量子力学第二章总结
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 量子力学基础知识
第二讲 绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。
下面讲些预备知识。
第二章 量子力学基础知识 关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？2.1 量子力学的提出2.1.1 经典物理学的困难 经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。
2.1.2 氢原子光谱与波尔学说 光谱：光之谱线，类歌谱。
当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。
H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。
按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。
最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。
1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。
波尔学说的基本要点：(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。
(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱） 此假说对H光谱得到了满意的解释。
对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
《原子物理与量子力学》第2章 玻尔的旧量子论
k
T
3d
严重背离实验事实，这是著名的紫外灾难。
4. 乌云的驱散——可恶的量子假设
（1）热辐射发射的电磁波的态密度(见:王正行《近 代物理》，北京大学出版社，1995)
n0
(
)
8πh
c3
3
（2）可恶的量子假设
设温度为T的黑体达到热平衡辐射时,频率为ν的粒 子只能具有一系列的分立能量，即只能是ε0= hν的
1 2
1 2
1
泰勒展开
En
m0 c 2
1
1 2
2
1 2!
1 2
1 2
1
4
1
m0c
2
1 2
2
1 8
4
En
m0 c 2 2
Z
n
2
1
得到斯特藩—玻耳兹曼定律
R0 (T ) T 4,
2π5k 4 15c2h3
它虽然和实验结果吻合得如此之好。Planck于 年获得了
Robel物理学奖。
但假设毕竟是假设，Planck也认为这是可恶的量子假设。
二、量子假说之二：光电效应
1. 光电效应的发现
1887年，Hertz的放电实验发现了电磁波，确定了电磁波传播速度 等于光速，并注意到紫外光照射放电阴极时更容易引起放电。
Jd 2πJ nh
这就是玻尔的轨道量子化条件。
pr mr, p mr
E 1 mv2 Ze2 1 m(r2 r 22 ) Ze2
2
4π 0r 2
4π 0r
(1/ 2)mr22 (1/ 2)mr2 ——电子的转动动能
对每一个广义坐标应用量子化通则，即
pd n h
prdr nrh
量子力学第二章
光子 E = hv = hω 粒子
E v= h
u hr r r p = n = hk
λ
h h λ= = p 2 E
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
怎么理解 ？
分析
经典物理中粒子 有确定的质量 坐标 轨道 仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念， 仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，从来 没有无限精确地为实验证实过 所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视 同时电荷、质量、 同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道 无必然联系
第二章 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
到底电子是什么？波函数是什么？ 到底电子是什么？波函数是什么？ 人们所普通接受的观点为 即不是粒子也不是波电子 即不是粒子也不是波->确切地说不是经典粒 子，也不是经典的波 但人我们说，即是粒子，又是波， 但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动 两重性的矛盾统一， 两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波
dτ
r r r 2 dw(r , t ) 空间，几率密度正比与 ω (r , t ) = dτ = c φ (r , t ) 空间，
几率正比与
直接系坐标中 空间区域
r r 2 dw(r , t ) = c φ (r , t ) dτ
2
dw( x, y, z, t ) = c φ ( x, y, z , t ) dxdydz
量子力学课件第二章
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学 第二章
当 m = 2n, k′a = nπ 时，R = 0, T =1 无反全 透。——共振透射 这正是经典的结论
2
当 m = 2n +1, k′a = (2n +1)π / 2 时，反射率取极大 值 经典认为，此时没有反射 V02 2
R = (2E −V0 )2 E−
共振透射是各透射波产生 相长干涉
2π 2a = nλ = n, k′a = nπ k′
规则势场 定
理 7 定 理 4 4
B=F=0 i. 偶宇称态 Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2C cos kx, x ≤ a / 2 Ae−βx , x >a/ 2
a / 2处 ′ /ψ连 ψ 续
k tan(ka / 2) = β
ii. 奇宇称态Aeβx , x < −a / 2 ψ (x) = 2iC sin kx, x ≤ a / 2 − k cot(ka / 2) = β
定理6 定理 若 ψ1(x),ψ2 (x) 是 Eq. S对应同一E 的解， 对应同一 的解，
ψ1 ψ2 则 =c ′ ′ ψ1 ψ2
证明： ψ ψ ′′ + (2m/ h2 )[E −V(x)] ψ = 0 证明： ψ2 1 1 2
′ - ψ2ψ1′+ (2m/ h )[E −V(x)]ψ1ψ2 = 0
对于低能入射，E 较小
ex −e−x shx ≡ 2
16E(V0 − E) 16k κ e T≈ 2 = e 2 2 2 (k +κ ) V0
2 2 −2κa
−
2a 2m(V0 −E) h
16E(V0 − E) = e 2 V0
2 − h
∫
量子力学第二章2.7
H n (αx )
n = 0,1,2,...
