第2章-导热理论基础以及稳态导热
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2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
§2-2导热微分方程（Heat Diffusion Equation） 一、导热微分方程的推导
傅ຫໍສະໝຸດ Baidu叶定律：
q gradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
d vv＝ d
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x 表面导入的热量：
d x qx dydzd
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x+dx 表面导出 的热量：
d xdx qxdx dydzd
q x dx q x qx dx x
二、傅里叶定律的严格表述 在导热现象中，单位时间内通过给定截面所 传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上
的温度变化率，而热量传递的方
向与温度升高的方向相反，即 ~ t A x
t 数学表达式： A x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） 其中
t f ( x, y, z, )
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
t 稳态温度场 0
非稳态温度场
稳态导热 （ Steady-state conduction ） 非稳态导热 （Transient conduction）
t 0
三维稳态温度场：
一维温度场:
②导热系数为常数 、无内热源
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
③导热系数为常数 、稳态
t t t 2 2 0 2 x y z
2 2 2
·
④导热系数为常数 、稳态 、无内热源
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
d z d z dz qz dxdydzd z
[导入与导出净热量]:
qx q y qz d d ( )dxdydzd x y z
傅里叶定律：
t q x x
t q y y
t q z z
t t t d [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd x x y y z z
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。 一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
0 (1 bT)
3、各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构
不同，各方向上的 也有较大差别，这些材
非稳态项 扩散项 源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
1）对上式化简： ①导热系数为常数
t t t t a( 2 2 2 ) c x y z
2 2 2 ·
a 式中， /( c) ，称为热扩散率。
t+Δ t
t t-Δ t
q gradt
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上 傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
dt t1
n dn t t+dt
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，
建立导热物体中的温度场应满足的数学 表达式，称为导热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物 体 内 具 有 均 匀 分 布 内 热 源 ； 强 度 qv [W/m3]; qv 表示单位体积的导热体在单位时间内 放出的热量 导热体内取一微元体，根据能量守恒定律， 单位时间净导入微元体的热量d 加上微元体内热 v 源生成的热量 应等于微元体焓的增加量
2 、温度梯度与热流密度 矢量的关系 表示了微元面积 dA 附近的温度分布及垂直于 该微元面积的热流密度矢 量的关系。
1 ）热流线 定义：热流线是一组与等温线处处垂 直的曲线，通过平面上任一点的热流线与 该点的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热
流线的关系：
在整个物体中，热
流密度矢量的走向可用 热流线表示。如图示， 其特点是相邻两个热流 线之间所传递的热流密 度矢量处处相等，构成 一热流通道。
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
三、导热系数（导热率、比例系数）
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 : q / gradt w/m· ℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。 导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。 它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
纯铜 398w / m C
大理石 2.7w / m C
0˚C时： 冰 2.22w / m C
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183 / m C w
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面
（曲线），或者就终止与物体的边界上 • 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示
是用等温线图表示温度场的实例。
t+Δt t t-Δt
3.温度梯度（Temperature gradient）
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 )
高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热 更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料 采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成 热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐 射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10 - 4w/mk
三、其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
q t 2 t 1 t 1 2 t 2 t a( 2 2 2) v r r r 2 z c r
对于球坐标系
q t 1 2 t 1 t 1 2t a[ 2 (r ) 2 (sin ) 2 ] v r r sin c r r r sin 2 2
等温面上没有温差，不会有热 传递。 不同的等温面之间，有温差， 有导热
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的 物理量。
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
t t t t t gradt Lim n i j k n 0 n n x y z
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
（Steady-state conduction）
是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f ( x, y, z )
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
4.热流密度矢量（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最 大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该 方向的热流密度
q
q
q q cos
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
2、 d时间微元体内热源的发热量
v qv dxdydzd
3、微元体在d时间 内焓的增加量
c t dxdydzd
d v＝
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
第二章 导热的基本定律稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热
§2-4 通过肋片的导热分析
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3 、了解内容：多维导热问题
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上
t q gradt n n
dt t1
n dn t t+dt
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
t f ( x, y, z )
t f (x)
等温面与等温线 • 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面 • 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
• (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相
交
• (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形 式为: t q gradt n n
gradt 是空间某点的温度梯度；
n dt t1 dn t t+dt
n 是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温 度升高的方向；
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：≤350 ℃ 时，≤ 0.12w/mk
保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保
t
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代 90年代 GB427-92
0.23W/mk 0.12w/mk
80年代 GB4272-84 0.14w/mk
