二维随机变量及其分布

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第05章二维随机变量

第五章二维随机变量第一节二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样本点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ，则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。

二维随机变量及其分布

7/27, 19/27, 25/27, 26/27, 26/27, 8/27, 20/27, 26/27, 1,
2 x <3, 0 y < 1, 2 x <3, 1 y < 2, 2 x <3, 2 y < 3, 2 x <3, y 3, 2 x <3, y 3, x 3, 0 y < 1, x 3, 1 y < 2, x 3, 2 y < 3, x 3, y 3
PX x,Y
F (x,)
x
x
y
FY ( y) PY y
y
PX ,Y y
F (, y)
x
例2 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F
(
x,
y)
A
B
arctan
x 2
C
arctan
y 2
x , y 其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边沿分布函数；
i, j, 1,2,
二维离散型随机变量的边沿分布律
记作
P( X xi ) pij pi• , i 1,2,
j1 记作
P(Y y j ) pij p• j , j 1,2,
i1
已知联合分布律可以求出边沿分布律；
已知边沿分布律一般不能唯一地求出联合
分布律
例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的球数，求
PX a,Y c 1 F(a,c)
(a,+)
PX a,Y c
y
P(a X ,c Y )

二维随机变量及其分布

5
一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数
1、联合分布函数: F(x,y)
(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数 x、y, 称
F (x, y) P {X x , Y y} P {(X x) (Y y )}
为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。
6
(2)联合分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的坐标
三、二维连续型随机变量
23
1、联合概率密度函数:f(x,y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F
(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数
x，y 有
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X， Y）的联合概率密度函数。
f (x, y)
0, 其他
求：（1）k; （2）P(Y X );
（3）分布函数F (x, y);
（4）P(0 X 1, o Y X )
26
解：(1)1
f (x, y)dxdy
y
dx
ke2x3ydy
0
0
0
x
k e2xdx e3ydy k
0
0
6
e2xdx 1 e2xd (2x)
X与Y独立.
43
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
2,
0
x 0,
y, 0 其他
y
1
问X与Y是否独立。
解：f X (x)
f (x, y)dy
3
二维随机变量的定义:
设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S 上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的一个二维随机变量。

二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。

§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。

§5二维随机变量及其分布

问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。
与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连
续型的随机向量。
2014-12-8 3
二、二维随机变量的分布函数
定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对x, y R, 称概率 P ( X x,Y y )为随机变量( X ,Y )的联合分布函数.
y
2
1 1

2
x
0, x 1, 或y 1 1/ 3, 1 x 2, y 2. F ( x , y ) 1/ 3, 1 y 2, x 2. 0, 1 x 2,1 y 2. 1, x 2, 且y 2.
2014-12-8 14
例4
从1，2，3，4中取一数记为X，再从1，…，X
2014-12-8 16
第三节
二维连续型随机变量
2014-12-8
17
一、联合密度函数 1、定义：如果存在二元非负函数 p(x,y)，使得二维随机变量（X,Y）的分布函数 F(x,y)满足
x y
F ( x, y)

p( u, v )dudv .
则称（X,Y）为二维连续随机变量， p(x,y)称为
5
注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.
2014-12-8
Y
关于非负性的补充说明：
P ( a X b, c Y d )
d
D
C
B
c A
a F ( b, d ) F ( a , d ) F ( b, c ) F ( a , c ) 0 .
取值的概率；
按照分布函数的定义，这个概率又可以表示为

