EXCEL最小二乘法和最小条件法计算平尺直线度
直线型经验公式和最小二乘法
直线型经验公式与最小二乘法根据“从点到直线距离公式的应用谈起”（李仲来．数学通报．1998年第11期35～37）改编．本节材料仅是该文一部分，有兴趣的同学可阅读全文和相关专业书籍．内容简介：众所周知，过1个点可有无数条直线；过2个不同的点可求出唯一的一条直线；过3个不同的点一般不能求出一条直线．显然，过个不同的点能否求出一条直线的结论一般是否定的．在实际应用中，问题的提法降低为：能否求出一条回归方程（直线经验公式）（1）可以近似地描述这些点的变化趋势就够了．自然地，到（1）应满足点到直线的距离应最短的条件．这是我们想起点到直线的距离公式（）．那么点到（1）的距离∑/（2）即∑/＝最小（3）直观分析（3），从既有绝对值，又有跟式的运算条件下确定参数和可能比较麻烦．从数学常用的手法看，降低条件看一看．如何降低条件哪，在两部分和中去掉前者恐怕不行，因为参数被去掉了；去掉后者两个参数都在．此时（3）变为：∑（4）能否给处（4）的一种比较容易接受的解释？考虑（4）的几何意义，它恰是到（1）平行于轴的距离之和，这样，我们使原问题得到简化．虽然（4）的解释得到了，但有绝对值的运算还是不好解决．再改变条件，使用数学上常见的手段：两边平方，得：最小（5）在（5）式中对和求偏导数（此为高等数学中的概念，看不懂得同学可略过）后，令其为0，解得，，其中，，，此即常用的最小二乘法，具体可参阅专业书籍．例如，部分国家13岁学生数学测验平均分数为（参考消息：1992—04—09，3版）其经验公式为：以上仅是求出回归方程的一种方法，从（3）到（4），从（4）到（5）还有其它的方法解决，不再叙述，有兴趣的同自己去阅读．说明：该问题是点到直线距离的应用；直线型经验公式在实际中有广泛的应用，从而培养学生用数学的意识；在推导过程中蕴含着的丰富的数学思想方法和高超的数学技巧，以及对“距离”的理解对培养学生的数学技能和数学修养很有裨益．。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
EXCEL最小二乘法和最小条件法计算平尺直线度
EXCEL最小二乘法和最小条件法计算平尺直线度在Excel中，可以使用最小二乘法和最小条件法进行平尺直线度的计算。
最小二乘法是一种常见的拟合方法，旨在通过拟合直线来找到一组数据的最佳拟合线。
而最小条件法则是通过约束条件来寻找一组数据的最佳拟合线。
首先，我们来介绍最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是找到一条直线，使得该直线与真实数据点的距离之和最小化。
在Excel中，我们可以使用线性回归分析工具来进行最小二乘法的计算。
首先，将数据点输入到Excel中的一个列中。
然后，在一个空白单元格中输入以下公式：=LINEST(y_range, x_range, true, true)。
其中，y_range是包含所有y轴数据点的单元格范围，x_range是包含所有x轴数据点的单元格范围。
这个公式将返回一组值，包括斜率、截距和其他统计信息。
接下来，你可以将这些返回值放在一个表格中，其中包括斜率、截距和其他统计信息，如标准误差和相关系数等。
这些统计信息可以帮助你评估拟合线的质量。
最小条件法是另一种求解平尺直线度的方法。
最小条件法认为直线的斜率应该等于数据点的平均斜率，即通过数据点的中心点。
在Excel中，我们可以使用Excel的数据分析工具来进行最小条件法的计算。
首先，选择“数据”选项卡上的“数据分析”。
如果“数据分析”选项不可见，你可能需要启用Excel的数据分析工具包。
在数据分析对话框中选择“回归”选项，然后点击“确定”。
在回归分析对话框中，选择“最小条件法”作为回归类型。
然后，选择包含所有y轴数据点的单元格范围作为“因变量”和包含所有x轴数据点的单元格范围作为“自变量”。
将“常数项”选项设置为“真”，然后点击“确定”。
回归分析工具将返回一组结果，包括斜率、截距和其他统计信息，如标准误差和相关系数等。
这些统计信息可以帮助你评估拟合线的质量。
综上所述，Excel中可以使用最小二乘法和最小条件法来计算平尺直线度。
最小二乘法通过拟合直线来找到最佳拟合线，而最小条件法则通过约束条件来寻找最佳拟合线。
exls表格的计算公式
Excel 表格中有很多计算公式，可以根据需要进行选择和使用。
以下是一些常用的计算公式：
1.求和：可以使用 SUM 函数对一组数值进行求和计算，例如 =SUM(A1:A10)
将对 A1 到 A10 单元格中的数值进行求和。