§2-2导热微分方程（Heat Diffusion Equation） 一、导热微分方程的推导
傅ຫໍສະໝຸດ Baidu叶定律：
q gradt
建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐 标和时间变化的内在联系。 理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程
d vv＝ d
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x 表面导入的热量：
d x qx dydzd
d 时间内、沿 x 轴方 向、经 x+dx 表面导出 的热量：
d xdx qxdx dydzd
q x dx q x qx dx x
二、傅里叶定律的严格表述 在导热现象中，单位时间内通过给定截面所 传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上
的温度变化率，而热量传递的方
向与温度升高的方向相反，即 ~ t A x
t 数学表达式： A x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） 其中
t f ( x, y, z, )
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
t 稳态温度场 0
非稳态温度场
稳态导热 （ Steady-state conduction ） 非稳态导热 （Transient conduction）
t 0
三维稳态温度场：
一维温度场:
②导热系数为常数 、无内热源
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) x y z
③导热系数为常数 、稳态
t t t 2 2 0 2 x y z
2 2 2
·
④导热系数为常数 、稳态 、无内热源
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
d z d z dz qz dxdydzd z
[导入与导出净热量]:
qx q y qz d d ( )dxdydzd x y z
傅里叶定律：
t q x x
t q y y
t q z z
t t t d [ ( ) ( ) ( )]dxdydzd x x y y z z
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
同一种物质的导热系数也会 因其状态参数的不同而改变， 因而导热系数是物质温度和 压力的函数。 一般把导热系数仅仅视为温 度的函数，而且在一定温度 范围还可以用一种线性关系 来描述
0 (1 bT)
3、各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构
不同，各方向上的 也有较大差别，这些材
非稳态项 扩散项 源项
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
1）对上式化简： ①导热系数为常数
t t t t a( 2 2 2 ) c x y z
2 2 2 ·
a 式中， /( c) ，称为热扩散率。
t+Δ t
t t-Δ t
q gradt
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上 傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
dt t1
n dn t t+dt
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，
建立导热物体中的温度场应满足的数学 表达式，称为导热微分方程。
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物 体 内 具 有 均 匀 分 布 内 热 源 ； 强 度 qv [W/m3]; qv 表示单位体积的导热体在单位时间内 放出的热量 导热体内取一微元体，根据能量守恒定律， 单位时间净导入微元体的热量d 加上微元体内热 v 源生成的热量 应等于微元体焓的增加量
2 、温度梯度与热流密度 矢量的关系 表示了微元面积 dA 附近的温度分布及垂直于 该微元面积的热流密度矢 量的关系。
1 ）热流线 定义：热流线是一组与等温线处处垂 直的曲线，通过平面上任一点的热流线与 该点的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热
流线的关系：
在整个物体中，热
流密度矢量的走向可用 热流线表示。如图示， 其特点是相邻两个热流 线之间所传递的热流密 度矢量处处相等，构成 一热流通道。
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
三、导热系数（导热率、比例系数）
1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 : q / gradt w/m· ℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位 时间内单位面积的热量。 导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。 它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
金属 非金属
固体 液体 气体
纯铜 398w / m C
大理石 2.7w / m C
0˚C时： 冰 2.22w / m C
水 0.551w / m C 蒸汽 0.0183 / m C w
2 、保温材料（隔热、绝热材料）
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面
（曲线），或者就终止与物体的边界上 • 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示
是用等温线图表示温度场的实例。
t+Δt t t-Δt
3.温度梯度（Temperature gradient）
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 )
高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热 更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料 采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成 热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐 射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达： 10 - 4w/mk
三、其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
q t 2 t 1 t 1 2 t 2 t a( 2 2 2) v r r r 2 z c r
对于球坐标系
q t 1 2 t 1 t 1 2t a[ 2 (r ) 2 (sin ) 2 ] v r r sin c r r r sin 2 2
等温面上没有温差，不会有热 传递。 不同的等温面之间，有温差， 有导热
温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的 物理量。
系统中某一点所在的等温面与相邻等温面 之间的温差与其法线间的距离之比的极限 为该点的温度梯度，记为gradt。
t t t t t gradt Lim n i j k n 0 n n x y z
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
（Steady-state conduction）
是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f ( x, y, z )
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加 的方向
4.热流密度矢量（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最 大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该 方向的热流密度
q
q
q q cos
温度梯度和热流密度的方向都是在等温面的 法线方向。由于热流是从高温处流向低温处， 因而温度梯度和热流密度的方向正好相反。
2、 d时间微元体内热源的发热量
v qv dxdydzd
3、微元体在d时间 内焓的增加量
c t dxdydzd
d v＝
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
第二章 导热的基本定律稳态导热
§2-1 导热的基本概念和定律 §2-2 导热微分方程 §2-3 一维稳态导热
§2-4 通过肋片的导热分析
1 、重点内容： ① 傅立叶定律及其应用； ② 导热系数及其影响因素；
③ 导热问题的数学模型。
2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3 、了解内容：多维导热问题
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
负号是因为热流密度 与温度梯度的方向不 一致而加上
t q gradt n n
dt t1
n dn t t+dt
傅里叶定律可表述为: 系统中任一点的热流 密度与该点的温度梯 度成正比而方向相反
t2
0 δ x
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
t f ( x, y, z )
t f (x)
等温面与等温线 • 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面 • 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
• (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相
交
• (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形 式为: t q gradt n n
gradt 是空间某点的温度梯度；
n dt t1 dn t t+dt
n 是通过该点等温线上的
法向单位矢量，指向温 度升高的方向；
把导热系数小的材料称保温材料。
我国规定：≤350 ℃ 时，≤ 0.12w/mk
保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保
t
温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的
水平越高。
我国50年代 90年代 GB427-92
0.23W/mk 0.12w/mk
80年代 GB4272-84 0.14w/mk