H 0 ( ξ) = 1
n = 1,
n = 2,
H1 (ξ) = 2ξ,...
H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2
(4) ψ n 有 n + 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分 布不同），分布关于 x = 0 对称。
2
3. 与经典振子的比较 (1) 以上特点不同于经典振子的性质，是源于微观粒子 的波粒二象性。 因量子振子要在一定范围内形成驻波，故波长、 动量和能量必分立，ψ 有一系列的极大和零点，故有 波动性，不可能静止于原点，固有零点振动，有零点 能的存在。而对于经典振子，能量很大，对应于量子 振子的 n 很大的态，这时 ΔE n 和 E 0 都小到可以忽略， 能量趋于连续，零点能无显著作用。
n = 0,1,2,...
(8)
dH d2H + (λ − 1)H = 0 的解为厄密多项式，即： 其中 2 − 2ξ dξ dξ
d n −ξ 2 H n (ξ) = (−1) n e ξ e n dξ
2
(9)
其中n表示 H n (ξ) 的最高次幂，并且 H n (ξ)的最高次数 项的系数为 2n 。
该式对任意ξ都成立， 故ξ同次幂前的系数均应为 零，
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令： 则通解可记为：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
其渐进解为：ψ(ξ) ∝ e
1 2 ± ξ 2
—渐近方程
(4)
。
量子力学第二章
2. 例子： (1) 粒子束的双狭缝衍射：
1 描写，经缝 2 经缝 1 的粒子用
的粒子 用 2 描写 。缝后 区域 的态 由
c1 1 c 2 2 (c1、c 2 一般为复数）
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
(3) 归一化后仍有一不定相因子 ei ， e i 与 描写同一状 态，且均归一化，因为：
e
i 2
d *e i e i d
d 1
2
即归一化的波函数可以含有一任意的相因子。
总之， 是一种数学工具，几率波， 没有直接的物理意 义。 给出几率密度， ( x , y, z, t ) 是在 t 时刻在 (x, y, z) 点周 围单位体积内找到粒子的几率。
(3)波函数 ( r , t ) 决定微粒的一切力学量和行为，能够完全描 dinger 方程。 o 写微观粒子状态，且其变化遵从 schr
二、波恩(Born) 对波函数物理意义的统计解释
1.光的波粒二象性的统一
光经圆孔衍射到屏上呈现明暗相间的圆环。
从波的观点看，衍射纹的“明亮”程度代表到那里的光的强 度 的大小，中心亮点和亮环是光波干涉加强处， 的振幅 加大，单位时间内到达的光能最多，而暗环处是光波干涉相消 处， 的振幅小或零，光能到此处的少或没有。
2 dW ( r , t ) c ( r , t ) d —波函数物理意义的数学表示
dW ( r , t) 2 w(r , t ) c (r , t ) —几率密度。 d
上式中左边是粒子性表示， 右边是波性表示， 该式是实物粒子波 粒二象性的又一表示（德布罗意关系是一表示） 。
第二章 量子力学基本原理
2. 光能的不连续性—光电效应和爱因斯坦（Einstein）的光子说 3. 原子能量的不连续性—氢原子光谱和玻尔的原子结构理论
~
1 ~ 1 RH ( 2 2 ) n1 n2
1
n2 n 1
二、
实物微粒的波动性
1. 从光子说到物质波
E mc 2
E h
c
hc hc h h 2 h mc mc p
3. 本征态、本征值 若某一力学量 A 的算符 A 作用于某一状态函数 ψ 后，等于某一常数 a 乘以 ψ，即 Aψ=aψ 那么对 ψ 所描述的这个微观体系的状态，其力学量 A 具有确定的数值 a，a 称为 力学量算符 A 的本征值，ψ 称为 A 的本征态或本征波函数，上式称为 A 的本征 方程。
2
若 a=b=c，则：
h2 2 2 E (n x ny n z2 ) 2 8ma
n x , n y , n z 1,2,3,.........
