偏导数
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。
在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。
下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。
1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。
2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。
3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。
4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。
类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。
类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。
7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。
8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。
9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。
10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。
偏导数
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
二、高阶偏导数
函 数 z f ( x, y)的 二 阶 偏 导 数 为
z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ) 2 2 x x x y y y
x x0 y y0
，z y
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 ).
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数， 记作
2 2
,
2u yy x y2 2,2 2
u x
2 2
(x y ) x 2x
2
(x y )
2 2 2 2
2
y x
2 2
(x y )
2
,
u y u
2 2
(x y ) y 2y (x y )
2 2 2 2
x y
2 2
2 2
(x y )
y )
2
2
,
y (x
2
2
x
2
2 2
y )
；
5、 ( 二 、 1、 z x
x y
) (
z
1 y
x y
).
y ( 1 xy )
2
y1
xy , ( 1 xy ) ln( 1 xy ) y 1 xy
y
z
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的概念【重点】
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 fx (x, y) |(x0,y0) fx (x0, y0 )，这样就得到了函数 z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入 z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以 x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为 常数y0.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交
线
z f (x, y), x x0 在点M0(x0,y0,z0)处的切线关于y 轴的斜率.
二 、偏导数的求法
求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一 元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数 仍然适用.
例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求 z 时，可将 x
固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f (x,0) x2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在， 而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元 函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.
2.二元函数偏导数的几何意义 二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0
时，曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为
z f (x, y),
y
y0.
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几 何意义可知：fx(x0,y0)就是这 条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的 切线关于x轴的斜率.
偏导数的概念
1 t
x2 e 4t
2
2 5 x t 2
4
2 x e 4 t .
u 1 x t
x2 e 4t
x 2 2t
x2 3 1 2 4t t xe .
2u x
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以
x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为
常数y0.
例1 求函数 f ( x, y ) x 2 2 xy y 2 在点(1,3)处对x和y的 偏导数.
解
f x ( x, y ) 2 x 2 y
z z 3 2 2 2 3 解 x 9 x y , 3x y 6 xy , y x
2 z 2z 2 2 3 3 x 18 xy , 6 xy 6 y , 2 xy x
2z 2 18 x y, 2 y
2z 3x 2 18 xy 2 . yx
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号 是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
偏导数公式
偏导数公式f'x=(x^2)'+2y *(x)'=2x+2y。
1、偏导数的表示符号为。
计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
2、偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
在数轴上明确方向很重要，当规定向右为正方向时，在数轴上越往右，表示的数越大；越往左表示的数就越小。
