2011年河北省高中数学竞赛试题

河北省高中数学竞赛试题2011年

一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)

1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤

++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则

满足条件的所有四位数是 .

3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 .

4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）.

5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 .

6. 函数2011

201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 .

8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，

则21T MT ∆垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分)

9. 解不等式.11122x

x x x x <--+

10、如图，已知B A ,是圆42

2=+y x 与x 轴的两个交点，P 为直线4:=x l 上的动点。PB PA ,与圆422=+y x 的另一个交点分别为.,N M

求证：直线MN 过定点。

11、求证：23≥n 时，总有31312112333<++++

12、已知：)(3)(3),(222233y x xy y x xy y x y x y x f ++++-+++=,且,2

1,≥y x 求),(y x f 的最小值。

13、（1）在ABC ∆中，︒=∠90BCA ,则有222AB BC AC =+，类比到三维空间中，你能

得到什么结论？请给出证明。

（2）在ABC ∆中，︒=∠90BCA ，若点C 到AB 的距离为,h ABC ∆的内切圆半径为,r 求h

r 的最小值。 （3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之。

14. 已知数列{}{}n n b a 、满足：).0,(),(21,2*211>∈-+=+==+p N n p

a p a

b a p a a p a n n n n n n （1）求数列{}n b 的通项；

（2）证明：;13121+=---+n p

a p a n n （3）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与p n )18

23(+

的大小关系是否确定？请说明理由。