AB CD BC AD +=+， 又由已知，有AD BC CD AB +=+ 相减得 //CD CD AD AD -=- ，//DD AD AD =-，与①矛盾．图5（2）若AD 与N 相交（如图5（2））．过A 作切线与CD 的延长线相交于/D ，在/ADD 中，有①//DD AD AD >-． 但由上证，有//AB CD BC AD +=+，又由已知，有AD BC CD AB +=+相减得 //CD CD AD AD -=- ， 即 //DD AD AD =-，与①矛盾．综上得AD 与N 的相切，即凸四边形ABCD 外切于圆．定理7 （相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8 （切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义 5 从一点A 作O 的割线交O 于,B C ，则点A 到两交点,B C 的线段长度之积AB AC 称为点A 对O 的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．定理9 若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10 （三角形面积公式）在ABC ∆中，记c b a ,,为三边长，1()2p a b c =++为半周长，R 是外接圆半径，r 为内切圆半径，a h 是边BC 上的高，a r 是与边BC 及,AB AC 的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC ∆的面积S 为：111(1)222a b c S ah bh ch ===； 111(2)sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；))()(()3(c p b p a p p S ---=；2(4)2sin sin sin 4abcS R A B C R==； rp S =)5(；)(21)6(a c b r S a -+=； )2sin 2sin 2(sin 21)7(2C B A R S ++=．定理11 在ABC Rt ∆中，有 （1）222a b c +=，（勾股定理的逆定理也成立） （2）1(),22cr a b c R =+-=．定理12 （角平分线定理）设AD 是ABC ∆中A ∠的平分线，则．AB BDAC DC=． 此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法． 证明1 （相似法）如图6，延长BA 到E ，使AE AC =，连CE ，则 12B A D A ∠=∠（已知） ()12A E C A C E=∠+∠（外角定理） AEC =∠，（等腰三角形的两个底角相等） 有 //AD CE ，得 B D A B A BD C AE A C==．（平行线截割定理） 图6 证明2 （面积法）11sin 2211sin 22ABD ACD AB AD AS BC AB DC S ACAC AD A ∠===∠ ． 定理13 （正弦定理、余弦定理）在ABC ∆中，有 （1）cos cos a b B c C =+，cos cos b a A c C =+， cos cos c a A b B =+． （2）2sin sin sin a b CR A B C===； （3）2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-， C ab b a c cos 2222-+=．（4）222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-．（2）2sin sin sin a b CR A B C===； 证明1 （1）当ABC ∆为直角三角形时，命题显然成立． （2）当ABC ∆为锐角三角形时，如图7（1），作ABC ∆外接圆O ，则圆心O 在ABC ∆的内部，连BO 交O 于D ，连结DC ．因为BD 是O 的直径，所以90BCD ∠=，在直角BCD 中有2sin a R D =，但A D ∠=∠，故得2sin a R A =．同理可证2,2sin sin b cR R B C==． 得2sin sin sin a b CR A B C===． （1） （2） 图7（3）当ABC ∆为钝角三角形时，记A ∠为钝角，则圆心O 在ABC ∆的外部，过A作直径，仿上证可得2,2sin sin b cR R B C==． 又在优弧 BC 上取一点D ，连,BD DC ，如图7（2），由于圆心O 在BCD 的内部，所以BCD 为锐角三角形，且()sin sin 180sin D A A =-= ，有22sin sin a aR R D A=⇒=． 综上得2sin sin sin a b CR A B C===． 证明2 由余弦定理，有222222sin 1cos 12b c a A A bc ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭()()()22222222bc b c abc -+-=()()()()()22a b c a b c c a b c a b bc +++-+--+=， 记t b =因为 0A π<<，开方得sin 2tA bc=． 同理可得sin ,sin 22t t B C ca ab ==． 所以 2s i n s i n s i n a b c a b cA B C t===． 证明3 如图8，在A B C ∆中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 所对的边，以三角形外接圆的圆心O 为原点，半径OA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，设外接圆的半径长为R ， 于是A 点坐标为(),0R ．由三角函数的定义得B 点坐标为()co s 2,s i n 2R C R C ，C 点坐标为()()()cos 22,sin 22R B R B ππ--，即()cos2,s i n 2R B R B -． 由 ()c o s 2,s i n 2A B R C R R C =-，有AB=2sin R C ==，得 2s i n c R C =．同理可得2sin ,2sin a R A b R B ==， 图8所以2s i n s i n s i na bcR A B C ===． （2）2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，C ab b a c cos 2222-+=． 证明1 如图9（1），设CB CA AB ===a,b,c ，有=-a c b ，得()()22222cos ,c b cb A =--=+-+- a c b c b c c b b c b=即 2222cos a b c bc A +-=．同理可得 2222cos b a c ac B =+-，C ab b a c cos 2222-+=．（1） （2） 图9证明2 如图9（2），以A 为原点、以直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则()()()0,0,,,c o s ,s i nA B c o C b A b A , 由两点距离公式，有BC ==得 2222cos a b c bc A +-=．（3）222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-．定理14 （梅内劳斯定理）一直线截ABC ∆的边,,BC AC AB 或其延长线于,,D E F ，（位于延长线上的点有奇数个）则1BD CE AFDCEA FB= ．图10证明1 （将三个比值转化为三个值的循环比）如图10，过C 作//CG DF 交AB 于G ，有,BD BF CE GFDC GF EA AF==， 得 1BD CE AF BF GF AFDC EA FB GF AF FB== ．也可以过C 作//CH AB 交DF 于H ，或过B 作//BN CA 交DF 于N 等途径来证明．证明2 （三角法）如图10，由正弦定理， 在FBD 中，有sin sin BD FB αβ=， 在CDE 中，有sin sin CE DC βγ=， 在AEF 中，有sin sin AF EA γα=， 三式相乘sin sin sin 1sin sin sin BD CE AF BD CE AF DC EA FB FB DC EA αβγβγα=== ． 证明3 （面积法）如图11，联结联结,AD BE ，有面积关系DAF EAFDBF EBF S S AF FB S S ==， 得D A FE A FE A DD B FE BF E B DS S S AF FB S S S -==-．又EBDECD S BD DC S =， 图11E C DEADS CE EA S = ， 三式相乘即得．证明4 （坐标法）设ABC ∆的三顶点坐标为()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，直线DF 的方程为 0a x b y c ++=． 又记123,,BD CE AFDC EA FBλλλ===（i λ可正可负），有21312131,1:,1x x x D y y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入直线方程，得 21321311011x x y y a b c λλλλ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，22133ax by cax by c λ++=-++．