克莱姆法则 PPT

例4 (03考研) 已知齐次线性方程组
(a1 b)x1 a2x2 a3x3 L anxn 0
a1x1
(a2
b)x2 a3x3 M
L
anxn
0
a1x1 a2x2 a3x3 L (an b)xn 0
n
其中 a i 0 ,试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时, i1
(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.
＝6(2－k)≠0 ∴k≠2时方程组有唯一解
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例3 问 , 取何值时, 齐次线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
x2
x3
0
x1
2
x2
x3
0
有非零解?
解: 有非零解的充分必要条件D＝0
1 1 1 1 1
D 1 1 0 1 (1)
1 2 1 0 2 1
由D＝0得 1或0
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代入(*)左端, 又将Dj按第j列展开，得
n
j1
a ij (
Dj D
)
1 D
n j1
a
ij (
n k 1
b
k
A
kj
)
1 D
nn
( aij Akjbk )
j1 k1
[注]
1 D
n
(
k1
n j1
aij Akjbk
)
1n D k1 bk(
n
aij Akj )
j1
1 D
biD
＝bi ( i＝1, 2, …, n)
n
定理3
(定理2的
齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n
j1
逆否命题) 有非零解, 则 D＝0
注: 定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的
必要条件. 后面将证明也是充分条件.即：
n
齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n有非零解
j1
D0
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大家有疑问的，可以询问和交流 可以互相讨论下，但要小声
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例1 解线性方程组 解: 2 1 5 1
1 3 0 6 D
0 2 1 2 1 4 7 6
2 x1 x2 5 x3 x4 8
x1
3
x2
6x4 9
2 x2 x3 2x4 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
0 7 5 13
7 5 1 3 3 5 3
1 3 0 6
n
D, k i
Q aijAkj j1
0
,
k
i
a11 L a1,j1 b1 a1,j1 L a1n
Dj M
MMM
M
an1
L
an,j1
bn
an,j1
L
a5 nn
(2)若有一组数x1, x2 ,…, xn满足(*), 则
a11 a12 L a1n
a11 x1 a12 L a1n
Dx1＝x 1
综合定理及推论得:
n
D i j
k 1
a ik
A
jk
0
i j
n
D i j
k 1
a
ki
A
k
j
0
i j
2
1.4 克莱姆(Cramer)法则
n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不 为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则.
设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
D≠0
D＝0
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解 a1 b a2
a3 L
a1 a2 b a3 L
D a1
a2 a3 b L
M
n a1
a2
ai b
a 21 M
a 22
L
a2n a21 x1 a22 L MM
a2n M
an1 an2 L ann an1 x1 an2 L ann
a11x1 a12x2 L a1nxn a12 L a1n b1 a 1 2 L a 1 n
a21x1 a22x2 L a2nxn a22 L a2n b 2 a 2 2 L a 2 n
a21x1 a22x2 L a2nxn b2 (*)
M
an1x1 an2x2 L annxn bn
或表示为
n
aijxj bi
i 1,2,L,n
j1
3
定理1 设线性非齐次方程
a11 L
组(*)的系数行列式 D M
an1 L
a1n M0 ann
则(*)有唯一解
即:
D xj D
j
x1D D 1,x2D D 2,L,xnD D n
3 3
0
2Baidu Nhomakorabea
1
2 =－ 2
1
2 0
1
0
=27≠0
7 2
7 7 1 2 7 7 2
0 7 7 12
同理 D1=81, D2=－108, D3=－27, D4=27 ∴ x1=3, x2=－4, x3=－1, x4=1
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例2 k取何值时, 线性方程组
x1 x2 2 x3 3 x4 1
手机 关了吗？
1
复习：行列式按某行(列)展开定理及推论
按第 i行
n
D
展
开
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin aij Aij
j1
(i 1,2,L ,n)
按第 j列
n
展开
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj aijAij
i1
(j 1,2,L,n)
推论
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s) a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t)
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
齐次线性方程组:
a21
x1
a22 M
x2
L
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 L ann xn 0
n
或表示为 aijxj 0 i1,2,L,n
j1
齐次线性方程组必有零解 有否非零解？
7
n
定理2 齐次线性方程组 aijxj 0 i 1,2,L,n j1 当 D≠0 时只有零解, 没有非零解.
( j＝1, 2, …, n)
其中,
a11 L a1,j1 b1 a1,j1 L a1n
Dj M
MMM
M
an1 L an,j1 bn an,j1 L ann
( j＝1, 2, …, n)
4
证明: (1)是解. (2)解唯一.
(1)将 x j
Dj D
(j=1,2,…,n)
n
aij xj
j1
bi
i 1,2,L,n(*)
M
MM
M
an1x1 an2x2 L annxn an2 L ann b n a n 2 L a n n
＝D1 同理
x1 Dxj＝Dj
D1 D
xj
(D0) Dj , j1,2,L,n
D
6
注:用克莱姆法则解线性方程组的条件——
(1)方程个数＝未知量个数 (2)系数行列式D≠0
方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论
x1
3
x2
6
x3
x4
3
3 x1 x2 kx3 15 x4 3
有唯一解?
解: x1 5 x2 10 x3 12 x4 1
1 1 2 3 1 1 2 3 11 2 3
13 D
6
1 02
4 2 0 2
4 2
3 1 k 15 0 4 k 6 6 0 0 k 2 2
1 5 10 12 0 6 12 9 0 0 0 3