第01讲-三角形的证明-学案

第01讲 三角形的证明温故知新三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。

注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。

②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。

符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。

在△ABC 与△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE AB∴△ABC ≌△DEF （SSS ）（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。

符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：在△ABD 和△ACE 中，∠D=∠EAD=AE∠BAD ＝∠CAE∴△ABD ≌△ACE （ASA ）（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。

符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE证明：在△ACD 和△ABE 中．∠C=∠B∠A=∠ADC=EB∴△ACD ≌△ABE （AAS ）．注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。

（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

符号语言：在△ABC 与△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．注意：①应用“SAS ”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。

（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，∠ABC=∠DEF=90°， AB DE BC EF AC DF ==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）．注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”②“HL ”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。

课堂导入知识要点一等腰三角形1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。

即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形典例分析例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=．举一反三1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为．2、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．3、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．知识要点二直角三角形1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

3、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

5、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

6、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

典例分析例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A．50° B．45°C．40° D．25°例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．举一反三1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B． C． D．23．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为．4．在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为．5．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，∠B=15°，则S△ABC= ．6．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．知识要点三垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。

4、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

6、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

典例分析例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9C．10 D．11例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36°C．30° D．24°例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC 于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．举一反三1．已知P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC=40°，则∠BPC=（）A ．70°B ．80°C ．120°D ．110°2．如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°3．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，O 是Rt △ABC 的角平分线的交点，OD ∥AC ，AC=5，BC=12，OD 等于（ ）A ．2B ．3C ．1D ．15．如图所示，△ABC 中，∠A=90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC ，垂足是E ，AC=10cm ，CD=6cm ，则DE 的长为 cm．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD= ．7．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD （1）求∠DAC的度数；（2）若AC=4cm，求△ABC的面积（结果保留根号）课堂闯关初出茅庐1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．AD=BD B．BD=CDC．∠1=∠2 D．∠B=∠C2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°3、下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（）A．44° B．60° C．67° D．70°5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（）A．66° B．36° C．56 D．46°6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为．7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．优学学霸8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．10．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为多少？考场直播1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有个．2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．自我挑战1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或72、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（）A．30° B．36° C．45° D．50°4、下列说法中，正确的有（）①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，则∠D等于（）A．50° B．65°C．55° D．70°6、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．7、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为．8、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ．9、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．（1）求∠BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）。