弹性力学 第8章_空间问题的基本理论与解答
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弹性力学徐芝纶版第8章
移项缩写为：
2
ij
ij l j 0
2 2
考虑方向余弦关系式，有
l m n 1. 或 li li 1
求主应力
2. 求主应力 σ
将式(a)改写为：
(σ x σ )l yx m zx n 0, xy l (σ y σ )m zy n 0, xz l yz m (σ z σ )n 0。
(7 12)
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E E x ( x ), yz yz 1 1 2 2(1 ) E E y ( y ), zx zx 1 1 2 2(1 ) E E z ( z ), xy xy 1 1 2 2(1 )
斜面应力
§8-2 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐线为 n ）上的应力。
斜面应力
斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： p沿坐标向分量:
p ( px , p y , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σ n , n ).
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出： 现仅考虑只有xy平面内的位移 u , v 时的 情况进行推导： 通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段 PA dx, PB dy,
定义
变形前位置： P, A, B,
变形后位置： P, A, B －－各点的位置如图。
几何方程
u x , x
求主应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
弹性力学空间问题的解答
第八章 空间问题的解答§8-1 按位移求解空间问题将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+=∂∂-+=∂∂+-+=∂∂+-+=),()1(2)()1(2),()1(2),21(1),21(1),21(1y u x E x z u E z y E z E y E x u E xy zx yz z y x υμτωμτυωμτωθμμμσυθμμμσθμμμσ （8-1） 其中zy x u ∂∂+∂∂+∂∂=ωυθ。
再将上面的弹性方程（8-1）代入平衡微分方程（7-1），并采用记号2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，得到⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∇+∂∂-++=+∇+∂∂-+=+∇+∂∂-+.0)211()1(2,0)211()1(2,0)211()1(2222z y x f z E f y E f u x E ωθμμυθμμθμμ （8-2） 这是用位移分量表示的平衡微分方程，也就是按位移求解空间问题时所需用的基本微分方程。
如果将工（8-1）代入式（7-5），就能把应力边界条件用位移分量来表示，但由于这样得出的方程太长，我们宁愿把应力边界条件保留为式（7-5）的形式，而理解其中的应力分量系通过式（8-1）用位移分量表示。
位移边界条件则仍然如式（7-9）所示。
§8-2 半空间体受重力及均布压力设有半空间体，密度为ρ，在水平边界上受均布压力q ，图8-1，以边界面为xy 面，z 轴铅直向下。
这样，体力分量就是g f f f z y x ρ===,0,0。
采用按位移求解。
由于对称（任一铅直平面都是对称面），试假设)(,0,0z u ωωυ===。
（a ）这样就得到可见基本微分方程（8-2）中的前二式自然满足，而第三式成为 简化以后得,)1()21)(1(22μρμμω--+-=E g dz d （b ） 积分以后得 ),()1()21)(1(A z E g dz d +--+-==μρμμωθ （c ）.)()1(2)21)(1(2B A z E g ++--+=μρμμω (d) 其中A 和B 是待定常数。
弹性力学 空间问题基本理论共55页文档
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
弹力8-空间问题的基本理论
m1 n1 由此可求出 、 , 再考虑l 2 + m 2 + n 2 = 1得：1 = l l1 l1
1 m1 2 n1 2 1+ ( ) + ( ) l1 l1
三个主方向相互垂直（σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3）
§8－4 最大与最小的应力
正应力 取主轴坐标系，任意斜面上正应力：
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 = (1 − m 2 − n 2 )σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3
§8－1 平衡微分方程
弹性力学分析： 弹性力学分析： 静力学方面、几何方面、 静力学方面、几何方面、物理方面
一点的应力状态
C
σz +
∂σz dz ∂z
z
σy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
τ yx
τ xz +
τ yz
∂τ xz dx ∂x
τ xy
σx
τ xz
∂τ xy ∂x dx
dy
∂σ y ∂y dy
τ zx = τ xz ,
τ yz = τ zy ,
τ xy = τ yx
x
τ xy
τ yz
σx +
∂σ x dx ∂x
a τ xz ∂τ yx ∂τ τ xy + xy dx τ yx + ∂y dy ∂x
σy +
B
A
平衡方程：
σz
y
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + fx = 0 + + ∂y ∂z ∂x ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + fy = 0 ∂z ∂x ∂y ∂σ ∂τ xz ∂τ yz z + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y
1 m1 2 n1 2 1+ ( ) + ( ) l1 l1
三个主方向相互垂直（σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3）
§8－4 最大与最小的应力
正应力 取主轴坐标系，任意斜面上正应力：
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 = (1 − m 2 − n 2 )σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3
§8－1 平衡微分方程
弹性力学分析： 弹性力学分析： 静力学方面、几何方面、 静力学方面、几何方面、物理方面
一点的应力状态
C
σz +
∂σz dz ∂z
z
σy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
τ yx
τ xz +
τ yz
∂τ xz dx ∂x
τ xy
σx
τ xz
∂τ xy ∂x dx
dy
∂σ y ∂y dy
τ zx = τ xz ,
τ yz = τ zy ,
τ xy = τ yx
x
τ xy
τ yz
σx +
∂σ x dx ∂x
a τ xz ∂τ yx ∂τ τ xy + xy dx τ yx + ∂y dy ∂x
σy +
B
A
平衡方程：
σz
y
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + fx = 0 + + ∂y ∂z ∂x ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + fy = 0 ∂z ∂x ∂y ∂σ ∂τ xz ∂τ yz z + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y
弹性力学A-08空间问题的基本理论
由此可求得： m1 , n1 l1 l1
由：
l12 m12 n12 1
可求得：
l1
1
1
