矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-矩阵的微分与积分、常用矩阵函数的性质、常用矩阵函数的性质

的解为： X (t) e A(t t0 ) X (t0 ).
例1 求解下述定解问题：
dX AX dt X (0) (1,1,1)T
3 1 1 A 2 0 1.
1 1 2
解: 由定理4 12，所求的解为: X (t) e At X (0).
E A ( 2)( 3), 1 0, 2 2, 3 3,
P 1
1
6
1 3 2
1 3 2
1 9 , 4
X
(t
)
e
At
X
(0)
P
1
1 6
1 5 2
1 1 0
2 1 1
1
e2t
e2t
P
1
1 1
.
e3t 1
1 1 11
3 3 9 1
e3t 2 2 41
1
1 5
3e 2 t 3e 2 t
8e 3 t 4e 3 t
4e 3 t
6
2 4e3t
作业
(
z )) mn
.
性质： 1.[A(z) B(z)] A(z) B(z). 2.[A(z)B(z)] A(z)B(z) A(z)B(z). 特别C 0, [CA(z)] CA(z).
3.A(z) (aij (u))mn , u
f (z),则dA(z) dz
dA(u) du . du dz
4.若A(z)可逆,且A(z), A1(z)都可导，则
dA1(z) A1(z) dA(z) A1(z).
dz
dz
定义2源自文库设A( x) (aij ( x))mn , x R,且aij ( x)可积，定义
b
a
A(
x
)dx
b
a a11( x)dx
b
a am1( x)dx
b
a a1n
(
x
0
1
,
2
,
3互异
，A
~
2
,
3
e0t
e At P
e2t
P 1,
e3t
求解 (0E A)x 0,得1 (1,5,2)T ,
求解 (2E A)x 0, 得2 (1,1,0)T ,
求解 (3E A)x 0, 得3 (2,1,1)T ,
于是P
1 5
1 1
2 1 ,
2 0 1
t e A F ( )d .
t0
(5)
例2 求解下述定解问题：
dX AX F (t) dt X (0) (1,1,1)T
3 1 1 A 2 0 1,
1 1 2
其中F(t) 0,0,e2t T .
解 由定理，所求的解为:
1 3e2t 8e3t
1
5
3e 2 t
X (0) ( x1(0),, xn(0))T
定理4-12 方程组(2)的通解为X (t) e AtC,其中
C c1,c2 ,,cn T ,c j C( j 1,2,, n).
满足初始条件的特解为: X (t) e At X (0).
推论：
定解问题：
dX dt
AX
(3)
X t t0 X (t0 )
dx2
dt
a21 x1
a22 x2
a2n xn
(1)
dxn dt
an1 x1
an2 x2
ann xn
初始条件x（1 0）, x（2 0）,, x（n 0）为给定.
令X
x1
,
A
a11
a1n
C
nn
,
xn
an1 ann
则方程组(1)及初始条件可写为：
dX AX dt
(2)
sin2A 2sinAcos A.
6. sin2 A cos2 A E.
sin( A 2E) sin A. cos( A 2E) cos A.
第八节 矩阵函数在微分 方程中的应用
一、矩阵函数用于解齐次微分方程组
设有一阶线性常系数齐次方程组：
dx1 dt
a11 x1
a12 x2
a1n xn
.
6
2 4e3t
二、矩阵函数用于解非齐次微分方程组
设有一阶线性常系数非齐次方程组：
dX AX F (t) dt
(4)
X t t0 X (t0 )
其中 F (t) f (t)1 , f (t)2 ,, fn (t)T .
定理： 定解问题(4)的解为：
X (t ) e A(t t0 ) X (t0 ) e At
)dx
,
b
a amn
(
x
)dx
a11( x)dx a1n( x)dx
A( x)dx
.
am1( x)dx
amn
(
x
)dx
性质： 1. AT ( x)dx [ A( x)dx]T .
2. [aA( x) bB( x)]dx a A( x)dx b B( x)dx. 3. Csm A( x)mndx Csm A( x)dx. 4. A( x)B( x)dx A( x)B( x) A( x)B( x)dx.
第七节 常用矩阵函数的性质
1. d e At Ae At e At A. dt
2. 若AB BA,则e At B Be At .
3. 若AB BA,则e Ae B e Be A e AB .
4. eiA cos A i sin A. cos A 1 (e iA e iA ), 2
cos( A) cos A,
sin A 1 (e iA e iA ), 2i
sin( A) sin A,
5. 若AB BA,则 cos( A B) cos Acos B sin Asin B. sin( A B) sin Acos B cos Asin B.
特别： cos2A cos2 A sin2 A.
第四章 矩阵函数及其应用
第六节 矩阵的微分与积分 第七节 常用矩阵函数的性质 第八节 矩阵函数在微分
方程中的应用
第六节 矩阵的微分与积分
定义1 设A(z) aij (z) mn ,aij (z)是复变量z的可导函数.
定义
d dz
A(
z)
d dz
aij
(
z ) mn
, 或A( z )
(aij