选修4-4坐标系与参数方程练习题及解析答案
高中数学选修4-4习题(含问题详解)
统考作业题目——4-41．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数〕,以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取一样的长度单位.曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. 〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；〔2〕点M 是曲线C 上任一点,求点M 到直线l 距离的最大值.2．极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位一样.直线的极坐标方程为：,点,参数．〔I 〕求点轨迹的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕求点到直线距离的最大值． 1、[详解]〔1〕12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,所以222440x y x y ++++=,即22(1)(2)1x y +++=〔2〕因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为|121|222---=, 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+2、解：〔Ⅰ〕设,如此,且参数,消参得：所以点的轨迹方程为〔Ⅱ〕因为所以 所以,所以直线的直角坐标方程为法一：由〔Ⅰ〕点的轨迹方程为圆心为〔0,2〕,半径为2．,点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和, 所以点到直线距离的最大值．法二：当时,,即点到直线距离的最大值为．3．在平面直角坐标系xOy 中,曲线的参数方程为〔为参数〕,曲线的参数方程为〔,t 为参数〕.<1>求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；<2>设P 为曲线上的动点,求点P 到上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 〔α为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值与此时P 的直角坐标. 3、[详解]〔1〕对曲线：,,∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又,从而曲线的极坐标方程为.〔2〕设曲线上的任意一点为,如此点到曲线：的距离,当,即时,,此时点的坐标为．4、[详解]〔1〕曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕,移项后两边平方可得,2222cos sin 13y x αα+=+= 即有椭圆221:13y C x +=；曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即有2222ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭由cos x ρθ=,sin y ρθ=,可得40x y +-=,即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=；〔2〕设(cos ,3sin )P αα,由P 到直线的距离为|cos 3sin 4|2d αα+-=当sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,||PQ 的最小值为2, 此时可取3πα=,即有13,22P ⎛⎫⎪⎝⎭. 5.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是〔θ为参数〕,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为．假如直线与曲线相交于不同的两点A ,B ,且,求的值．6．直线l 的参数方程为315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=．〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕假如直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长． 5、 因为,所以直线的直角坐标方程为,其倾斜角为,过点,所以直线的参数方程为〔为参数〕,即〔为参数〕．曲线的参数方程〔θ为参数〕化为普通方程为,将代入曲线的方程,整理得,,设点,对应的参数分别为,如此,所以．6、[详解]〔Ⅰ〕将315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=,即4340x y --=, 故直线l 的普通方程为4340x y --=．由2sin4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入上式,可得042=-x y ,即24y x =,故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．〔Ⅱ〕将31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =,可得2415250t t --=,设点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,如此12154t t +=,12254t t =-,所以22121212152525||||()4()4()444AB t t t t t t =-=+-=-⨯-=, 故线段AB 的长为254． 7．平面直角坐标系x0y,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 过点P<-1,2>,且倾斜角为23π,圆C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=. <1>求圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；<2>设直线l 与圆C 交于M 、N 两点.求PM PN +的值.8．在以极点O 为原点,极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中,曲线1C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕,曲线1C 在点),(00y x P 处的切线l的极坐标方程为ρ=.〔1〕求切线l 的直角坐标方程与切点P 的直角坐标；〔2〕假如切线l 和曲线2:C 2cos 6sin 160ρθρθ--+=相交于不同的两点,A B ,求1||PA +1||PB 的值. 7、[详解]〔1〕2cos ,3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭2cos sin ρρθθ∴=⋅⋅∴圆C的方程：220x y x +-+=,直线l的参数方程为1122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕将直线l 的参数方程代入圆C 的方程,得： 8、[详解]〔1〕切线l的极坐标方程为ρ=∴cos 2sin 3θρθ-=,如此切线l的直角坐标方程为230y --=,∵曲线1C 的参数方程为22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕, ∴曲线1C 的普通方程为y x 22=,即212y x =,如此y x '=, 又切线l 的斜率为3,∴03x =,此时032y =, 故切点P 的直角坐标为3(3,)2.〔2〕切线l 的倾斜角为π3, ∴切线l 的参数方程为1323322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕,曲线2C 的极坐标方程为243cos 6sin 160ρρθρθ--+=,∴曲线2C 的直角坐标方程为22436160x y x y +--+=,将1323322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22436160x y x y +--+=, 得2410310t t -+=,设交点,A B 对应的参数分别是12,t t ,如此121253214t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,∴1212125311210314t t t t t t ++===, 故||1||1PB PA +310=. 