m1 l1
2
n1 l1
2
同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。
思考题 证明，三个主应力方向互相垂直
第八章 空间问题的基本理论
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学的基本规律
外力
应力
应变
位移
静 力 平 衡 规 律
第八章 空间问题的基本理论
线
几
性
何
弹
连
性
续
规
规
律
律
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§8-1 平衡微分方程
1.单元体的描述
P 点的应力为：
yxx
xy y
Θ2 ( 2 3 3 1 1 2 )
y
z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
Θ3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
x xy xz
Θ3 yx y yz
zx zy z
Θ2
x yx
xy y
x zx
xz z
y zy
yz z
x
y
y
zy
z
fy
0
y yx yz
xz
由：
l12 m12 n12 1
可求得：
l1
1
1
m1 l1
2
n1 l1
2
同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。
思考题 证明，三个主应力方向互相垂直
第八章 空间问题的基本理论
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
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弹性力学的基本规律
外力
应力
应变
位移
静 力 平 衡 规 律
第八章 空间问题的基本理论
线
几
性
何
弹
连
性
续
规
规
律
律
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§8-1 平衡微分方程
1.单元体的描述
P 点的应力为：
yxx
xy y
Θ2 ( 2 3 3 1 1 2 )
y
z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
Θ3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
x xy xz
Θ3 yx y yz
zx zy z
Θ2
x yx
xy y
x zx
xz z
y zy
yz z
x
y
y
zy
z
fy
0
y yx yz
xz
弹性力学-空间问题的解答
E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章 空间问题的解答
V内基本方程
E
21
μ
1 12μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
第八章 空间问题的解答
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2 zx 0,
代入（d），得
2 zy 0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2Φ C,
第八章 空间问题的解答
扭转问题的提出: （1）等截面柱体；
（2）无体力作用， fx f y fz 0;
（3）柱体侧面无面力作用，fx fy fz 0, 柱体上下端面的面力，合成一对力 矩 M。
第八章 空间问题的解答
按应力求解
引用按应力求解空间问题的方法—应 力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程 及 S Sσ 上的应力边界条件。
体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。
第八章 空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
参见有关书籍。
（4）相容方程必须为六个。相容方程和平
衡微分方程的数目大于未知函数的数
目，是由于微分方程提高阶数所需要
的。
例如：
第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题
(8 6)
因为 F x F y 0 其第三式为
只与z有关。
又 Fz q
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即 ，则由式(5)得
于是，式(3)给出的位移为
E E G (1 )(1 2 ) 2(1 )
利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
，
由式(i)并将下标符号i改为k可得
于是有
由
，式(8-10)可写成
其展开式为（ 用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）
x y z
当不计体力时，有
式(8—12)和式(8—13)称为Beltrami—Michell(贝尔特拉米—米 歇尔)方程，也即应力协调方程。 由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：Beltrami—Michell方程是 以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程 的求导[见式(f)]已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑 平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。 下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点： 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有 三个未知量 u 、v 、 w 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2)Biblioteka (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
e 2u 2 ( G ) x G u Fx 0( t 2 ) e 2v 2 G v Fy 0( 2 ) ( G ) y t e 2w 2 G w Fz 0( ) ( G ) 2 z t
弹性力学讲义-第7,8章空间问题的基本理论
体应变 dx xdx dy ydy dz zdz dxdydz dxdydz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z z x y z x y x y z x y z
u v w
x y z
(7-11)
(7-10)
§7-4 几何方程及物理方程
xzl
yz m
zn
n
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
（c）
方向余弦 l 2 m2 n2 1 （b）
§7-3 主应力 最大与最小的应力
l 2 m2 n2 1 必有非零解
( x xyl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
（c）
齐次方程组有非 零解的充要条件
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3 1 2 2 3 0
1 x y z
2
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
3
1
0
解答 m 0, n 0 l 1 极值1
n 0, m 1 l 1
2
2
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1
3
3
总共得出极值时的六组解答
l 1 0 0
0
m 0 1 0 1 2
n 0 0 1 1 2
2 n
0
0
0 2 3 22
1 2 0
1 2
3 1 22
1
1 2 1 2
n l 2 1 m2 2 n2 3
l2 m2 n2 1
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z z x y z x y x y z x y z
u v w
x y z
(7-11)
(7-10)
§7-4 几何方程及物理方程
xzl
