第三节 最小二乘估计量的性质
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第三节 最小二乘估计量的性质
三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义
线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。 1、2ˆβ的线性特征证明 （1）由2ˆβ的计算公式可得：
2
22
2
2
2()ˆt t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t t
t t
t
x y
x Y x Y x
x
x x
x x x
x
β--==
=⎛⎫=
=
⎪ ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑Y Y Y
Y
需要指出的是，这里用到了
因为t x 不全为零，可设
2t
t t
x b x
=
∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。这说明2ˆβ是t Y 的线性组
合。 （2）因为12t
t t
Y X ββμ=++，所以有
()
21
2
12
2
ˆt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
b b X b b X b b βββμββμ
βμ
==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y 这说明2ˆβ是t μ的线性组合。 需要指出的是，这里用到了
2
2
t t
t t
t
x x b x x
==
=∑∑∑
∑∑以及
(
)2
2
2
2222201
t t t
t
t
t t t t
t
t
t
t
t
t
t
x x X x b X
X x x x
x
X
x X
x
x
x
x x
⎛⎫+
⎪
=
=
⎪⎝⎭
+
+=
=
+=∑∑
∑
∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2、1ˆβ的线性特征证明 （1）因为12
ˆˆY
X ββ=-，所以有
()
121ˆˆ1
t
t
t
t t Y X Y
X
b n
X b n ββ=-=-⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
∑∑∑
Y Y
这里，令1a X b
n =
-，则有1ˆt a β=∑Y
这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。 （2）因为回归模型为12t
t t
Y X ββμ=++，所以
()11
2
1
2
ˆt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
a a X a a X a βββμββμ
==++=++∑∑∑∑∑Y 因为111t t t
a X
b X
b
n
n
⎛⎫
=-=-= ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑。而
1
10
t t t t
t t
t
a X X
b X X X
b X n n X X ⎛⎫=
-=- ⎪⎝⎭
-=∑
∑
∑
∑
所以，11ˆt t a ββμ=+∑ 这说明1ˆβ是t μ的线性组合。 至此，参数的线性特性证明完毕。
问题参数估计值线性特性的深层次含义是什么？要根据被解释变量、
随机扰动项和的随机性来理解。 二、 无偏性的含义
所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。在这里，无偏性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ的期望值分别等于总体参数1β和2β。其数学上要求是
()11ˆE ββ=和()
22
ˆE ββ=。 证明：根据参数估计值的线性特征，我们推导出：
11
ˆt t a ββμ=+∑，所以有： ()
()()()
()()()()()()()
11
1
1
1
1ˆt
t
t
t
t
t
t
t
E E a E E a E E a E E a E E ββμβμβμβμβ=+=+=+=+∙=∑∑∑∑
相似地，2
2ˆt t
b ββμ=+∑，所以有
()
()()()
()()()()()()()
22
2
2
2
2ˆt
t
t
t
t
t
t
t
E E b E E b E E b E E b E E ββμβμβμβμβ=+=+=+=+∙=∑∑∑∑
三、 最优性（有的书本上直接称之为最小方差性）的含义 最优性是指用最小二乘法得到的参数估计值1ˆβ和2ˆβ在各种线性无偏估计中得到的方差最小。
根据上述的定义，我们可以任意假设2ˆβ*是用其他方法得到的总体参数
2
ˆβ的一个线性无偏估计。 因为2ˆβ*具有线性特性，我们可以得到：
()
2
1
2ˆt
t
t
t t c c X ββ
βμ*
==
++∑∑Y
，