第一讲幂的运算性质
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版) 25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型4】幂的混合运算.........................................................4;【题型5】幂的运算的应用.......................................................4;【题型6】直通中考.............................................................5;【题型7】拓展与延伸...........................................................5.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab+=【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224n n a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n n x x x x x ．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0。
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一 知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。
（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。
公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。
】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
初中数学专题复习资料-----幂的运算性质
初中数学专题复习资料-----幂的运算性质【知识梳理】1、知识结构2、知识要点（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ←→a m+n =a m ·a nnm nma a a +=⋅（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即←→a mn =(a m )n =(a n )m()mnnm aa=（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即←→a n b n =(ab)n()nn nb a ab =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 ←→a m-n =a m ÷a n （a ≠0）nm n ma a a -=÷（5）零指数和负指数：规定，（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数）10=a ppa a1=-3、中考预测对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。
（一）同底数幂的乘法【解题讲解-------基础训练】【例1】 1、（－）2×（－）3= 。
2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8= 1212。
3、a 16可以写成（ ） A ．a 8+a 8； B ．a 8·a 2 ； C ．a 8·a 8 ； D ．a 4·a 4。
4、下列计算正确的是（ ） A ．b 4·b 2=b 8 B ．x 3+x 2=x 6 C ．a 4+a 2=a 6 D ．m 3·m =m 4【解题讲解-------能力提升】【例2】1、下面的计算错误的是（ ）A ．x 4·x 3=x 7B ．（－c ）3·（－c ）5=c 8C ．2×210=211D ．a 5·a 5=2a 102、x 2m+2可写成（ ） A ．2x m+2 Bx 2m +x 2 C ．x 2·x m+1 D ．x 2m ·x 23、若x ，y 为正整数，且2x ·2y =25，则x ，y 的值有（ ）对。
初中数学幂的运算性质公式
初中数学幂的运算性质公式
幂的运算性质是指在进行幂的运算过程中，幂与幂之间、幂与数之间
可以进行一系列的运算操作，满足一定的规律和公式。
下面将介绍幂数的
运算性质公式，包括幂数的乘积、幂数的积的幂、幂数的幂的乘积、除法、负指数、零指数等各个方面。
