第5章点的复合运动

点的速度合成定理是矢量式，有两个投影方程，可求解 2 个未知量，3 个速度矢量共 6 个量（大小 方向） ，若知道其中任 意 4 个量，即求出其余两个量。 （2）矢量证明
v e vo' rr
va ve vr
（1 ）当牵连运动为平动 0 ，动系上各点速度相同，故
v e v o'
是不同的（动系作平动除外） ，在同一瞬时，动系上与动点位置 相重合的点称为牵连点，含有牵连点的动系相对于定系的运动即 为牵连运动。 （为平动或转动或复杂运动的动系相对于定系的运 动 注：绝对运动是相对运动和牵连运动的合成。 4、动系、动点的选取原则： （1）动点、动系和静系必须分别选在三个物体上。静系一 般固定在地面或与地固连的机架上，即静系固定在不动的物体 上。 （2）动点和动系不能选在同一个运动的刚体上，若选在同一 个刚体上，动点对动系就不会有相对运动。 （3）动点相对动系的相对运动轨迹简单、明显，如相对轨迹 是直线，圆等。 （4）动系的运动要容易判定，如平动和转动等。 （5）对于有约束联系的系统，例如机构转动问题，动点多选 取主动件与从动件的连接点，并与其中一个构件固接，而动系固 定在另一运动的构件上。 （6）对于没有约束联系的系统，所研究的点为动点，如雨滴， 矿砂，物料：动系固定在另一运动的物体上，如车辆，转送带， 四、三种速度 绝对速度 相对速度 牵连速度 1、绝对速度： 动点相对于定系运动的速度 2、相对速度： 动点相对于动系运动的速度。
图 5-2 车轮轮缘上点 M 的复合运
实例之二： 研究沿地面作直线滚动的车轮轮缘上点 M 的运动 （1）静系中：动点的轨迹是旋轮线车厢作直线运动
（2）动系中：M 动点作圆周运动 （3）运动的同时性，M 点运动和平动是同时进行的，M 点 既跟随着动系一起平动，又在动系上作圆周运动。旋轮线就是这 两个运动的合成运动的轨迹， 轮缘上 M 点的运动就是这两个简单 运动的合成。 实例 3： 在大梁固定不动时， 卷杨小车沿大梁可作直线运动， 同时将吊钩上的重物 A 铅垂向上提升， 研究重物的运动称合成运 动 （1）静系中：A→B （2）动系中：A →A’ （3）同时性: 点：A →A’ 小车：A→B 重物既跟随动系一起向右平动， 图 5-3 吊重物的复合
3、牵连速度： 牵连点相对于动系运动的速度 动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动 坐标系作平移外，动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任 意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此，定 义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静 坐标系运动的速度称为动点的牵连速度。动点和牵连点是一对相 伴点。 例如，直管 OB 以匀角速 度绕定轴 O 转动，小球 M 以 速度 u 在直管 OB 中作相对的 匀速直线运动， 如图示。 将动坐 标系固结在 OB 管上，以小球
C→D。
（3）同时性：先假设河水不动，则小船从 A 划到 B ：在假 设人不划船，小船随河水漂流到下游 D 处。实际上小船和水是同 时运动的，小船动点的运动是上述两个简单运动的合成
v y A x v y' x' C vr ve va D vr M O B va ve x y y' O ' x'
图 5-1 小船的复合运动 动
（2）当牵连运动为定轴转动， v o' 0 ，故 v e rr 。 三、运用点的速度合成定理解题的方法步1）凡速度大小可以算出的求出其值，凡方向已知的画出 其方向。 （2）作速度平行四边形求解未知量，v a 是 v e、v r 为邻边的对
C 点的平行的无限大的平板
（2）运动分析：牵连运动为平板的平动，而动系平动，其 上各点的速度是相同的。 v e vC 即牵连点随板平动。 （3）速度平行四边形
e2 ( 3e) 2 2 3e0 ve va =e cos 3 3e
讨论：动系不同 v e、v r 则不同，但 v a 不变。
rr ──相对矢径，相对运动方程，相对轨迹。
z
y
z
M
'
y'
'
y'
x'
y
M y'
'
r r ra k
x O
O
x'
yO' y O
x'
φ
O
r'
O
x xO' x
i
j
图 5-5 矢径表示
图 5-6 直角坐标表示
二、用直角坐标表示运动方程。
' x xO x' cos - y' sin ' y yO x' sin y' cos