9．曲线的参数方程为为参数>,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.〔1〕把的参数方程化为极坐标方程；〔2〕求与交点的极坐标．10．在直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,曲线E的极坐标方程为.〔1〕分别求曲线C和E的直角坐标方程；〔2〕求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.9、[详解]〔1〕将消去参数t,化为普通方程即将代入得所以的极坐标方程为〔2〕的普通方程为,由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.10、[详解]〔1〕由题意,曲线C的直角坐标方程为：；曲线E的直角坐标方程为：.〔2〕由题意得：得.即所求直线的直角坐标方程为11．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩参数〕,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 7,2π〕且经过极点的圆〔1〕求曲线C 1的极坐标方程和C 2的普通方程； 〔2〕射线(0)6πθρ=≥分別与曲线C 1,C 2交于点A,B 〔点B 异于坐标原点O 〕,求线段AB 的长12．选修4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩,〔t 为参数〕,在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1:2cos C ρθ=,2:2cos 3C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求1C 与2C 交点的直角坐标；〔Ⅱ〕假如直线l 与曲线1C ,2C 分别相交于异于原点的点M ,N ,求MN 的最大值. 11、[详解]〔1〕由曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕,消去参数ϕ得2214xy +=,又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2214x y +=得1C 的极坐标方程为222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++, 由曲线2C 是圆心的极坐标为7,2π⎛⎫⎪⎝⎭且经过极点的圆. 可得其极坐标方程为7ρθ=,从而得2C 的普通方程为22270x y y +-=.〔2〕将(0)6πθρ=≥代入27sin ρθ=得27sin76B πρ==,又将(0)6πθρ=≥代入2224cos 4sin ρθθ=+得224477cos 4sin 66A ρππ==+, 12、[详解]解：〔Ⅰ〕曲线1C 的直角坐标方程为222x y x +=,曲线2C 的直角坐标方程为2230x y x y +--=.由2222230x y x x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 故1C 与2C 交点的直角坐标为()0,0,33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.〔Ⅱ〕不妨设0απ≤<,点M ,N 的极坐标分别为()1,ρα,()2,ρα所以122cos 2cos 3MN πρραα⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭所以当32πα=时,MN 取得最大值2. 13． 在直角坐标系中,曲线的参数方程为〔为参数〕,直线的方程为．〔1〕以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；〔2〕在〔1〕的条件下,直线的极坐标方程为,设曲线与直线的交于点和点,曲线与直线的交于点和点,求的面积．13、[详解]〔1〕由,得曲线C 的普通方程为,把,代入该式化简得曲线C 的极坐标方程为：.因为直线：是过原点且倾斜角为的直线,所以直线的极坐标方程为：．〔2〕把代入得,故, 把代入得,故,因为,所以的面积为..。
人教版数学选修4-4《坐标系与参数方程》基础训练及答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程.[提高训练C 组]一、选择题1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ） A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 3．直线12()2x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 BC4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-二、填空题1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。
2．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -_______。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二 参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
坐标系与参数方程练习题及参考答案
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ ：___________________成绩：___________ 一、选择题〔共12题，每题5分〕1、点M的直角坐标是(-，那么点M 的极坐标为〔 〕 A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，以下各点与点P 〔ρ，θ〕〔θ≠k π，k ∈Z 〕关于极轴所在直线对称的是 〔 〕A ．〔-ρ，θ〕B ．〔-ρ，-θ〕C ．〔ρ，2π-θ〕D ．〔ρ，2π+θ〕 3．点P 的极坐标为〔1，π〕，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 〔 〕A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点〔1，1〕为圆心，1为半径的圆的方程是 〔 〕A ．ρ=2cos(θ-4π)B ．ρ=2sin(θ-4π)C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1)5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．假设直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以〔2,2πa 〕为圆心，2a为半径的圆的方程为〔 〕A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，那么曲线是〔 〕A ．线段B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是〔 〕A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．以下在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是〔 〕A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x 〔θ为参数，0≤θ<2π〕上任意一点，那么yx的取值 围是 〔 〕A ．[-3，3]B ．〔-∞，3〕∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．〔-∞，33〕∪[33，+∞]二、填空题〔共8题，各5分〕1、点A 的直角坐标为〔1，1，1〕，那么它的球坐标为，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t =+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数那么圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
