化二次型为标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
化二次型为实用标准形地几种方法
化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、 引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．惠汝、红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．五明，永金，栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、 化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,ik k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++． 例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=．（3）将正交化：1α=1β=2β=2α-21111(,)(,)αββββ= 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--= 将正交向量组，单位化得单位正交向量组：，，，（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-． （二） 配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式． 用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２ 用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-， 所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵，都可以找到一个可逆矩阵使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用分别表示变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭． 例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义是数域P 上一个线性空间，是上一个二元函数，如果有下列性质：（1）； （2）；其中1212,,,,,αααβββ是中任意向量，12k ,k 是中任意数，则称为上的一个双线性函数．线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量α,β都有=，则称为对称双线性函数．设是数域上n 维线性空间上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2） 由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算． （4） 以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数关于基的矩阵为, 则 A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=32223102201⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆． （五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1： 二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1） 不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++， 此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂， （2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++ 令经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．对于二次型（1）矩阵()A=ijn na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中都是实数．我们记，，其中利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：(2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行． 第一步，利用正交变换 将方程（2）左边的二次型的部分化成标准形：其中为正交矩阵，,相应地有于是方程(2)可化为第二步, 作平移变换，将方程(3)化为标准方程, 其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对是否为零进行讨论:1)当时，用配方法将方程(3)化为标准方程：(6-1)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当中有一个为0，设方程（3）可化为(6-2)(6-3)根据与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当中有两个为０，不妨设，方程(3) 可化为下列情况之一：此时，再作新的坐标变换：(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；若与异号，表示两个平行平面；若与同号，图形无实点，若，表示坐标面．例 二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE A的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：配方得：令则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]：高等教育，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]：高等教育，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].：高等教育，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].：科技，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].：大学，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]五明，永金，栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育.2004:427.[12]惠汝,红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].师学院报,2004,23(2):13-15.[13]秀花.二次型的应用[J].学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J]. TheCollegeMathematicsJournal.2001.。
二次型化为标准规定型的三种方法
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
用配方法化二次型为标准型技巧
用配方法化二次型为标准型技巧配方法是一种常用的数值求解二次型的方法,可以将二次型化为标准型,从而使求解更加容易。
以下是一种化二次型为标准型的技巧: 假设有二次型 $A cdot y^T + B cdot y + C = 0$,其中 $y$ 是一个 $n times 1$ 的列向量,$A,B,C$ 是 $n times n$ 的方阵。
