第四章电磁波的传播

第四章 电磁波的传播§4.1 平面电磁波1、电磁场的波动方程（1）真空中在0=ρ，0=J的自由空间中，电磁强度E 和磁场强度H 满足波动方程012222=∂∂-∇t Ec E （4.1.1）012222=∂∂-∇t Hc H （4.1.2）式中80010997925.21⨯==μεc 米/秒 （4.1.3）是光在真空中的速度。

（2）介质中当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数ε和磁导率μ一般地都随电磁波的频率变化，这种现象叫色散。

这时没有E 和H的一般波动方程，仅在单色波（频率为ω）的情况下才有012222=∂∂-∇t Ev E （4.1.4）012222=∂∂-∇t Hv H （4.1.5）式中()()()ωμωεω1=v （4.1.6）是频率ω的函数。

2、亥姆霍兹方程在各向同性的均匀介质内，假设0=ρ，0=J，则对于单色波有()()ti e r E t r E ω-= , （4.1.7） ()()ti e r H t r H ω-= , （4.1.8）这时麦克斯韦方程组可化为()εμω==+∇k E k E ,022（4.1.9）0=⋅∇E（4.1.10）E i H ⨯∇-=μω（4.1.11）（4.1.9）式称为亥姆霍兹方程。

由于导出该方程时用到了0=⋅∇E的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足0=⋅∇E时，才是麦克斯韦方程的解。

3、单色平面波亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波()()t r ki e E t r E ω-⋅= 0, （4.1.12） ()()t r ki e H t r H ω-⋅= 0, （4.1.13）式中k为波矢量，其值为λπεμω2==k （4.1.14）平面波在介质中的相速度为εμω1==kv P （4.1.15）式中ε和μ一般是频率ω的函数。

算符∇和t∂∂作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化为ωi tik -=∂∂=∇,（4.1.16） 即E k i E ⨯=⨯∇，E k i E ⋅=⋅∇，而E i E tω-=∂∂。

电场和磁场的关系为E n H⨯=με （4.1.17）式中kk n =，为波传播方向上的单位矢量。

4、电磁波的能量和能流电磁波的能量密度为()B H D E⋅+⋅=21ω （4.1.18）对于单色平面波有22H E με=，故22H E μεω== （4.1.19）单色平面波的能流密度为()v E n E H E Sωμε=⨯⨯=⨯= （4.1.20）对时间平均的能流密度为()n E H E S20*21Re 21με=⨯= （4.1.21）§4.2 电磁波在介质交界面上的反射和折射如图1-3-1所示，取两介质的交界面为xy 平面，z 轴从介质1指向介质2。

设平面电磁波从介质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的电场强度分别为入射波：()t r k i i e E E ω-⋅=110 （4.2.1）反射波：()t r k i r e E E ω-⋅= '1'10 （4.2.2）折射波：()t r k i i e E E ω-⋅=220 （4.2.3）1、反射定律和折射定律电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律'11θθ= （4.2.4）2111221221sin sin n k k μεμεθθ== （4.2.5） 式中21n 为介质2相对于介质1的折射率。

除铁磁质外，一般介质0μμ≈，故可得1221εε=n （4.2.6） 2、反射波和折射波的振幅（1）菲涅耳公式按入射波电矢量的振幅10E分下列三种情形： （i ）10E垂直于入射面()()212110'10sin sin θθθθ+--=E E （4.2.7） ()21211020sin sin cos 2θθθθ+=E E （4.2.8） （ii ）10E平行于入射面()()212110'10tan tan θθθθ+-=E E （4.2.9） ()()2121211020cos sin sin cos 2θθθθθθ-+=E E （4.2.10） （iii ）10E与入射面斜交把三个波的电矢量的振幅()0E都分解为垂直于入射面的分量⊥0E和平行于入射面的分量()//0E，如图1-3-2所示，即//101010E E E+=⊥ （4.2.11） '//10'10'10E E E +=⊥ （4.2.12） //202020E E E+=⊥ （4.2.13）结果得出，'10⊥E 和⊥20E 都只与⊥10E 有关；而'//10E 和//20E 则都只与//10E有关。

具体关系如下：()()⊥⊥+--=102121'10sin sin E Eθθθθ （4.2.14）()⊥⊥+=10211220sin cos sin 2E Eθθθθ （4.2.15）()()//1012121'//10'1tan tan E n E n ⨯+-=⨯θθθθ （4.2.16）()()//101212112//202cos sin cos sin 2E n E n⨯-+=⨯θθθθθθ （4.2.17）可见（i ）和(ii)是（iii ）的两种特殊情况。

（2）反射和折射产生的偏振由（4.2.16）式可知，在02190=+θθ的情况下，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射波便是E垂直于入射面的完全偏振波。