2.平均值：可以使用 AVERAGE 函数对一组数值进行平均值计算，例如
=AVERAGE(B1:B10) 将对 B1 到 B10 单元格中的数值进行平均值计算。
3.最大值：可以使用 MAX 函数对一组数值进行最大值计算，例如
=MAX(C1:C10) 将对 C1 到 C10 单元格中的数值进行最大值计算。
4.最小值：可以使用 MIN 函数对一组数值进行最小值计算，例如
=MIN(D1:D10) 将对 D1 到 D10 单元格中的数值进行最小值计算。
5.计数：可以使用 COUNT 函数对一组数值进行计数计算，例如
=COUNT(E1:E10) 将对 E1 到 E10 单元格中的数值进行计数。
除了以上常用的计算公式之外，Excel 还提供了很多其他的计算公式和函数，可以根据需要进行选择和使用。
需要注意的是，在使用这些公式和函数时，需要遵循正确的语法和参数要求，以确保计算结果的准确性。
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
计量检定员换证考试平直度题库(1-3)
法定计量检定机构检定员换证考试平直度试卷(1)成绩：姓名：序号( ) 所在单位：一、填空（共20题，每题1.5分）1.1按国际计量单位制规定长度基本单位为（）。
1.2新的米定义:一米是光在真空中,于 ( ) 秒的时间间隔所路经的长度。
1.3我国法定计量单位制规定,米用符号 m 表示,其倍数单位和小数单位均采用( )进制,超过“兆”或“微”的倍数或小数单位,采用千进制。
1.4为实现正确可靠的测量,长度测量中遵循的四项基本原则是( )、( )、( )、( )。
1.5在接触测量中,测头和工件最常见的接触形式有( )、( )、( )。
1.6为使测量结果准确,测量中为使被测件和仪器零部件的变形最小,应着重考虑( )、( )及( )等因素的影响。
1.7测量时为使工件中心轴线上的长度变形最小,支承点( a=0.2203L ),该支承点称为( )点.一般在线纹尺测量时,采用此种支承.1.8测量时,为使量块两工作端面平行度变形最小,支承点(a=0.2113L)。
().1.9为得到准确的测量结果,测量时必须使( )与( )重合或在其( )上,这就是阿贝原则。
1.10封闭原则:在测量中,如能满足封闭条件,则其( )。
1.11几何量测量过程中,对定位方式的选择，主要是与被测件几何形状和结构形式有关,如对平面可用( )；对球面可用( )。
1.12在几何量测量中常用的计量器具符合阿贝原则的有( )、( )等, 不符和阿贝原则的计量器具有( )、( )等。
1.13万能工具显微镜按其瞄准方式不同,分为( )、( )、( )、( )。
1.14平晶在检定前放置在温度为(20±5)‴的检定室内,按规定100mm的平晶不少于( )小时;150mm平晶不少于( )小时。
1.15在检定平晶的平面度前,放置在检定仪器内的等温时间,对100mm 的平晶不少于( )分钟；150mm平晶不( )120分钟。
1.16平行平晶工作面中心长度极限偏差不超过( ),两工作面的平面度不大于( )μm。
最小二乘法
第七章 最小二乘法最小二乘法是实验数据处理的一种基本方法。
它给出了数据处理的一条准则，即在最小二乘以一下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小。
基于这一准则所建立的一整套的理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一。
自1805年勒让得（Legendre ）提出最小二乘法以来，这一方法得到了迅速发展，并不断完善，成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，广泛地应用于天文测量，大地测量及其他科学实验的数据处理中。
现代，矩阵理论的发展及电子计算机的广泛应用，为这一方法提供了新的理论工具和得力的数据处理手段。
随着计量技术及其他现代科学技术的迅速发展，最小二乘法在各学科领域将获得更为广泛的应用。
本章仅涉及独立的测量数据的最小二乘法处理。
以等精度线性参数的最小二乘法为中心，叙述最小二乘法原理，正规方程和正规方程的解，以及最小二乘估计的精度估计。
最后给出测量数据最小二乘法处理的几个例子。
7 .1 最小二乘法原理县考察下面的例子。
设有一金属尺，在温度()C t ︒条件下的长度可表示)1(0t y y t α+=式中 y 0——温度为0°C 时的金属尺的长度；α——金属材料的线膨胀系数； t ——测量尺长时的温度。
现要求给出y 0与α的数值。
