与相似三角形有关的各类专题

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型

考点一：相似三角形的判定与性质：

例1、如图，△PCD 是等边三角形，A 、C 、D 、B 在同一直线上，且∠APB=120°.

求证：⑴△PAC ∽△BPD ；⑵ CD 2 =AC ·BD.

例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45°

（1）求证：△ABD ∽△DCE ；

（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE 取得最小值？

（3）在AC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由？

例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ：

1）求证：△ADF ∽△DEC ；

2）若AB=4，33 AD ,AE=3，求AF 的长。

A B

C D

F

考点二：射影定理：

例4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。

例5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=14

AD ，EG ⊥CF 于点G ， （1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2=CG ·FG.

例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．

（１）求证：四边形AFCE 是菱形；

（２）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2

＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

A B C D E

F

G

考点三：相似之共线线段的比例问题：

例7、已知如图，P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H. 求证：PG PH PF PE

例8、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．

（1）求证：PC 2=PE •PF ；

（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB 的长．

例9、如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，E 为AC 的中点，ED 交CB 的延长线于F ．

求证：BD •CF=CD •DF ．

例10、如图：已知在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F ．

（1）求证：DC=AE ；

（2）求证：AD 2=DC •DF ．

例11、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．

（1）找出与△ABH相似的三角形，并证明；

（2）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

例12、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．

例13、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：

（1）△AED∽△CBM；（2）AE•CM=AC•CD．

例14、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．

（1）求证：FD2=FB•FC；

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

例15、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.

(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由.

(2)求∠1+∠2的度数.

考点四：相似三角形的实际应用：

例16、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．

（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？

（2）若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？

例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高1.6m 的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？

例18、两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD 的树顶D？

例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m．

若此时1米高的标杆的影长恰好为2m．请你求出这棵大树AB的高度．

例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．

例21、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．