同理33211ax by cax by c λ++=-++，11122ax by cax by cλ++=-++，相乘1BD CE AFDC EA FB=- ， 即 1BD CE AFDC EA FB= ．逆定理: 若,,D E F 分别为ABC ∆三边,,BC AC AB 上的点（位于延长线上的点有奇数个），且1BD CE AFDC EA FB= ． 则,,D E F 三点共线．证明 如图9，设EF 与BC 相交于/D ，由上证有//1BD CE AFD C EA FB=， 又由已知有1BD CE AFDC EA FB= ， 两相比较，有//BD BD D C DC =， 合比 /BD BDBC BC=，得 /BD BD =，有/D 与D 重合，即,,DEF 三点共线．梅内劳斯定理逆定理是证明三点共线的有力工具．定理15 （塞瓦定理）设O 是ABC ∆内任意一点，,,AO BO CO 分别交对边于,,D E F ，则1BD CE AFDC EA FB= ． 证明1 （将三个比值转化为三个值的循环比）如图12，由面积关系OBDABD ADC ODC S S BD DC S S ==， 有A B D O B DA O BA D C O D C A O CS S S BD DC S S S -==-．同理BOCAOBS CE EA S =， 图12 AOCBOCS AF FB S =，三式相乘即得． 证明2 （转化为物质重心）在,,A B C 处各放一个重物，使其重心正好在O 处，记三处的质量分别为,,A B C m m m ，则,,D E F 分别为,,BC AC AB 的重心，有C B m BD DC m =． ACm CE EA m =，B A m AF FB m =，三式相乘即得． 证明3 （用梅内劳斯定理）如图11，由梅内劳斯定理，ABD 被直线BOE 所截，有1BC DO AFCD OA FB = ， ADC 被直线BOE 所截，有 1CB DO AEBD OA EC= ，相除得1B D C E A FD CE AF B= ． 证明4 如图13，过点A 作//MN BC 交,BE CF 的延长线于,M N ，由,B O D M O A C O D N O A，有 BD DO CD BD AMAM OA AN CD AN==⇒=， 又由,BEC MEA NFA BFCCE BC EA AM =， 图13 AF ANFB BC=， 三式相乘即得．逆定理 在ABC ∆三边（所在直线）,,AB CA BC 各取一点,,D E F ，若有1BD CE AFDC EA FB= ，则,,AD BE CF 平行或共点．（1） （2）图14证明 AD 与BE 有两种关系：或是平形或是相交． （1）若AD //BE （如图14（1）），则BC ECBD EA=代入已知得AF DCFB BC= 有AD //CF ，从而////AD BE CF ．（2）若AD 与BE 相交（如图14（2）），记交点为O ，连CO 交AB 于/F ，由塞瓦定理，有//1BD CE AF DC EA F B= 与已知条件相比较，得//AF AF FB F B =，合比 /AF AF AB AB=，有 /AF AF =， 有/F 与F 重合，即,,AD BE CF 三线共点． 塞瓦定理的逆定理是证明三线共点的有力工具． 定理16（三角形的特殊点）（1）三角形的三条中线相交于一点（三角形的重心） 证明 当,,D E F 为ABC ∆各边的中点时，有1BD CE AFDC EA FB ===， 得1BD CE AFDC EA FB= ． 又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠<， 故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点．（2）三角形的三条角平分线相交于一点（三角形的内心）证明 当,,AD BE CF 为ABC ∆各内角平分线时，由角平分线定理，有,,BD AB CE BC AF ACDC AC EA AB FB BC ===， 相乘 1BD CE AF AB BC ACDC EA FB AC AB BC== ．又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠< ， 故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点． （3）三角形的三条高线相交于一点（三角形的垂心）证明 先证锐角三角形成立．如图15，当,,AD BE CF 为ABC ∆各边的高线时，有BD ABRt ABD Rt CBF BF BC ⇒=， CE BCRt BCE Rt ACD DC AC ⇒= ，AF ACRt CAF Rt BAE AE AB ⇒= ，相乘得sin sin sin 1sin sin sin BD CE AF DC EA FB βαγαγβ== ． 图15 又因 180EBC FCB ABC ACB ∠+∠<∠+∠<， 故BE 与CF 相交，得,,AD BE CF 三线共点．再证钝角三角形成立． 如图16，ABC ∆中，A ∠为钝角，设高线,B E C F延长相交于G ，则GBC 为锐角三角形，由上证，它的三条高线相交于一点，因为,BE CF 已相交于A ，所以，过G 而垂直于BC 的高线经过A ，也就是A B C ∆的三条高线,,AD BE CF相交于点G ． 图16最后，直角三角形显然成立．因而对任意三角形都有三条高线共点．（4）三角形的三条垂直平分线相交于一点（三角形的外心）证明 对ABC ∆，作其中位线DEF ，由上证，DEF 的三条高线共点，得ABC ∆的三条垂直平分线相交于一点．定理17 （斯特沃尔特定理）在ABC ∆中，D 是BC 上一点，则222BD AC DC AB AD BD DC BC⋅+⋅=-⋅．证明 如图17，在ABD 与ABC 中，用余弦定理，有2222cos AD AB BD AB BD B =+- ， ① 图17222cos 2AB BC AC B AB BC+-= ， ②代入消去cos B ，得222222AB BC AC AD AB BD BD BC+-=+-()()22BD AC BC BD AB BD BC BD BC+-=--22BD AC DC AB BD DC BC+=- ．也可以将余弦定理①、②2222cos AD AB BD AB BD B =+- ，2222cos AC AB BC AB BC B =+- ， 看成齐次线性方程组()()2222220,0,AB BD AD x BDy AB BC AC x BCy ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，有非零解1,2cos x y AB B ==-，得系数行列式为0222222AB BD AD BD AB BC AC BC +-=+-，化简即得．推论1三角形中线长a m =． 证明 在斯特沃尔特定理中取BD DC =，有 222224AC AB BC AD +=-，即a m == 推论2 三角形角平分线长a t =()12p a b c =++．证明 在斯特沃尔特定理中取BD ABDC AC=，即 ,AB ACBD BC DC BC AB AC AB AC==++ ，有 ()222AB AC BC AD AB AC AB AC =-+ ()()222AB ACAB AC BC AB AC ⎡⎤=+-⎣⎦+ ()()()2AB ACAB AC BC AB AC BC AB AC =+++-+ ．令()12p a b c =++，得a t =推论3 三角形高线长a h =，其中()12p a b c =++．证明 当D 为垂足时，如图17，有22222,,BD DC a AD b CD c BD +==-=-由 2222,,BD DC a BD CD c b +=⎧⎨-=-⎩可解得 222222,2,2a b c BD aa b c CD a ⎧-+=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩从而 222222222a b c AD b CD b a ⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭()()22222221224ab a b c ab a b c a⎡⎤⎡⎤=++--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()()()22222221414,4a b c c a b aa b c a b c c a b c a b p p c p b p a a a ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦=+++-+--+=---得a h =．定理18 （西姆松定理）过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（西姆松线）．反之，若一点到三角形三边所在直线的垂足共线，则该点在三角形的外接圆上．证明 如图18，ABC 外接圆上任意一点P 到三边所在直线的垂足为,,D E F ，连,DE DF 及,,PA PB PC ，由,,PD BC PE AC PF AB ⊥⊥⊥知，点,,,P B F C 与点,,,P D C E 分别共圆，有180PDF PBF ∠+∠=， ①PDE PCE ∠=∠． ②又由,,,P A B C 共圆，有PCE PBF ∠=∠． ③ 图18由①、②、③得180PDF PDE ∠+∠=． ④从而，,,D E F 三点共线．