一、幂数的乘积：
在幂数的乘积中，如果底数相同，则指数相加。
例如：a^m*a^n=a^(m+n)
二、幂数的积的幂：
在幂数的积的幂中，先对每一个幂数求幂，再把结果相乘。
例如：(a^m*b^n)^p=(a^m)^p*(b^n)^p=a^(m*p)*b^(n*p)
三、幂数的幂的乘积：
在幂数的幂的乘积中，如果底数相同，则指数相乘。
例如：(a^m)^n=a^(m*n)
四、幂数的除法：
在幂数的除法中，如果底数相同，则指数相减。
例如：a^m/a^n=a^(m-n)
五、负指数：
一个数的负指数等于其倒数的正指数。
例如：a^(-m)=1/a^m
六、零指数：
一个非零数的零指数等于1
例如：a^0=1(其中a不等于0)
七、唯一性：
幂运算满足唯一性，即一个数的幂运算结果只有唯一确定的值。
如果
一个数有两个不同的幂运算结果相等，则这两个幂运算结果必定相等。
例如：若a^m=a^n，则m=n
八、法则的运用：
在运用幂运算性质公式时，可以根据需要将多项幂运算结合起来，进
一步简化计算。
以上是初中数学中幂的运算性质公式的一些基本内容。
在实际运用中，还需要综合运用这些公式，灵活应用于解决各种具体问题。
幂的运算方法归纳总结
幂的运算方法归纳总结幂运算是数学中常见的运算方法之一，通过将一个数称为底数，另一个数称为指数，进行计算得到结果。
在实际问题中，幂运算具有广泛的应用。
本文将归纳总结幂的运算方法，帮助读者更好地理解和应用幂运算。
1. 幂数的概念幂数是指幂运算中的底数，可以是任何实数或复数。
幂数对于幂运算结果的大小起着重要作用。
当幂数为正数时，指数增大幂的结果也会增大；当幂数为负数时，指数增大幂的结果会逐渐趋近于零或者变号；当幂数为零时，任何指数的幂都等于1。
2. 指数的概念指数是幂运算中表征幂数重复使用次数的数，可以是正整数、负整数、零或分数。
指数为正时，幂数的幂结果大于幂数本身；指数为负时，幂数的倒数的幂结果大于幂数本身；指数为零时，任何幂数的幂结果都等于1；指数为分数时，幂数的幂运算可以通过开方等方式进行计算。
3. 幂运算的基本性质幂运算具有一些基本性质，便于进行计算和推导。
(1) 幂运算的指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
这个性质适用于同一个底数不同指数的乘积运算。
(2) 幂运算的指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
这个性质适用于同一个底数不同指数的除法运算。
(3) 幂运算的幂次相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
这个性质适用于同一个底数取幂后再次取幂的运算。
(4) 幂运算的指数为负时，即a^(-n) = 1 / a^n。
这个性质适用于幂数的倒数的幂运算。
4. 幂运算的特殊情况幂运算的特殊情况包括幂数为0和指数为0的情况。
(1) 幂数为0时，0的任何正整数次幂均等于0，0^0的结果没有定义。
(2) 指数为0时，任何数的0次幂均等于1，即a^0 = 1，其中a≠0。
5. 幂运算的计算方法在实际计算中，幂运算可以通过不同的方法进行计算。
(1) 对于正整数指数，可以使用连乘法进行计算。
例如，3^4 = 3 * 3 * 3 * 3。
(2) 对于负整数指数，可以使用幂数的倒数再进行连乘法计算。
幂的四种运算法则
幂的四种运算法则摘要：一、幂的定义与性质1.幂的定义2.幂的性质二、幂的运算法则1.幂的乘方2.幂的除法3.幂的加法4.幂的减法三、实际应用与例子1.幂在实际生活中的应用2.幂的运算例子四、总结与展望1.总结幂的四种运算法则2.展望幂的进一步研究正文：幂的四种运算法则广泛应用于数学、物理、化学等领域，掌握这些运算法则对于解决实际问题具有重要的意义。
一、幂的定义与性质幂是指将一个数连乘若干次，其中乘方的指数表示连乘的次数。
例如，2的3 次方（2）表示将2 连乘3 次，即2×2×2=8。
幂的性质包括：幂的乘方、幂的除法、幂的加法和幂的减法等。
二、幂的运算法则1.幂的乘方：幂的乘方是指将一个幂与另一个幂相乘，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相乘，结果为a 的m+n 次方。
如：2 × 2 = 2。
2.幂的除法：幂的除法是指将一个幂除以另一个幂，例如，a 的m 次方除以a 的n 次方，结果为a 的m-n 次方。
如：2 ÷ 2 = 2。
3.幂的加法：幂的加法是指将两个同底数的幂相加，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相加，结果为a 的m+n 次方。