为此，可在t 1与t 2两个温度条件下分别测得尺的长度l 1与l 2，得方程组()()⎭⎬⎫+=+=20210111t y l t y l αα由此可解得y 0与α。
事实上，由于测量结果l 1与l 2含有测量误差，所得到的y 0与α的值也含有误差。
显而易见，为减小所得y 0与α值的误差，应增加y t 的测量次数，以便利用抵偿性减小测量误差的影响。
设在n t t t ,,,21 温度条件下分别测得金属尺的长度n l l l ,,,21 共n 个结果，可列出方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=)1()1()1(0202101n n t y l t y l t y l ααα)1(0t y y t α+=但由于方程式的数目n 多于待求量的数目，所以无法直接利用代数法求解上述方程组。
LSL最小二乘格型算-刘智
z = π(n),U = X1,M (n),υ = x(n), y = z M1 x(n)
前向预测误差更新：
b b f eM (n 1) < z 1eM+1 (n), eM (n) > f f eM+1 (n) =< π (n), P⊥M+1 (n)x(n) >= eM (n) 1, b ξM (n 1)
递推算法过程
递推算法过程:
通过对x(n)的平移，其基向量全部是被延时的向量，现 的平移，其基向量全部是被延时的向量， 通过对 的平移 时向量不在其中， 阶前向预测滤波器就是根据 时向量不在其中，M阶前向预测滤波器就是根据 X1,M (n) ∧ 个基向量来计算现时数据向量x(n)的估计 x(n) 的M个基向量来计算现时数据向量 个基向量来计算现时数据向量 的估计
递推算法过程
当用 P1,M (n) 表示输入数据矩阵张成的空间 {X1,M } 的投影矩阵时则由投影定理 由投影定理3.4.44 的投影矩阵时则由投影定理 则n时刻前向预测误差向量 时刻前向预测误差向量 (正交投影矩阵 正交投影矩阵) 正交投影矩阵 前向预测误差
π (n) 为求得现时刻的标量
，其中 所引入的单位现时 引入的
之所以组成矩阵，是因为每个输入量都采用 个权的滤 之所以组成矩阵，是因为每个输入量都采用M个权的滤 波器。其最小二乘估计为： 波器。其最小二乘估计为：
回顾： 回顾：很多自适应方法使用基于梯度的方法寻找可以达到 最小均方误差的权矢量。 最小均方误差的权矢量。 均方误差性能曲面的梯度定义为： 均方误差性能曲面的梯度定义为： T ξ (n) ξ (n) ξ (n) ξ (n) (n) = = w(n) w0 (n) w1 (n) wL (n)
第5章最小二乘法
24
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
Xˆ 的数学期望
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
其中矩阵元素Y1，Y2，…，Yn为直接量的真值，而 Xl，X2，…，Xn为待求量的真值。
41
n
前面已证明
2 i
/
2
是自由度为（n－t）的χ2变量。
i 1
根据χ2变量的性质，有
（5-39） 取
（5-40） 可以证明它是σ2的无偏估计量
因为
42
习惯上，式5-40的这个估计量也写成σ2，即 （5-41）
因而测量数据的标准差的估计量为 （5-43）
43
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。 已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
34
（2）用表格计算给出正规方程常数项和系数
（3）给出正规方程 （4）求解正规方程组
解得最小二乘法处理结果为
35
四、最小二乘原理与算术平均值原理 的关系
为了确定一个量X的估计量x，对它进 行n次直接测量，得到n个数据
l1，l2，…，ln，相应的权分别为p1， p2，…，pn，则测量的误差方程为
(5-35)
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得 出诸参数估计值 aˆ j (j＝1，2，…，k)。
10
最小二乘法的几何意义
从几何图形上可看出,最小二乘法就是要在穿过各 观测点(xi，yi)之间找出这样一条估计曲线，使各观测 点到该曲线的距离的平方和为最小。
最小二乘法应用举例
补充材料1 实验数据的处理（上接教材第二章，p.19）注意：（1）用最小二乘法计算斜率k 和截距b 时，不宜用有效数字的运算法则计算中间过程，否则会有较大的计算误差引入。
提倡用计算器计算，将所显示的数值均记录下来为佳。