反之，若,,D E F 三点共线，由①、②、④可得③成立，于是,,,P A B C 共圆，即点P 在ABC 的外接圆上．定理19 （托勒密定理）圆内接四边形中，两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．反之，若四边形的两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积，则该四边形内接于一圆．证明 如图19，在圆内接四边形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使ADE BDC ∠=∠，又由ADE BDC ∠=∠，得A D EB DC = ，有 AE BCAD BC AE BD AD BD=⇒= ． ①再由,ADB EDC ABD ECD ∠=∠∠=∠，得ABD ECD = ，有 A B C EA B C D C E B D B D C D=⇒= ． ②②+①得()AB CD AD BC AE EC BD AC BD +=+= ．反之，若四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD += ． 图19如图20设点D 到ABC 三边所在直线的垂足为111,,A B C ，连111111,,A B AC B C ，因为11,,,A C B D 四点共圆，且AD 是直径，所以，在11ABC 中用正弦定理有1111sin sin 2BCB C AD B DC AD BAC AD R=∠=∠= ． 其中，R 为ABC 的外接圆半径．同理， 1111,22AB AC A B CD A C BD R R==， 这时，若D 不在ABC 的外接圆上，则由西姆松定理知111,,A B C 图20不共线，得 111111A B BC AC +>，即 222A B B C A C C DA DB D R R R+> ， 得 AB CD AD BC AC BD +>． 与已知AB CD AD BC AC BD += 矛盾，故D 在ABC 的外接圆上，即四边形为ABCD 圆内接四边形．托勒密定理的推广：四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD +≥． 证明 视,,,A B C D 为复平面上的复数，由恒等式()()()()()()A B C D A D B C A C B D --+--=--，A B CDE求模得不等式()()()()()()()()()()A B C D A D B C A B C D A D B C A C B D --+--≥--+--=--即 A B C D A D B C A C B D --+--≥--，得AB CD AD BC AC BD +≥定理20（费马点）在锐角三角形所在平面上求一点，使它到三角形三顶点的距离之和为最小． 证明 设P 为锐角ABC 内一点，现将APB 绕点A 向外旋转60 ，得A Q D ，由于,60A P A Q P A Q =∠=，所以，APQ 是等边三角形，有 PQ PA =，得 PA PB PC BP PO QD BD ++=++≥.由于,60A D ABC AD =∠=，所以，D 为定点，当,,,B P Q D共线时PA PB PC ++取最小值BD ，此时 图21 180120APB APQ ∠=-∠= .同样讨论可知，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=时，PA PB PC ++取最小值.定理21 （欧拉线）在任一三角形中，外心，重心和垂心共线，且垂心到重心两倍于外心到重心的距离． 证明 在ABC 中，设O 为外心，G 为的重心，M 为AB 的中点，连结CM ，则G 在CM 上，且有 2CG GM =.连结OM ，则OM AB ⊥.连结OG 并延长到H ，使 2HG OG =，连CH ，有CGH MGO ，得GCH GMO ∠∠ ，推出 //CH OM ，但OM AB ⊥，所以CH AB ⊥.同理，AH BC ⊥. 图22 所以，H 为三角形垂心. 三、基本方法数学竞赛中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类：综合几何法、代数法和几何变换法．1．综合几何方法：如全等法、相似法、面积法等，证逆命题时常用到同一法，反证法．2．代数方法：如代数计算法、复数法、坐标法、三角法、向量法等．另有些几何不等式经过变换（图23） ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x z c z y b y x a ,,C图23之后，就成为正数的代数不等式了，反之，也可以把代数问题转化为几何问题．3．几何变换方法：如平移、旋转、反射、位似、反演等． 解几何题举例．例1 （2005、全国高中数学联赛） 如图24，设AB AC >，过A 作ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ，交直线l 于E ，F ．证明：DE ，DF 通过ABC 内心和一个旁心．分析：只考虑内心．第1．题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．（1）,CAE ABC DAF ACB ∠=∠∠=∠， （2）DEF 中，1122DEF DAF ACB ∠=∠=∠， ()1122DFE DAE ABC BAC ∠=∠=∠+∠， 图2490EDF ∠= ．（3）等腰ADE 中，()()111180180222ADE DAE ABC BAC ACB ∠=-∠=-∠-∠=∠（4）等腰ADF 中，()11802ADF AFD DAF ∠=∠=-∠ 1902ACB =-∠ ．第2．弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．结论成立需要什么？（1）结论有两个：,DE DF 一个通过ABC 的内心，一个通过ABC 的旁心．什么是通过，数学实质是证三线共点．①应是DE 通过ABC 的内心 ②应是DF 通过ABC 的旁心（2）放下旁心，立即想“内心”的定义，这导致我们作ABC 的内角平分线．由于B 点的信息量最少，因而优先考虑,A C ∠∠的平分线，这就出现了A ∠的平分线IA ，联结IC ，问题转化为证IC 是C ∠的平分线． 即12A C I A CB ∠=∠． 第3．弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．题目的条件和结论是两个信息源．从条件发出的信息，预示可知并启发解题手段，从结论出发的信息预告需知并诱导解题方向，抓住条件和结论“从何处下手、向何方前进”就有一个方向（1）由结论12ACI ACB ∠=∠的需要，联想何处能提供12ACB ∠？想到 1122ADE AED DAF ACB ∠=∠=∠=∠问题转化为证12ACI ADE ACI AED ACI DAF ∠=∠∠=∠∠=∠ 其中之一（2）由于,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，故ACI ADI = ，所以ACI ADI ∠=∠是可以实现的．证明 如图25，作BAC ∠的平分线交DE 于I ，联结IC ，由,AC AD AI =公共，CAI DAI ∠=∠，得 ACI ADI = ，有 A C I A D I ∠=∠．但是 A D I A E D ∠=∠（等腰三角形的两个底角相等） 12D A F =∠（圆周角等于同弧圆心角的一半） 12A CB =∠（弦切角定理）得 12A C I A CB ∠=∠， 图25 两条角平分线的交点I 必为ABC 的内心，所以DE 通过ABC 的内心．例2 证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长,u v满足1u v ≤<． （“《数学周刊》杯”2007全国初中数学竞赛试题）讲解 有两种思维水平的处理．水平1 （参考答案）设任意ABC 的三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≥≥．若结论不成立，则必有a b ≥， ①b c ≥ 5分 ② 记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然0,0s t >>，代入①得c s t c s ++≥+，11s tc c s c++≥+ 令,s tx y c c==，则1112x y x ++≥+ ③由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<．由②得112b c s x c c ++==+≥④ 由③，④得()5111y x ⎫≥+≥=⎪⎪⎝⎭， ⑤ 此式与1y <矛盾，从而命题得证． 15分评析 这个证明写得很曲折，其实③式就是①式、④式就是②式，解题的实质性进展在两个知识的应用上．（1）三角形基本定理：三角形两边之和大于第三边．使用“增量法”，引进四个参数,,,s t x y 推出1tc<是基本定理的变形（1a b c -<），构成矛盾也是与基本定理的变形1a by c-=<矛盾．（2）特征数据12的性质．这表现在⑤式用到的两个运算+=1 1=． 抓住这两点，立即可得问题的改进解法：若结论不成立，则存在ABC ，满足a b c ≥≥，且使12a b ≥，12b c ≥ 同时成立，得5111.a b c c b b b +≤<=+≤==矛盾．