这就是光学中的布儒斯特定律，这时的入射角称为布儒斯特角，其值为121tan εεθ-=b （4.2.18） 3、全反射由折射定律知，当电磁波从ε较大的介质()1ε入射到ε较小的介质()12εε<的交界面上时，折射角2θ大于入射角1θ，当211sin n =θ时，2θ变为090，这时的入射角称为临界角，其值为1210sin εεθ-=。

若入射角再增大，当01θθ>时，211sin n >θ。

这时2θ就是复数，因而不再具有折射角这种直观的几何意义了。

但折射定律1221sin sin k k =θθ 仍然成立。

这时折射波为()t x k i ki e z n e E E ωθθ--⋅-=111sin 2211220sin （4.2.19）是沿交界面x 方向传播的电磁波。

它的振幅沿z 轴方向指数衰减。

当振幅衰减到交界面上的振幅的e1时，沿z 方向的距离为2211212211210sin 2sin 1nnk z -=-=θπλθ （4.2.20）在一般情况下，0z 和波长1λ同数量级。

因此在发生全反射时，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度为0z 的薄层内。

当01θθ>时，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。

因此，对时间平均来说，入射波的能量全部被反射，所以叫做全反射。

§4.3 有导体存在时电磁波的传播1、导体的弛豫时间在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。

当导体里某处有电荷密度ρ出现时，就会引起电流流动。

()t ρ与时间t 的关系为()τεσρρρtte et --==00 （4.3.1）式中σ是导体的电导率。

σετ=，叫做导体的弛豫时间，它等于ρ值减小到ερ0的时间。

在交变场中，只要电磁波的频率ω满足1>>εωσ（4.3.2） 就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。

2、导体内的电磁波对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为H i Eωμ=⨯∇ （4.3.3）E i H 'ωε-=⨯∇ （4.3.4）0=⋅∇E（4.3.5） 0=⋅∇H（4.3.6）式中ωσεεi+≡' （4.3.7） 叫做导体的复介电常数。

由（4.3.3）—（4.3.6）可得导体内的亥姆霍兹方程为022=+∇E k E （4.3.8）μεω'=k （4.3.9）这时k是一个复矢量，设αβi k += （4.3.10）则方程（3.3.8）的单色波解为()()t r i r ee E t r E ωβα-⋅⋅-⋅=0, （4.3.11） 其中k 的实部β 称为周相常数，虚部α称为衰减常数。

如图1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上，zx 平面为入射面。

则由边值关系x x x x i k k αβ+==0， 00==y y k k 可得()αα,0,0=， ),0,s i n (0z k βθβ= （4.3.12）其中()()θεμωσμωθεμωα220222222202sin 21sin 21k k--+-=（4.3.13）()()θεμωσμωθεμωβ220222222202sin 21sin 21k kz -++-=（4.3.14）3、穿透深度当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得2ωμσβα== （4.3.15）这时，透射波的振幅随z 作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的e1时，沿z 方向经过的距离定义为穿透深度ωμσαδ21=≡（4.3.16）§4.4 谐振腔谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔，在腔内能够激发各种特定频率ω的驻波。

1. 矩形谐振腔中的电磁波矩形谐振腔)(c b a ⨯⨯如图1-3-5所示。

解亥姆霍兹方程，并把金属壁当作理想导体，利用边界条件得出：矩形腔内电磁场的振幅为⎪⎩⎪⎨⎧===zk y k x k A E z k y k x k A E zk y k x k A E z y x z z y x y z y x x cos sin sin sin cos sin sin sin cos 321 (4.4.1) 式中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===c p k b n k am k zyxπππ （4.4.2） m 、n 、p 为任意正整数或零。

1A ，2A 和3A 为任意常数；但因0=⋅∇E，故1A ，2A 和3A 之间有如下关系：0321=++A k A k A k z y x （4.4.3）所以，1A ，2A 和3A 之中仅有两个是独立的。

2. 本征频率mnp ω对于每一组),,(p n m 值，谐振腔的本振频率为222)()()(dp b n a m c mnp πππω++= （4.4.4）3. 偏振波型对于每一组),,(p n m 值，有两种独立的偏振波型，它们的电场E互相垂直。

矩形谐振腔可看做是由轴向长度为d 的一根矩形波导管，在两端加上与波导轴线垂直的金属端面构成。

由于端面的存在，波导内的场现在有两部分迭加而成：一部分是沿z 方向传播的波，另一部分是沿负z 方向传播的波。

这样对TE 波来说，其纵向分量oz H 便为z ik z ik oz z z e y bn x a m H e y b n x a m H H -+=)cos()cos()cos()cos('00ππππ 又因为在端面d z z ==和0上有00===dz z ozH （4.4.5）故0'0H H -=。