3.1 二维随机变量及其分布

28 33
(3) F ( x , y ) P { X x ,Y y }
x
A( B
y

2
)(C arctan y ) 0
F ( x , ) lim A( B arctan x )(C arctan y)
A( B arctan x )(C

2
) 0
F ( , ) lim A( B arctan x )(C arctan y)
2 1 1 P{ X 0, Y 0} 12 11 66 5 2 10 P{ X 0, Y 1} 12 11 33 10 2 5 P{ X 1, Y 0} 12 11 33 10 9 15 P{ X 1, Y 1} 12 11 22
第三章
多维随机变量及其分布
第一节二维随机变量及其分布第二节边缘分布
第三节条件分布（不讲）
第四节随机变量的独立性第五节两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量及其分布
2.二维随机变量的联合分布函数 P60
(1)定义设（X, Y）是二维随机变量, 对于任意实数 x、 y ，二元函数
F ( x , y ) P{ X x , Y y }
称为二维随机变量（X, Y）的分布函数或X和Y的联合分布函数
(2)二元分布函数的几何意义 P61 将二维随机变量看作XOY平面上
随机点的坐标，则联合分布函数
F(x,y)表示随机点(X,Y)落在无穷
y
(X,Y)
(x,y)
矩形区域
{( X , Y ) / X x, Y y}
F ( x , y ) P{ X x , Y y }

二维随机变量及其分布

一维随机变量X——R1上的随机点坐标；二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标； …… n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标。多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。
2、二维随机变量的联合分布函数定义3.1 实值函数设(X,Y)是二维随机变量，二元
FY (y)=F(+,y)=
1 e y ye 0
y 0 y 0
二、二维离散型随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 2、联合分布律
设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取值为
1 arctan 2 2
1 arctan 2 2 x 1 1 x arctan 2 2 2 y 1 1 arctan 2 2 y 2

2
x arctan 2 2
2
y 2
x
(4)函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，
即对任意xR，yR，有
F ( x 0 0 , y ) lim F ( x , y ) F ( x 0 , y )
x x0
F ( x , y 0 0 ) lim F ( x , y ) F ( x , y 0 )
1 X 0 第一次所取的球为红球第一次所取的球为白球
1 Y 0 第二次所取的球为红球第二次所取的球为白球
求二维随机变量(X,Y)的分布律。解 X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。
P ( X 1, Y 1 ) P ( X 1 ) P ( Y 1 X 1 ) a ab abc

3.1二维随机变量及其分布

P（x1 X x2，y1 Y y2） F(x2,y2)
y2
-F(x2,y1)
y1
-F(x1,y2)
x1
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
分布函数F(x, y)具有如下性质：
（1）单调不减
★: 二维随机变量的定义
定义3.1.1 设E是一个随机试验,其样本空间为 .设X、Y是定义在上的两个随机变量，由 X,Y 构成的有序数组(X，Y)称为的一个二维
随机变量。
e
X(e)
RX
Y(e) RY
★: 二维随机变量的分布函数
定义3.1.2:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数
x、y, 二元函数 F (x, y) P {X x , Y y }
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(3) 右连续性对任意xR, yR,
F (x,
y0
0)
lim
y y0
F (x,
y)
F (x,
y0 ).
F (x0
0,
y)
lim
x x0
F (x,
y)
F (x0 ,
y);
（4）矩形不等式
对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
f (x, y)dxdy 1
3) P{(x, y) G} f (x, y)dxdy
几何解释？
G
随机事件的概率=曲顶柱体的体积

二维随机变量及其分布函数

P{Y
1}
p1
p11
p21
p31
p41
p51
p61
1 6
0
1 6
, 0
1 6
0
1 2
P{Y
2}
p2
p12
p22
p32
p42
p52
p62
0
1 6
0
,1 6
0
1 6
1 2
即关于Y的边缘分布律为
Y
1
2
P
1/2
1/2
例2 设(X，Y)的联合分布律为
X Y
1
1
2
3
4
1 / 4 1 / 8 1 / 12 1 / 16
G
G1
dx
x 6e(2x3y) dy 3
0
0
5
四、均匀分布和正态分布
1．均匀分布
设D为xoy面上的有界区域，其面积为S，如果二维随机变量(X，Y)具
有概率密度
f
(x,
y)
1 S
,
0,
则称(X，Y)在区域D上服从均匀分布．
(x, y) D, 其它.
例3 设二维随机变量(X，Y)在分布，求：
二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)具有性质： 1°0≤F(x，y)，且对任意x，y有
F (, y) 0, F (x,) 0, F(,) 0, F(.,) 1 2°F(x，y)是变量x和y的单调不减函数．
3°F(x，y)关于x右连续，关于y也右连续
4°(X，Y)落在矩形区域x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2上的概率为 .
P
{X
j 1
xi ,Y
y j }