两个数在数轴上的左右位置即决定了两个数的大小。
故此，数轴上的方向很重要，方向即决定了数的大小。
3、偏导数f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对x 轴的切线斜率。
斜率是数学、几何学名词，可用两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示，即k=tanα或k=Δy/Δx。
如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值为tan90°，故直线的斜率为无穷大。
偏导数详解
偏导数详解偏导数是微积分中常用的一种概念。
它是一个函数在特定点的变化率的度量，可以用来确定函数在某个点的曲线方向。
偏导数的计算可以有两种方法，一种是采用极限的方法，另一种是用偏导公式的方法。
极限的方法：要计算函数f(x)在点a处的偏导数，可以用下面的极限表达式： lim f(x)-f(a)x→a就是说，当x逐渐接近a时，f（x）与f（a）的差值会逐渐变小，最终趋于极限值。
如果这个极限值存在，那么它就是f（x）在点a处的偏导数。
偏导公式的方法：如果用偏导公式的方法，可以直接使用下面的公式求偏导数：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0同样，当h接近零时，f(x+h)与f(x)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值，就是f（x）在点a处的偏导数了。
如何计算偏导数？计算偏导数时，首先要认识到它是函数的斜率，因此只要将函数写成正规的函数形式，就可以使用上面介绍的两种方法来计算偏导数。
例如，要计算f(x)=2x2+3x+1在点x=2处的偏导数，首先将f(x)写成正规函数形式：f（x）=2x2+3x+1因此，f（2）=222+32+1=13用极限的方法，可以写出下面的极限表达式：lim f(x)-f(2)x→2用偏导公式的方法，可以写出下面的公式：f（x）的偏导数=lim(f(x+h)-f(x))/hh→0代入x=2，可以得到：f（2）的偏导数=lim(f(2+h)-f(2))/hh→0从上面的两个极限表达式可以看出，当x逐渐接近2时，f(x)与f(2)的差值会逐渐变小，最终趋于极限值7，因此f（2）的偏导数就是7。
偏导数的应用偏导数的应用非常广泛，它可以用于研究函数的局部变化，也可以用于研究函数的单调性和可导性。
例如，在做函数研究时，可以用偏导数来研究函数在某个点的单调性。
如果该点的偏导数大于零，则说明函数在该点是单调增的；如果该点的偏导数小于零，则说明函数在该点是单调减的；如果该点的偏导数等于零，则说明函数在该点有拐点。
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
偏导数详解
偏导数详解偏导数是求解多元函数的分析数学中的重要概念。
它是函数f（x，y）关于某一变量的偏导，描述的是当某一变量的值改变时，函数值的变化率。
一般来说，任意一个关于x，y的函数，其偏导数定义为：f x y = f x y其中，f x yx，y处函数值，f/x是对x求导后x，y处函数值。
以上式子定义的偏导数就是物理学中非常熟悉的微分，它比较容易理解，把x和y看作是两个变量，关于x求导就是把y看作是常数，求得函数关于x的变化率，也就是f/x；关于y求导就是把x看作是常数，求得函数关于y的变化率，也就是f/y。
对于二元函数的偏导数可以写成：fx=f 1=2fx2fy=f 2=2fy2其中，f1和f2是函数f的梯度向量，垂直于函数的曲面，恰好穿过函数的最高点（最大值）和最低点（最小值）。
偏导数的性质偏导数的性质有很多，如：（1）交换律：对任意函数，有f x y =f y x（2）链式法则：对任意函数，有f x y z =f x yyz+f y zzx+f x zxy（3）绝对值不变：对任意函数，有|f x y|=|f x y|（4）坐标不变：对不同的坐标系，偏导数是一致的。
用偏导数求极值偏导数可以用来求解多元函数的极值问题。
当函数f关于x，y 的偏导数都等于0时，则该点即是函数的极值点。
因此，若要求解函数f（x，y）的极值，只需要将f关于x，y 的偏导数等式都置为0，联立求解即可：fx=0fy=0例子求解函数f（x，y）=x2y+3xy22的极值首先将f x y =0，联立求解：2xy+3y2=22x+6xy=0解得x=3y，y=2/3令f x y =0，可得：f3y2/32+33y4/42=0f=26/27结论：当x=3y，y=2/3时，函数f（x，y）取最值-26/27。
结论以上，我们介绍了偏导数的定义、性质和求极值的方法。
偏导数的概念广泛应用于数学、物理、化学等多个学科领域，是分析各种多变量函数的重要工具。
偏导数
z f ( x , y ) 在点(x , y , f (x , y )) 0 0 0 0 , x x0
x x0 y y0
处的切线的斜率， 即 z y
tan .
二、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数
z f x ( x, y), x
z 如 x
处的切线的斜率, 即 z x
z f ( x , y ) , 在点 (x , y , f (x , y ) ) 是曲 线 0 0 0 0 x x0 y y0 y y
0
x x0 y y0
tan .
z 同理 y
x x0 y y0
是曲线
RT V R 由V , 得 , P T P
T V PV . 由T , 得 P R R
代入等式左边得
P V T RT R V RT RT 2 1 . V T P V P R VP RT
所以
P V T 1 V T P
2
2z x y x x x 2 y 2 2 2 2 2 y x 1 ( x y ) x ( 2 x 0) 2 , 2 2 2 2 2 (x y ) (x y )
验证了
2z 2z . x y y x
z , f ( x, y ), z 或 f x ( x , y ). x x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地，
函数，记作
z f ( x , y ), z y 或 f y ( x, y ). , y y
在不致混淆的情况下， 偏导函数也称偏导数.
2偏导数一、偏导数的定义及其计算
证
p
=
RT V
⇒
∂p ∂V
=
−
RT V2 ;
V = RT ⇒ ∂V = R; p ∂T p
T
=
pV R
⇒
∂T ∂p
=V; R
∂p ∂V
⋅
∂V ∂T
⋅
∂T ∂p
=
−
RT V2
⋅ R ⋅V = − RT p R pV
= −1.
注： 请同学们把上述结果与一元函数导数的 相应结果作一个比较.
=
3×1+ 2×2 =
7.
例 2 设z = x y ( x > 0, x ≠ 1)， 求证 x ∂z + 1 ∂z = 2z . y ∂x ln x ∂y
证
∂z = yx y−1,
∂x
∂z = x y ln x, ∂y
x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x
y ∂x ln x ∂y y
∂x
∂y
∂2z ∂x 2
=
6 xy2 ,
∂2z ∂y∂x = 6x2 y − 9 y2 − 1.