如：2 + 2 = 2。
4.幂的减法：幂的减法是指将两个同底数的幂相减，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相减，结果为a 的m-n 次方。
如：2 - 2 = 2。
三、实际应用与例子幂在实际生活中有广泛的应用，如计算机科学中的二进制运算、物理学中的量子力学、化学中的化学反应等。
例如，在计算机科学中，二进制数的幂运算可以用于实现加密和解密算法。
在物理学中，量子力学中的波函数和薛定谔方程都涉及幂运算。
以下是一些幂运算的例子：1.计算2 的5 次方：2 = 2×2×2×2×2 = 32。
2.计算2 的3 次方除以2 的2 次方：2 ÷ 2 = 2×2×2 ÷ 2×2 = 2。
初中数学幂的运算
初中数学幂的运算在初中数学的学习中，幂的运算可是一块重要的基石。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一扇又一扇神秘的大门。
咱们先来说说什么是幂。
简单来讲，幂就是指一个数自乘若干次的形式。
比如说，2 的 3 次幂，表示 2 乘以自己 3 次，也就是 2×2×2 ＝8 。
在幂的表示中，底数就是那个被乘的数，像刚才例子里的 2 ；指数就是底数自乘的次数，比如 3 。
接下来，咱们聊聊幂的运算规则。
首先是同底数幂的乘法。
如果有两个同底数的幂相乘，比如 a 的 m 次幂乘以 a 的 n 次幂，结果就是 a的（m ＋ n）次幂。
这就好比一堆相同的苹果，一堆有 m 个，另一堆有 n 个，加在一起不就是（m ＋ n）个嘛。
再说说同底数幂的除法。
a 的 m 次幂除以 a 的 n 次幂（a 不等于0），结果就是 a 的（m n）次幂。
这也好理解，就像把一堆 m 个的苹果，拿走 n 个，不就剩下（m n）个了嘛。
然后是幂的乘方。
（a 的 m 次幂）的 n 次方，结果就是 a 的（m×n）次幂。
这就好像给一组相同数量的东西，每组有 a 的 m 次幂个，一共有 n 组，那总数不就是 a 的（m×n）次幂个嘛。
还有积的乘方。
（ab）的 n 次幂，等于 a 的 n 次幂乘以 b 的 n 次幂。
想象一下，一个大长方形，长是 a ，宽是 b ，现在把它分成 n 个小长方形，每个小长方形的面积不就是 a 的 n 次幂乘以 b 的 n 次幂嘛。
为了更好地掌握幂的运算，咱们得多多练习。
比如说，计算 2 的 3次幂乘以 2 的 4 次幂。
因为是同底数幂相乘，底数 2 不变，指数 3 ＋ 4 ＝ 7 ，所以结果就是 2 的 7 次幂，也就是 128 。
再比如，计算 3 的 5 次幂除以 3 的 2 次幂。
同底数幂相除，底数 3不变，指数 5 2 ＝ 3 ，所以结果就是 3 的 3 次幂，也就是 27 。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
幂的运算性质复习优秀课件
同底数幂的乘法法则应用“三点注意” 1.不要漏掉单独字母的指数1. 2.把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化. 3.不要把同底数幂的乘法计算与整式的加法计算混淆.
知识点 同底数幂的乘法法则的应用
【示范题2】已知ma+b·ma-b=m2014，求a的值.
逆用同底数幂的乘法法则“两点注意” 1.转化过程中要时刻注意保持幂的底数相同. 2.解题时注意整体思想的应用.
幂的运算性质复习
幂的运算性质：
• 1.同底数幂的乘法法则：
(1)语言叙述：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. (2)式子表示：am·an=____(m，n都是正整数). 2.幂的乘方法则： (1)文字描述：幂的乘方，底数_____，指数_____. (2)符号表示：(am)n=___(m，n为正整数).
知识点 幂的乘方运算 【示范题3】计算： (1)-(a4)3. (2)(xm)4. (3)(a4)3·a3. (4)[(-6)5]6.
1.进行幂的乘方运算时，要注意系数为-1时的“-”号和括号里的“-”号与 括号外的“-”号的区别. 2.当算式中不止一种运算时，要分清运算的顺序及运算的法则.
同底数幂的乘法与幂的乘方的比较
知识点 逆用积的乘方法则
【示范题6】计算：0.252013×(-4)2014-8100× ( 1 )300. 2
幂的运算法则逆用选择
运算特点
适用法则
幂的指数为和的形式
同底数幂的乘法
幂的指数为积的形式
幂的乘方
幂的指数相同(或相差不大)，底数的积容 易计算
积的乘方
知识点 积的乘方运算 【示范题5】计算：(1)-(-3a2b3)4. (2)(xn+1y2-n)2. (3)(-2x2)3·x5.