2020高考文数选修4-4坐标系与参数方程
第1讲 选修4-4坐标系与参数方程解答题1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是{x =t,y =2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|.解析 (1)由{x =t,y =2t 消去t 得y=2x,把{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)∵ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,则曲线C 是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆.又圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=√55,∴|AB|=22=2√955. 2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ(φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ-kρcos θ+k=0(k ∈R).(1)请写出曲线C 的普通方程与直线l 的一个参数方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且点M(1,0)为线段AB 上的一个三等分点,求|AB|. 解析 (1)由已知得,曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.易知直线l 的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). (2)联立(1)中直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程,并化简得(3+sin 2α)t 2+6tcos α-9=0, 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴{t 1+t 2=-6cosα3+sin 2α,t 1·t 2=-93+sin 2α<0.① 不妨设t 1>0,t 2<0,t 1=-2t 2,代入①中得cos 2α=49, sin 2α=59,所以|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=123+sin 2α=278.3.(2019广西桂林联考)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数,α为l 的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为ρ=4sin θ,射线θ=β,θ=β+π6,θ=β-π6与曲线E 分别交于不同于极点的A,B,C 三点.(1)求证:|OB|+|OC|=√3|OA|;(2)当β=π3时,直线l 过B,C 两点,求y 0与α的值.解析 (1)证明:依题意知,|OA|=4sin β,|OB|=4sin (β+π6),|OC|=4sin (β-π6),则|OB|+|OC|=4sin (β+π6)+4sin (β-π6)=4√3sin β=√3|OA|.(2)当β=π3时,点B 的极坐标为(4sin π2,π2)=(4,π2),点C 的极坐标为(4sin π6,π6)=(2,π6),故B,C 化为直角坐标为B(0,4),C(√3,1),因为直线l 过B,C 两点,所以直线l 的普通方程为y=-√3x+4,所以y 0=4,α=2π3.4.(2019广西南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin (θ+π3),直线l 的直角坐标方程为y=√33x.(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程;(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2的图象相交于异于极点的A,B 两点,若A,B 的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ1-ρ2|的值.解析 (1)由曲线C 1的参数方程{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),得C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=1,则曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θ.易知直线l 过原点,且倾斜角为π6,所以直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(2)将θ=π6代入C 1的极坐标方程得ρ1=1,将θ=π6代入C 2的极坐标方程得ρ2=4,所以|ρ1-ρ2|=3.5.(2019广东广州联考)已知曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设l 1:θ=π6,l 2:θ=π3,若l 1,l 2与曲线C 相交于异于原点的A,B 两点,求△AOB 的面积. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ, ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)由{θ=π6,ρ=4cosθ+2sinθ,得|OA|=2√3+1. 同理|OB|=2+√3,又∠AOB=π6,∴S △AOB =12|OA|·|OB|sin ∠AOB=8+5√34, ∴△AOB 的面积为8+5√34. 6.(2019江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =-3+t,y =-1-t(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin (3π4-θ).(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)过曲线C 2上任意一点P 作与C 1夹角为π4的直线,交C 1于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)由{x =-3+t,y =-1-t得C 1的普通方程为x+y+4=0, 由ρ=4√2sin (3π4-θ),得ρ=4cos θ+4sin θ,∴ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,x 2+y 2=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=8,∴C 2的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.(2)在曲线C 2上任意取一点P(2+2√2cos θ,2+2√2sin θ),则P 到C 1的距离d=√2(cosθ+sinθ)|√2=|8+4sin(θ+π4)|√2, |PA|=√22=|8+4sin (θ+π4)|,∴当sin (θ+π4)=1时,|PA|取最大值,为12;当sin (θ+π4)=-1时,|PA|取最小值,为4.7.(2019山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是x=4.曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)若射线θ=α(ρ≥0,0<α<π4)与曲线C 交于O,A 两点,与直线l 交于点B,求|OA||OB|的取值范围. 解析 (1)由ρcos θ=x 及直线l 的方程为x=4,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ=4. 又曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数), 消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x 2+y 2-2x-2y=0,将x 2+y 2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ+2sin θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=2cos α+2sin α,ρ2=4cosα, 所以|OA||OB|=ρ1ρ2=(2cosα+2sinα)cosα4= cos 2α+sinαcosα2 =14(sin 2α+cos 2α)+14=√24sin (2α+π4)+14,因为0<α<π4,所以π4<2α+π4<3π4,所以√22<sin (2α+π4)≤1,故12<√24sin (2α+π4)+14≤1+√24, 所以|OA||OB|的取值范围是(12,1+√24]. 8.(2019河南郑州测试)在平角直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =1+tsinα(t 为参数,α∈[0,π)).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sin θ.(1)设M(x,y)为曲线C 上任意一点,求x+y 的取值范围;(2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A,B,求|AB|的最小值.解析 (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ=4sin θ化为直角坐标方程,得x 2=4y.∵M(x,y)为曲线C 上任意一点,∴x+y=x+14x 2=14(x+2)2-1≥-1,∴x+y 的取值范围是[-1,+∞).(2)将{x =tcosα,y =1+tsinα代入x 2=4y,得t 2cos 2α-4tsin α-4=0.∴Δ=16sin 2α+16cos 2α=16>0,设方程t 2cos 2α-4tsin α-4=0的两个根分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=4sinαcos 2α,t 1t 2=-4cos 2α,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4cos 2α≥4,当且仅当α=0时,取等号.故当α=0时,|AB|取得最小值4.。
高考理科数学一轮复习专题训练：选修4-4坐标系与参数方程(含详细答案解析)
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1- CD．【答案】C【解析】由11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =，斜率k C ．2．点A 的极坐标为，则A 的直角坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A的坐标为()，故选D ． 3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(221y x x -=D ．(221x y x -=【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且y ⎡⎣，据此可得普通方程为(221y x x -=≤．故选C ．5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．点P 的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】2ρ==，tan θ=，因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=- B ．sin ρα= C ．2cos ρα=- D ．2sin ρα=【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ．9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为d ==又r =BC ==C ． 10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A B ．34C D ．12【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，c =所以椭圆的离心率为e A ． 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=， 即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -=2．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______． 【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．【答案】1+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，1=，解得1a =±0a >，则负值舍去，故1a =1+16上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的时，d 取得最大值为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )4ρθπ-（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C：sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面 直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为，与曲线2C 交于A 、B 两点，求 【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆．设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==．当1sin 2ϕ=-时，2PC = 又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max 1PQ =．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=y =，因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l的距d =所以线段PQ的长2==．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，125t t ⋅=， 于是MN =， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离d ==，所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=，即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数相切，则b =（ ） A ．4-或6 B ．6-或4 C ．1-或9 D ．9-或1【答案】A【解析】把直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数的参数方程分别化为普通方程得：直线4330x y +-=；圆()229x y b +-=．∵此直线与该圆相切，∴22033343b +-=+，解得4b =-或6．故选A ．2．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨⎩=()θ为参数，则它的两个焦点坐标是（ ） A ．()4, 0± B ．()0,4± C ．()5, 0± D ．()0,3±【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()4, 0±，故选A ．3．直线的参数方程为=31+3x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩()t 为参数，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C310x y +-=， 所以直线的斜率3k =-，从而得到其倾斜角为23π，故选C ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ） A ．