平面向量的坐标表示ppt
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
《平面向量的坐标》课件
平面示成(x,y)，称之为向量 的坐标
终点坐标表示法
在平面直角坐标系中，用点P的坐标 表示向量→OP
终点坐标表示法
平面直角坐标系
由两条互相垂直的坐标轴和坐标原点组成。在平 面向量中，我们将其中一个点作为向量的起点。
终点坐标
在平面直角坐标系中，用点P的坐标表示向量 →OP。向量的模长：||→OP|| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
坐标表示法
1 坐标定义
2 坐标推导
把向量→OP表示成(x,y)，称之为向量的坐标
→OP = (x2,y2) - (x1,y1)
坐标表示法的性质
1
向量坐标的加减法
2
向量加减法可以转化为坐标加减法进
行计算，简化了复杂运算。
3
零向量与坐标轴
零向量在坐标系中的坐标为(0,0)，与 x轴和y轴重合。
数量积与坐标表示法
《平面向量的坐标》PPT 课件
欢迎来到《平面向量的坐标》PPT课件。在这个课件中，我们将探讨平面向 量的定义、表示方式和性质。
什么是平面向量
1 定义
平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。广泛用于表示二维物理量、几何量 等。
2 用途
平面向量在物理、几何、计算机等领域有着广泛的应用，是这些学科的基础概念之一。
数量积计算时用的是坐标，而不是箭 头表示法。通过坐标可以快速计算向 量的数量积。
结论
重要性
终点坐标表示法和坐标表示法在平面向量的 表示上扮演着重要的角色。
坐标表示法的优势
坐标表示法的数学性质让向量加减法的计算 更加简便。
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
《平面向量的坐标表示》ppt课件
OM 2i， ON 3j．
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考
探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点 M ( x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－ 18(2)） ，则
运用知识
组合表示向量OA．
强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性
OA 2， 3 =-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4 ．
运用知识
强化练习
， BA 的坐标． 已知A，B两点的坐标，求 AB
动脑思考
探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 ( x, y )， 使得 a xi yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作
a ( x, y )．
巩固知识
典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
略.
创设情境
兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥ b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考
探索新知
设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 由 a b ，有
运用知识
强化练习
3．已知A，B两点坐标，求 AB， BA 的坐标及模． (1) A (5,3)， (2) A (1,2)， (3) A (4,0)， B (3，−1)； B (2，1)； B (0，−3)．
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考
探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点 M ( x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－ 18(2)） ，则
运用知识
组合表示向量OA．
强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性
OA 2， 3 =-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4 ．
运用知识
强化练习
， BA 的坐标． 已知A，B两点的坐标，求 AB
动脑思考
探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 ( x, y )， 使得 a xi yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作
a ( x, y )．
巩固知识
典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
略.
创设情境
兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥ b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考
探索新知
设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 由 a b ，有
运用知识
强化练习
3．已知A，B两点坐标，求 AB， BA 的坐标及模． (1) A (5,3)， (2) A (1,2)， (3) A (4,0)， B (3，−1)； B (2，1)； B (0，−3)．
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》课件
中职数学基础模块下册 《平面向量的坐标表示》 ppt课件
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
平面向量的坐标表示-PPT课件
3、分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基 底， 我们可以用坐标来表示向量吗？
y
P(4, 5)
5
r
e2
3 2
O (1,3) P(3, 2)
r j
r O i1
3
4
rx
e1
uuur r r
OP 3i 2 j
uuuur
r
r
OP (4 1)i (5 3) j
rr
3i 2 j
平面向量的坐标表示
复习回顾
1、平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理:
如么果对于er1 这, er2一是平同面一内平的面任内一的向两量个ar不，共有线且的只向有量一，对那实
数 1, 2 使得 ar 1er1 2er2 。
2、类比力的正交分解新,当知基探底索er1 er2时,你联想r 到r了什么？
一一 对应
r j
O
r i
P( x, y)
x
【 且|例a|＝2】2，|在b|直＝角3，坐| c标|＝系例4x，O题分y 中别讲，计解向算量出它a, b们, c的的坐方标向．如图所示，