故对任意三角形，一定存在两条边，它们的长,u v 满足1u v ≤< 这还只是局部上的修修补补，更关键的是抓住实质性的知识可以构造不等式0()a b c >-+ （提供不等式）a b c =-+⎝⎭⎝⎭ ）=a b ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 据此可以成批得出本题的证明．另证 记任意ABC 的三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≥≥，又设,a b x min b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则1,1,,a b bx x a b x c b c x≤≤≤≤⇒≥≤，代入基本定理，有 210,b a b c bx a b c b x x x <+⇒<<+<+⇒--<解得1x ≤<． 说明 对比这两种思维水平，所用到的知识是相同的，结论也都正确．但水平一仍然停留在浅层结构的认识上，有在外围兜圈子之嫌，而水平二则更接近问题的深层结构，思路清晰而简明．例3 （斯坦纳定理）两条角平分线相等的三角形为等腰三角形． 证明 如图，在ABC 中，,BD CE 为角平分线，且BD CE =. 不妨设B C ∠≥∠，在EO 上取一点M ，使O B M O C D ∠=∠，记BM 的延长线交AC 于N ，则NBD NCM ，有1NB BD BDNC CM CE =≥=， 有 N B N C >. 图26 在NBC 中，由大边对大角，得NBC NCB ∠≤∠OBC OCB ⇒∠≤∠即 1122B C B C ∠≤∠⇒∠≤∠，得 B C B C B C ∠≥∠⎫⇒∠=∠⎬∠≤∠⎭.例4 （蝴蝶定理）设AB 是圆的一根弦，过AB 的中点M 作两弦,,CD EF 设,ED CF 分别交AB 于,P Q ．求证PM MQ =．证明1 如图27，设,PM x QM y ==，AM BM a ==，有有显然的面积等式1QEM QDMCMP PFM CMP QEM PFM QDMS S S S S S S S = ， 即s i n s i ns i ns i n1s i n s i ns i n s i nC P C M Q M E M F P F M Q MD M P M C ME Q E M P MF M D Q D M αγβδδαγβ=，得 22CP FP QM EQ DQ PM = .由相交弦订立又有()()22CP FP AP PB a x a x a x ==-+=-()()22EQ DQ AQ QB a y a y a y ==+-=-图27得 ()()222222a x y a y x -=-可得x y =即PM QM =.证明2 以AB 所在的直线为x 轴，以M 为原点建立直角坐标系，则圆的方程可以表示为()222x y b R +-=，（R b > ①而,CD EF 的方程为11220,0a y b x a y b x -=-=，相乘()()11220a y b x a y b x --= ②则过,,,C D E F 四点的曲线系方程为()()()22211220x y b R a y b x a y b x λ⎡⎤+--+--=⎣⎦．这也包括退化为直线,DE CF 的情况，令0y =，可得曲线系与x 轴的交点横坐标所满足的方程 图28()2221210bb x b R λ-+-=． ③因为,CF ED 分别交AB 于,P Q ，所以二次方程③必有两个实根12,x x ，且由方程的常数项为0知， 恒有 120x x +=，（中点不变性） 即 PM QM =．例6 （垂足三角形）锐角三角形的所有内接三角形中，周长最小的一个是其垂足三角形． 证明 设Z 是AB 边上的任意定点，作Z 关于AC 的对称点K ，再作Z 关于BC 的对称点H ，连KH 交,CA CB 于,Y X ，则X Y Z 是以Z 为定点的内接三角形中周长最短的一个.现固定,X Y ，由于CZ 与CK 关AC 对称，CZ 与CH 关于BC 对称，所以图29,,ZCA KCA ZCB HCB ∠=∠∠=∠得 2K C H A C B ∠=∠.所以，KCH 是顶角为定值、腰长等于CZ 的等腰三角形，当腰长最短时，KH 也最短，易知，当CZ AB ⊥（即Z 是AB 边上的垂足）时CZ 取最小值，此时XYZ 的周长最短.同样的讨论知，X 是BC 边上的垂足、Y 是AC 边上的垂足时，内接XYZ 的周长最短.所以，锐角三角形的所有内接三角形中，周长最小的一个是其垂足三角形．例8 （厄尔多斯—摩德尔定理）设P 是ABC ∆内一点，其到三边的距离分别为,,x y z ，则)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++．等号成立当且仅当ABC ∆为正三角形，且P 是ABC ∆的重心．证明 如图21，过作直线 MN 交AB 于M ，交AC 于N ，使 AMN ACB ∠=∠，得AMN ACB = ，有,AM AC b AN AB cMN BC a MN BC a ====． 又 12AMN MN AP S ≥1122AMP ANP S S AM z AN y =+=+ ， 图30得 A M A N b cP A z y z y M N M N a a ≥+=+ ． ①同理 c aPB x z b b ≥+ ， ②a bPC y x c c≥+ ， ③相加 PA PB PC ++c b a c b a x y z b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2x y z ≥++ ④其中④式取等号a b c ⇔==，①式取等号AP MN ⇔⊥，这时ABC ∆为正三角形，且P 是ABC∆的重心．例9 （1995 536-IMO ）设ABCDEF 是凸六边形,满足CD ，BC AB ==FA ，EF DE == 060BCD EFA ∠=∠=．设G 是H 是这六边形内部的两点,使得0120=∠=∠DHE AGB ．证明 如图,将六边形以BE 为轴作一对称图形,11E BDF AC 有 图31.11CF F C =由于,1200=∠=∠DHE AGB 所以11,,,,,,F D H E G B C A 及切四点共圆,连1C .H F ,G C 11则,GB AG G C 1+= ① .HE DH HF 1+= ②从而 HE DH GH GB AG ++++1111C G GH HF C F CF =++≥=评析 此例通过对称，将需比较大小的6条线段集中在一起，当中的①、②两式也可以用旋转变换来证明．例10 （1986 227-IMO ）在平面上给定点0P 和321A A A ∆，且约定当4≥S 时，3-=S S A A ．构造点列,,,,210 P P P 使得1+k P 为点k P 绕中心1+k A 顺时针旋转120所到达的位置，,,2,1,0 =k 求证，如果01986P P =，则321A A A ∆为等边三角形．证明 引进复平面，以各点的字母表示各点上的复，并设())120sin(120cos -+-=i ωi 2321--=则01,123=++=ωωω依题意，有（如图32）().111ω+++-=-k k k k A P A P有 ()11-+-=n n n p A P ωω ()()]1[121--+-+-=n n n P A A ωωωω()()2211--++-=n n n P A A ωωω=……()o n n n n n P A A A A ωωωωω+++++-=---][111221当n =1986时，由于,,1,1,1986233o S S P P A A =--===-ωωω有 ()()o P A A A P +++-=122319861662ωωω ()()().][166219861213P A A A A +-+--=ωω 得 ()()()60sin 60cos 122113i A A A A A A +-=-=-ω这说明，A 1A 3可由A 1A 2绕A 1逆时针旋转60°得到，故321A A A ∆为正三角形．例11 在凸四边形ABCD 中，若AB 大于其余三边，BC 小于其余三边，则,BAD BCD ∠∠的关系为（ ）P k+1 P 1图32（A ）BAD BCD ∠<∠ （B ） BAD BCD ∠=∠ （C ）BAD BCD ∠>∠ （D ）不能确定解 如图5，取一个平行四边形ABCD ，使CBD 为等腰直角三角形，作CBD 的外接圆O ，以D 为圆心、以DC 为半径，画弧交AB 延长线于E ，连DE 交O 于1C ，交BC 于2C ；又在线段1C E 内取点3C ，连13,BC BC ，则在四边形()1,2,3i ABC D i =中，AB 大于其余三边，i BC 小于其余三边，有2BAD BC D ∠<∠，1BAD BC D ∠=∠，3BAD BC D ∠>∠，选（D ）． 图5 错在哪里？四、组合几何组合几何诞生于20世纪五六十年代，是组合数学的成果来解决几何学中的问题，所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思．竞赛中的组合几何主要有四类问题：计数问题，结构问题，覆盖问题，染色问题． 求解竞赛中的组合几何问题既需要一般性的常规方法、又需要特殊性的奥林匹克技巧（1）常规方法(一般性)，如探索法、构造法、反证法、数学归纳法、待定系数法、换元法、消元法、配方法等．（2）奥林匹克技巧(特殊性)，如构造、对应、递推、区分、染色、配对、极端原理、对称性分析、包含与排出、特殊化、一般化、数字化、有序化、不变量、整体处理、变换还原、逐步调整、奇偶分析、优化假设、计算两次、辅助图表等．1．计数问题（数数问题． sh u ∨`shu ）⑴ 基本含义:计算具有某种几何结构的几何对象有多少个，如满足某种性质的点、边、角、三角形、圆有多少个．有时，也会求方法数．⑵ 基本方法．求解几何中的计数问题，通常要经历两步：①进行几何结构的分析．包括所给定的图形结构分析与所计数的几何性质的结构分析， 明确所给定图形的几何结构，明确所求解图形的几何结构．②根据几何结构的分析采用计数方法求出结果，可以直接计算、分类计算(加法原理)、例1 分正方形的每条边为4等分，取分点（不包括正方形的顶点）为顶点可以画出多少个三角形？ 解法１ （1）几何结构的分析：图形是怎样组成？三角形的顶点与正方形的关系？ ①三点在四条边上（×）②三点在三条边上：四边取三边，每边中三点取一点4×3×3×3=108③三点在两条边上：四边取一边，这边中三点取两点，另九点取一点4×3×9=108。
