第4章多自由度系统振动

单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率；
202百度文库年3月6日
2、求解标准方程。
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
2021年3月6日
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
（1）正定系统 0
主振动
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
也可能出现形如 Xφ(a tb)的同步运动（不发生弹性变形 ）。
• 多自由度系统的固有频率 作用力方程： M X KX P(t) XRn
自由振动方程： M X KX 0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间
变化的规律都相同的运动。
Xφf(t)
f (t)R1
常数列向量 代表着振动的形状
运动规律的时间函数
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动 。
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思考：同步振动是不是解耦振动？
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
第四章
多自由度系统振动
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
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第4章多自由度系统振动
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
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M X KX 0
Xφf(t)
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
首先讨论正定系统的主振动：
正定系统： M X KX 0 XRn M 正定，K 正定
主振动： X φ asi nt () 0 φ [1 2 n]T
将常数 a 并入φ 中 Xφ si nt ()
小结：作用力方程、位移方程和矩阵
作用力方程 位移方程
MX KXP(t)
XF(PM X )
质量矩阵 ：M 中的元素 mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
刚度矩阵： K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位 位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
坐标X下系统：
MX KX P
坐标Y 下系统：
T T MTY T T KTY T T P
如果恰巧Y 是主坐标： T T MT T T KT 对角阵
2021年3月6日
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这样的T 是否存在？如何寻找？
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。
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M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量φ ： φTMφ0 φTKφ0
令： 2 0
2021年3月6日 对于正定系统必有 0 对于半正定系统，有 0 11
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
ff((tt))φ φTTM Kφ φ2
f(t)2f(t)0
a、b、 为常数
代入振动方程： (K 2M )φ 0 φ 有非零解的充分必要条件： K2M0 特征方程
k112m11 k122m12 k1n 2m1n
k212m21
k222m22
k2n 2m2n
0
k m k m k m 2021年3月6日
2021年3月6日
X[x1 x2 xn]T φ [1 2 n]T 10
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
MX+KX=0
Xφf(t)
XRn φRn
代入，并左乘 φ T ： φ TM φ f(t) φ TK φ f(t)0
：常数
f(t) f (t)
φ φTTM Kφ φ
线性代数知: 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。
对称性质： 若矩阵A 对称，则（TTAT）对称。
证明： 矩阵A 对称，A＝AT
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
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第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
柔度矩阵： F中的元素fij是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力 作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1 FK I
2021年3月6日 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 3
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。
刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力.
不出现弹性耦合时，一个坐标上 产生的位移只在该坐标上引起弹 性恢复力.
耦合的表现形式取决于坐标的选择
同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：
X TY 其中T 是非奇异矩阵