（2）如果y 和x 的相关性好，可以粗略考虑b 的有效位数的最后一位与y 的有效数字最后一位对齐，k 的有效数字与y n -y 1和x n -x 1中有效位数较少的相同。
（3）确定有效位数的可靠方法是计算k 和b 的不确定度。
直线拟合的不确定度估算：（以b kx y +=为例） 斜率k 和截距b 是间接测量物理量，分别令测量数据的A 类和B 类不确定度分量中的一个分量为零，而求得另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合成不确定度，这种方法被称为等效法。
可以证明，在假设只有y i 存在明显随机误差的条件下（且y 的仪器不确定度远小于其A 类不确定度），k 和b 的不确定度分别为：∑∑-=nx xS S i iyk 22)(∑∑∑∑-==2222)(iiiyikb x x n xS nxS S式中，S y 是测量值y i 的标准偏差，即2)(222---=-=∑∑n b kx yn S i iiy ν根据上述公式即可算出各个系数（斜率k 和截距b ）的不确定度值，初看上去计算似乎很麻烦，但是利用所列的数据表格，由表中求出的那些累加值∑即可很容易算得。
最小二乘法应用举例应用最小二乘法处理物理量的测量数据是相当繁琐的工作，容易出现差错。
因此，工作时要十分细心和谨惯。
为便于核对，常将各数据及计算结果首先表格化。
例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：t R R t ⋅+=α0。
实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R 0、α 以及确定它们的误差。
表 1此例中只有两个待定的参量R 0和α，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n 、ix 、iy、∑2ix、∑2iy和∑iiyx 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。
检测平面度误差方法有哪些【干货】
平面度误差说明平面度误差是指被测实际表面相对其理想平面的变动量,理想平面的位置应符合最小条件。
了解平面度误差的几种常用检测方法及其特点,并针对其存在的问题,提出了一种在线检测平面度的测量方法。
采用此方法可以有效地缩短测量时间,降低测量成本,提高效率。
平面度（flatness;planeness)，是属于形位公差中的一种，指物体表面具有的宏观凹凸高度相对理想平面的偏差。
平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。
平面度误差的测量方法，比如：1．统一基准法2．对角线法平面度误差评定方法常用的有：三点法、对角线法、最小区域法。
评定平板平面度误差的基本原则平板平面度误差是指平板加工后的实际表面和理论上的理想平面之间的差值。
平板平面度误差的检定，是通过被测实际表面手理想表面相比较来进行的。
而理想平面相对于实际表面的位置，将影响平板平面度误差的检定结果。
为此规定在评定平面度误差时，理想平面的位置按最小条件来确定。
最小条件是指：在确定理想平面位置时，应使该理想平面与实际表面相接触，并使两者之间的最大距离为最小。
对于被测实际表面平面度的评定，可做很多个理想平面。
比如三个理想平面I-I、I-II、III-III,放在实际表面的不同位置上。
每个理想平面到实际表面的最大距离分别为1、2和3，选其距离最小值者，因1小于2小于3，所以位置I-I是符合最小条件的理想平面，获得的平面度误差值是唯一的，即最大距离为最小的只有一个，这样规定就不会因评定基准的位置不统一而带来测量误差。
按最小条件评定，排除了评定基准带来的误差，更如实地反映了被测平板的平面度误差，所评定的误差值为最小，有利于最大限度地保证平板平面度的合格性。
评定结果的唯一性，避免了发生争执，所以说小最条件是评定平板平面度误差的基本原则。
平面度误差的评定方法有：三远点法、对角线法、最小二乘法和最小区域法等四种。
统计公差分析方法概述
统计公差分析方法概述公差分析方法是一种用于确定产品或系统中各种因素之间的相互关系和限制的工程方法。
它被广泛应用于各种制造和设计领域，包括机械、电子、航空航天、汽车等。
公差分析的目标是确保产品或系统在正常运行条件下能够满足设计要求。
本文将概述几种常见的公差分析方法。
一、基本术语和概念在介绍具体的公差分析方法之前，有必要先了解一些基本术语和概念。
1. 公差（Tolerance）：公差是指在设计和制造过程中所允许的误差或偏差范围。
公差可以是线性的，也可以是角度的。