∂2z ∂x∂y = 6 x2 y − 9 y2 − 1,
∂2z ∂y 2
=
2x3
−
18 xy;
∂3z ∂x 3
=
6
y2,
例 7 设u = eax cos by ，求二阶偏导数.
解
∂u ∂x
=
ae ax
y)
=
⎪ ⎨
(
x
2
+
y2 )2
⎪⎩0
( x, y) ≠ (0,0) .
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于计算多元函数在某一点上的变化率。
它是指在多元函数中，对某一变量求导时，将其他变量视为常数进行求导的过程。
一、偏导数的定义对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量，偏导数表示函数f对其中一个自变量的变化率。
用∂表示偏导数，∂f/∂xi表示f对第i个自变量的偏导数。
在一元函数中，偏导数即为常见的导数。
二、偏导数的计算方法1. 一元函数的偏导数对于只含有一个自变量的函数f(x)，其偏导数即为一元函数的导数，计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx在计算过程中，将除数Δx趋近于0，求出极限值即可得到偏导数的值。
2. 多元函数的偏导数对于含有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，计算偏导数时需要分别对每个自变量进行求导。
以两个自变量的情况为例，对于f(x, y)，分别求取偏导数时，将另一个自变量视为常数。
具体计算方法为：∂f/∂x = lim(Δx->0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy->0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy同理，对于包含更多自变量的函数，按照类似的方法分别对每个自变量求取偏导数。
需要注意的是，在计算偏导数时，需要注意函数的可导性、连续性等数学性质，以保证计算的准确性。
三、偏导数的几何意义偏导数具有一定的几何意义，可以用来描述函数在某一点上的变化率和切线斜率。
对于二元函数f(x, y)，若其中两个偏导数∂f/∂x和∂f/∂y均存在，则可得到函数在某一点上的切平面方程，该切平面的法向量为<∂f/∂x,∂f/∂y, -1>。
四、应用举例偏导数在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的运动学和力学：偏导数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹和力学性质。
偏导数的定义及其计算法-PPT
ln x
例4例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
解 解 r
x
x r
y
y
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
p V
V T
T p
1
证 证 因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
z x
x x0 y y0
f x
x x0 y y0
zx xx0 或 fx(x0 y0)
y y0
类似地 函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数 >>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0 x, y0) x
f (x0, y0)
❖偏导数的符号
z x
在区域 D 内连续
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例7例 7 验证函数 z ln
x2 y2
满足方程 2z x2
2z y2
0
证 证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
y x2 y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
证明函数 u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z2
0
其中 r x2 y2 z2
证 证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3
偏导数的定义与计算
偏导数的定义与计算偏导数是高等数学中一个重要的概念，用于研究多元函数的变化率。
在本文中，我们将介绍偏导数的定义以及如何计算它。
一、偏导数的定义对于一个多元函数，它可能是一个变量的函数，也可能是多个变量的函数。
当我们固定其他变量，只考虑其中一个变量的变化时，所得到的导数称为偏导数。
对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以定义其关于 x 的偏导数为∂f/∂x，关于 y 的偏导数为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一变量上的变化率。
二、计算偏导数的方法1. 对于只含有一个变量的函数，例如 f(x)，其偏导数就是普通的导数，可以使用常规的求导法则来计算。
2. 对于含有多个变量的函数，例如 f(x, y)，可以逐个对各个变量求偏导数，其他变量视作常数。
具体计算方法如下：- 对于关于 x 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 x 的函数，即固定 y 不变，求 f(x, y) 对 x 的导数。
- 对于关于 y 的偏导数，将 f(x, y) 视为只是 y 的函数，即固定 x 不变，求 f(x, y) 对 y 的导数。
注：对于更多变量的函数，也可以使用类似的方法逐个求偏导数。
三、举例说明让我们通过一个例子来具体说明偏导数的计算过程。
例：考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2。
我们首先计算关于 x 的偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y接下来计算关于 y 的偏导数：∂f/∂y = 2x + 2y如此，我们就得到了 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 的偏导数。