3.1 二维随机变量及其分布

可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由概率密度函数性质 4，即
即X的边缘密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明（1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图；（2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布

第一节二维随机变量及其分布

x y
xi x y j y
F （4）二维离散随机变量的分布函数为： x , y px i , y j
对单变量 x 或 y 来说都右连续的。二维连续随机变量的分布函数 F(x , y)是连续函数。
4
几何意义 F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以(x, y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
解（1 ） f ( x, y ) dxdy 1
0

0
ce
( x y )
dxdy c 0 (e
y

( x y )
)
0
dy
c e dy c(e ) 0
y 0
c1
c 1
（ 2）P ( X Y 1)
x y 1
f ( x, y ) dxdy
17
P ( X Y 1)

1 0
1 y
0
e
( x y ) 1
dxdy
y
x y1
e dy
1 y 0
1 y
0
e
x
dx e y (1 e y 1 )dy
0 y x
x
1 (e y e 1 )dy 1 2e
XY
1
0
1 3
2
1 3 1 3
1
2
7
例3.2 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律. 解由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知3，4，j取不大于 i的正整数，且
11 P X i, Y j P Y j | X i P X i , i 4 i 1, 2,3, 4, j i.

3.1二维随机变量及其分布

y
•(2,2)
1 1 1 0 1 0
(0,0)
•
•
(2,0)
x
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
二维联合分布函数（二维联合分布列、二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，主要有以下三方面的信息：
每个分量的分布（每个分量的所有信息），即边际分布两个分量之间的关联程度，在第4.3节用协方差和相关系数来描述给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布
定义设随机试验的样本空间为 S , 而 X X ( ), Y Y ( ) 是定义在 S 上的两个随机变量，称 ( X ,Y )为定义在 S 上的二维随机变量或二维随机向量. 注：一般地，称 n 个随机变量的整体
X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为 n 维随机变量或随机向量.

pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x , y j y
4、边缘概率分布
pi P{ X xi } pij ,
j
P ({ X xi , Y y j })
P{ X xi ,Y y j }
实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W). 如何研究多维r.v.的统计规律性呢，仿一维 r.v.,我们先研究联合分布函数，然后研究离散r.v.的联合分布列、连续型r.v.的联合密度函数等。
3.1 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
注：以上性质是分布函数的基
本性质，也是判断一个二元函数作为随机向量的分布函数的基本条件。

二维随机变量及其分布

§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、二维随机变量一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
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§5.2 二维离散型随机变量

《概率论与数理统计》第一节二维随机变量及其分布

( x，y)
Ae (2 x3 y) ,
0,
x 0, 其它.
y
ห้องสมุดไป่ตู้
0，
求：(1)常数A；(2) (X, Y)的分布函数F(x, y)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2x+3y6内的概率.
解：(1)
f ( x, y)dxdy
Ae (2 x3 y)dxdy
00
A
e2 xdx
0
e3 ydy
0
A 3
e2xdx
0
A 3
(
1 2
e
2
x
)
0
A， 6
A 6
1，
A
6.
(2) ( X ,Y )的分布函数为：
F(x, y)
x
y
f
(u,
v
)dudv
x y 6e(2u3v)dudv,
00
0,
x 0, y 0, 其它.
(1
e2 0,
x
)(1
e3
注： P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F( x2，y2 ) F( x1，y2 ) F( x2，y1 ) F( x1，y1 ).
3. 分布函数F(x, y)的性质：
(1)非负规范：对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且
F (, ) lim F ( x, y) 1，F (, ) lim F ( x, y) 0，
XY 0 1
0 0.3 0.3
1 0.3 0.1 若把不放回改为有放回的摸球，则( X ,Y )的分布律为：
XY 0 1
0 0.36 0.24
1 0.24 0.16

二维随机变量及分布

二维随机变量及其概率分布复习资料内容摘要一、二维随机变量设随机试验的样本空间为Ω，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量（X ，Y ）为二维随机变量或二维随机向量。