我们可以使用以下公式将二次型化为标准型:$$A cdot y^T + B cdot y + C = begin{bmatrix} A & B B^T & C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} y y^T end{bmatrix}^T + begin{bmatrix} 0 0 end{bmatrix}$$其中,$y$ 的列向量部分被表示为 $y_i$ 的系数矩阵 $A$ 乘以$y$ 的旋转矩阵 $B$ 的和 $C$ 乘以 $y$ 的旋转矩阵 $B^T$ 的乘积。
接下来,我们可以使用配方法将标准型转化为二次型。
具体来说,我们可以使用一个 $n times n$ 的方阵 $P$,其中 $P_{ii} = 1$ 且$P_{ij} = 0$ 只有在 $ieq j$ 的情况下才有意义,然后将 $A$ 和 $B$ 的列向量部分分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$,得到:$$y_i = P_{ij} y_j$$其中,$P_{ij}$ 表示 $P$ 乘以 $A$ 和 $B$ 的列向量部分在$i$ 和 $j$ 方向上的对应系数。
最后,将 $y$ 的列向量部分和常数项 $C$ 分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$ 的转置,即可得到化二次型为标准型的技巧。
需要注意的是,上述技巧仅适用于二次型的系数矩阵和旋转矩阵都是方阵的情况。
如果系数矩阵和旋转矩阵不是方阵,则需要使用其他的化二次型为标准型的技巧。
化二次型为标准形的几种方法
化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to thestandard formsAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、 引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++= 11n n ij ij j i a x x ==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、 化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1 任意一个实二次型T AX f X =＝11n nij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n n y y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵A 的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,i k k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量． ○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++． 例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T --，3α=(1,1,1,1)T --，4α=222211223344d x d x d x d x +++． （3）将1234,,,αααα正交化：1α=1β=(1,1,1,1)T -- 2β=2α-21111(,)(,)αββββ=(1,1,1,1)T -- 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=(-1,-1,1,1)T 4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)T 将正交向量组1234,,,ββββ，单位化得单位正交向量组：11=(1,1,1,1)2T η--，21(1,1,1,1)2T η=--，31(1,1,1,1)2T η=--，41(1,1,1,1)2T η=（4）令C =121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-． （二） 配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理92【】 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式． 用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２ 用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对23,x x 配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++- 于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+()222133224y y y y =--++ 作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理[7]3 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使T C AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用C D 、分别表示A E 、变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ． 此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 100010007114013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义[1]定义 V 是数域P 上一个线性空间，f (,)αβ是V 上一个二元函数，如果f (,)αβ有下列性质：（1）11221122f (,k +)=k f (,)+k f (,)k αββαβαβ；（2）11221122f (k +,)=k f (,)+k f (,)k βββαβαβ；其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (,)αβ为V 上的一个双线性函数．[11]定义 f (,)αβ线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f (,)αβ=f (,)βα，则称f (,)αβ为对称双线性函数．[11]定义 设f (,)αβ是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 f (,)αβ在12n,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2） 由公式jj ii ija a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P =1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算． （4） 以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数f (,)αβ关于基123,,εεε的矩阵为A , 则A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=3222310221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换X CZ =能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆． （五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1： 二次中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1） 不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g ua a ++， 此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含i x 的平方项，即所有iia ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂， （2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有i x 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g ++ 整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含i x 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x 的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++令112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．