高考聚焦小题——小卷强化训练十二及参考答案

高考聚焦小题——小卷强化训练十二

班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．

1. 已知集合A ＝{x ∈R |log 12

(x －2)≥－1}，B ＝

⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1，则A ∩B ＝________． 2. 设向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－1)，若b ⊥(a ＋2b )，则实数m ＝________． 3. 已知正五边形ABCDE 的边长为23，则AC →·AE →

的值为________．

4. 正方形铁片的边长为8 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为π

4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于

________cm 3.

5. 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63

4，则a 8＝

________．

6. 已知sin α＝5

5，α∈(0，π2)，tan β＝1

3

，则tan(α＋2β)＝________．

7. 已知a >0，函数f (x )＝x (x －a )2和g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 存在相同的极值点，则a ＝________.

8. 设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x

－2x ，x ≥a ，若关于x 的不等式f (x )>4a 在实数集R 上有解，则实

数a 的取值范围是____________.

二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

9. (本小题满分14分)

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 2

3sin A .

(1) 求sin B sin C 的值；

(2) 若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB＝2CD, AC交BD于点O，锐角三角形PAD所在平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ＝2QC.求证：

(1) PA∥平面QBD；

(2) BD⊥AD.

设椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(

a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为

5

3

，点A

的坐标为(b，0)，且FB·AB＝6 2.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若

AQ PQ＝52

4

sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．

如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路CDEF ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费

用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0＜t ≤13

，

8－1t ，13

(1) 用t 表示线段EF 的长； (2) 求修建该参观线路的最低费用．

小卷强化训练十二

1. (2，3) 解析：A ＝{x ∈R |log 12

(x －2)≥－1}＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x ∈R |log 12（x －2）≥log 12

2＝{x |2＜x ≤4}．B

＝⎩

⎨

⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3x ＋3x －3≤0＝{x |－1≤x ＜3}，则A ∩B ＝(2，3)． 2. 6 解析：∵ b ⊥(a ＋2b )，∴ b ·(a ＋2b )＝0，即4－m ＋2＝0，得m ＝6. 3. 6 解析：利用AC →在AE →上的投影，得AC →·AE →＝12

AE →

2＝6.

4. 7π 解析：由题意知弧长为π

4

×8＝2π，即围成的圆锥形容器的底面圆周长为2π，

所以圆锥形容器的底面圆半径r ＝1，可得圆锥形容器的高h ＝37，所以容积V ＝13πr 2×h ＝

1

3

π×1×37＝7π.

5. 32

解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q

＝7

4，a 1

（1－q 6

）1－q ＝634

，解得⎩⎪⎨

⎪⎧a 1

＝14，

q ＝2，则a 8＝1

4

×27＝32.

6. 2 解析：因为sin α＝

5

5，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2， 所以cos α＝1－sin 2α＝

1－15＝25

5

，所以tan α＝sin αcos α＝55255

＝12.因为tan β＝13，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β ＝2×1

31－⎝⎛⎭⎫132

＝3

4

，所以tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝12＋34

1－12×3

4

＝2.

7. 3 解析：因为f(x)＝x(x －a)2＝x 3－2ax 2＋a 2x ， 所以f′(x)＝3x 2－4ax ＋a 2＝(3x －a)(x －a)．

因为g(x)＝－x 2＋(a －1)x ＋a ，所以g′(x)＝－2x ＋(a －1)． 由题意，得a 3＝a －1

2或a ＝a －12.又a ＞0，所以a ＝3.

8. ⎝⎛⎭⎫－∞，1

2∪(7，＋∞) 解析：由题意知，f(x)max ＞4a. ① 当a ＜0时，因为f(0)＝0，f(x)max ＞4a 显然成立；

② 当a ＝0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3

－3x ，x ＜0，

－2x ，x ≥0，

f(x)max ＝f(－1)＝2＞0＝4a ，满足题意；

③ 当a ＞0时，令x 3－3x ＝2，解得x 1＝－1，x 2＝2. i ) 当0＜a ＜2时，f(x)max ＝f(－1)＝2＞4a ，解得0＜a ＜1

2；

ii ) 当a ＞2时，f(x)＜a 3－3a ，由题意a 3－3a ＞4a ，解得a ＞7.