幂的运算
望子成龙春季班专用资料第一讲：幂的运算一、解读课标1、 数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算。
2、整式的乘除法的各个运算之间存在着内在联系，是可以互相转化的，多项式与多项式相乘可以转化变成单项式与多项式想乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底的幂的乘法进行运算，因此，幂的运算是整式运算的基础。
3、幂的运算性质：（1）、n m n m a a a +=∙ （2）、mn m n n m a a a ==)()(（3）、n n n b a ab =)( （4）、0,≠=÷-a a a a n m n m（5）、)0(,10≠=a a （6）、 )0(,1≠=-a a ap p 二、问题解决：例1、（1)、若n 为不等式200n>3006的解，则n 的最小正整数的值是多少？ （2）、已知,12=+x x 那么200922234+--+x x x x 的值是多少？例2、把下列各数用“<”连接起来：.6,5,3,2.22334455例3、设d c b a ,,,都是正整数，并且,19,,2345=-==a c d c b a求、b d -的值。
例4、如果z y x ,,满足 ,16)1027()916()815(=⋅⋅c b a求、yx y x 22+-的值。
例5、设01223344555)13(a x a x a x a x a x a x +++++=-求：（1）、012345a a a a a a -+-+-的值，（2）、|5a |+|4a |+|3a |+|2a |+|1a |的值。
三、课堂练习：1、中考连接（1）、满足200)1(-x >3003的x 的最小正整数是 ， （2）、如果,012=-+x x 那么代数式=-+7223x x ，（3）、计算=⋅⋅-++1422222n nn ， （4）、=-⋅⋅-200920072008)57()85()711( ， （5）、若011111121262)1(a x a x a x a x x ++++=+- ，则=++++++024681012a a a a a a a ，2、竞赛连接（1）、如果,200080,200025==y x求、yx 11+的值，（2）、计算 ，（3）、如果,0132=-+x x 则20095523+++x x x 的值是多少？（4）、已知|y x -2|+0)3(2=-b a 求：xyb y ab x a xy b y ab x a 32223322232332++++的值。
《幂的运算》复习课课件讲课
幂的乘方
总结词
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
详细描述
当一个幂再次被取幂时，可以将它们的指数相乘，底数保持不变。例如，$(a^m)^n = a^{m times n}$。
积的乘方
总结词
积的乘方等于各因式乘方的积。
详细描述
当几个项的乘积被取幂时，可以将每个项分别取幂后再相乘。例如，$(ab)^n = a^n times b^n$。
《幂的运算》复习课课件讲课
汇报人： 202X-12-28
目录
• 幂的定义与性质 • 幂的运算规则 • 幂运算的应用 • 幂运算的注意事项 • 幂运算的练习题与解析
01
幂的定义与性质
Chapter
幂的定义
总结词
幂是乘方运算的结果，表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。
详细描述
幂运算是一种数学运算，表示一 个数连续与一个相同的数相乘的 次数。例如，2的3次幂表示2乘 以自己2次，即2×2×2=8。
幂的性质
总结词
幂的性质包括同底数幂相乘、同底数 幂相除、幂的乘方和积的乘方等。
详细描述
同底数幂相乘时，指数相加；同底数 幂相除时，指数相减；幂的乘方时， 底数不变，指数相乘；积的乘方时， 将每个因式分别乘方，然后相乘。
幂的性质的推导过程
总结词
通过实例和证明，理解幂的性质的推导过程。
详细描述
通过具体的实例和证明，深入理解幂的性质的推导过程。例如，对于同底数幂 相乘的性质，可以设两个同底数幂为a^m和a^n，则它们的乘积为a^(m+n)， 从而证明了同底数幂相乘时，指数相加的性质。
03
幂运算的应用
Chapter
02
幂的运算规则
七年级下册幂的运算知识点
七年级下册幂的运算知识点幂的运算在数学中是一个基础且重要的概念。
在七年级下册的数学学习中，学生们会接触到幂的运算，并掌握幂的基本运算规律。
本文将从定义、运算法则和应用三个方面详细介绍幂的运算知识点。
一、定义幂是数学中的一种表示方式，用于表示一个数的指数形式，由底数和指数两部分组成。
其中，底数是被乘方的数，指数表示幂的次数，比如a^2表示a的平方，a^3表示a的立方。
二、运算法则1. 幂的乘法规则底数相同时，幂相乘，指数相加。
例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^72. 幂的除法规则底数相同时，幂相除，指数相减。
例如，5^7 ÷ 5^4 = 5^(7-4) = 5^3 3. 幂的幂法则幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12 4. 积的幂法则积的幂等于各因子幂的乘积。
例如，(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^45. 商的幂法则商的幂等于分子幂除以分母幂。
例如，(5^4 ÷ 7^2)^3 = 5^(4×3) ÷ 7^(2×3)三、应用幂的运算在数学中有广泛的应用。
比如，在科学计算中，通过对数据进行指数运算，可以得到更加精确的结果。
在几何中，幂的概念还可以用于圆的切线和切点的问题中。
另外，在代数表达式的化简中，幂的运算也是不可或缺的一部分。
通过灵活运用幂的运算法则，可以简化代数式，使得计算更为方便和高效。
总之，幂的运算是学习数学的基础，在学习第一次接触一定要认真掌握。
同时，也要灵活应用幂运算法则，掌握好运用方法，为后续的学习打下坚实的基础。
幂的运算性质
指数的除法运算
指数的加减
• (a^m) ± (a^n) = a^(m±n)
指数的除法
• (a^m) / (a^n) = a^(m-n)
• (a^m) / (a^n) = a^(m-n)（n ≠ 0）
指数的乘法
• (a^m) * (a^n) = a^(m+n)
指数的加减运算
指数的加减
• (a^m) ± (a^n) = a^(m±n)
模运算与指数的关系
• (a^m) mod n = a^(m mod n) mod n
• (a^m) mod n = a^(m - n * k) mod n（a 和 n 互质，k 为整数）
模运算与指数的关系
模运算与指数的关系
幂的模运算性质
• a^(m mod n) mod n = a^m mod n
代数方程的求解
指数方程的求解
• 利用幂的运算性质化简方程
• 将指数方程转化为对数方程
• 利用幂的运算性质求解方程
• 利用对数性质求解方程
不等式的证明与求解
不等式的证明
• 利用幂的运算性质证明不等式
• 利用幂的运算性质证明等式
不等式的求解
• 利用幂的运算性质求解不等式
• 利用幂的运算性质求解等式
概率论与数理统计中的应用
幂运算性质的提高习题
幂运算性质的提高习题
指数运算性质的提高习题
• 含有变量的幂运算