sin ρθ= B ．2sin ρθ= C ．cos ρθ= D ．2cos ρθ=【答案】D【解析】由1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数得曲线C 普通方程为()2211x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨⎩=，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B ．()2πθρ=∈R 和cos 2ρθ=C ．()0θρ=∈R 和cos 1ρθ=D ．()2πθρ=∈R 和cos 1ρθ=【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆2cos ρθ=是以()10，为圆心，1为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为()2πθρ=∈R ，cos 2ρθ=，故选B ．6．已知M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为（ ）A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为52,6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα==+⎧⎨⎩()α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()221:11C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心()10,1C 到直线2C 的距离22011011d -+==+，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．8．若曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数，则曲线C （ ）A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数消去参数θ可得()2214x y +-=．又,22θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴02cos 2x θ≤=≤．∴曲线C 表示圆()2214x y +-=的右半部分．故选D ．9．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =， 故OM 的最大值为3314r +=+=，故选D ．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα==⎧⎨⎩()α为参数，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．1345+B ．245+C ．445+D ．65【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=， 可得曲线T 的直角坐标方程为2200y x +-=，由曲线C 的参数方程4cos sin x y αα==⎧⎨⎩，设曲线上点M 的坐标为()4cos sin αα，，由点到直线的距离公式可得()20sin 204cos 2sin 2055d αθαα+-+-当()sin 1αθ+=-时，d 20202455+=+B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ） A ．810B ．10 C ．10 D ．85【答案】C【解析】曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，化为普通方程为：22x 4y +=，表示圆心为(0)0，，半径为2的圆．直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，化为直角坐标方程即为30x y --=．圆心到直线的距离为362d ==． 直线与曲线相交所得的弦的长为264102⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+=⎧⎨⎩[)(),2θθ∈ππ为参数，且上，则点P 到直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的距离的取值范围是（ ） A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．32321,122⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．(2,22⎤⎦D ．322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的普通方程为10x y +-=，点P 到直线距离为2sin 332sin 2cos sin 144222θθθθπ⎛⎫π⎛⎫+--+ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭==， 因为[),2θππ∈，所以2sin 1,42θ⎡⎫π⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭，因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆4cos ρθ=的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点P 的坐标为()1,3，∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=． ∴圆心的坐标为20（，），∴点P 到圆心的距离为()()2221032-+-=，故答案为2．14．若点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t ==⎧⎨⎩()t 为参数上，则PF 等于_________．【答案】4【解析】抛物线244x t y t==⎧⎨⎩()t 为参数可化为24y x =，∵点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t==⎧⎨⎩，()t 为参数上，∴24312m =⨯=，∴()323P ，， ∵()10F ，，∴()222234PF =+=，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 已知直线极坐标方程为()4θρπ=∈R ，它与曲线23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数相交于两点A 、B ， 则AB =__________． 【答案】2 【解析】∵4ρ=π，利用cos x ρθ==，sin y ρθ==进行化简， ∴0x y -=，23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数，相消去α可得圆的方程为()()22229x y -++=得到圆心()22-，，半径为3，圆心()22-，到直线0x y -=的距离222d ==，∴2222982AB r d =-=-=，∴线段AB 的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x ty t⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数的焦点为F ，动点P 在抛物线上． 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上， 则PF PQ +的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为24 4x ty t ⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数， ∴抛物线的普通方程为24y x =，则()1,0F ，∵动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上，∴圆的标准方程为()2241x y -+= 过点P 作PA 垂直于抛物线的准线，垂足为A ，如图所示：∴PF PQ PA PQ +=+，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，PA PQ +取得最小值， 其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos 63sin6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩()t 为参数．