四、应用与意义偏导数在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，偏导数用于研究多元函数的变化规律，帮助建立基础的微分方程。
在物理学中，偏导数则被用于描述各种物理量之间的关系，例如速度的导数就是加速度。
偏导数的计算也为我们提供了一种评估函数的斜率变化的方法，帮助我们更好地理解函数的行为模式和特点。
总结：本文介绍了偏导数的定义与计算方法，通过对多元函数中单个变量的变化率的研究，帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
高等数学-偏导数
高等数学-偏导数偏导数是多元函数微积分的重要概念，它是一个函数在某个点沿着某个方向的变化率。
通过偏导数可以研究多元函数的性质，求得最值点和方向导数等重要结果。
一、定义1.1 对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处，对x求偏导数定义为：可以理解为将y看做常数，对x进行求导。
二、求解方法偏导数的求解和一元函数的求导有些不同，需要注意以下几点：2.1 偏导数的计算只与所求变量有关，其它变量作为常数处理。
例如对于二元函数f(x,y)=xy+sin(x)其关于x的偏导数为：2.2 求偏导数时需要计算相应的极限，因此需要满足极限的存在。
例如对于二元函数f(x,y)=x^2y，f在(0,0)处的偏导数f‘ x和f ‘y均为0。
2.3 当函数存在二阶及以上的导数时，须注意求偏导数的顺序。
偏导数的计算顺序应当与求导阶数的顺序一致。
例如对于二元函数f(x,y)=xe^y+cosx，它的二阶偏导数f'' xy可以通过以下步骤求解：三、应用3.1 最值点在多元函数的优化问题中，最值点是非常重要的概念，偏导数可以帮助求解。
设f(x1,x2,...,xn)为多元函数，当它在点(x1 0,x2 0,..., xn 0)处取最大值或最小值时，称点(x1 0,x2 0,..., xn 0)为f的最值点。
最值点的判定定理为：例如对于二元函数f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3，在点(1,2)处有f‘x=2(x-1)=0，f‘y=2(y-2)=0，因此点(1,2)为可能的最值点。
通过计算可以得到：f‘‘xx=2,f‘‘yy=2,f‘‘xy=0，从而确定点(1,2)为f的最小值点。
3.2 方向导数方向导数是多元函数微积分的重要概念，它表示函数在某一方向上的变化率。
在三维空间中，每一点存在无数个方向，因此方向导数具有方向性。
设f(x,y,z)为三元函数，点P(x0,y0,z0)处的单位向量为l，其方向导数定义为：3.3 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以将一个函数在某点处的导数展开成一系列项的和，进而研究函数的性质。
偏导数概念及其计算方法
偏导数概念及其计算方法偏导数是微积分中的一个重要概念，用于描述多元函数在某一点上变化的快慢和方向。
在实际问题中，很多函数是由多个变量组成的，因此对于这样的函数，我们需要使用偏导数来计算其变化率。
本文将介绍偏导数的概念以及常见的计算方法。
一、偏导数的概念偏导数是多元函数在某一点上沿各个坐标轴方向的导数。
对于两个变量的函数，偏导数就表示函数在x 轴和y 轴方向的变化率。
一般地，如果一个函数由 n 个变量组成，那么它就有 n 个偏导数。
在计算偏导数时，我们将函数中的其他变量视为常数，仅关注一个变量的变化对函数的影响。
二、偏导数的计算方法1. 求偏导数时，首先确定要关注的变量，其他变量视为常数。
2. 对于函数 f(x, y)，以 x 为例，将函数对 x 进行求导，即对 x 进行求偏导数。
计算时将 y 视为常数。
3. 使用基本的求导法则进行计算，如常数法则、幂法则和求和法则等。
4. 将求导后的结果作为偏导数。
三、示例我们以一个简单的二元函数为例子来说明偏导数的计算方法。
假设有函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们来计算函数在点 (1, 2) 处关于 x 和 y 的偏导数。
首先计算关于 x 的偏导数，将 y 视为常数。
根据求导法则，对于x^2，其导数为2x；对于2xy，则有2y；对于y^2，其导数为0。
因此，关于 x 的偏导数为 2x + 2y。
接下来计算关于 y 的偏导数，将 x 视为常数。
根据求导法则，对于x^2，其导数为0；对于2xy，则有2x；对于y^2，其导数为2y。
因此，关于 y 的偏导数为 2x + 2y。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 在点 (1, 2) 处的关于 x 和 y 的偏导数分别为 6 和 6。
四、结论偏导数是多元函数中的重要概念，通过偏导数的计算，可以帮助我们了解函数在某一点上的变化情况。
求偏导数的方法主要是通过使用基本的求导法则来进行计算。
求解偏导数
求解偏导数
简介
偏导数是多元函数的导数的一种特殊形式，它表示当其他自变量保持不变时，函数对某一自变量的变化率。
本文将介绍偏导数的求解方法。
基本概念
偏导数是多元函数对某一自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
偏导数的求解过程类似于一元函数的导数求解，只需将其他自变量视为常数进行计算即可。
求解方法
对于一个多元函数，偏导数的求解方法如下：
1. 遵循多元函数的导数定义，将其他自变量视为常数。
2. 对于每个自变量，分别求偏导数。
将当前求导的自变量视为主动变量，其他自变量视为常数。
3. 按照求导规则，对每个自变量求导。
例子
下面是一个简单的例子来说明偏导数的求解方法：
考虑一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^3。
我们想求解 f 对 x 和 y 的偏导数。
1. 对于 x 的偏导数，我们将 y 视为常数，求导结果为∂f/∂x = 2x。
2. 对于 y 的偏导数，我们将 x 视为常数，求导结果为∂f/∂y = 3y^2。
总结
偏导数是多元函数对某一自变量的变化率，它的求解方法与一元函数的导数求解类似。
通过将其他自变量视为常数，按照求导规则对每个自变量进行求导，我们可以求解出函数对每个自变量的偏导数。
参考资料。
数学符号 偏导数
数学符号偏导数
偏导数（partial derivative）是微积分中的一个重要概念，它是表示函数的变化量的重要指标，主要用于解决多元函数极值问题。
