弹性力学 第8章_空间问题的基本理论与解答

(b)
23
§8.3 轴对称问题的基本方程
几何方程：
其中 u 0， z 0, 几何方程为
u z , , z z u z u z 。 z u u ,
(c)
24
§8.3 轴对称问题的基本方程
xy x面 f y , xz x面 f z
9
§8.1 平衡微分方程
如果某一小部分边界上，如S1 上，精确的应力边 界条件（（d）式）难以满足时，按照圣维南原理， 可以用等效的主矢量和等效的主矩的条件来代替。 有两种表达方式： （1）在同一小边界面S1上，应力是主矢量和主矩 分别等于对应的面力主矢量和主矩（6个等式条 件）； （2）在小边界S1附近，切出一小部分的脱离体， 列出脱离体的力的平衡条件。
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§8.1 平衡微分方程
思考题
在图中，若点 o的x向正应力分 量为 ζ x ，试表 示点 A , B 的x向 正应力分量。
x dx
z
B dz
dy o A
y
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§8.2 几何方程及物理方程
空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出：
u x , x
w v yz , y z
yz
2(1 ) yz , E
( x ,y ,z ). (e)
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§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 应力用应变表示，用于按位移求解方法：
E x ( x ), 1 1 2
yz
E yz , (1 )
(x ,y , z). ( f )
思考题
1、试导出空间问题中 Sζ 上的应力边界条件 （式（c））。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4）），并将 sζ上的应力边界条件 (ζ s ) f 用位移来 表示。
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§8.5 半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，受自重体力 f z ρg 及边界的均布压力q。
第8章
空间问题的基本理论 与解答
目录
1
主要内容
§8-1 平衡微分方程
§8-2 几何方程及物理方程
§8-3 轴对称问题的基本方程
§8-4 按位移求解空间问题
§8-5 半空间体受重力及均布压力
§8-6 半空间体在边界上受法向集中力
§8-7 按应力求解空间问题
目录 2
§8.1 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基
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§8.5 半空间体受重力及均布压力
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界
条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均
为对称面，可设
u 0,
v 0,
(e)
其中
u u uz z 。 z
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§8.3 轴对称问题的基本方程
边界条件：
一般用柱坐标表示时，边界面均为坐
标面。所以边界条件也十分简单。
在柱坐标中，坐标分量
, , z
的量
纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同
的。因此，相应的方程不具有对等性。
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以
及按位移求解和按应力求解的方法，都是
与平面问题相似的。因此，许多问题可以
从平面问题推广得到。
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§8.1 平衡微分方程
取出微小的平行六面体， v d x d y d z， d 考虑其平衡条件:
F
0, x
x
F
M
由形变求位移，要通过积分，会出现待定的 函数。若 x yz 0 ( x, y , z )，还存在对应的位 移分量，为：
u u0 y z z y,
( x, y, z; u, v, w). (b)
u0 , v0 , w0 --沿x , y , z 向的刚体平移；
x , y , z --绕x , y , z轴的刚体转动。
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§8.2 几何方程及物理方程
思考题
若形变分量为零， x γ 试导出对应的位移分量。
yz
0 ( x,y,z),
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§8.3 轴对称问题的基本方程
空间轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。
采用柱坐标 ( , , z ) 表示。
u ,v , w
s （3） u 上的位移边界条件(d) 。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条
件。
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§8.4 按位移求解空间问题
在空间问题中，按位移求解方法尤为 重要：
1.能适用于各种边界条件。
2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。
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§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
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§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
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§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
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§8.4 按位移求解空间问题
E μ u ζx , 1 μ 1 2μ x ( x, y, z; u, v, w). (a) E w v η yz , 2 1 μ y z
u v w 其中体积应变 。 x y z
(e)
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§8.4 按位移求解空间问题
其中体积应变
u u u z ; z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 1 2 2 2. 2 z
（2） ζ 上的应力边界条件。 S
（3） u 上的位移边界条件。 S
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§8.4 按位移求解空间问题
物理方程： 应变用应力表示：
1 (ζ ζ ζ )，（ ,θ, z ) Z E 2(1 ) z z。 E
(d)
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§8.3 轴对称问题的基本方程
应力用应变表示：
E ζ ( )，（ , , z ), 1 1 2 E z z . 2(1 )
由物理方程可以导出
1 2 Θ, （g） E
Θ是第一应力不变量，又称为体积应力。
E 1 2
--称为体积模量。
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§8.2 几何方程及物理方程
结论：
空间问题的应力，形变，位移等15个未
知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数
在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个
几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。
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§8.3 轴对称问题的基本方程
平衡微分方程：
F F

0, 0,
Z
而由 F 0, 得出为 ζ ζ 。
ζ z ζ ζ f 0, z ζ z z z f z 0. z
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§8.3 轴对称问题的基本方程
思考题
试由空间轴对称问题的基本方程，简 化导出平面轴对称问题的基本方程。
来自百度文库
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§8.4 按位移求解空间问题
在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即 1. 取u,v,w为基本未知函数。
2. 将应变用位移来表示，可以引用几
何方程。 将应力先用应变表示（应用物理方程）， 再代入几何方程，也用位移来表示：
( x, y, z; u, v, w)
(a)
( x, y, z; u, v, w)
12
§8.2 几何方程及物理方程
从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系：
⑴ 若位移确定，则形变完全确定。
从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。
13
§8.2 几何方程及物理方程
⑵ 若形变确定，则位移不完全确定。
( x, y, z; u, v, w).
(在sζ 上)
(c)
位移边界条件仍为:
u s u,
( x, y, z; u, v, w). (在su 上)(d)
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§8.4 按位移求解空间问题
归结：按位移求解空间问题，位移 必须满足： （1）V内的平衡微分方程(b) ； （2）sζ上的应力边界条件(c) ；
2 2 2 2
(b)
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§8.4 按位移求解空间问题
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位移表 示的应力边界条件：
E μ u m v u n w u l f x , 1 μ 1 2μ x 2 x y 2 x z s
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§8.4 按位移求解空间问题
按位移求解空间轴对称问题:
在柱坐标 ( , , z ) 中，可以相似地导出：
位移 uρ , u z 应满足：
（1）V内的平衡微分方程，
u 1 E 2 u 2 f 0, 2 1 1 2 E 1 2 u z f z 0, 2(1 ) 1 2 z
纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其
方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余
两式可通过式(c)的坐标轮换得到。
6
§8.1 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
M
x
0 ， yz zy ，
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (d xd yd z )。
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
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§8.2 几何方程及物理方程 空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x 1 (ζ x ζ y ζ z ), E
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
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§8.4 按位移求解空间问题
E 1 2 1 2 μ x u f x 0, 21 μ
( x, y, z; u, v, w).
其中拉普拉斯算子
2 2 2. x y z
7
§8.1 平衡微分方程
在
sζ 上的应力边界条件 设在 sζ 边界上，给定了
面力分量( f x , f y , f z )则可将微 分四面体移动到边界点上， 并使斜面与边界重合。斜面 应力分量( p x , p y , pz ) 应代之为面力分量 fx, f y , fz , 从而得出空间问题的应力边界条件:
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
，
(lζ x m yx n zx )s f x , ( x, y, z; l , m, n) . ( 在Sζ 上) (d ) 8
§8.1 平衡微分方程
如果边界面 sζ 是坐标面，则边界条件可以 得到简化。例如边界面为正、负x面，则 l=±1，m=n=0，应力边界条件简化为：
x x面 f x ,