系统辨识答案

1：修改课本p61的程序，并画出相应的图形；u =-1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1z =Columns 1 through 110 0Columns 12 through 16HL =0 0 0ZL =c =a1 =a2 =b1 =1b2 =2：修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V的取值范围为54-200）；V = [, , , , , ]τP = [, , , , , ]τZL = [, , , , , ]τHL =c4 =alpha =beita = +0043：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，70时根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C︒的电阻值。

要求用递推最小二乘求解： （a ）设观测模型为利用头两个数据给出⎪⎩⎪⎨⎧===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(ˆ)()()0(10 （b ）写出最小二乘的递推公式； （c ）利用Matlab 计算T k a k b k )](),([)(ˆ=θ并画出相应的图形。

解：首先写成[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==a b t a b h h a bt k k z k k 1)()(12θτh θL L H z =T L L z z ],...,[1=z ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1 (112)1L L t t t H ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a b θ的形式。

利用头两个数据给出最小二乘的初值：,126120.50⎥⎦⎤⎢⎣⎡=L H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7907650L z 这样可以算得i i v bt a y ++=⎪⎩⎪⎨⎧===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(ˆ)()()0(10 求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==671.8182 4.5455 )0()0(ˆ36.2397 1.5372- 1.5372- 0.0661)()0(000L T L L z H P θP P 注意对于手工计算，可以直接用2阶矩阵求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a c b d bc ad d c b a 11有了初值，可以写出递推公式：T 1032]1010 980 942 910 873 850 826 [=L z⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 1.0000 95.7000 1.0000 88.0000 1.000080.0000 1.0000 73.0000 1.0000 61.0000 1.0000 51.0000 1.0000 40.0000 1.0000 32.7000 L H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1)(k t k h 这样可以根据公式进行计算。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ+--=--+-=-)(1)()1()()()()1()()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k k k k k z k k k h P h K K P P h P h h P K h K ττττθθθ 算得：P(1) =P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = P(8) =Tk ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=702.7620 702.9683 705.3110 708.4127 702.9463 698.6728 675.2295 661.3131 3.4344 3.4292 3.3668 3.2778 3.4443 3.5878 4.4470 5.0134 )(ˆθ进而可以画出相应的图形编程：H_L0=[ 1;26 1];z_L0=[765;790];P_L0=inv(H_L0'*H_L0);Theta_0=P_L0*H_L0'*z_L0;vv=[ 40 51 61 73 80 88 ];HL=[vv;ones(1,8)]';z_L=[826 850 873 910 942 980 1010 1032];L=8;N=2;P=zeros(N,N,L);KK=zeros(N,L);P_k=P_L0;Theta=zeros(N,L)alpha_k=0;h=zeros(1,N); h=HL(k,:)';alpha_k=h'*P_k*h+1; KK(:,k)=P_k*h/alpha_k;Theta(:,k)=Theta_0+KK(:,k)*(z_L(k)-h'*Theta_0);P(:,:,k)=P_k-KK(:,k)*KK(:,k)'*alpha_k;第三章 补充习题4：叙述并推导递推最小二乘递推公示（pp64-66）。

在2n 阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解为L L L L L z H H H ΛΛθττ1WLS )(ˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑=-=L i L i i z i i i i i 111)()()()()()(h h h ΛΛτ记k 时刻的参数估计值为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑=-=k i k i i z i i i i i k 111)()()()()()()(ˆh h h ΛΛτθ令∑==ki i h i h i k R 1)()()()(τΛ，并利用R h () ()()()()k k i i z i i k --==-∑1111θΛ，则有⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+-=-)()()()1()()]1(ˆ)()()[()()()1(ˆ)(ˆT1k k k k k k k k z k k k k k h h R R h h R ΛΛθθθτ 又设R R ()()k kk =1，可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记作WRLS(Weighted Recursive Least Squares algorithm)，⎪⎩⎪⎨⎧--+-=--+-=-)]1()()()([1)1()()]1(ˆ)()()[()()(1)1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k z k k k k k k R h h R R h h R ττθθθΛΛ 置[]11111)()()()1()()()()(1)(---=-Λ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ==∑k k k k i i i k k k k i ττh h P h h R P ，并利用矩阵反演公式111111)()(------+-=+A C C A C B C A A CBC A τττ ，令增益矩阵为：)()()()(k k k k Λ=h P K那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--+-=-)1()]()([)()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI Λ 第四章1：叙述课本定理并推导之（pp92-94）；确定性问题的梯度校正参数辨识方法的参数估计递推公式为：)](ˆ)()()[()()(ˆ)1(ˆk k k y k k k k θR θθτh h -+=+ 并且权矩阵)(k R 选取如下形式：)](,),(),([)()(21k k k diag k c k N ΛΛΛ= R如果权矩阵满足以下条件：1. ),2,1(,)(0N i k H i L =Λ≤Λ≤Λ<2.N 个)(k i Λ中存在一个)(k m Λ，使得)()1()()()1()(k k k k k k i i i m m m ΛΛΛΛΛΛ+-≥+-或者)()1()()1(k k k k i i m m ΛΛΛΛ+≤+ 3. ∑=<<Ni iik h k k c 12)()(2)(0Λ4.)(ˆ)(~0k k θθθ-=与)(k h 不正交 则不管参数估计值的初始值如何选择，参数估计值总是全局一致渐近收敛的，即有：)(ˆlim θθ=∞→k k 定理的证明：① 建立关于参数估计偏差)(~k θ的离散时间运动方程。