偏导数在数学中表示为∂f/∂x，它表达某个变量y 对某个变量x的偏导数，即函数y=f（x）关于x的一阶偏导数，表示函数变化量与x的变化量成正比。
定义偏导数也是为了更加具体地刻画函数y随着某个变量x的变化在另一个变量状态下的变化，从而可以从定义偏导数的具体概念中看出它的实际意义：一般来说，偏导数表示函数y关于x的变化率，它的实际意义是表示函数y随x变化一次时，其变化量，或者说随x变化一个单位时，y的变化量。
另外，偏导数也可以给出多元函数极值问题提供有力的支持，由于极值问题需要定义出偏导数，即：假设函数f(x1,x2,x3,…,xn)的局部极值点是P=(a，b，c，……，z)，则必有：
∂f/∂x1=0,
∂f/∂x2=0,
……
∂f/∂xn=0.
由此可见，偏导数的定义及其实际意义，为极值问题的求解做出了重要贡献，因此在数学中偏导数具有重要地位。
偏导数
偏导数偏导数的概念偏导数的几何意义高阶偏导数偏导数的概念定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应的函数 有增量 ()()0000,,f x x y f x y +∆-，如果()()00000,,limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数,记作00x x y y z x ==∂∂，0x x y y f x==∂∂，00x x xy y z ==或()00,x f x y .类似地，函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数为x x y y z y==∂∂，0x x y y f y ==∂∂，00x x yy y z ==或()00,y f x y .()()00000,,limy f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作如果函数(,)f x y 在区域D 内任一点(,)x y 对x的偏导数都存在,则这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数(,)z f x y =对x 的偏导函数, 记作z x ∂∂，f x∂∂，x z 或(),x f x y .类似地，可定义函数(,)z f x y =对y 的偏导函数,记作z y ∂∂，fy∂∂，y z 或(),y f x y . 多元函数的偏导函数可简称为偏导数.例 求22(,)3z f x y x xy y ==++在点(1,2)处的偏导数.解把y 看作常数, 对x 求导:(1,2)x f 2132=⨯+⨯8=， (,)x f x y 23x y =+,将(1,2)代入，得把x 看作常数, 对y 求导:(,)y f x y 32x y =+,(1,2)y f 3122=⨯+⨯7=.偏导数的几何意义问题：一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上一 点，偏导数()00,x f x y 就是曲面被平面0y y =所截得 的曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.偏导数()00,y f x y 就 是曲面被平面0x x =所截 得的曲线在点0M 处的切 线0y M T 对y 轴的斜率.问题：在一元函数中,若函数在某点可导,则它在该点必连续,多元函数也有类似性质吗？注意：对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续.例 试证函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩的偏导数(0,0)x f 、(0,0)y f 都存在，但(,)f x y 在(0,0)不连续.证明(0,0)x f 0(0,0)(0,0)lim x f x f x∆→+∆-=∆000lim x x∆→-=∆0=， (0,0)y f 0(0,0)(0,0)lim y f y f y∆→+∆-=∆000limy y ∆→-=∆0=. 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩由于极限()()22,0,0limx y xyx y→+不存在，(,)f x y 在(0,0) 不连续.高阶偏导数设函数(,)f x y 在区域D 内具有偏导数如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数(),x z f x y y ∂=∂，(),y z f x y y∂=∂， (,)z f x y =的二阶偏导数.则在D 内(),x f x y 、(),y f x y 都是x 、y 的函数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶二阶偏导数:()22,xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭， ()2,xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，()2,yx z z f x y x y y x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()22,yy z zf x y y y y⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭. 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以定义三阶、四阶…以及n阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例 设322433z x x y xy x y =+--+，求22z x∂∂，2z y x ∂∂∂，2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂. 解 z x∂∂2212631x xy y =+--,z y ∂∂2361x xy =-+，22zx∂∂246x y =+,22z y ∂∂6x =-,2z x y ∂∂∂66x y =-,2zy x∂∂∂66x y =-.定理 如果函数(,)f x y 的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂、2z y x∂∂∂ 在区域D 内连续，则在该区域内有 22z z y x x y ∂∂=∂∂∂∂.推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