[1]定理 对于二次型（1）矩阵()A=ij n na⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yzb x b y b zc +++++++++=其中,,(,1,2,3)ij i a b c i j =都是实数．我们记x =(x,y,z)T ，123=(,,)b b b b T ，111213212223313233A =a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ij jia a =利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0TTx Ax b x c ++= (2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行． 第一步，利用正交变换X =PY 将方程（2）左边的二次型TX AX 的部分化成标准形：222112131T x Ax x y z λλλ=++其中P 为正交矩阵，3=()12y x ,x ,x T,相应地有()112131T T T b x b Py b P y k x k y k z ===++于是方程(2)可化为2221121311121310x y z k x k y k z c λλλ++++++= 第二步, 作平移变换y y y =+，将方程(3)化为标准方程, 其中(,,)y x y z =这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对123,,λλλ是否为零进行讨论:1)当123,,0λλλ≠时，用配方法将方程(3)化为标准方程：222123x y z d λλλ++= (6-1) 根据123,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如123,,λλλ与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当123,,λλλ中有一个为0，设30λ=方程（3）可化为22123(0)x y kz z λλ+=≠ (6-2)22123(0)x y d k λλ+== (6-3)根据12,λλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当12,λλ同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当12,λλ异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当123,,λλλ中有两个为０，不妨设230λλ==，方程(3) 可化为下列情况之一：21()0(,0)a x py qz p q λ++=≠此时，再作新的坐标变换：2222py qz qy pz x x y z p q p q +-'''===++(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；21()0d x d λ+=若1λ与d 异号，表示两个平行平面；若1λ与d 同号，图形无实点，若0d =，表示yoz 坐标面．例 二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010=++x b Ax x T T，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE AA 的特征值为1236,3,0λλλ===，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：221111163868100x y x y z ++-++= 配方得：221118176()3(1)8()0372x y z ++-++=令111817,1,372x x y y z z =+=-=+ 则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th eCollegeMathematicsJournal.2001.。
将二次型化为标准型
将二次型化为标准型首先，我们需要明确二次型的定义。
二次型是指关于某个n维向量x的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶对称矩阵。
我们的目标是将这个二次型化为标准型，也就是将其转化为一个特定形式的二次型，以便于进一步的分析和计算。
接下来，我们介绍将二次型化为标准型的具体步骤。
首先，我们需要通过合同变换将二次型的矩阵A对角化。
具体来说，就是找到一个非奇异矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵D。
这样，我们就得到了一个对角化的二次型Q(x)=x^TP^TAPx=y^TDy，其中y=Px。
这个过程实质上是将二次型的自变量进行线性变换，从而使得二次型的矩阵表示变为对角矩阵。
然后，我们需要进一步将对角化后的二次型化为标准型。
标准型是指一个二次型的矩阵表示为对角矩阵，并且对角元素只有1和-1。
我们可以通过一系列的线性变换将对角矩阵D化为标准型。
这个过程需要根据对角矩阵D的具体形式进行分析和计算，一般来说可以通过适当的线性变换将其化为标准型。
最后，我们需要总结一下将二次型化为标准型的步骤。
首先，我们通过合同变换将二次型的矩阵对角化，然后再通过线性变换将对角矩阵化为标准型。
这样，我们就得到了原二次型的标准型表示。
这个标准型可以更方便地进行分析和计算，对于解决二次型相关问题具有重要意义。
综上所述，将二次型化为标准型是一个重要的数学问题，它涉及到矩阵的对角化和线性变换等概念和方法。
通过适当的变换，我们可以将原二次型化为标准型，从而更方便地进行进一步的分析和计算。
这对于理解二次型的性质和解决相关问题具有重要的意义。
化实二次型为标准形的偏导数法
二次型如何化为标准型
正交变换法化二次型为标准型技巧如下：
1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。
2、求出A的所有特征值λ₁，λ₂，...，λn。
3、求出对应于特征值的特征向量a₁，a₂，...，an。
4、将特征向量正交化、单位化，得b₁，b₂，...，bn，记C=(b₁，b₂，...，bn)。
5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k₁y₁+k₂y₂+...+knyn。
二次型标准化的本质和意义：
1.本质：
二次型标准化的本质是合同对角化，并非相似对角化。
之所以可用正交矩阵相似对角化：一是因为正交矩阵的转置与逆相等，相似与合同是一回事。
二是因为对称矩阵的特征向量在标准正交基矢下正交，并且没有亏损现象。
注意这里说的正交是在标准正交基即正交归一坐标系里下正交，并非在上述二次型所对应的几何空间正交。
一定要清清楚楚、明明白白，不可混淆。
2.意义：
标准化可以明显地看出二次函数的对称轴，以及是否与x轴有交点，同时知道x求y也比较好算。
用可逆线性变换化二次型为标准形