2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含解析
2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011年全国高中数学联合竞赛
ａ ＝ ｔ （ ∈ Ｒ， ｔ ±１ ， ｌ ２ 一３ ｔ 且 ≠ ）
ａｎ＋ ：
的 值 域 为
ｌ
３ 设 口 ｂ为正实 数 ， ． 、 且
＋
— 一 （Ｎ． — 等 【 一 ． ＋ ） ・
则 数列 ｛ 中整 数项 的个数 为一 ａ｝
２ ６
中 等 数 学
二 、４ （０分 ） 明 ： 证 对任 意整数 ｎ ｎ ４ ， （ ＞ ） １
存 在一 个 次多项式
）＝ ” ｎ ｌ ～ 戈 ＋ａ ＿ ＋… ＋ ｌ ａ ａ ＋ ０
：
— —
— —
—
一
．
ｓＯ ） ｉ － ｎ４ （
① ②
四 、５ （０分 ） 设 是一个 ３× ９的方 格表 ， 在每一 个小 方格 内各填一个 正 整数．若 Ａ中
的一 个 ／ ×ｎ １ － Ｆ （ ≤ｍ≤３ １ ≤９ 方 格 表 的 ｔ ， ≤ｎ ）
再由 式①中等号成立的条件， ａ ＝ ． 得 ｂ １
所有数 的 和 为 １ ０的 倍 数 ， 称 其 为 “ 矩 则 好
、
填空 题 （ 每小题 ８分 ， ６ 共 ４分 ）
１设集合 Ａ＝｛ ．ａ ，３ａ ｝若 ／ 中所 ． ａ ，２ａ ，４． Ｉ 有三元子集 的三 个元素之和组成 的集 合为
Ｂ＝｛ ，，， ｝则集合 Ａ＝一 一ｌ３５ ８ ， ２ ．函 数 ，（ ） ：
一
ｆ） 糍）（ ＋＋）１ （ ａ 一 ，Ｏ６２＝ ｆａｂ１４． １ ｇ ２
设 ＝ｓ０詈． Ｍ ｉ 一） ｎ
则 一 √ ≤ ＜ ， １且 ≠０ ＿
具 有 如下性 质 ： （ห้องสมุดไป่ตู้） 。ａ 一， 均 为正整 数 ； １ ａ ， ａ
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9．（本小题满分 16 分）已知实数 x, y, z 满足：x ≥ y ≥ z ，x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3 ．求
实数 x 的取值范围． 解 令 x = 1+ t ．由 x + y + z = 1得 z = −t − y ，代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（B 卷）第 4 页（共 5 页）
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 ．
①
y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1，
于是 a1006
=
1 2009
，所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09
．
2．已知复数 z 的模为 1， 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值，则
z1 − z2 =
．
解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|，即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 ．
2
2
又 x ≥ y ，所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ，即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ，解得 t ≥ 0 ． 2
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
(专家预测卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）时间:2011-9-1122一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆D于T.(1)求证：MP·MT=NP·NT；(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1，I2.求证：Q，I1，I2，T四点共圆.证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC，PM=NC.……10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以MC=MI.同理NC=NI.于是NP=MI，PM=NI.故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式==.于是PM·MT=PN·NT.……30分(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故.……40分又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，有△I1NT∽△I2MT.故∠NTI1=∠MTI2，从而∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分二、求证不等式：，n=1，2，…证明：首先证明一个不等式：(1).事实上，令h(x)=x-ln(1+x)，.则对x＞0，. 于是h(x)＞h(0)=0，g(x)＞g(0)=0.在(1)中取得(2).……10分令，则，＜=-,因此.……30分又因为lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.从而===.……50分三、设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素.证法一：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!).我们证明(,l)=1.设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使｜k!,但k!,则｜l(k!).故由及p|k!,且k!，知|k!且k!.从而p.……50分证法二：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!)2.我们证明(,l)=1.设p是l的的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使|k!,但k!.则|(k!)2.故由及|k!,且k!，知｜k!且k!.从而p.……50分四、在非负数构成3×9数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17=x28=x39=0，x27,x37,x18,x38,x19,x39均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列(k=1,2,……,9)均存在某个i{1,2,3},使得(3)x ik≤u i=min{x i1,x i2,x i3}.求证：(i)最小值u i=min{x i1,x i2,x i3},I=1,2,3一定取自数表S的不同列.(ii)存在数表P中唯一的一列，≠1,2，3使得3×3数表仍然具有性质(O).证明：(i)假设最小值,y=1,2,3不是取自数表S的不同列，则存在一列不含任何u i.不妨设u i≠,i=1,2,3.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是i=1,2,3.另一方面，由于数表S具有性质(O)，在(3)中取k=2，则存在某个i0∈｛1,2,3｝使得.矛盾.……10分(ii)由抽屉原理知min{x11,x12},min{x21,x22},{x31,x32}中至少有两个值取在同一列.不妨设min{x21,x22}=x22,{x31,x32}=x32.由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个u i，所以只能是x11=u1.同样，第二列中也必含某个u i,I=1,2.不妨设x22=u2.于是u3=x33,即u i是数表S中的对角线上的数字：记M={1,2,…,9},令集合I={k∈M|x ik＞min{x i1,x i2},i=1,3}.显然I={k∈M|x1k＞x11,x3k＞x32}且1,2,3I.因为x18,x38≥x11,x32,所以8∈I.故I≠Φ.于是存在k*∈I使得下面证明3×3数表具有性质(O).从上面的选法可知,(I=1,3).这说明又由满足性质地(O)，在(3)中取k=k*,推得，于是下证对任意的k∈M，存在某个i=1,2,3使得假若不然，则x ik＞min{x i1,x i2},I=1,3.且这与的最大性矛盾.因此，数表S′满足性质(O).……30分下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O).不失一般性，我们假定(4)由于x32＜x31,x22＜x21及(i),有又由(i)知：或者(a)或者(b)如果(a)成立，由数表具有性质(O)，则(5)由数表满足性质(O)，则对于3∈M，至少存在一个i∈{1,2,3}, 使得又由(4)，(5)式知，.所以只能有.同样由数表S满足性质(O)，可推得x33≥x3k.于是k=3,即数表S=.……40分如果(b)成立，则(6)由数表满足性质(O)，对于k*∈M,存在某个i=1,2,3使得由k*∈I及(4)和(6)式知，于是只能有类似地，由S′满足性质(O)及k∈M可推得从而k*=k.……50分。
