结构力学 11.结构的动力计算2

有阻尼的强迫振动: 动荷载 FP (t) 弹性恢复力 Fs ky 阻尼力 FD cy 惯性力 FI my
则 my cy ky FP (t)（二阶常系数非齐次线性微分方程）
1 有阻尼的自由振动 my cy ky 0
（二阶常系数齐次线性微分方程）
设 k m
c 2m
y 2 y 2 y 0
1刚度法——附加支杆法
m
y2
2
y
2
FR1(t)≡0
m 1 y1
y1
FR2(t)≡0
a 振动方程
在惯性力和质点位移的作用下，附加支 杆上的约束反力为零。
m1y1 k11 y1 k12 y2 0 m2 y2 k21 y1 k22 y2 0
§10-4 阻尼对振动的影响
阻尼的几种情况 ■阻尼力(damping force)与质点速度成正比，称为粘 滞阻尼力； ■阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中 运动受到的阻力属于这一类；
■阻尼力与质点速度无关，摩擦力属于这一类；
■其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
§10-4 阻尼对振动的影响
2 有阻尼的单自由度体系强迫振动
FP t
（1）在τ时刻瞬时冲量 S F P d
的作用下质体获得速度
t d
v0
FP
m
d
（2）质体以这个速度作为初速度，开始 作自由振动t时刻的动位移为
d
y(t)
et
v0
r
sin r
t
et
FP d
mr
sin r
t
（3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加
共振区以外不考虑阻尼的影响 ，按无阻尼计算。
§10-4 阻尼对振动的影响
1
(1
2
)2
4
2
2
d d
0
得 1 2 2
★ β的最大值并不发生在/ =1处。
max
1 2 2
1
1
4 4 4 2 1 2
实际中
max
(
1)
1
2
§10-4 阻尼对振动的影响
（2） / 对α的影响
(1
2
)2
4
2
2
yst
动力系数
初始相位角
tan 2
(1
2 2
)
§10-4 阻尼对振动的影响
（1） / 对β的影响
■/ <<1时，1 。F(t)
可作为静力荷载F处理。
■/ >>1时， 0， 做极
微小的振动，动位移 0 。
■/ =1的附近，阻尼对 影 响明显。 大、小。
■0.75< / <1.3——共振区
特征方程为： 2 2 2 0
2 1
§10-4 阻尼对振动的影响
(1) 1 高阻尼
1,2 2 1 0 y t C1e1t C2e2t
(2) 1 临界阻尼比 c cr 2m
y t C1 C2t et
临界阻尼
★这两种情况下的动位移具有衰减的性质,不具有波动的性质.
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
★通过实测振幅,可以测定阻尼比ξ
§10-4 阻尼对振动的影响
y(t) 1
mr
t 0
FP
e
t
sin
r
t
d
(10-31)
§10-4 阻尼对振动的影响
如果还有初始位移y0、v0， 则总位移为：
y(t
)
e t
(
y0
cos
r t
v0
r
y0
sin
r
t
)
1
mr
t 0
FP
e
t
sin
r
t
d
(10-32)
§10-4 阻尼对振动的影响
（1）突加荷载
0 t 0 FP (t) FP0 t 0
阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于 消耗阻尼，没有多余的能量再引起的振动
§10-4 阻尼对振动的影响 (3) 1 低阻尼
设 r 1 2
特征根为：
ir
微分方程解为：
y(t) et C1 cosrt C2 sinrt
记住此公式
利用初始条件: y(0) y0 y(0) v0
求出： C1 y0
C2
v0
r
y0
§10-4 阻尼对振动的影响
y(t)
e t
(
y0
cos r t
v0
r
y0
sin rt)
两项合并为：
y eta sin rt (10-28)
其中：
a
y02
v0
r2
y0
2
tan y0r v0 y0
(10-27)
§10-4 阻尼对振动的影响
阻尼对自振特性的影响
★ 动荷载振动很慢。 ★ 位移与动荷载同步。 ★ 与弹性力相比,阻尼力和惯性
力都很小。
★ 最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。
动荷载的作用相当于静载
§10-4 阻尼对振动的影响
1
2
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
F sin t a cos t ka cos t ca sin t ma 2 cos t
FP0
FP(t)
t
代入10-31式积分得：
y
FP 0
m 2
[1
e t
(cos r t
r
sin rt)
yst [1 et (cosrt
r
sin rt)
(10-33)
§10-4 阻尼对振动的影响
(2)简谐荷载 FP (t) F sint y 2y 2 y F sint
m y et (C1 cosrt C2 sin rt) A sin t B cos t
tan 2
1
2 2
1 1
2 0
2 0
2
1
2
0
1
2 2
0
0
2
2
1
2 0
2
1
2
0
2
§10-4 阻尼对振动的影响
讨论三个典型情况
0 很小
0
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
F sin t a sin t ka sin t ca cos t ma 2 sin t
瞬态振动，很快消失
稳态振动
有阻尼的自由振动部分
只考虑稳态振动 y Asin t B cos t
A F m
2 2 2 2 2 4 2 2 2
B F m
2 2 2 2 4 2 2 2
§10-4 阻尼对振动的影响
写成单项式
y a sin(t )
Hale Waihona Puke Baidu振幅
F
1
a
A2 B2 m 2
★ 位移滞后动荷载900。 ★ 动荷载与阻尼力平衡。
共振时，增大阻尼，可以降低位移
§10-4 阻尼对振动的影响
动荷载 动位移 弹性力 阻尼力 惯性力
★ 动荷载振动很快。 ★ 位移与动荷载反向,滞后1800。
★ 与惯性力相比,弹性力与阻尼 力很小。
★ 动荷载与惯性力平衡。
§10-5 两个自由度体系的自由振动