用可逆线性变换化二次型为标准形课程中心：http://202.194.131.160/sunli.html 山东农业大学数学系孙莉 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是222ax bxy cy f ++=为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度 ，作转轴使得上式变为只含有平方项的标准方程。
用可逆线性变换化二次型为标准形的方法1. 配方法关键：消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式Case 1:二次型中含某变量i x 的平方项和交叉项，先集中i x 的交叉项，然后与i x 配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量），这样后面求总的线性变换就比较方便，每次只对一个变量配方，余下的项中不应再出现这个变量。
再对剩下的1n -个变量同样进行。
Case 2: 二次型中没有平方项，只有交叉项，先利用平方差构造可逆线性变换。
例如：12,f x x =令112212,,,1,2k k x y y x y y x y k =-=+=≠.2. 合同变换法（成对初等行列变换法）构造分块矩阵如下，对该分块矩阵进行一系列初等行变换和对应相同的列变换把A 换为对角矩阵B 的同时，其中相应的列变换将单位矩阵E 化成了合同变换矩阵C .,r c A B E C ⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 正交变换法Step 1. 写出二次型对应的系数矩阵A ；Step 2. 求出系数矩阵A 的特征值和特征向量；（因为实二次型的系数矩阵为实对称矩阵，有定理表明：n 阶实对称矩阵一定可以对角化，即实对称矩阵一定可以找到n 个线性无关的特征向量。
需要注意的是实二次型单根特征值只对应一个线性无关的特征向量，k 重根特征值，对应k 个线性无关的特征向量。
前面所说的线性无关的特征向量，是某个特征值对应的齐次线性方程组所求得的基础解系。
化二次型为标准型的三种方法
化二次型为标准型的三种方法
一元二次型式可以通过三种方法来化为标准型：
① 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后使用猜想法找出根；
② 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后利用完全平方根的性质将一元二次型式化为一元二次型标准形式；
③ 将一元二次型式化为一元二次型联立形式，然后求解联立方程得出一元二次型标准型式。
以上三种方法都可以将一元二次型式化为标准型，帮助我们更好地分析根的存在性以及其它性质。
怎么化二次型为标准型
怎么化二次型为标准型首先，我们需要了解什么是二次型。
二次型是指具有下面形式的多项式：\[ Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]其中，\(a_{ij}\)是常数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)是变量。
当然，这里的\(a_{ij}\)可以是任意实数，而不一定是对称矩阵。
接下来，我们来看怎么将二次型化为标准型。
首先，我们需要进行配方法，即将二次型中的平方项配方成完全平方的形式。
具体来说，对于二次型中的每一项\(a_{ij}x_ix_j\)，我们可以将它配方成\((\alpha_ix_i + \beta_jx_j)^2\)的形式，其中\(\alpha_i, \beta_j\)是待定系数。
通过适当的选取\(\alpha_i, \beta_j\)，我们可以将二次型中的所有平方项都配方成完全平方的形式。
然后，我们将配方法后的二次型写成矩阵的形式。
具体来说，我们可以将二次型表示成矩阵的形式：\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]其中，\(\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T\)，\(A\)是一个对称矩阵，它的对角线上的元素是二次型中的平方项的系数，非对角线上的元素是二次型中的交叉项的系数的一半。
接下来，我们需要对矩阵\(A\)进行对角化。
对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即存在正交矩阵\(P\)，使得\(P^TAP\)是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的标准型的系数。
最后，我们将对角化后的矩阵重新表示成二次型的形式，就得到了二次型的标准型。
总结一下，化二次型为标准型的步骤主要包括配方法、矩阵表示、对称矩阵对角化和重新表示成二次型的过程。
这些步骤需要运用到线性代数中的许多知识，包括矩阵的运算、特征值和特征向量、正交矩阵等内容。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
二次型化为标准型的三种方法
f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
合同变换法化二次型为标准型
合同变换法化二次型为标准型合同变换法是一种将二次型化为标准型的方法，通过对二次型进行适当的正交变换，可以消去交叉项，将二次型化为一组只包含主对角线上的常数的形式。
本文将介绍合同变换法的基本原理和步骤，以及应用合同变换法化简二次型的示例。
合同变换法是基于以下基本原理：任意n阶实对称矩阵可以通过正交变换相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ。
这个正交变换可以通过求解矩阵A的特征值和特征向量来实现。
下面是合同变换法化简二次型为标准型的步骤：步骤1：写出原始的二次型。
假设有一个n元二次型Q(x1, x2, ..., xn) = x^TAx，其中x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
步骤2：计算A的特征值和特征向量。
求解A的特征值λ1, λ2, ..., λn和对应的线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn。
可以通过求解特征方程det(A - λI) = 0来得到特征值λi，进而求解方程组(A - λiI)v = 0得到对应的特征向量vi。
步骤3：构造正交矩阵P。
将特征向量v1, v2, ..., vn按列排列得到矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，即P的每一列是一个特征向量。
步骤4：计算合同变换矩阵PTAP。
计算合同变换矩阵PTAP = Λ，其中Λ为对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
步骤5：标准型化。
令y = P^T x，则y = (y1, y2, ..., yn)与x一样都是n维向量。
将二次型Q(x) = x^TAx表示为Q(y) = y^TPTAPy。
由于P为正交矩阵，P^T = P^(-1)，所以有Q(y) = y^TPTAPy = (Py)^TA(Py)= z^TΛz，其中z = Py。
最后得到的标准型为z^TΛz = λ1z1^2 + λ2z2^2 + ... + λnz^2，其中λi为A的特征值，z1, z2, ..., zn为新的变量。
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化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。
，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几 何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最 基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。
如果|cJ #。
，那么线性替换（4）就 称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。
• •y = x sinC + y cos 。