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）3个． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=． （2）由直线l 的参数方程消去参数t 得()331y x +=-，即340x y --=． 因为圆心()20C ，到直线的距离为2304113d -⋅-==+，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩()t 为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为:l 2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()10P ，，若点M 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点， 设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．【答案】（1）():tan 1l y x α=-，2:4C x y =；（2）32 【解析】（1）消去直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩中的参数t ，得到直线l 的普通方程为()tan 1y x α=-，把曲线C 的极坐标方程:l 2cos 4sin 0ρθθ-=左右两边同时乘以ρ， 得到22cos 4sin 0ρθρθ-=，利用公式cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入，化简出曲线C 的直角坐标方程24x y =．（2）点M 的直角坐标为()01，，将点M 的直角坐标为()01，代入直线():tan 1l y x α=-中， 得tan 1α=-，即:10l x y +-=，联立方程组2104x y x y +-=⎧⎨=⎩，得AB 中点坐标为()23Q -，，从而PQ =．19．（12分）已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ．（1）求'C 的普通方程；（2）若点A 在曲线'C 上，点()30B ，，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 【答案】（1）221x y +=；（2）223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩代入1'31'2x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得'C 的参数方程为cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，∴曲线'C 的普通方程为221x y +=． （2）设()P x y ，，()00A x y ，，又()30B ，，且AB 中点为P ，∴00232x x y y =-=⎧⎨⎩，又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程2201x y +=得()()222321x y -+=， ∴动点P 的轨迹方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩()α为参数．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=． （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）2211204:x y C +=，()()222:211C x y ++-=；（2．【解析】（1）222225cos cos sin 122sin 25y x y αααα=⎛⎫⇒+=+= ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎪=⎝⎭⎝⎭，即曲线1C 的普通方程为221204x y +=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=， 即()()222:211C x y ++-=．（2）曲线1C 左焦点为()40-，直线的倾斜角为4απ=，2sin cos αα==，∴直线l 的参数方程为2422x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩()t 为参数将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，∴()2324420∆=--⨯=>．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则∴1232t t +=124t t =． ∴()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点()1P a ，，其参数方程为221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）1:10C x y a --+=，22:3C y x =；（2）1348a =或712． 【解析】（1）1C 的参数方程221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =．（2）将曲线的参数方程标准化为221x a t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,代入曲线22:3C y x = 得22260t t a -+-=，由()()2241260a ∆=--⨯->，得14a >， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，1212123226t t t t t t a ⎧=+==-⎪⎨⎪⎩，解得131448a =>，当123t t =-时，1212123226t t t t t t a=⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得712a =，综上：1348a =或712． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩[]()0αα∈π为参数,，，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设直线10:l θθ=（0θ为任意锐角）、20:2l θθπ=+分别与曲线C 交于A ，B 两点，试求AOB △面积的最小值．【答案】（1）[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，；（2）127． 【解析】（1）由22cos sin 1αα+=，将曲线C 的参数方程2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩，消参得()221043x y y +=≥，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2222cos sin 143ρθρθ+=，化简整理得曲线的极坐标方程为[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，．① （2）将0θθ=代入①式得，22220123cos 4sin A OA ρθθ==+，同理222222000012123sin 4cos 3cos 4sin 22B OB ρθθθθ===ππ+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是22220000223cos 4sin 3sin 4cos 117121212A B θθθθρρ+++=+=，由于2271111212A B A B ρρρρ⎛⎫=+≥⋅ ⎪⎝⎭（当且仅当A B ρρ=时取“=”）， 故247A B ρρ⋅≥，11227AOB A B S ρρ=⋅≥△．。