在点的绝对运动方程中消去时间 t，即得点的绝对运动轨迹；在 点的相对运动方程中消去时间 t，即得点的相对运动轨迹。 例如清华《教材》P.97 例 5-1。
5.3 复合运动中速度之间的关系 一、解析法求速度 将三种运动方程之间的关系式对时间连续求导，可得三种 运动中速度之间与加速度之间的关系，这就是求解点的复合运动 的解析法。 例如清华《教材》P.98 例 5-2。 二、速度合成定理 1、绝对速度应是相对速度和牵连速度合成的矢量。
va ve = v 1c tan tan
例 5-2：有常接触点： 已知：θ、u 水平向右。DE 杆沿滑 槽上下运动，求 DE 杆的速度。
E
B
y'
x'
D
θ
u
A
vr
va
ve
θ
图 5-9 有常接触点的运动分析之一 〈1〉 运动分析： 从动杆下端 D 为常接触点， 取其为动点，
动点的绝对运动为铅垂向上的直线运动，相对运动为沿斜面向上 的直线运动，牵连运动为尖辟的平动。 〈2〉 〈3〉 速度分析：速度平行四边形见图。 求 DE 杆的速度：
va ve vr
2、推导： （1）几何证明：
图 5-7 速度合成定理
动点在一个任意运动的刚体 K 上沿弧 AB 相对于刚体 K 运 动，动坐标系固结刚体 K 上，静坐标系固结在地面上。 瞬时 t，动点位于 M 处，t 后动点运动到 M 1‘ 处。绝对运动
‘ 轨迹 MM 1 ，M1 是瞬时 t 的牵连点， MM 1 是此牵连点的轨迹。 MM1 MM1 M1 M1 MM1 MM1 M1 M1 lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t t MM1 MM1 M M v a lim v e lim v r lim 1 1 t 0 t t 0 t t 0 t va ve vr
第 5 章 点的复合运动 5.1 复合运动中的基本概念 5.2 复合运动中的运动方程之间的关系 5.3 复合运动中的速度之间的关系 一、目的要求： 1、使学生了解速度和加速度的矢量式 2、理解绝对运动，相对运动和牵连运动 3、使学生对合成运动问题能恰当地选择动点，动系和定系， 并能较正确的判定点的绝对，相对和牵连运动 4、使学生掌握速度合成定理，并能较正确应用它解点的速 度合成运动问题。 二、重点：绝对运动，相对运动和牵连运动的概念，速度合 成定理及其应用。 难点：牵连运动，牵连点，动点，动系的选择 三、学时安排：4 学时 四、教学准备：幻灯片 五、教学过程 导入新课： 5.1 复合运动中的基本概念 一、 概念： 1、静参考系：固定在地球上的坐标。
A1 的运动为绝对运动，其速度为 v a 。
5.2 复合运动中的运动方程之间的关系 一、 用矢径表示的运动方程 1、Oxyz: ra ra (t ) xi + yj + zk
ra ──绝对矢径。是动点矢量形式的绝对运动方程；其矢端
曲线就是动点的绝对轨迹。 2、O’x’y’z’: rr rr (t ) x ' i + y'j + z'k
M 为动点。 随着动点 M 的运动，
牵连点在动坐标系中的位置在
图 5-4 牵连点 牵连速度
相应改变。设小球在 t1、t2 瞬时分别到达 M1、M2 位置，则 动点的牵连速度分别为
v e1 OM 1 v e 2 OM 2
五、实例简述三种运动. 三种速度 1、小船过河 （1）动系、定系、动点分别在河水上、河岸上、小船。 （2）运动分析：小船（从 A→ B）相对于河水的运动是相 对运动，其速度为相对速度 v r ，小船随河水的漂动（即从 A→ C）
例 5-4： 有常接触点 已知：曲柄 OA 以 r、 ，匀速转动。带动摇杆的转动。 求：当 30 摇杆的角速度 1
r O1
B
y O1
r
B A
ω
x'
ω
A
ve
vr va
ω1 ω1
θ
y
'
θ
O2
(a)
O2
(b)
x
图 5-11 有常接触点的运动分析之三 分析： （1）三选：取曲柄 OA 的端点 A（即滑块 A）常接 触点为动点。机座上固连定系 Oxy 摆杆 OB 上固连动系 Ox’y’。 （2）运动分析：滑块 A 的绝对运动是以 O 为圆心，r 为半 径的圆周运动：动点的相对运动为沿 OB 的直线运动；牵连运动 为摆杆的定轴转动（绕 O2）即牵连点随动系的转动 （3）速度分析：作速度平行四边形， v e 为动系上的牵连点 的速度
运动又在动系上从下往向运动，重物的运动是两个简单运动的合 成。 三. 三种运动 绝对 相对 牵连
1、绝对运动：动点相对于静系的运动，即人站在地面上观 察点的真实运动。 2、相对运动：动点相对于动系的运动，即人站在动系上（或 人站在运动的物体上）观察点的运动。 3、牵连运动：动点随动系相对于静系的运动，即人站在地 面上观察动点随动系的运动。由于动系上各个点的运动速度一般