河北省石家庄市2011届高三数学教学质量检测(一)试题(扫描版)新人教A版
河北省石家庄市2011届高三数学教学质量检测(一)试题（扫描版）新人教A版2011石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（一）数学答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．15 14． {}|21,3x x x -<<->或15 16． 理科1625文科245 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）依题意知B B sin 3cos 1=+, ……………………2分∴2sin()16B π-=,可得66B ππ-=或56π，得3B π=或B =π（舍） …………4分 ∴ 3B π= . ……………………5分（Ⅱ）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,将3,2,1π===B c a b 代入解得：33=c ,从而332=a ,……………………8分∴ 633sin 3333221sin 21=⋅⋅==∆πB ac S ABC .……………………10分 18．解：记甲击中气球为事件A ，乙击中气球为事件B ，则34(),()45P A P B ==.(I )甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，恰好两次击中气球的概率为： 2233127()4464P C ∴=⋅=． ……………………………4分(II )两人各射击2次，至少3次击中气球含两类情况：记击中三次气球为事件D ， 21122234131421()()()45544550P D C C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；…………………………7分记击中4次气球为事件E ，22349()()()4525P E =⋅=;………………………10分所求概率为21939()()()502550P D E P D P E +=+=+=．………………………12分19．解法一：（I ）如图，连结DE 、连结CD 交AE 于P ,连结FP ,由已知得PF//BD ,…………………………3分PF ⊂平面AEF,BD ⊄平面AEF,∴ BD ∥平面AEF ．……………………………………6分（II ）过点F 作FH ⊥AC ,可知FH ⊥平面ACE ， 作HO ⊥AE ,连结OF ,由三垂线定理可得，OF ⊥AE , ∴∠FOH 为二面角F AE C --的 平面角.………………8分 不妨设1AB =，则1AA =,在Rt FHC ∆中，60FCH ∠=,14FH CH ∴==, 在Rt ACE ∆中,3,4AH AE == AHO ∆∽AEC ∆OH AHCE AE∴=,即4OH =……………………10分 在Rt FOH ∆中,tan 1FHFOH OH∠==, π4FOH ∴∠=. 即二面角Q AE C --的大小为π4．……………………12分解法二：（I ）不妨设1AB =，1AA =,如图，建立空间直角坐标系， 则，(1,0,0),(0,0,)2B D ，1(2C，1(2E,3(4F. 1323(,,),(,24AE AF ∴==(1,0,2BD =-，1(,22AC = 设平面AEF 的法向量为11(,,1)x y =1n ，则00AE AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，即1111102223044x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，（第19题图）解得：11x y ==，22∴=-1n ，……………………3分 0BD ⋅=1n ,BD ∴⊥1n又BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .…………………………6分（II ）设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ,2200AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即11211102102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令21y =,220x z ==.2(,0)∴=n ，…………………………8分121212cos ,||||2⋅==-⋅n n n n n n ，…………………10分 ∴二面角F AE C --的大小为4π．………………………………12分 20.【理科】解:( I)3,22121211=∴+=+=a a a a a 且 ， 依题意：12,n n S S n -=+)3(),1(221-≥-+=-n n S S n n两式相减得)3(,1)(2211≥+-=----n S S S S n n n n 即)3(,121≥+=-n a a n n ……………………2分)3(),1(211≥+=+-n a a n n可得222)1(1-⨯+=+n n a a ,12-=∴nn a )2(≥n ，……………………4分 又11=a 也符合上式,所以12-=∴nn a .…………………………………5分(II) 11++=n n n n a a a b =)12)(12(21--+n n n =)12)(12()12()12(11-----++n n n n ,=1211211---+n n ,………………………………8分 n n b b b T +++=...21=++-+-...7131311(1211211---+n n ) =12111--+n ,………………………………………………10分1111,240213n n ++∴<≤-≥1n T ∴<.…………………………………12分【文科】(I)由题意⎪⎩⎪⎨⎧==3287324S a a a 设公差为d ，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++=+2332288)6)(2()3(111121d a d a d a d a d a ………………………3分 522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n .…………………………………5分(II)⎩⎨⎧≥==-221152n n b n n当1=n 时 ，11=T , …………………………………7分 当2≥n 时，5212221--+⋅⋅⋅+++=n n T =6541+-n ，……………………………9分6541111+==-T .…………………………………10分∴=n T 6541+-n *∈N n .………………………………12分21．解：（Ⅰ）由已知23==a c e ，即2243a c =，222241a c a b =-=， 所以，椭圆方程为142222=+ay a x ，…………………………2分将)23,1(A 代入得：1412122=+aa ， 解得42=a ，可知21b =，所以，椭圆C 的方程为1422=+y x .………………………………4分 （Ⅱ）因为直线l 经过椭圆内的点)0,1(-B ，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点N M ,.当直线l的斜率不存在时，其方程是：1-=x ，代入1422=+y x 得23±=y ，可知)23,1(),23,1(---N M ，所以以MN 为直径的圆不经过坐标原点O .……………6分 当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：)1(+=x k y ，两交点),(),,(2211y x N y x M .由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(1422x k y y x 得0448)41(2222=-+++k x k x k ，222122214144,418kk x x k k x x +-=⋅+-=+，………………………………8分 因为，以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以0=⋅OM .………………………10分 可得0)()1()1()1(221221221212121=++++=+⋅++=+k x x k x x k x k x k x x y y x x .