偏导数
在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
函数f关于变量x的偏导数写为或。
偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的
正体d。
这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后得到普遍接受。
简介
假设ƒ是一个多元函数。
例如：
f(x,y) = x2 + xy + y2。
f = x2 + xy + y2的图像。
我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。
因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。
偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。
通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。
定义
这是右图中y = 1时的图像片段。
一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。
例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线，我们把变量y视为常数。
右图中显示了函数的图像以及这个平面。
左图中显示了函数在平面y= 1上是什么样的。
通过求出这个图中的切线，我们发现ƒ在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。
我们把它记为：
在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。
定义
函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：。
也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f x，它是一个一元函数。
也就是说：
f x(y) = x2 + xy + y2。
一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f a，把y映射到a2+ ay + y2：
f a(y) = a2 + ay + y2。
在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f a是只有一个变量的函数，这个变量是y。
这样，便可以使用一元函数的导数的定义：
f a'(y) = a + 2y。
以上的步骤适用于任何a的选择。
把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了f在y方向上的变化：。
这就是f关于y的偏导数，在这里，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。
为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。
一般地，函数f(x1,...,x n)在点（a1,...,a n）关于x i的偏导数定义为：。
在以上的差商中，除了x i以外的所有变量都是固定的。
这个固定值的选择决定了一个一元函数，根据定义，。
这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。
多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间R n（例如R2或R3）上的标量值函数
f(x1,...x n)。
在这种情况下，f关于每一个变量x j具有偏导数∂f/∂x j。
在点a，这些偏导数定义了一个向量：。
这个向量称为f在点a的梯度。
如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f（a）。
这样，梯度便决定了一个向量场。
例子
考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：。
V关于r的偏导数为：。
它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。
V关于h的偏导数为：
它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。
现在考虑V关于r和h的全导数。
它们分别是：
以及
现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：
这便给出了全导数：
含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。
记法
在以下的例子中，设f为x、y和z的函数。
f的一阶偏导数为：。
二阶偏导数为：。
二阶混合偏导数为：。
高阶偏导数为：。
当处理多变量函数时，有些变量可能互相有关，这样就需要明确指定哪些变量是固定的。
在诸如统计力学的领域中，f关于x的偏导数，把y和z视为常数，通常记为：。
正式定义和性质
像导数一样，偏导数也是定义为一个极限。
设U为R n的一个开子集，f: U→R是一个函数。
我们定义f在点a = (a1, ..., a n) ∈U关于第i个变量x i的偏导数为：
即使在某个给定的点a，所有的偏导数∂f/∂x i(a)都存在，函数仍然不一定在该点连续。
然而，如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续，那么f在该邻域内完全可微分，且全导数是连续的。
在这种情况下，我们称f是一个C1函数。
偏导数可以视为定义在U内的另外一个函数，并可以再次求偏导数。
如果所有的混
合二阶偏导数在某个点（或集合）连续，我们便称f为在该点（或集合）的一个C2函数；在这种情况下，根据克莱罗定理，偏导数可以互相交换：。
参见
•达朗贝尔算子
•复合函数求导法则
•旋度
•方向导数
•散度
•外导数
•梯度
•雅可比矩阵
•拉普拉斯算子
•二阶偏导数的对称
•三乘积法则，又称为循环链式法则。