《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx

〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分

1、自由指标与哑指标判别（★）

2、自由指标与哑指标的取值范围约定

3、自由指标与哑指标规则

4> Einstein 求和约定（★）

5、Kronecker-delta 符号（★）

、、, f 0, i j

定乂：廿

性质:(1) §ij= Eji

(2)e f -e)= %

(3)戈=久+爲2+爲3=3

(6) S ik5kj=S ij

6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）

1,北为1,2,3的偶排列

定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列

0, 门，舛任两个相等

性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji

(2)弓23 =幺23] =©】2 =1

(3)弓32=©2I =勺口=_1

⑷e^ej=e ijk e k

(5) (axb)k = egbj, a、b为向量

7、％与爲的关系（★）

魯i詁0 § ZQ

8、坐标变换（★）

向量情形：

旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，£ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[・e 尸（3 坐标变换关系：

X ，

i - 0ijXj x t = 0jXj

0厂（角）T

矩阵形式为：

011 012 013

011 0

】2

013

X * = 021 022 023

兀2

或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀

021 022 023

A.几 2 A.3_

_^3_

.031 032 033.

011 012 013 A

011 012 013 兀2 — 021

022 023

%； 或[西，吃，兀3] =

[X ，%；，兀；]

021 022 023

_031 032

033 _

.031

032

033.

张量情形

入芋与A“•是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有

気=炕0“九

矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）

9、 张量的基本代数运算

（1） 张量的相等

（2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积

（4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★）

（6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量

（1） 零张量 （2） 单位张量

（3） 转置张量

（4） 逆张量

（5） 正交张量

（6） 二阶对称张量与二阶反对称张量（★）

=*（每+心）+*（州一％）

对称部分

反对称部分

若％•为对称二阶张量，则勺辺=0

（7） 球张量与偏张量

Ay = | A

kk S

ij +（4/_| A3j ）

球张虽 偏怅虽

（8） 各向同性张量

a. 零阶各向同性张量形式：标量

b. 一阶各向同性张量形式：零向量

c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量

d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量

e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）

特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）

（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0

（场-鸥）® = 0 O ©q + （乓 _ 小2 + T

23n

3 = ° »

7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °

计算特征值2的方程：（★）

计算特征向量"的方程：（★）

（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 n

O （

（£•厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅

=1

J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P

第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）

2、“为常数（★）

7]厂几

忆•一鸥 | = 0o T 2l

1 =T U =T XX +T 2

2 +T 3

3 II

⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀

III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1

利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)

I =厶=入+入+入

III = det®)=人人入

12、张量分析简介

(1) Hamilton 微分算子V (★)

笛卡尔坐标系屮，V 的定义为

若比为标量函数，则梯度:

若“为矢量函数，则散度:

若比为矢量函数，则旋度:

设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有

① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC

③ ▽•G4xB) = B ・(VxA) — A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A

@Vx(Vw) = 0

⑦ V-(VxA) = 0

V 2

a 2 a 2