即04184144)1(2222222=++-⋅++-+k kk k k k k ，解得2±=k . 综上所述，存在过点)0,1(-B 的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ,l的方程为22+=x y 或22y x =--.……………………………………12分22．【理科】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞.11()ax f x a x x-'=-=. 当0a ≥时，由0x <知10ax -<，即()0f x '>；………………………3分 当0a <时，10a <，由()0f x '>得，10x a <<；由()0f x '<得1x a<. 综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞；当0a <时， ()f x 的单调增区间为1(,0)a，单调减区间为1(,)a -∞.……………………5分（Ⅱ）当1a =-时，()ln()f x x x =---，11()1x f x x x+'=--=-.原不等式即转化为11ln()1(2)22n x f x ---+>+-.……………………………7分由（Ⅰ）知，()f x 为(,1]-∞-上的减函数，又*n ∈N ，即112212n --<-+≤-，从而11(2)(1)12n f f --+≥-=.…………………9分 另一方面，令ln()1()2x g x x -=+-，[e,0)x ∈-.又21ln()()0x g x x -+-'=≤对[e,0)x ∈-恒成立，∴ ()g x 为[e,0)-上的减函数. 从而，11()(e)e 2g x g ≤-=+.又e 2>，所以111e 2+<.…………………………11分 故当1a =-时，对任意的*n ∈N ，不等式11ln()1(2)()122n x f f x x --'-+>⋅++对于[e,0)x ∈-恒成立.………………………12分 【文科】解：（Ⅰ）2()(1)f x x ax b '=-+-,…………………………………2分又(0)1,(0)1f f '==.所以2,1b c ==.………………………………………5分（Ⅱ）设过（0，3）与曲线()()g x f x x =-相切的直线为l ，.切点坐标为(,())t g t ，又3211()132g x x ax =-+，2(),g x x ax '=- 则切线l 的方程为32211(1)()()32y t at t at x t --+=--.又过点(0,3)，所以3232113132t at t at -+-=-+，即3222032a t t -+=，…………………………………………7分 又过点(0,3)可作曲线()()g x f x x =-的三条不同切线.等价于方程3222032a t t -+=有三个相异实根.………………………………8分 令322()232a h t t t =-+，2()2(2)h t t at t t a '=-=⋅-.由0a >，则,(),()t h t h t '的变化情况列表如下：………………………………………………………………………………………………10分 由()h t 的单调性知：要使()0h t =有三个相异实根，当且仅当32024a -<，即a >∴a 的取值范围是)+∞.…………………………………………………………12分。
2011河北省高考数学试卷
1、Which of the following is TRUE?A. Chiang Mai is a beautiful city in the south of Thailand.B. The writer left Chiang Mai for Chiang Rai by bus.C. Chiang Rai is a boring city in the mountains.D. The writer is traveling alone in Thailand.2、已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________ 米．3、按要求在句子中填上合适的词语（每空1分，共7分）1、这两个人总是一起做坏事，真是呀！（与“动物”有关的成语）2、是他让我做成了这个艺术品，又是他打碎了这个艺术品，真是，呀。
（写出有关历史人物的成语）3、虽然路上有许多（），但谁也别想（）我们前进的脚步，我们是不会受到一点（）就放弃的。
（用“阻”字组成的词语填空，不得重复）4、（）考试不难，（）方法和规范很重要，（）我们要认真审题，注意分点，让自己和知识变成得分。
（填关联词）4、积累与运用：按要求把答案写在横线上（12分）（1）请用简洁的语文概述《丑小鸭》的故事，并写下你阅读这一童话后的一点感悟。
（4分）作品简介：____________________________________________ _____________ 感悟：_____________________________ ________________________________5、 1小时15分＝（）小时 5.05公顷＝（）平方米6、给定n个村庄之间的交通图，若村庄i和j之间有道路，则将顶点i和j用边连接，边上的Wij表示这条道路的长度，现在要从这n个村庄中选择一个村庄建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使离医院最远的村庄到医院的路程最短?试设计一个解答上述问题的算法，并应用该算法解答如图所示的实例。
2011年全国高中数学联赛试题及标准答案
2０11年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解 答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。
(完整word版)2011年全国高中数学联赛试题及答案
．
3.（50分）设 是给定的正实数， ．对任意正实数 ，满足 的三元数组 的个数记为 ．
证明： ．
4.（50分）设A是一个 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个 的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
，
故 ，于是集合 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 ．
2． .提示：设 ，且 ，则
．
设 ，则 ，且 ，所以 ．
3．-1.提示：由 ，得 ．又
，
即
．
于是
．
再由不等式 中等号成立的条件，得 ．与 联立解得 或
故 ．
4． .提示：不等式
等价于
.
又 是 上的增函数，所以 ，故
当 时， C ，在C 中，同样可求得 中因数2的个数为88, 中因数2的个数为105,故C 中因数2的个数为 ，故 不是整数．
因此，整数项的个数为 ．
9．因为 ，所以
，
所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 ．
又由 有意义知 ，从而
，
于是
．
所以
．
从而
．
又
，
所以
，
故 ．解得 或 （舍去）．
把 代入 解得 ．
8．15.提示： C ．
要使 为整数，必有 均为整数，从而 ．
当 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时， 和 均为非负整数，所以 为整数，共有14个．
当 时， C ，在C 中， 中因数2的个数为
2011年全国高中数学联赛一试试题及参考答案
１
２ ０ ０！ 中， 同样可求得９ ２！ 中 因 数 ２ 的 个 数 为 ９ ２！ ·１ ０ ８！
８ ６ 故Ｃ ８ ８， １ ０ ８！ 中因数 ２ 的个数为 １ ０ ５， ２ ０ ０中 因 数 ２的 个
２ ２ ３ ） ） （ ） 又（ ａ＋ ｂ ＝４ ａ ｂ＋ （ ａ－ ｂ ＝４ ａ ｂ＋４ ａ ｂ ２ ３ （ ） ， ） ＝８ ａ ｂ ａ ｂ·（ ａ ｂ ≥４·２ 槡
ｂ＋１） （ ， 实数 ａ， 满 足 ｆ（ ｂ ａ＜ ｂ） ａ） ＝ｆ（ － １ ０ ａ＋６ ｂ＋ ｆ（ ｂ＋２ ） 求 ａ， ２ １ ＝４ ｌ ２， ｂ 的值 ． ｇ
中学生数学 ·２ 高中 ） ０ １ ２ 年 １ 月上 · 第 ４ ３ ３期（
２ ０ １ １ 年全国高中数学联赛一试 试题及参考答案
试 题
一、 填空题 （ 每小题 ８ 分 ， 共６ ４分） ， 设集合 Ａ＝ ｛ 若 Ａ 中所有三元子 １． ａ ａ ａ ａ １， ２， ３， ４｝ ， 则 集的三个元素之和组成的 集 合 为 Ｂ ＝ ｛ －１， ３， ５， ８｝ 集合 Ａ＝ ．
８ ６ ３ ８ －５ ８ ６ ， 当 ｎ ＝８ 在Ｃ ６ 时， ａ ２ ０ ０ ·３ ·２ ２ ０ ０ ＝ ８ ６ ＝Ｃ
ＯＮ ⊥Ｄ Ｐ， ＯＭ ⊥Ｃ Ｄ．
因为 ∠Ｃ ＤＡ ＝ ∠Ｃ Ｄ Ｂ＝ ， 设Ｃ Ｂ＝６ ０ ° Ｄ 与平面 ∠ＡＤ ， Ａ Ｂ Ｄ 所成角为θ 可求得 ｃ ｏ ｓ ＝ θ ３ 槡 １， ２ 槡 ｓ ｉ ｎ ＝ ． θ ３ 槡
８ ６ 所以 Ｃ 故 ９ ７－８ ２－１ １ ０＝５， ２ ０ ０ 中因数 ２ 的个数为 １
2011年全国高中数学联赛模拟卷(二)
，
第 ６期
２１ ０ １年全 国高中数 学联 赛模 拟卷 （ ） 二
・４ ・ ７
Ｉ的 Ｅ ， １ ｅ Ｇ Ｈ ∥ ， Ｅ ＃ｌ ． ．ＥＡ＝Ａ ，． Ｆ Ｃ 值 Ｆ Ｆ ＃ｒ ，。 ｌ Ｇ ｌ。 ｉ 已知 １ ｅ ￣