• 含有变量的指数运算
• 含有函数的幂运算
• 含有函数的指数运算
幂运算性质的应用习题
幂运算性质的应用习题
• 代数方程的求解
• 不等式的证明与求解
• 概率论与数理统计中的应用
幂的运算性质公式
幂的运算性质公式幂运算是数学中非常重要的运算之一、幂运算的性质和公式在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细介绍一些幂运算的性质和公式。
1.幂的定义和基本性质幂运算是指一个数的多次乘积。
设a和n是任意实数，a的n次幂（记作a^n）定义为a与自身连乘n次，即a^n=a×a×...×a（n个a相乘）。
其中a被称为底数，n被称为指数。
幂运算的基本性质有：-a^m×a^n=a^(m+n)（底数相同，指数相加）-(a^m)^n=a^(m×n)（只要指数是相乘关系，底数就可以连乘多次）-(a×b)^n=a^n×b^n（指数作用于括号里的每一项）-a^0=1（任何数的0次幂都等于1）-a^-n=1/a^n（负指数幂的倒数等于正指数幂）-(a/b)^n=a^n/b^n（任意数的商的n次幂等于分子的n次幂除以分母的n次幂）2. 乘方公式（Binomial Theorem）乘方公式是幂运算的常见公式之一、设a和b是任意实数，n是正整数，则有：(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b^1+...+C(n,k)×a^(n-k)×b^k+...+C(n,n)×a^0×b^n其中C(n,k)是组合数，表示从n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!×(n-k)!)该公式可以用于展开一个任意指数幂的多项式。
3.幂函数的性质幂函数是指以底数为变量的函数。
设f(x)=a^x，其中a是正实数，x 是自变量。
幂函数的性质有：-当0<a<1时，函数f(x)是递减的；-当a=1时，函数f(x)恒等于1；-当a>1时，函数f(x)是递增的；-在x=0处，函数f(x)的值为14.对数函数的性质对数函数是幂函数的逆运算。
第一讲幂的运算性质
幂的运算性质知识要点◆要点1 同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。
◆要点2 幂的乘方与积的乘方(1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a =(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n◆要点3 同底数幂的除法a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）：(1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0）(2) 负整数指数：p p aa 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。
也可变形为:pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。
在计算过程中，时刻注意符号的变化。
易错易混点(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。
典型例题【例1】填空(1) ()=-4322z y x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2; (3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______；(5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______； (6) 若()36428=x ，则x ＝_______； 【例2】 (1) 8975.0311⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)2003100120052004214532135⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.②已知22x ＋1＝32，求x 。
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幂的运算性质
知识要点
◆要点1 同底数幂的乘法：
a m ·a n ＝a m ＋n （m ，n 都是正整数） 可扩展为a m ·a n ·a p ＝a m ＋n ＋p ★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。
◆要点2 幂的乘方与积的乘方
(1) 幂的乘方：(a m )n ＝a mn （m ，n 都是正整数），可推广为()[]mnp p n m a a =
(2) 积的乘方：(ab )n ＝a n b n （n 为正整数），可扩展为(abc )n ＝a n b n c n
◆要点3 同底数幂的除法
a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）
◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）：
(1) 零指数： a 0＝1 （a ≠0）
(2) 负整数指数：p p a
a 1=-（a ≠0，p 是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p (p 为正整数)次幂等与这个数的p 次幂的倒数。
也可变形为:p
p p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 （观察前后幂的底数、指数变化） ★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a 、b 可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a ≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。
在计算过程中，时刻注意符号的变化。
易错易混点
(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。
典型例题
【例1】填空
(1) ()=-4
322z y x _______； (2)a 2b 4c 8＝( )2; (3) b 12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x 2n ＝3，则x 10n ＝______；
(5) 已知3×9m ×27m ＝321，则m ＝_______； (6) 若()364
28=x ，则x ＝_______； 【例2】 (1) 8975.0311⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)2003100120052004214532135⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛
【例3】①已知10m ＝3，10n ＝4，求(1) 10m ＋n ＋1; (2) 103m －2n 的值.