2. 上限（Upper Limit）和下限（Lower Limit）：上限是指公差范围的最大值，下限是指公差范围的最小值。
3. 偏差（Deviation）：偏差是指产品或系统与其设计要求之间的差异。
4. 平均值（Mean）：平均值是指一系列测量值的算术平均数。
5. 标准偏差（Standard Deviation）：标准偏差是指一系列测量值与其平均值之间的平均差异。
6. Cp和Cpk指数：Cp指数是指一个过程的上下限规格范围与标准差之比。
Cpk指数是指一个过程的上限或下限与该过程能够达到的最大或最小值之间的差异与三倍的标准差之比。
二、公差分析方法1. 极差法（Range Method）极差法是一种简单直观的公差分析方法。
它通过测量一系列零件或产品的最大值和最小值来确定公差范围。
极差（Range）= 最大值 - 最小值优点：简单易懂，容易理解。
缺点：只考虑了最大值和最小值，没有考虑其他测量值的变化情况。
2. 平均偏差法（Average Deviation Method）平均偏差法是一种计算平均偏差和标准偏差的公差分析方法。
它可以提供关于产品或系统的整体偏差情况的信息。
平均偏差（Average Deviation）= 所有测量值的总和 / 测量值的个数标准偏差（Standard Deviation）= 各个偏差值与平均偏差之差的平方和的平均数的平方根优点：考虑了所有测量值的变化情况，能够提供更准确的分析结果。
采用最小二乘法建立平面坐标系统转换公式
（ — １ ２ ）
（ — １ ３ ） 其 中 Ｖ 、 为 残 差 。 Ｖ“
根 据 给 定 的 ｎ组 重 合 点 坐 标 （ ，．、Ｘ ， Ｙ） （ ． ’） 用 最 小 二 乘 估 计 的 方 法 ， 在 偏 差 平 方 ， 即
１ ０
Ｖ
。 。 。
为计 算 方 便 ， 用 坐 标 中 心 化 建 立 平 面 采
坐 标 系 统转 换 条 件 式 ：
令 Ｘ Ｘ 一ｘ ｌ ． ｏ Ｙｉ＝Ｙ， Ｉ 一 Ｘ Ｘ 一ｘ ， ， ｏ Ｙ ＝Ｙ一Ｙ （ ＿ １ ， ． ｏ ３ ）
［ Ｘ］ ［ ｙ＿ ［ ｘ］
２ 平 面 坐 标 系统 相 互 转 换 的 数 学 模 型
如 果 需 要 将 某 个 平 面 坐 标 转 换 为 另 一 个 平 面 坐 标 系 统 ， 们 称 前 者 为 原 始 坐标 系 ， 我 记
为 （ ， ） 后 者 为 目标 坐 标 系 ， 为 （ Ｙ） ｘＹ ； 记 ｘ，
那 么坐 标 转 换 数 学 模 型 为 ：
本文试图采用严密的最小二剩法推导平面坐标系统转换公式从大?的数据经过替换组合得到了一个简单明r的算术公式我觉的值得向各位同?介绍特别是正在实施控制网改造的有关部门
维普资讯
ｌ 期
浙 江 测 绘
４ １
采 用 最 小 二 乘 法 建 立 平 面 坐 标 系 统 转 换 公 式
其 中（ ｘ △ｘ 为 平移 因子 ， △ ， ） ０为 旋 转 因
子， ｋ为 尺 度 因 子 。
最小二乘法求作拟合直线_解同信
收稿日期:2006-05-22作者简介:解同信(1949-),男,山西矿业学院煤矿机械化专业毕业,高级工程师,副教授。
最小二乘法求作拟合直线解同信(北京工业职业技术学院,北京100042)摘 要:静态测试中,检测系统可以在一定的区间内用一个线性函数表达测试数据的变化规律,确定此线性函数即拟合直线的方法常采用最小二乘法。
机械工程中,通过对应变测试可以分析与研究零件或结构的受力状况以及工作状态。
根据实验输入输出测试数据,用最小二乘法求解拟合直线方程,以此计算的测量误差,均未超出测试数据的极限偏差。
关键词:最小二乘法;拟合直线;输入输出特性;检测系统中图分类号:TH123 文献标识码:B 文章编号:1671-6558(2006)03-05-03Straight Line Fitted by Minimum Two MultiplicationsXie Tongxin(Beijing Vocational &T echnical Institute of Industry,Beijing 100042,China)Abstract:The linear function can ex press the transformation rule of test data in a definite range in check system.T he method of fitting the straight line or experience formula is usually the minimum two multiplications.T he enduring