减肥

减肥计划
下面是有关的生理数据: 1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增 加体重1kg; 2. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形 式有关; 3. 为安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg， 每周吸收热量不小于10000kcal.
相关知识点
1. 微分方程的概念 2. 建立简单实际问题的函数关系 3. 基本初等函数,初等函数
(6)
解题过程
试取 t 0.003 即t 24, 则(4)式中的 0.025 应改 成 t 0.028 , (5)式为
75 0.972n (90 44.6) 44.6
(7)
得到 n 14 , 即若增加 t 24 的运动(如每周跳舞8 小时或自行车10小时), 就可将第二阶段的时间缩短 为14周.
为了得到体重减至75kg所需的周数, 将(3)式递 推可得
w(k n) (1 )n w(k ) cmin 1 (1 ) (1 )n1


cmin cmin (1 ) w(k )
n
(4)
解题过程
减肥计划
联合国世界卫生组织曾颁布过一项所谓的体重 指数(简称BMI), 它定义为体重(单位：kg)除以身高 (单位：m)的平方, 规定BMI在18.5至25为正常, 大于 25为超重, 超过30为肥胖. 某甲身高1.7米, 体重100kg, BMI高达34.6. 自述 目前每周吸收20000kcal (1kcal=4.2kJ)热量, 体重长 期不变. 试为他按照以下方式制订减肥计划, 使其体 重减至75kg并维持下去:
运动 跑步 跳舞 7.0 3.0 乒乓 4.4 自行车 游泳 (中速) (50m/min) 2.5 7.9
热量消耗 (kcal)
记表中热量消耗 , 每周运动时间 t , 为利用(1) 式, 只需将 改为 t , 即
Hale Waihona Puke Baidu
w(k 1) w(k ) c(k 1) ( t )w(k )
增加运动时只需将 改为 1 , 的形式和时间确定.
1 由运动
解题过程
第二步： 1) 下面确定某甲的代谢消耗系数 . 根据他每周 吸收 c 20000 kcal热量, 体重 w 100 kg不变, 由(1) 式得 w w c w, c 20000 / 8000 0.025
已知 w(k ) 90 要求 w(k n) 75 , 再以 , , cmin 的数值代入, (4)式给出
75 0.975n (90 50) 50
(5)
得到 n 19 , 即每周吸收热量保持下限10000kcal, 再有19周体重可减至75kg.
解题过程
第五步： 2) 为加快进程, 第二阶段增加运动, 以下是各项 运动每小时每kg体重消耗的热量表:
c(k 1) 12000 200k , k 0,1,,9
(2)
吸收热量, 可使体重每周减少1kg，至第10周末达到 90kg.
解题过程
第四步： 第二阶段要求每周吸收热量保持下限 cmin , 由(1) 式可得 (3) w(k 1) (1 )w(k ) cmin
b c(k 1) w(k ) b w(0) (1 k )
1
解题过程
将 , , b 的数值代入, 并考虑下限 cmin , 有
c(k 1) 12000 200k cmin 10000
得 k 10 即第一阶段共10周, 按照
w 100
20000 200 kcal. 相当于每周每kg体重消耗热量 100
解题过程
第三步： 第一阶段要求体重每周减少 b 1 kg, 吸收热量 减至下限 cmin 10000 kcal, 即 w(k ) w(k 1) b, w(k ) w(0) bk 由模型(1)式可得
减肥计划
1) 在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划， 第一阶段: 每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到10000 kcal; 第二阶段: 每周吸收热 量保持10000 kcal, 减肥达到目标. 2) 若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排 第二阶段计划. 3) 给出达到目标后维持体重的方案。
解题过程
第六步： 最简单的维持体重75kg的方案是: 寻求每周吸 收热量保持某常数 c , 使 w(k )不变. 由(6)式得
w w c ( t )w
c ( t ) w

(8)
若不运动，容易算出 c 15000 kcal; 若运动(内容同 上), 则 c 16800 kcal.
解题方法
建立差分方程模型, 通过求解该方程, 制定出 具体的减肥计划.
解题过程
第一步：
记第 k 周末体重为 w(k ) , 第 k 周吸收热量为c(k ), 1 热量转换系数 (kg/kcal), 代谢消耗系数为 8000 , 则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为
w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k ), k 0,1,2, (1)