RLC串联电路的稳态响应

−1
（5）
电阻器两端的电压 U R (t ) 为 U R (t ) = Ri(t ) = U Rm cos(ωt + φ ) 其中
U Rm == Um
（6） （7）
ω 1+ ω1 2
2
可知， U Rm 随着频率的增加而变小。所以,如果在 RL 电路的电阻两端取输出电压,则图
。在实验中，我们观察的是 U R (t ) 和 U c (t ) 在
2 2 2
实数轴上的投影。有 U Cm + U Rm = U m
可以解出半功率角频率为
ω1 =
2
1 RC 。我们将相位角 φ 和电流
3
振幅
Im
改写为
Um
φ = tan (
−1
ω1 ω
2
)
Im =
R
2
；
ω1 1+ 2 ω
U c (t )
为
Um ω 1+ ω1 2
2
1 U me jωt U c (t ) = Re . = jωC 1 R + jwc
cos(ωt + φ ' )
（16）
其中 φ ' = φ − π ; 2 电容器电压的峰值 U Cm 为
1 令 ωc = RC
1 则： H ( jω ) = jω 1+
幅频特性 相频特性
H ( jω ) =
1 ω 1+ ω c
2
ωc
θ (ω ) = − arctan
ω ωc
当 ω < ωc 时，输出信号的幅值大于输入信号幅值的 70.7%，工程上认为信号能顺利传输。把 0 ~ ω c的 频率范围定为通频带。当 ω > ω c 时，输出信号的幅值小于输入信号幅值的 70.7%，认为信号不能顺利 ω c 是通带和阻带的分界点，称为截止频率。在截止频率 传输，所以把 ω > ω c 的频率范围定为阻带。 时输出功率为输入功率一半。 实验测量方法：用双踪示波器同时显示输入信号 U1 及输出信号 U2,测量幅值及相差。
（一）低通型 理论摘要
R
H ( jω)
1
•
0
−
θ (ω )
ωc
ω
•
U
1
1 jω C
0 .7 0 7
2
π
4
U
−
0
π
2
ω
RC低通
•
ωc 幅频特性
相频特性
U 2输出信号，电路传输函数为： U 1 为输入信号，
•
1 1 jωC H ( jω ) = • = = 1 1 + jωRC U1 R + jωC
•
U2
实验
RLC 串联电路的稳态响应
在 RLC 串联电路上加一个正弦电压时，电路中各元件上的电压会随着输入频率的改变 而改变，回路电流和电源电压之间的相位差也会随之改变。前者是幅频特性，后者是相频 特性。本实验就 RL、RC 电路的幅频特性和相频特性进行研究，以加深对这些基本规律的 理解。对于 RC 电路，还将进一步研究其相移作用。
Um
，
φ = tan −1
1 ωRC
（12）
如图 4 所示，在复平面上 U R (t ) 、 U c (t ) 均与 U i (t ) 以相同角频率 ω 循逆时针方向转动,且
U c (t )
0 恒比 U R (t ) 落后 90 相位角。U R (t ) 比 U i (t ) 则超前相位角
φ = tan −1 ( 1ωRC )
2
2
2
(
)
（8）
其中 φ ' = φ + π 。 2
2
所以, uL (t ) 的振幅 U Lm 为
U Lm =
Um ω1 1+ 2 ω
2
（9）
可以看出: U Lm 随着频率的增加而增加,因此,如果以电感器两端的电压为输出电压,则 图 1 的电路可以当作一个在低频时输出电压较小,在高频时输出电压较大的高通滤波器。 2．RC 串联电路的相频特性和幅频特性 如图 3 所示,用正弦电压驱动 RC 串联电路。
（13）
由于电阻器上两端的电压为 U R (t ) = Ri (t ) =
Um ω1 1+ 2 ω
2
cos(ωt + φ )
（14）
所以电阻器电压的峰值 U Rm 为
U Rm =
Um ω1 1+ 2 ω
2
（15）
由以上的几式可以看出:当 ω 很小时,电容性电抗(Capacitive Reactance,简称容抗)
Z = R + jωL
（1）
U i (t ) = U m cos ωt = Re U me jωt
[
]
①
（2） （3）
那么回路电流为
i (t ) =
Um cos(ωt + φ ) Z
R
其中
Z = R 2 + ω 2 L2 ， φ = − tan −1
ωL ②
（4）
可以看出，当电路参数 R、L 确定时，阻抗值会随着的 ω 增大而增大；回路电流和信 号源电压之间的相位差 φ 也会随着的 ω 的变化而变化，在低频时接近于 0，而高频时则接 近于，整个电路基本呈现感性。 2 可证明:这个电路中，电阻器两端电压(或电感器两端的电压)的半功率角频率是
U Cm = Um ω 1+ ω1 2
2
(17)
可见，在频率较低时电容器的电压峰值 U Cm 较大,反之,频率较高时 U Cm 较小。所以,
4
如果以电容器的电压做为输出,则这个电路可做为一个低通滤波器。 【实验内容】 实验内容】 一． RC 串联电路的稳态特性：
π
①Re( )表示取复数的实部②该实验中的相位差是指电流与电压之间的，与理论书相反
1
ω1 =
2
R ，所以式(3)可改写为 L
i (t ) ==
Um R ω 1+ ω1 2
2
cos(ωt + φ )
ω ； φ = − tan ω1 2
1 的电路可以当作一个在低频时输出电压较大,在高频时输出电压较小的低通滤波器。
图 2 在复数平面上绘示了 U i (t ) , U L (t ) 和 U R (t ) 之间的关系。 U i (t ) 以 U m 为半径,以角频 率 ω 循逆时针方向转动 , 它在实数轴上的投影是 U m cos ωt 。