Hale Waihona Puke ５ 等 组＿－＋＿ ＜的 数 恰 ２ ，口 取 范 是 — ． 式 ｛ ｃａ ０整 解 有 个则 的 值 围 — 不 矿 ｘ： ２
ｌ ＋ ｌａ ＞ Ｉ Ｚ
６ 将一个 ４ｘ 棋盘中的 ８ ． ４ 个小方格染成黑色 ， 使得每行 、 每列都恰有 ２个黑色方格 ， 则有— 染法 （ 用数字作答） ．
・
４ ６・
中学教研 （ 学） 数
２ １ 全 国 高 中数 学 联 赛 模 拟 卷 （ ） １ 年 ０ 二
第
一
一
试
、
填 空题
１ 知 ． 数列｛ ｝ 已 口 满足口＝ ， ＋： 一 ， ∑ 口＝ ２口 １ 则 一
２ ，）定在 上 偶 数且 足（２ ） ０ ≤时 ）２ ｇ）Ｉ一） ． （是 义 Ｒ 的 函 ， 厂＋ ＝ ． ≤ １ ＝， （＝ ÷， 设 满 ） 当 又 ｉ ｝ （
若方程 ） ｇ 恰有 ２个解 ， ｋ的取值范围是一 ＝ （） 则
３ 若对一切实数 ， ． 能使 函数 ， ）＝ｓ ＋ ｏ ＋ ａｉ ｃｓ （ ｉ ｎ ｃｓ ２ ｓ ｘｏ ｎ ｘ的取值恒 非负 ， 实数 ａ的取 值范 围为 则
４ 已知 Ｍ＝｛ｍ，） ｎ 一 ｎ ８一 Ｏ ｎ Ｚ， ． （ ｎ ｌ ６ ＋ ｍ ＝ ，∈ ｉ ｎ为质数 ｝则集合 的子集的个数为一 ，
2011年全国高中数学联赛试题及解答
2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合 ．2．函数()f x =的值域为 ．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则 ．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为 ．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。
河北省2011年高考文科数学试卷及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共第4页。
满分l50分，考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．。
3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.选择题（1）设集合 M（A1.2（B）2.3（C）2.4（D）1.42.函数y=（A）2()4xy x R== (B)2(0)4xy x=≥(C)y=4x2(x=R) (D) y=4x2(x≥=R)(3)设向量a.b满足11,,a+22a b a b b ==-=-=则（A（B（C（D（3）设向量a，b满足a=b=1，a·b=1-2，则a+2b=（ABCD（4）若变量x，y满足约束条件x y6x-3y2x1+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则 -2x+3y的最小值为（A）17（B）14（C）5（D）3（5） ?????（A）?????（B）?????（C）a2-b（D）a-b （6）?????若a1=1，q则???????24，则k= （A）8（B）7（C）6（D）5（7）?????cos x ω（），将y= 图像向右平移3π，单位长度，所得的图像与原图像重 则ω的最小值等于（A ）13（B ）3（C ）6（D ）9 （8）已知直 面角α β，点a ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD（A ）2（B C D ）1（9）4位同学每人 甲，乙，丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同 有（A ）12种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种（10）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）=2x （1-x ），则f （25-）= （A ）21- （B ） 41 （C ）41 （D ） （11）设两圆C 1C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2=（A ）4 （B ）42 （C ）8 （D ）82（12）已知平面a 截一球面得圆M ，过圆心M 且与a 成︒60 面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（A ）7π （B ）9π （C ）11π （D ）13π2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
河北省高中数学竞赛试题及参考答案详解10
河北省高中数学竞赛试题一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤++a a a a a n n n 则5a 的最大值为. 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则满足条件的所有四位数是.3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为.4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。
则出现超级盒的概率为（列出算式即可）.5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为.6. 函数2011201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为. 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是.8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，则21T MT ∆垂心的轨迹方程是.二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分)9. 解不等式.11122xx x x x <--+ 10、如图，已知B A ,是圆422=+y x 与x 轴的两个交点，P 为直线4:=x l 上的动点。
PB PA ,与圆422=+y x 的另一个交点分别为.,N M求证：直线MN 过定点。
11、求证：23≥n 时，总有31312112333<++++<n 成立。
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河北省高中数学竞赛试题2011年
一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)
1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤
++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则
满足条件的所有四位数是 .
3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 .
4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。
则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）.
5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 .
6. 函数2011
201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 .
8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，
则21T MT ∆垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分)
9. 解不等式.11122x
x x x x <--+
10、如图，已知B A ,是圆42
2=+y x 与x 轴的两个交点，P 为直线4:=x l 上的动点。
PB PA ,与圆422=+y x 的另一个交点分别为.,N M
求证：直线MN 过定点。
11、求证：23≥n 时，总有31312112333<++++
<n 成立。
12、已知：)(3)(3),(222233y x xy y x xy y x y x y x f ++++-+++=,且,2
1,≥y x 求),(y x f 的最小值。
13、（1）在ABC ∆中，︒=∠90BCA ,则有222AB BC AC =+，类比到三维空间中，你能
得到什么结论？请给出证明。
（2）在ABC ∆中，︒=∠90BCA ，若点C 到AB 的距离为,h ABC ∆的内切圆半径为,r 求h
r 的最小值。
（3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之。
14. 已知数列{}{}n n b a 、满足：).0,(),(21,2*211>∈-+=+==+p N n p
a p a
b a p a a p a n n n n n n （1）求数列{}n b 的通项；
（2）证明：;13121+=---+n p
a p a n n （3）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与p n )18
23(+
的大小关系是否确定？请说明理由。