1．联合分布函数设（X ，Y ）是二维随机变量，y x ,是任意实数，函数F （x ,y ）=P{X ≤x ,Y ≤y}称为（X ，Y ）的分布函数，或称随机变量X 与Y 的联合分布函数. 2．联合分布函数的性质（1） 0≤F （x ,y ）≤1;（2） F(x ,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0F(+∞,+ ∞)=1;（3） F(x ,y)对x 和y 分别是不减的.即对于固定的y ，若x 1<x 2,则F （x 1，y ）()，y x F 2≤；对于固定的x ，若y 1<y 2，则F(x ，y 1)≤F(x ，y 2)；（4） F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 右连续，即 F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y+0）=F （x ，y ）。

（5）对于任意的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1<x 2，y 1<y 2，有 F(x 2,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0. 3.二维离散型随机变量如果二维随机变量(X ，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量．并且称Ｐ｛Ｘ＝i , Y=y j ｝=ij p ,i ,j=1,2…为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律．分布律也可用表格列出：分布律满足下列３条性质：４．二维连续型随机变量设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使得对任意实数x，y都有则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度．f（x，y）具有下列性质：（１）f(x,y)≥0,（２）⎰+∞∞-⎰+∞∞- f(x,y)d x dy=1（３）若f（x，y）在点（x，y）连续，则有（４）设Ｄ为x Oy平面上的区域，则f(x,y)d x dyP{(x,y)∈D}=⎰⎰D二、边缘分布１．边缘分布函数设Ｆ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ与Ｙ的联合分布函数，则ＦX（x）＝Ｐ｛Ｘ≤x，Y＜+∞｝=F(x,+∞)F Y(y)=P{ X＜+∞，Y≤y } =F（+∞）分别称为（Ｘ，Ｙ）关于Ｘ与Ｙ的边缘分布律。

概率论二维随机变量及其分布

FX(x) F(x, )
FY(y)
F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即
.
联合分布函数的性质注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即对任意固定的 y, 当 x 2 x 1 ,F ( x 2 ,y ) F ( x ,y 1 ), 对任意固定的 x, 当 y 2 y 1 ,F ( x ,y 2 ) F ( x ,y 1 ); （3）F(x,y)关于 x和 y均为右连续，即 F ( x , y ) F ( x 0 , y ) F ( x , y , ) F ( x , y 0 ).

第五章二维随机变量及其分布

x −∞ −∞
∫
y
p(u, v )dudv .
则称（则称（X,Y）为二维连续型随机变量,p(x,y)称为为二维连续型随机变量, （X,Y）的联合密度（函数）。的联合密度（函数）。偏导存在的点处有：注：在F(x,y)偏导存在的点处有： ∂2 p( x, y) = F( x, y). ∂x∂y
1 1 2 + P ( X = 2,Y = 2) = 0 + + = . 3 3 3
2011-11-8 皖西学院数理系 13
一口袋装有3个球分别标有数字1，2，2，个球，例2 一口袋装有个球，分别标有数字从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。
变量分成离散型、连续型及混合型，变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机变量。散型和连续型的随机变量。
2011-11-8 皖西学院数理系 3
二、二维随机变量的分布函数定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对∀x, y ∈ R, 称概率 P( X ≤ x,Y ≤ y)为随机变量( X ,Y )的联合分布函数。记概率作：F ( x, y), 即 F ( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y).
概率论与数理统计
x1 < x2 ⇒ F ( x1 , y) ≤ F( x2 , y);
y1 < y2 ⇒ F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 ) .
有界性: 有界性:
0 ≤ F ( x, y) ≤ 1; F (−∞, y) = 0, F ( x, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1.
xi
M

二维随机变量及其分布

第05章 二维随机变量

二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

§5二维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

3.1二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布函数

3.1 二维随机变量及其分布

第一节 二维随机变量及其分布

3.1二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

《概率论与数理统计》第一节二维随机变量及其分布

二维随机变量及分布

概率论二维随机变量及其分布

第五章 二维随机变量及其分布

第05章二维随机变量

第一节二维随机变量及其分布

第五章二维随机变量及其分布