7
Uo Ui
测量范围：0.3——0.9
数据间隔：约 0.03源自文库约 20 个测量点。
输入电压幅值 Ui= 信号频率 f 输出电压幅值 Uo 幅比 Uo /Ui 相差Δφ
(峰—峰值约 5V，实验过程中保持不变，频率档选 1—10k 正弦)
4 数据处理：做幅频曲线（即 Uo /Ui——f 曲线） ○ 。做相频曲线（即Δφ——f 曲线） 。 在图上找到并标出截至频率。
此电路中，电感器两端的电压 U L (t ) 为 Um Um R U L (t ) = Re jωL e j (ωt +φ ) = cos ωt + φ ' 2 2 ω1 ω 1+ 1+ 2 ω ω1 2
实验步骤： 1 接线： ○ 如上图， 取 L=10mH 、C=0.02μF 、 R=230Ω Us 为输入信号，接正弦信号（注意极性）UR 为输出信号。 2 观察波形： ○ Us 接数字示波器 1 通道，UR 接 2 通道, （注意极性） 3 数据测量 ○ 用数字示波器自动方式或光标方式测幅度，比较 Ui 及 Uo 波形，观察横向位移，测出相差， 信号电压幅值 Us= (峰—峰值约 5V，实验过程中保持不变，频率档选 10k—100k 正弦) 信号频率 f 电阻电压幅值 UR 电路电流 UR /R 相差Δφ 测量范围 I/Imax 从 0.4——0.4， （把一个峰值频率和两个截止频率测出来） ，先找到输出峰值电压，再分 别往两边测，共约 20 个测量点。 4 数据处理：做电流频响曲线（即 IR——f 曲线） ○ 。做相频曲线（即Δφ——f 曲线） 。 在图上找到并标出两个截止频率及一个共振频率。算出通频带宽Δf=f2－f1 及 品质因数 Q =
f0 f 2 − f1
6
思考题
1． 2． 3． 为什么在测量幅频特性时一定要保持信号发生器的输出幅度不变？ 在 RC、RL 电路中，如果 C、L 的损耗电阻不能够忽略不计，估算一下它们对测量结 果会有什么样的影响？ 怎么应用 R、 L、 C 元件组成最简单的滤波器？请画出线路图， 并说明是那种滤波器。 应用实验仪，观察实验现象，分析讨论实验结果。
实验原理
1. RL 串联电路的相频特性和幅频特性 图 1 所示 是以 正 弦电 压 推动 的 RL 串 联 电路。 因 为 Ri(t ) + U L (t ) = U m cos ωt ,所以回路电流和电感器上的电压 都会随时间正弦函数改变。我们可以利用复数的形式去解 电路,解完之后再对 i (t ) 和 U L (t ) 分别取实数部分。 电路的总阻抗为 假设
1 电容器的阻抗为 jωC ,整个电路的总阻抗为
Z = R+ 1 j ωC
（10）
所以回路上的电流为
U me jωt = I m cos(ωt + φ ) i (t ) = Re 1 R + JωC
（11）
其中
Im =
R 2 1 1+ ωRC
•
UL
•
Us
1 jωC
•
UC
R
•
UR
电路如上图，电路阻抗为：
当： ω 0 L =
1 Z = R + j ( X L − X C ) = R + j ωL − ωC 1
ω0C
时，即感抗等于容抗时，电路是纯电阻状态，
f0 f 2 − f1
发生串联谐振。谐振时，电流最大。带宽为 f2－f1，品质因数 Q =
U i (t ) . U R (t ) . U L (t ) 以相同的角频率 ω 循逆时针方转动 , 而且
ωL −1 ωL U R (t ) 的 相 位 比 U i (t ) 落 后 tan −1 ), ( φ = − tan R R
U L (t ) 的相位永远比 U R (t ) 超前 90 0 ,而 U Lm + U Rm = U m 。
1 jωC 很大,输入电压 U i (t ) 大部分落在电容器上,所以电阻器上的电压很小。 反之,当 ω 很大 1 时,容抗值 jωC 很小,大部分输入电压落在电阻器上。由(15)式也可以看出:电路的电阻器
上的电压 U R (t ) 在频率低时的峰值 U Rm 较小;反之频率高时, U Rm 较大。 因此,以图 3 的电路 来说,如果以电阻器的电压作为输出,这个电路就可做为一个高通滤波器。 电容器上的电压
5
（二）高通型（选做） 电路如右图，实验步骤同上
（只观察，不计数） （数据测量为选做） 二、 RL 串联电路的稳态特性： 实验步骤同 RC 串联电路的稳态特性，只需将电容换成电感（取 10mH）即可。由于电感和电容特性 相反，实验高通、低通换位。 三、 ． RLC 串联谐振电路 理论摘要:
•
I
jωL
H= U2 U1
θ = ∆ϕ
实验步骤： 1 接线 ○ 如右图，Ui 为输入信号，接正弦信号（注意极性）Uo 为输出信号。 2 观察波形 ○ Ui 接数字示波器 1 通道，Uo 接 2 通道, （注意极性） 3 数据测量 ○ 用数字示波器自动方式或光标方式测幅度，比较 Ui 及 Uo 波形，观察横向位移，测出相差，
实验目的
1. 研究 RL、RC 串联电路对正弦交流信号的响应，了解电路的物理本质。 2. 学习用示波器测量两个电压波形相位差的方法。 3. 复习巩固交流电路的矢量图解法。
实验仪器
1． RLC 电路实验仪（DH4503－2 型） 实验仪包含了电感箱、电阻箱和电容箱，以及信号发生器在同一面板上。 2． 数字实时存储示波器（TDS210 型） 其仪器介绍及使用方法见讲义《示波器的使用——数字存储示波器的使用》 。