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题（含详解）数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（）y?2?3t?A．C．2332B．? D．?2332x?sin2?(?为参数)上的点是（） 2．下列在曲线?y?cos??sin??A．(, B．(?2131,) C． D． 422x?2?sin?3．将参数方程?(?为参数)化为普通方程为（） 2y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 4．化极坐标方程?2cos0为直角坐标方程为（）A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1 5．点M的直角坐标是(?，则点M的极坐标为（）A．(2,3) B．(2,?3) C．(2,2?3) D．(2,2k??3),(k?Z)6．极坐标方程?cos??2sin2?表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆二、填空题 1．直线?x?3?4t?y?4?5t(t为参数)的斜率为______________________。
t?t??x?e?e2．参数方程?(t为参数)的普通方程为__________________。
t?ty?2(e?e)3．已知直线l1:?x?1?3t?y?2?4t(t为参数)与直线l2:2x?4y?5相交于点B，又点A(1,2)，则AB?_______________。
1?x?2?t??2224．直线?(t为参数)被圆x?y?4截得的弦长为______________。
y??1?1t??25．直线xcos??ysin??0的极坐标方程为____________________。
三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点，（1）求2x?y的取值范围；（2）若x?y?a?0恒成立，求实数a的取值范围。
(典型题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(有答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．7 3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．306．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠7．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-8．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l与C 交于,A B 两点，则AB =_______.17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知直线12:(22x l t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 22．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．23．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值. 24．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.25．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C 上点的坐标为()2,2t t ， 则C 上的点到直线l 的距离2223(1)2233333t t t d -+-+===， 即C 上的点到直线1的距离的最小值为23． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为226410434d ++==+，由圆的弦长公式可得，弦长222222546L r d =-=-=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案).doc
坐系与参数方程 知点1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩下，点P(x,y)对I 点 P (x , y ),称平面直角坐标系中的坐标伸变f 简伸变2. 极坐榇的概念 (1)极坐系Mt P. e)p亠如所示,在平面内取一个定点0，叫做极点,自极点o 引一条射线x ，叫做极轴再定一个踱单 ,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆 时方向),样就建立了一个极坐标 .注:极坐榇以角送平面形几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对的关系 ,而极坐係则可•但极坐标和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设是平面内一点,极点0与点M 的距离|0M|叫做点 M 的极径，为；以极Ox 为边寸0M 终的角 xOM 叫做点M 的极角，为.有序数对,)叫做点M 的极坐标记M(,).般地，不作特殊溯卩我认为可取任意实数 .点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ，在换:0)的作用(0)如果定 0,02 ,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时极坐标,)表示的点也是唯一确定的3. 极坐标0直角坐欄互化特地,当点M 在极点时它的极坐标0, 点的极坐标T 无数种表示 .)(€R).和直角坐标不同 平面内一个中取相同的长度单位，如图所示⑵互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y),极坐标是(,)( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表在一般情况下，由tan 确定角时，可根据点M 所在的象限最小正角径为r的圆过极点，倾斜角为 的直线a/ 1 pX?—J/ 1 //(1)( R)或 (R) 0 =a P € 0 = n +a P€ (2)0 =a ( P > 0)禾口 6 = ?! + a (P n 0)过点(a ,0),与极轴 垂直的直线»--------------------- 1O仏0)匸7T 71p cos 8 = a(——<0 <—)2 2过点(a,兀),与极2轴平行的直线|(<7» y )• ・ OKP sin 9 = a(0 < 6 < 応)注:由于平面上点的极坐标的表示 形式不唯(,),(,2),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 极坐标方程,只要求至少有一个能满足7T 71(，) 71 M可以表示为 4 4的极坐标满足方,只有(，)4 4P = °占) 八、、5 , )等多种形式，其中4 4,如果曲线上任意一点的坐标即可.例如对于极坐标方程p =0 (,2 )或(，2 )或(-4 44 4程二、参数方程 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中Vib.X f (t)x,y 都是某个变数 t 的函数M ( x, y)都在这条曲线上 ,x a cos2 m （为数），其中参数 称离心角;l y =b sin ®数方程为参数方程得到普通方程⑵ 如果知道3数 x, y 中的一个与参数t 的关系，例如x f （t ）,把它代入普通方程 ，求出另一个变数与参数的关系y g(t ),那么x f （t ）J =就是曲绸参数方程 ，在参数方程与y g （t ）I普通方程的互化中，必使x, y 的取范围持一致注：普通方程化层数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学选修4-4坐标系与参数方程经典解答题
当α＝ 时，设点M对应的参数为t0.
直线l的方程为 (t为参数)，
代入曲线C的普通方程 ＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.
则t0＝ ＝－ ，所以点M的坐标为 .