例题讲解
【例3】已知点A（1，0）, B（0, 2），C（-1，- 2），求YABCD的顶点D的坐标。
思考：1.如量的方法该如何解答？
B
解：
oA
x
C
D
得（0,2）（- 1,0）（-1，- 2）（- x, y）
即（-1,2）（-1 - x,2 y）
所 以-12-x
1 ,
y2
x y
0 4
即点D的坐标为（0，-4）。
平面向量运算的坐标表示
若a
(
x1,
y
P(4, 5)
5
r
e2
3 2
O (1,3) P(3, 2)
r j
r O i1
3
4
rx
e1
uuur r r
OP 3i 2 j
uuuur
r
r
OP (4 1)i (5 3) j
rr
3i 2 j
平面向量的坐标表示
复习回顾
1、平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理:
如么果对于er1 这, er2一是平同面一内平的面任内一的向两量个ar不，共有线且的只向有量一，对那实
数 1, 2 使得 ar 1er1 2er2 。
2、类比力的正交分解新,当知基探底索er1 er2时,你联想r 到r了什么？
一一 对应
r j
O
r i
P( x, y)
x
【 且|例a|＝2】2，|在b|直＝角3，坐| c标|＝系例4x，O题分y 中别讲，计解向算量出它a, b们, c的的坐方标向．如图所示，
例题讲解
【例3】已知点A（1，0）, B（0, 2），C（-1，- 2），求YABCD的顶点D的坐标。
思考：1.如量的方法该如何解答？
B
解：
oA
x
C
D
得（0,2）（- 1,0）（-1，- 2）（- x, y）
即（-1,2）（-1 - x,2 y）
所 以-12-x
1 ,
y2
x y
0 4
即点D的坐标为（0，-4）。
平面向量运算的坐标表示
若a
(
x1,
平面向量的坐标表示 ppt
2.3.3 平面向量的坐标运算
的三个顶点A、 、 的坐 例3． 已知平行四边形 ． 已知平行四边形ABCD的三个顶点 、B、C的坐 的三个顶点 标分别为（－ （－2， ）、（ ）、（3， ），求顶点D的 ），求顶点 标分别为（－ ，1）、（ －1，3）、（ ，4），求顶点 的 ， ）、（ 坐标． 坐标． 设顶点D的坐标为 的坐标为（ ， ） 解：设顶点 的坐标为（x，y）
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
λ a = (λ x ,λ y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标． 应坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
），b=（ ， ）， ），求 例2．已知 （2，1）， （-3，4），求aa+4b的坐标． 的坐标． 的坐标 解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； （ ， ） （ ， ） （ ， ）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； （ ， ） （ ， ） （ ， ）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） （ ， ） （ ， ） =（6，3）+（-12，16） （ ， ） （ ， ） =（-6，19） （ ， ）
r r 若向量 a = ( −1, x ), 与 b = ( − x,2)
方向相同, 求 x. 方向相同
2.3.4 平面向量共线的坐标表示 3. 向量平行 共线)条件的两种形式 向量平行(共线 条件的两种形式 共线 条件的两种形式:
r r r r r r (1)a // b (b ≠ 0) ⇔ a = λb ; r r r r r r (2)a // b (a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), b ≠ 0) ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
平面向量的坐标表示ppt课件
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
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x2
,
y2
),
b
0)
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
例题
1. 已知
a (4,2),
b
(6,
y),
且a//
b,
求y
2. 已知 A(1,1), B(1,3),C(2,5),
求证: A、B、C 三点共线。
3.
若向量
a
(1,
x),
与
b (x,2)
共线且
方向相同, 求 x.
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
例3． 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的 坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
2.3.2 平面向量的坐标表示
已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) 求 AB
A(x1, y1 )
y B(x2 , y2 )
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )， b (x2 , y2 )，求a+b，a-b．
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
2.3.4平面向量共线的坐标表示
1.
a 向量 与非零向量
只有一个实数 ,
b使得平a行(共线b)的条件是有且
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的条件?
设会得a到什(x么1,样y的1),重b要 结(论x2?, y2 )
2.3.2 平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示 1．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？ 2．建立在直角坐标系下,基底取与x 轴、y 轴方向相同 的两单位向量i 、j ,任意向量a可表示为:有且只有一对 实数x、y，使得a =xi + yj, （x，y）叫做向量a的坐标， 记作a=xi + yj,也可表示为:a=(x,y). 那么i =（1 ，0） j =( 0 ，1 ) 0 =（ 0 ，0）
,b
即 x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由
a0
b 得
这就是说:x1ay2//bx(b2 y1
0
0) 的条件是
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)条件的两种形式:
(1)a//
b (b
0)
a
b;
(2)a//
b(a
(
x1,
y1
),b
(