由于：)](ˆ)[()()()(ˆ)](ˆ)()()[()()(ˆ)](ˆ)()()[()()(ˆ)1(ˆ00k k k k k k k k k k k k k k y k k k k θθR θθθR θθR θθ-+=-+=-+=+ττττh h h h h h h 令：)(ˆ)(~0k k θθθ-=，由： )](ˆ)[()()()(ˆ)1(ˆ000k k k k k k θθR θ-θθ-θ--=+τh h 我们有：)(~)()()()(~)1(~k k k k k k θR θθτh h -=+即)(~)]()()([)1(~k k k k k θR I θτh h -=+ （**） ② 建立方程（**）的Lyapunov 能量函数。

定义Lyapunov 能量函数如下：∑=ΛΛ=Ni i i m k k k k k V 12)()(~)(]),(~[θθ其中m Λ满足定理中的条件2，)(ˆ)(~k k ii i θθθ-=。

由Lyapunov 稳定性定理，只要]),(~[k k V θ满足以下条件，则离散时间运动方程（**）具有全局一致渐近稳定的零点。

（a ）0]),(~[>k k V θ，对于所有的0θ≠)(~k ； （b ）0]),(~[=k k V θ，对于所有的0θ=)(~k ； （c ）当∞→)(~k θ时，有∞→]),(~[k k V θ； （d ）0]),(~[]1),1(~[ˆ],~[<-++=∆k k V k k V k V θθθ，对所有的0θ≠)(~k 。

由定理给定的条件可知（a ）、（b ）和（c ）一定满足。

③ 条件（d ）满足的证明 记：)(]),(~[)1(]1),1(~[],~[k k k V k k k V k V m m m Λ-+Λ++=∆θθθ 则由Lyapunov 能量函数的定义，有：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========+ΛΛ+Λ-Λ++=+ΛΛ+Λ-Λ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ΛΛ++Λ-+Λ++Λ-++Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ΛΛ+Λ-+Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ-+Λ+=Λ-+Λ+=ΛΛΛ-+Λ++Λ+Λ=∆Ni i i i ii N i i i i i iN i i i i N i i i i i i i i i i i N i i i i i i i N i i i i i N i i i N i ii N i i i m m N i i i m m m k k k k k Q k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k V 12121221222212212212121212)1()()1()()1(~)1()()1()()1(~)()(~)1(~)1()()1(~)1()1(~)()(~)1()1(~)1()1()()(~)1()1(~)()()(~)1()1(~)()(~)1()1(~)()(~)()()1()1(~)1()1(],~[θθθθθθθθθθθθθθθθθ 其中：∑∑==Λ-++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Λ-+=N i i ii i i i Ni i i i k k k k k k k k Q 1122)(]2)(ˆ)1(ˆ)][(ˆ)1(ˆ[)()(~)1(~θθθθθθθ 将)](ˆ)()()[()()(ˆ)1(ˆk k k y k k k k θR θθτh h -+=+及)(k R 的定义式代入，由于：)(~)()(ˆ)()()(ˆ)()()(0k k k k k k k k y k θh θh θh θh ττττε=-=-=我们有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Λ=-Λ=∑∑==2)()()()()()](~2)()()()()[()()(1221Ni i i Ni i i i i k h k k c k k c k k k h k k c k h k k c Q εθεε由定理给的条件2，有)(]1),1(~[)1(]1),1(~[]1),1(~[)1()()1()()1()1(~)()1()()1()()1()()1(~],~[1212k k k V k k k V Q k k V k k k k Q k k k k k Q k k k k k Q k V m m m m m m N i i i m m m Ni i i i ii m Λ++-+Λ+++=+++ΛΛ+Λ-Λ+=+Λ+Λ+Λ-Λ+≤+ΛΛ+Λ-Λ++=∆∑∑==θθθθθθ利用],~[k V m θ∆和],~[k V θ∆的定义，由 )(]),(~[],~[)1(]1),1(~[k k k V k V k k k V m m m Λ+∆=+Λ++θθθ 上面的不等式可得：)(],~[)(]),(~[]1),1(~[)(]1),1(~[)(]),(~[0k k V Q k k k V k k V Q k k k V k k k V Q m m m m Λ∆-=Λ-++-=Λ++-Λ+≤θθθθθ 即有：)(],~[k Q k V m Λ≤∆θ由于0)(>Λk m ，所以为了使0],~[<∆k V θ，必须0<Q ，即要求： 02)()()()()(122<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Λ∑=N i i i k h k k c k k c ε由定理的条件4，有0)(~)()(≠=k k k θh τε，因此上面的不等式为： ∑=Λ<<Ni iik h k k c 12)()(2)(0至此证明了只要定理的条件满足，必有0],~[<∆k V θ，定理证毕。