(3) 环中的粒子 0 V rR rR
dinger 方程为： 其 Schro
d2 ( x) E ( x) 8 2 m dx 2
c1 1 c 2 2 c n n ci i
i
式中，c1，c2，…，cn 为任意常数。
5. Pauli 原理 在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态 必须相反。 两个规则： （1） Pauli 不相容原理——在一个多电子体系中，两个自旋相同的电子不能占 据同一个轨道。 （2） Pauli 排斥原理——在一个多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、 远离。
dinger 方程 三、实物微粒的运动规律—— Schro
量子力学第二章
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
大学物理量子力学总结（范本）
大学物理量子力学总结大学物理量子力学总结篇一：大学物理下必考15量子物理知识点总结15.1 量子物理学的诞生—普朗克量子假设一、黑体辐射物体由其温度所决定的电磁辐射称为热辐射。
物体辐射的本领越大，吸收的本领也越大，反之亦然。
能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为黑体。
二、普朗克的量子假设：1. 组成腔壁的原子、分子可视为带电的一维线性谐振子，谐振子能够与周围的电磁场交换能量。
2. 每个谐振子的能量不是任意的数值, 频率为ν的谐振子，其能量只能为hν, 2hν, …分立值，其中n = 1,2,3…，h =6.626×10 –。
3. 当谐振子从一个能量状态变化到另一个状态时,辐射和吸收的能量是hν的整数倍。
15.2 光电效应爱因斯坦光量子理论一、光电效应的实验规律金属及其化合物在光照射下发射电子的现象称为光电效应。
逸出的电子为光电子，所测电流为光电流。
截止频率：对一定金属，只有入射光的频率大于某一频率ν0时, 电子才能从该金属表面逸出，这个频率叫红限。
遏制电压：当外加电压为零时，光电流不为零。
因为从阴极发出的光电子具有一定的初动能，它可以克服减速电场而到达阳极。
当外加电压反向并达到一定值时，光电流为零，此时电压称为遏制电压。
1 mvm2?eU2二、爱因斯坦光子假说和光电效应方程1. 光子假说一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子；频率为v 的每一个光子所具有的能量为??h?, 它不能再分割，只能整个地被吸收或产生出来。
2. 光电效应方程根据能量守恒定律, 当金属中一个电子从入射光中吸收一个光子后，获得能量hv，如果hv 大于该金属的电子逸出功A，这个电子就能从金属中逸出，并且有 1上式为爱因斯坦光电效应方程，式中mvm2为光电子的最大初动能。
量子力学 第二章
1 V0 k ( x a )2 2
0
V0
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标 准谐振子势的形式：
1 2 V(x) = kx 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往 往可以用线性谐振动来近似描述。
（二）一维线性谐振子
• （1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式 （5）求归一化系数 （6）讨论
1 2 2 1 constant.