yz m
zn
n
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
（c）
方向余弦 l 2 m2 n2 1 （b）
§7-3 主应力 最大与最小的应力
l 2 m2 n2 1 必有非零解
( x xyl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
（c）
齐次方程组有非 零解的充要条件
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3 1 2 2 3 0
1 x y z
2
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
3
1
0
解答 m 0, n 0 l 1 极值1
n 0, m 1 l 1
2
2
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1
3
3
总共得出极值时的六组解答
l 1 0 0
0
m 0 1 0 1 2
n 0 0 1 1 2
2 n
0
0
0 2 3 22
1 2 0
1 2
3 1 22
1
1 2 1 2
n l 2 1 m2 2 n2 3
l2 m2 n2 1
弹性力学复习思考题
第二章平面问题的基本理(1) 两类平面问题的特点？(几何、受力、应力、应变等)。
(2) 试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
(3) 在建立平面问题基本方程(平衡方程、几何方程)时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？(4) 位移分量与应变分量的关系如何？是否有位移就有应变？(5) 已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？(6) 已知一点的应力分量，如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向？(7) 什么是线应变(正应变)、剪应变(切应变、角应变)？如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向？(8) 平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系？(9) 边界条件有哪两类？如何列写？第四章平面问题的极坐标解(1 )极坐标解答适用的问题结构的几何形状(?圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等)(2) 极坐标下弹性力学平面问题的基本方程？平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程)(3) 极坐标下弹性力学平面问题的相容方程？用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等)(4) 极坐标下应力分量与应力函数间关(5) 极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写？(6) 极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点？(7) 圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定？(如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数的形式？)(8) 楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 何为圣维南原理？其要点是什么？圣维南原理的作用是什么？如何利用圣维南原理列写边界条件？(11) 弹性力学问题为超静定问题，试说明之。
(12) 弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些？(13) 弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式？各自的使用条件是什么？(14) 按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程(相容方程)？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？(15 )应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题的正确解？为什么？(16) 常体力情况下，如何将体力转化为面力？其意义如何？(17) 何为逆解法？何为半逆解法？(18) Airy应力函数在边界上值的物理意义是什么？应力函数的导数：_________ 在边界上值的物理意义是什么？x ' y (9 )半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量的确定？(10) 圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确(11) 定加法的应用。
弹性力学第8章空间问题的基本理论与解答
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
21
§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
16
§8.2 几何方程及物理方程 空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x 1 (ζ x ζ y ζ z ), E
14
§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
15
§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以
清华大学弹性力学-空间问题
A
ABC S 则：
x面
PABC 的体积为 V
ABC 上的应力为 SN
BPC lS CPA m S APB nS
4
由
z
C N
Fx 0 :
X N S x lS yx m S zx nS XV 0
y
yx ZN yz P zy
xy
x
xz
B y
XN YN
当 PABC → P 时:
X N l x m yx n zx
zx
o
x
A
z
同理，由 F y 0, Fz 0 :
Y N m y n zy l xy Z N n z lz xy m yz
5
X N , Y N , Z N 为S N 在 x , y , z轴上的投影
x z
y （平衡方程）
3
§4-2 应力状态和主应力 1. 一点应力状态 N ― 平面ABC的外法线
z C N
N的方向弦为：
xy xz zx z
SN
y
yx yz P zy
x
cos( N , x ) l cos( N , y ) m
B y
cos( N , z ) n
o x
0 z z 0
o
P z
A d
z dz z
y
x
（柱坐标） d
z
z
z z
只有四个应力分量：
, , z , z z
d z d
z
dz
dz
14
小结：
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y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
第8章
空间问题的基本理论 与解答
目录
1
主要内容
§8-1 平衡微分方程
§8-2 几何方程及物理方程
§8-3 轴对称问题的基本方程
§8-4 按位移求解空间问题
§8-5 半空间体受重力及均布压力
§8-6 半空间体在边界上受法向集中力
§8-7 按应力求解空间问题
目录 2
§8.1 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ思考题
1、试导出空间问题中 Sζ 上的应力边界条件 （式（c））。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4）），并将 sζ上的应力边界条件 (ζ s ) f 用位移来 表示。
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§8.5 半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，受自重体力 f z ρg 及边界的均布压力q。
( x, y, z; u, v, w).