(2)将 代入曲线C的普通方程 ＋y2＝1，
3．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 (φ为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝ 与曲线C2交于点D 。
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B ，若A、B都在曲线C1上，求 ＋ 的值．
4．解析：(1)点P在直线l上．理由如下：
直线l：2ρcos ＝ ，即 ρcosθ＋ρsinθ＝ ，∴直线l的直角坐标方程为 x＋y＝ ，∴点P在直线l上．
(2)直线l的参数方程为
(t为参数)，
曲线C的普通方程为 ＋ ＝1.
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得3 2＋ 2＝15，
∴t2＋2t－8＝0，设两根为t1，t2，
坐标系与参数方程
试题
成绩
课程名称
高考数学二轮复习模拟考试
开卷
闭卷
√
教研室
高三数学组
A卷
√
B卷
复习时间
年
月
日
时
分至
时
分
适用专业班级
班级姓名学号
考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
1．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
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高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．曲线与坐标轴的交点是（）．
A． B． C． D．
2．把方程化为以参数的参数方程是（）．
A． B． C． D．
3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D．
4．点在圆的（）．
A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关
5．参数方程为表示的曲线是（）．
A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线
6．两圆与的位置关系是（）．
A．内切 B．外切 C．相离 D．内含
7．与参数方程为等价的普通方程为（）．
A． B．
C． D．
8．曲线的长度是（）．
A． B． C． D．
9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D．
10．直线和圆交于两点，
则的中点坐标为（）．
A． B． C． D．
11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D．
12．直线被圆所截得的弦长为（）．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．参数方程的普通方程为__________________．
14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________．
16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）
求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离．
18．（本小题满分12分）
过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的值及相应的的值．
19．（本小题满分12分）
已知中，(为变数)，
求面积的最大值．
20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程．
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分）
分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数．
22．（本小题满分12分）
已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程；
（2）若点为弦的中点，求弦的方程．
答案与解析：
1．B 当时，，而，即，得与轴的交点为；
当时，，而，即，得与轴的交点为．
2．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制．
3．D ．
4．A ∵点到圆心的距离为(圆半径)
∴点在圆的内部．
5．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线．6．B 两圆的圆心距为，两圆半径的和也是，因此两圆外切．7．D ．
8．D 曲线是圆的一段圆弧，它所对圆心角为．
所以曲线的长度为．
9．D 椭圆为，设，
．
10．D ，得，，
中点为．
11．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为．
12．C ，把直线
代入，得，
，弦长为．
13．．14．,或．
15．，或直线为，圆为，作出图形，相切时，易知倾斜角为，或．
16．，当时，，或；
而，即，得．
17．解：将，代入，得，
得，而，
得．
18．解：设直线为，代入曲线
并整理得，
则，
所以当时，即，的最小值为，此时．19．解：设点的坐标为，则，
即为以为圆心，以为半径的圆．
∵，
∴，
且的方程为，
即，
则圆心到直线的距离为．
∴点到直线的最大距离为，
∴的最大值是．
20．解：（1）直线的参数方程为，即，
（2）把直线，代入，
得，
，则点到两点的距离之积为．
21．解：（1）当时，，即；
当时，，
而，
即；
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，
即，得，
即．
22．解：（1）由圆的参数方程，
设直线的参数方程为①，
将参数方程①代入圆的方程
得，
∴△，
所以方程有两相异实数根、，
∴，
化简有，
解之或，
从而求出直线的方程为或．（2）若为的中点，所以，
由（1）知，得，
故所求弦的方程为．
备用题：
1．已知点在圆上，则、的取值范围是（）．A．
B．
C．
D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．
2．直线被圆截得的弦长为（）．A． B． C． D．
2．B ，把直线代入
得，
，弦长为．
3．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么_______________．
3．显然线段垂直于抛物线的对称轴，即轴，
．
4．参数方程表示什么曲线？
4．解：显然，则，
，即，，
得，
即．
5．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
5．解：（1）设圆的参数方程为，
，
∴．
（2），
∴恒成立，
即．。