定理7：设V(x)是规则场（ V(x)无奇点 ）, 则方程（3）的束缚态必定不间併。
(13)
证明：对束缚态（∞）→ 0,所以（13）式中的常数=0
1 2 2 1
1 1 2 2
Ln 2 ) Ln 1 )
（三）实 例
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx 作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d2x 2 kx x 2 x 0 其中 dt 其解为 x = Asin(ωt + δ)。这种运动称 为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。
2
n a n , a
2 又因 2 E
n 2 2 n2 2 所以 E En a 2 2 2 2 a ( n 0, 1, 2,)
2 2 2
n En 2 2 a
2 2
2
II n
n En = , 2 2 a
2 2 2 I III
n 1, 2, 3,
ψ = ψ = 0 ψ n = II 2 n sin x, n 1, 2, 3, ψ = a a
219 量子力学基础二
解：赖曼系是高能态向1=n 能级跃迁所辐射的电磁波（紫外光），光谱频率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2/2111n Rc cλν， ,5,4,3,2/=n 最大波长满足最小波长满足2 处于第3激发态的氢原子跃迁回低能态时，可以发出的可见光谱线有多少条？请画出跃迁能级图。
解：可见光是高能级向2=n 能级跃迁得到的巴尔末系。
第3激发态是4=n 。
由4=n 向2=n 的跃迁，共有两个： 由34=→=n n 后，再由23=→=n n 即eV E E h 55.2241=-=ν 可见，谱线有两条。
3 复色光（光子能量分别为eV 16.2、eV 40.2、eV 51.1、eV 89.1）射向处于2=n 的能级的氢原子群。
问：哪一种光子能被吸收？说明原因。
解：光子的能量只有刚好等于氢原子某两个能级之差时，光子才能被吸收所以只有eV E E E 89.1)4.3(51.1231=---=-=∆的光子能够被2=n 的能级的氢原子所吸收，氢原子吸收一个光子后，跃迁到eV E 51.13-=（3=n ）的能级上。
4 欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为nm 28.656的谱线，计算最少要给基态氢原子提供的能量。
（里德伯常数R ＝1.096776×107m －1）解：由巴尔末公式可得，发射nm 28.656的谱线是从23=→=n n 能级跃迁得到的， 因此，氢原子至少应该被激发到eV E 51.13-=（3=n ）的能级上。
所以要给基态氢原子提供的能量为： 5 请叙述泡利不相容原理。
答：不可能有两个电子处于相同的状态，即不可能有两个电子具有相同的4个量子数),,,(s l m m l n 。
6 基态原子中电子的排列遵循什么原理。
答：泡利不相容原理和能量最小原理。
7 什么叫做能级简并？举例说明。
答：有若干不同的电子状态（波函数），处于相同的能级，这就是能级简并。
例如，氢原子中，原子处于n 能级，但还有1,,2,1,0-=n l 个不同的轨道角动量。
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１第一章 希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。
例：θ+ψ=ψ+θ；ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ）ψ（a+b ）=ψa+ψb（ψ，θ）=（θ，ψ）*（ψ，θa ）=（ψ，θ）a矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0；4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；|U ψ|=|ψ|；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理：原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.含时间的H 对应薛定谔方程的解为：|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B2、自旋的矩阵表示：Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；一般：H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢：|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>；<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；不同本证值的相干态一般不正交；虽不正交，但有完备性；全部的相干态，过完备性；11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0>；一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章 对称性和角动量1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；[F ，H]--->F 为守恒量；F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px （ε），H] = 0；ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；体系沿时间平移一无限小量η：|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态宇称本征值：pi=（-1）l变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：TPT -1= - P TJT -1= - J ；第五章 量子力学中的相位1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A cie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=ce AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。
曾谨言量子力学第二章习题解答
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrer er -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψrJ 1 与同向。
表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ 可见，rJ 与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikxex =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
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第二章
1.波函数/平面波：
（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数
2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.
3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2
5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2
d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2
d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2
d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2
d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2
故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2
d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞
-∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。
11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程：
两个方程的特点：都是以一
个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。
→哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程:
13.几率流密度
单位时间内通过τ的封闭
表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。
14.质量守恒定律：
15.电荷守恒定律：
16.状态波函数或态函数 所谓态函数,就是指它们的数值由系统的状态唯一地确定,而与系统如何达到这个状态的过程无关。
17.量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性、有限性、单值性三个条件。
(2)力学量用厄米算符表示。
如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量得算符.表示力学量的算符有组成完备系的本征函数。
(3)将体系的状态波函数Ψ用算符F 的本征函数Φ展开（F Φn =λn Φn F Φλ=λΦλ）: Ψ=ΣCn Φn+∫C λΦλd λ, 则在Ψ态中测量力学量F 得到结果为λn 的概率为
|Cn|2,
得到结果在λ→λ+d λ范围内的概率是|C λ|2d λ （4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系状态（全同性原理）
18.定态/定态波函数/定态S 方程：
求解薛定谔方程 的特解
(1) 由此可见，体系处于(1)式所描写的状态是，能量具有确定值，所以这种状态成为 定态..(1)式称为定态波函数（在定态中概率密度和概率流密度都与时间无关） (2)
函数Ψ由方程（2）和具体问题中的波函数应满足地条件得出，方程(2)为定态薛定谔方程。