and w orking state of the parts and its structure can be analyzed and researched by testing in mechanical eng ineering.T he ex periments can input and output testing data and we can get the result of the beeline equation by the m inim um tw o multiplications.T he deviation calculated this w ay does not overstep the limit w indage of testing data.Key words:minimum two multiplication;fitting straight line;input &output characteristics;examination sys -tem0引言许多工程问题,常常需要根据两个变量的几组实验数据,找出这两个变量的函数关系式,将这样得到的近似表达式称为经验公式。
参数的最小二乘法估计
最小二乘法的应用领域
回归分析
在统计学中，最小二乘法被广泛应用 于线性回归分析，用于估计回归模型 的参数。
01
工程领域
最小二乘法在工程领域也有广泛应用， 例如用于参数估计、系统辨识、控制 设计等任务。
05
02
曲线拟合
最小二乘法可用于拟合曲线，例如多 项式曲线、指数曲线等，以描述数据 之间的关系。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量具有最小的方差，因此是有效的。
有效性意味着在同样的样本量下，最小二乘法估计量能够提供更精确的参数估计，减少估计误差。
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最小二乘法估计的优缺点
优点
无偏性
一致性
在满足一定的假设条件下，最小二乘法估 计量是参数的真实值的无偏估计，即估计 量的期望值等于参数的真实值。
最小二乘法估计量是样本数据的线性 组合，其期望值等于总体参数的真实 值，因此具有无偏性。
无偏性意味着在多次重复抽样和估计 过程中，估计量的平均值将接近参数 的真实值。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计 量的值将逐渐接近参数的真实值，具 有一致性。
VS
一致性保证了在大样本情况下，最小 二乘法估计量能够给出相对准确的参 数估计。
对于非线性模型，可以通过变量变换 或引入非线性项，将其转化为线性模 型，再利用最小二乘法进行参数估计 。
在时间序列分析中的应用
趋势分析
通过最小二乘法拟合时间序列的趋势项，揭示时间序列的长期趋势和变化规律。
季节调整
对于具有季节性特征的时间序列，可以利用最小二乘法估计季节因子，进而对 原始序列进行季节调整。
最小二乘法的创立及其思想方法
最小二乘法的创立及其思想方法一、本文概述1、介绍最小二乘法的历史背景及其在统计学和数据分析中的重要性。
最小二乘法，这一数学分析方法的历史可以追溯到19世纪初的欧洲。
当时，天文学家、数学家和统计学家们正面临着如何从有限的观测数据中提取最大信息的问题。
最小二乘法的出现，为这一难题提供了有效的解决方案，并迅速在统计学、数据分析以及众多科学领域中得到广泛应用。
最小二乘法最初由法国数学家阿德里安-马里·勒让德在1805年提出，他尝试使用这一方法来预测行星轨道。
随后，在1809年和1810年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐分别独立地发表了最小二乘法在天文学领域的应用。
到了19世纪中叶，英国统计学家卡尔·弗里德里希·高斯重新发现了这一方法，并详细阐述了其在测量误差分析中的优势，进一步推动了最小二乘法在统计学中的普及。
随着计算机技术的飞速发展，最小二乘法在数据分析领域的应用也日益广泛。
它不仅被用于线性回归分析，还扩展到了非线性回归、时间序列分析、信号处理等多个领域。
通过最小二乘法，研究者可以从数据中提取出隐藏在背后的规律，为科学研究和决策提供有力支持。
因此，最小二乘法在统计学和数据分析中的重要性不言而喻。
它不仅是一种有效的数学工具，更是一种科学的思维方法，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的复杂数据。
2、阐述本文的目的和结构，为读者提供文章的整体框架。