②已知22x ＋1＝32，求x 。
学习自评
1. x a ＋b ＋1＝x a ＋2·________。
若y 3＝－8a 6b 9，则y ＝______。
2. 若2m ＝5，2n ＝7，则2m ＋n ＝_________；23m －2n ＝_________。
3. 若2333632-++=⋅x x x ，则x ＝________。
4. 若153=-k 则k ＝_______；若27
13=
x ，则x ＝________。
5. ()()244432a a a ⋅+＝_________。
6. 下列说法正确的是（ ）
A. –a n 和(－a )n 一定互为相反数
B. 当n 为奇数时，–a n 和(－a )n 相等
C. 当n 为偶数时，–a n 和(－a )n 相等
D. –a n 和(－a )n 一定不相等
7. 下列各式中，正确的是（ ）
A. 2a 3＋3a 2＝5a 5
B. 2a －2＝221a
C. ()5565=÷a a
D. ()322a a a =÷-
8. 下列式子中与()2a -计算结果相同的是（ ）
A. ()12-a
B. 42-⋅a a
C. 42a a ÷-
D. ()2
4--⋅a a 9. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能
量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中(H n 表示第n 个营养级，n ＝1，2，…，6)，要使H 6获得10千焦的能量，需要H 1提供的能量约为（ ）
A. 104千焦
B. 105千焦
C. 106千焦
D. 107千焦
10. 若x 是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A. ()114.30=-π
B. ()130
2=+x C. ()120040=+x D. ()[]133022=-----
11. 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是（ ）
A. x ＞23
B. x ＜23
C. x ＝23
D. x ≠2
3 12. 若1284·83＝2n ，则n 等于（ ）
A. 30
B. 37
C. 38
D. 39
13. ()20052004313⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-的结果为（ ）
A. 3
1- B. 31 C. －3 D. 3 14. 下列各式中，一定成立的是（ ）
A. 22＝(－2)2
B. 23＝(－3)2
C. (－2)3＝22-
D. (－2)3＝()3
2- 15. 若()0
3221,2,21⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. b ＜c ＜a B. b ＜a ＜c C. c ＜b ＜a D. a ＜c ＜b
16. 计算题
(1) 3a 3·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·(－a )2;
(2) ()()()4
2233221242⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--+-x x x x
(3)()
()3200820082125.0⨯-; (4) 7
8772153187⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-
(5) (x －y )7÷(y －x )6＋(－x －y )3÷(x ＋y )2; (6) ()4
5023321⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---π
17. 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝24，求a 、b 、c 之间的关系。
18. 若x m ＝3，x n ＝2，求① x 2m ＋3n 的值；② x 3m －2n 的值。
19. (1) 若m ＋4n －5＝0，求2m ·16n 的值。
(2) 已知4m ·8m －1÷2m 的值是512，求m 的值。
(3) 已知1622,46416461213⨯=⨯=⨯--y x ，求()2005211y x -的值。
20. 证明：n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ (b ≠0，n 为正整数)。