(在sζ 上)
(c)
位移边界条件仍为:
u s u,
( x, y, z; u, v, w). (在su 上)(d)
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§8.4 按位移求解空间问题
归结：按位移求解空间问题，位移 必须满足： （1）V内的平衡微分方程(b) ； （2）sζ上的应力边界条件(c) ；
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§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
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§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
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§8.1 平衡微分方程
在
sζ 上的应力边界条件 设在 sζ 边界上，给定了
面力分量( f x , f y , f z )则可将微 分四面体移动到边界点上， 并使斜面与边界重合。斜面 应力分量( p x , p y , pz ) 应代之为面力分量 fx, f y , fz , 从而得出空间问题的应力边界条件:
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§8.2 几何方程及物理方程
思考题
若形变分量为零， x γ 试导出对应的位移分量。
yz
0 ( x,y,z),
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§8.3 轴对称问题的基本方程
空间轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。
采用柱坐标 ( , , z ) 表示。
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§8.4 按位移求解空间问题
E μ u ζx , 1 μ 1 2μ x ( x, y, z; u, v, w). (a) E w v η yz , 2 1 μ y z
u v w 其中体积应变 。 x y z
xy x面 f y , xz x面 f z
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§8.1 平衡微分方程
如果某一小部分边界上，如S1 上，精确的应力边 界条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理， 可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。 有两种表达方式： （1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩 分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条 件）； （2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体， 列出脱离体的力的平衡条件。
纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其
方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余
两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
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§8.1 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
2 2 2 2
(b)
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§8.4 按位移求解空间问题
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位移表 示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u l f x , 1 μ 1 2μ x 2 x y 2 x z s
(e)
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§8.4 按位移求解空间问题
其中体积应变
u u u z ; z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 1 2 2 2. 2 z
（2） ζ 上的应力边界条件。 S
（3） u 上的位移边界条件。 S
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§8.4 按位移求解空间问题
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§8.1 平衡微分方程
思考题
在图中，若点 o的x向正应力分 量为 ζ x ，试表 示点 A , B 的x向 正应力分量。
x dx
z
B dz
dy o A
y
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§8.2 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
，
(lζ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z; l , m, n) . ( 在Sζ 上) (d ) 8
§8.1 平衡微分方程
如果边界面 sζ 是坐标面，则边界条件可以 得到简化。例如边界面为正、负x面，则 l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：
x x面 f x ,
u ,v , w
s （3） u 上的位移边界条件(d) 。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条
件。
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§8.4 按位移求解空间问题
在空间问题中，按位移求解方法尤为 重要：
1.能适用于各种边界条件。
2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。
(e)
其中
u u uz z 。 z
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§8.3 轴对称问题的基本方程
边界条件：
一般用柱坐标表示时，边界面均为坐
标面。所以边界条件也十分简单。
在柱坐标中，坐标分量
, , z
的量
纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同
的。因此，相应的方程不具有对等性。
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§8.4 按位移求解空间问题
按位移求解空间轴对称问题:
在柱坐标 ( , , z ) 中，可以相似地导出：
位移 uρ , u z 应满足：
（1）V内的平衡微分方程，
u 1 E 2 u 2 f 0, 2 1 1 2 E 1 2 u z f z 0, 2(1 ) 1 2 z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以
及按位移求解和按应力求解的方法，都是
与平面问题相似的。因此，许多问题可以
从平面问题推广得到。
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§8.1 平衡微分方程
取出微小的平行六面体， v d x d y d z， d 考虑其平衡条件:
F
0, x
x
F
M
由物理方程可以导出
1 2 Θ, （g） E
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
E 1 2
--称为体积模量。
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§8.2 几何方程及物理方程
结论：
空间问题的应力，形变，位移等15个未
知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个
几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。
(b)
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§8.3 轴对称问题的基本方程
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
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§8.3 轴对称问题的基本方程
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§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
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§8.5 半空间体受重力及均布压力
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界
条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均
为对称面，可设
u 0,
v 0,
( x, y, z; u, v, w)
(a)
( x, y, z; u, v, w)
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§8.2 几何方程及物理方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
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§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
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§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：