本文的主要目的是对最小二乘法的创立过程及其背后的思想方法进行深入的探讨和阐述。
最小二乘法作为一种数学优化技术，广泛应用于回归分析、数据拟合、预测分析等多个领域，具有极高的实用价值。
通过揭示最小二乘法的创立背景、发展脉络和思想内涵，本文旨在为读者提供一个全面、系统的理解框架，以便读者能够更好地掌握和应用这一重要的数学工具。
在结构上，本文首先将对最小二乘法的历史背景进行简要回顾，介绍其创立的时代背景和数学基础。
接着，本文将详细阐述最小二乘法的数学原理，包括其基本假设、求解方法以及与其他数学方法的联系和区别。
EXCEL环境下直线度最小条件计算
EXCEL环境下直线度最小条件计算在Excel环境下，可以使用最小二乘法来计算直线度的最小条件。
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于通过最小化变量的残差平方和来拟合曲线或者直线。
在这种情况下，我们可以使用最小二乘法来拟合直线，并计算直线度的最小条件。
首先，我们需要收集直线度的测量数据。
这些数据应该包括不同位置上直线度的测量结果。
我们可以使用Excel的数据输入功能，将这些数据输入到一个数据表中。
接下来，我们需要根据最小二乘法的原理，来计算直线度的最小条件。
最小二乘法的核心思想是找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离的平方和最小。
直线的方程可以表示为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线的截距。
我们可以通过最小化残差平方和来计算最佳的斜率和截距。
为了计算最佳的斜率和截距，我们可以使用Excel的数据分析工具。
首先，我们需要将数据点的x和y坐标分别输入到两个列中。
然后，我们可以选择"数据"选项卡中的"数据分析"，然后选择"回归"。
在回归对话框中，我们需要设置因变量为y值和自变量为x值，并勾选"截距"选项。
点击"确定"后，Excel会自动计算出最佳拟合直线的斜率和截距，并生成一个回归分析的报告。
回归分析的报告中，我们可以找到最佳拟合直线的方程及斜率和截距的值。
根据方程，我们可以计算任意位置上的直线度。
例如，如果我们想计算x=5处的直线度，我们可以将x=5代入到方程中，得到对应的y值。
该y值即为x=5处的直线度。
另外，我们也可以使用Excel的绘图功能，将拟合直线和原始数据点一起绘制在图表中。
这样可以更直观地观察拟合效果和直线度的变化。
综上所述，通过使用最小二乘法和Excel的数据分析工具，我们可以计算直线度的最小条件，并获得直线度在不同位置上的值。
这些方法可以帮助我们更好地理解和分析直线度数据。
直线度-形位公差之一
一)、直线度误差的测量和评定方法1、直线度——表示零件被测的线要素直不直的程度。
2、直线度公差：指实际被测直线对理想直线的允许变动量。
3、直线度公差带：包容实际直线且距离为最小的两平行直线（或平面）之间的距离ƒ或圆柱体的直径؃。
1）、给定平面内的直线度包容实际直线且距离为最小的两平行直线之间的距离ƒ。
2）、给定方向上的直线度误差当给定一个方向时，是包容实际直线且距离为最小的两平行平面之间的区域。
当给定相互垂直的两个方向时，是包容实际直线且距离为最小的两组平行平面之间的区域。
3）、任意方向上的直线度误差：包容实际直线且距离为最小的圆柱体的直径؃。
4、直线度误差的检测方法按照测量原理、测量器具及测量基准等可将直线度误差的检测方法分为四类：直接方法、间接方法、组合方法和量规检验法。
1）、直接方法：此类方法一般是首先确定一条测量基线，然后通过测量得到实际被测直线上的各点相对测量基线的偏差，再按规定进行数据处理得到直线度值。
（素线的测量）（1）、光隙法：将被测实际素线与其理想直线相比较来测量给定平面内直线度误差的测量方法。
是将刀口尺置于被测实际线上并使与被测线紧密接触，转动刀口尺使它的位置符合最小条件，然后观察刀口尺与被测线之间的最大光隙，此最大光隙即为直线度误差。
当光隙较大时，可用量块和塞尺测量其值，光隙较小时，可通过与标准光隙比较，估读出光隙量大小。
该方法适合于磨削或研磨加工的小平面及短园柱（锥）面的直线度误差的测量。
标准光隙：标准光隙由1级量块、0级刀口尺和1级平面平晶组成。
光隙尺寸的大小借助于光线通过狭缝时呈现的不同颜色来鉴别。
光隙 >2.5um时，光线呈白光：间隙在 1.25—1.17um时，呈红光：间隙约为0.8um时，呈蓝光；间隙<0.5um时，则不透光。
（2）、打表测量法、拉线基准法（测微法）：用指示表测量零件表面直线度，是一种与理想直线比较，测量给定平面内直线度误差的方法。