单摆

上海市单摆辅导教案

教学内容

＜建议用时5分钟！＞

下面两种单摆都见过了么？有什么规律么？

＜建议用时20分钟！＞

一、要点提纲：单摆

1、引入：

（1）讲述故事：

1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的

Ⅱ.同步讲解

Ⅰ.课堂导入

模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。

2、什么是单摆：

（1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。 （2）理解： ① 悬点：固定;

② 摆球：体积小、质量大——线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长.

③细线：不可伸缩、质量不计、较长——线的伸缩和质量可以忽略——使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上.

④空气等产生的阻力可以忽略不计； （3）单摆是一种理想化模型。

3、单摆的摆动：

（1）当摆球静止于O 点时，摆球受到的重力G 和悬线的拉力F ′彼此平衡，O 点就是单 摆的平衡位置. （2）单摆的摆动：

（3）以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动（摆球以平衡位置O 为中心振动）。 （4）摆球沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动.

4、关于单摆的回复力：

（1）如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力T 与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F ′提供了摆球振动所需的回复力F ＝mgsin θ

（2）设单摆的摆长为l ，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O 点的位移x 的大小与θ角所对应的弧长、θ角所对应的弦长都近似相等，即x ＝=OP

若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知sin θ＝

l x

l OP ≈ 所以重力沿切向的分力F ＝mgsin θ≈mg l x

令k ＝l mg

，则F ＝kx

B

A

A

θ

θ

T

O

mg

P

Q

因为F 的方向可认为与x 方向相反，则F 回＝－kx 由此可见单摆的偏角很小条件下的振动为简谐运动.

(3)单摆振动的回复力是重力沿切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力。 (4)在左右两边最高点，速度为零，向心力为零，回复力最大；

（5）在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

5、单摆振动的周期：

（1）伽利略发现了单摆运动的等时性，荷兰物理学家惠更斯（1629～1695）研究了单摆的摆动，定量得到：

单摆的周期

g l

T π

2=，即单摆振动时具有如下规律：

① 单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性。 ② 单摆的振动周期与摆球的质量无关。

③ 单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。其中L 为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。 ④ 单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比。单摆周期公式中的g 是单摆所在地的重力加速度．

⑤ 单摆的周期

g l T π

2=为单摆的固有周期，相应地l g

f π

21

=

为单摆的固有频率．

⑥ 单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式

k m T π

2=，以l mg

k =代入而得到．

⑦ 单摆的周期公式在最大偏角＜5°时成立（达5°时，与实际测量值的相对误差为0.01％）．

二．题型分类：

题型一：单摆概念

【例1】（★★★）以下各装置中，哪个作为单摆更合适（ ） A ．1m 长的橡皮绳上挂一个铁球 B ．1m 长的铁丝上挂一个乒乓球 C ．0.3m 长的细线下挂一个大钢球 D ．1m 长的细线下挂一个小钢球

【答案】D

【解析】空气等产生的阻力可以忽略不计

【例2】（★★★）关于单摆的说法，正确的是（）

A．单摆摆球从平衡位置运动到正的最大位移处时的位移为A（A为振幅），从正的最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A．

B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力

C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力

D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

【答案】C

【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力（等于重力沿圆弧切线方向的分力）提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点（振动的平衡位置）时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零，（摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零）．

变式训练：做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（）

A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变

C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变

【答案】C

【解析】由单摆的周期公式

2

l

T

g

π

=

，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；

振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由

2

1

2

K

E mv

=

可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，因此振

幅改变，所以C正确。

题型二：单摆周期

【例3】（★★★）有一摆钟，平时走时准确，搬家后发现它变慢了，为重新使其走时准确，下面办法中正确的是（） A．稍微调整摆长，使其变短

B．稍微调整摆长，使其变长

C．适当增加摆锤质量

D．将指针适当往前拨动

【答案】A