(2)a il a !2<>，a inA a 2l a 22*e-a 2n A=. . .<a nl a n2,，，anm>它就称为二次型的矩阵。
显然它是对称矩阵。
令 X=知. . <X n>于是二次型可写成f(x p x 2，…,x n ) = XAX 非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。
证明：下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。
我们对变量的个数做数学归纳法。
对于n=l,而二次型就是f(x,) = a I1xf 已经是平方和的形式了。
现假定对n-l 元二次n n型，定理的结论成立。
再假设f(X],X2，...,Xn )= ££aijXiXj (ajj=ciji ) i-1 j-1 分三种情况来讨论：1) a u (i=l, 2,…，n)中是少有一个不为零，例如a H *0o 这时nn n n f(x…x 2,...,x n ) = a H x^ +S aU x i x j +E a n x .x >+EE a ij x .x j j-2i-2 i-2 j=2n n n =+2Z"|Xj + ZZ %x,Xjj-2 i-2 j=2这里EE bijXjXj=.a 〈+££ a ui-2 j=2V j-27 i-2 j=2是一个X,,...,X 的二次型。
令 X IIy 产 x i +E a nVj x i = yi-X a n a «j x j j-2j-2< y 2 =x 2 即 = y 2=a nX|+Na 〔&jXj -a ；； 2>]jXjj-=311X l +E a H ，a ij X jj ・27I j ・272 n n+EE %x/j,i-2 j=22 n ni-2 j=2.Yn =X n这是一个非退化线性替换,它使f(xg,…,Xn)= aM+文文bg。
i-2 j=2有归纳法假定，对文丈稿出尸)有非退化线性替换i-2 j-2Z2=C22y2+C23y3+-C2nyn«z3=c32y2+c33y3+...c3n y n能使它变成平方和d,z；+d近+...以。
Zn =c n2y2+c n3y3+...c nn y n于是非退化的线性替换Z = *Z2=C22y2+C23y3+"・C2nyn< z3=c32y2+c33y3+...c3n y n.Z n=C n2y2+C n3y3+-C nnyn就使f(x p x2,...,x n)变成f(x,,x2,...,x n) = d2z； +d[Z； +...d n z；由归纳法，即证。
2) 所有舄都等于0,但至少一a^O (j>l),不是一般性，设a12^0o令X] = Zj + z2<2 1 2它是非退化线性替换，且使f(x p x.,...,x n) = 2a12x1x7+...x n = z n n n=2a p(Z| +Z「)(Z]- z「)+ ・・・=—2a”zS +...这时上式右端是Z|,Z”..,Zn的二次型，且Z《的系数不为0,属于第一种情况，定理成立。
3) a u =a l2 = ...a ln = 0 由于对称性,有a21 =a22 = ...a2n =0这时f(x p x2,...,x n)=旋心是n-1元二次型。
根据归纳假设，它能用非退化线性替‘1 0 O'r l -1 2、因此D=0 1 0,c=0 1 -1<0 0 -3;<0 0 1 >令X=CY,得/W, Xj,也)=对 + y22 - 3片五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A,都存在一个n级是正交矩阵T,使T T AT=T*AT成对角形。
n n定理任意一个实二次型f(x“X2,…,Xn)= ££aijXjXj ( a’a”) j-1都可经过正交的线性替换变成平方和f（x p x2,....x n） = d2zUd3zj+...d n z；其中平方项系数d「d,,...,dn就使矩阵A的特征多形式全部的根。
因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。
正交变换更具实用性。
如：典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲而?x1 +2y2 +3z2一= 1下把它正交替换成标准型:解：此方程左端的二项式部分为：/（x,y,z）=x2+2y2 +3z2-4xy-4yz'1 -2它的矩阵A= -2 20 -2 \ （2 + 1） ,A的全部特征值是2, 5,2-1-2 |2E-A|= 232 02-2 2 =(A-2)(2-5)2 2-3・1 .对于特征值2,求出（2E-A） X=0的一个基础解系:~3£32J >；对于特征值5,求出（5E.A） X=0的一个基础解系:‘1、a2 = -2把。
2单位化，得％ =<2 >3_22<3 >；对于特征值・1,求出（・E.A） X=0的一个基础解系:所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：2x^+5产一广=1 由此看出，这是单叶双曲而。
六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法(一) 相关定义 1、双线性函数定义V 是数域P 上一个线性空间，f( a , B )是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量Q 、 8,根据f 都唯一地对应于P 中一个数f(a,B)°如果f(a,B)有下列性质： 1)f(a , k"i + k2A )=k 1f(a,/71) + k 2f (6Z,/72) 2) f (k,^ +k 2a 2/?) =k 1f(a, /?)4-k 2f (a 2 fl)其中a,/,%,昆4用是V 中任意向量，k,,k 2是P 中任意数，则称f(«, 的一个双线性函数。
例如：欧式空间V 的内积是V 上双线性函数。
2、 对成双线性函数的定义f(a, 6)线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量a, 6都有f (。
， B) =f(6, a),则称f(a, B)为对称双线性函数。
3、 度量矩阵定义设f (。
，B )是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数。
上，％…是V 的一组%= 2，把。
3单位化， 得％ =32 3 1 J;3 3 (2o o--二，则T 是正交矩阵，且T"AT= 0 3 3 石 2 15 -1 ° 0,则 ra ，y,z)=2x"+5y"-zP'f—点)... f(£|,%)基，则矩阵入= : : 叫做f(a, 6)在习,^下的度量矩阵。
、f(%,勺…f(£n，%,结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。
(二)化二次型为标准型的雅可比方法设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基切,先,令n na== 遍"i=l i=lx=(X],,y=(Yp--My n),那么给定一个F上的n元二次型x r Ay (其中A是n阶对称矩阵)，则由A可以定义一'f(弓，勺... f(gn)'A= J •・. : 个V上对称双线性函数f(a, p )= x T Ay,其中勺…反之亦然。
在固足的基£"2,…，上下，二次型X】、Ax和对称双线性函数f( a, p)=x T Ay是互相唯一确定的(都是由A确定的)。
这种方法的中心问题是：对在V的基玲虬，…,％下游二次型x『Ax确定的对称双线性函数f(a,B)=x『Ay,满足条件f(7/,〃j)=0,对i#j(i,j=l,2，…n)我们知道，设｝是V的另一组基，而B=(bij)nxn =(f(〃i.〃j))是6) 关于这个基的矩阵，又设C=(%)n“是由基习，勺，…，与到基如…，〃n的过渡矩阵，即n〃1 = £%勺，i=l,…,n j・i那么B=C'「AC, (1)即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。
由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。