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（完整版）概率统计章节作业答案

（完整版）概率统计章节作业答案第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ?C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ?C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710? 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为< bdsfid="216" p=""></p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为<>( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B U ；(5)P (B -A ).(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=；(2)因为A B ?，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P(A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0；(4) 因为A B ?，所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3；或者，()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1；(2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而(|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P(B )；(2) ()P AB ；(3)P (A|B ).解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=13； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4()()15P A P B =； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21C C C C C P A C ==，故13()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以，015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==??≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为：112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++ 90109010990100100991009998=+?+??0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==?=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11P A A =； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=?+?+?=.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P BA =+21(10.03)(10.02)0.97333=?-+?-≈；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ?====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=?+?=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915P AB P A P B A ===； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：644()()(|)10915P AB P A P B A ==?=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ===；(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=+?=. 丙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++4326434636541098109810981098=??+??+??+??=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-?--=，1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =?-?-+-??-+-?-?=,2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =??-+?-?+-??=, 3()0.40.50.70.14P A =??=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A PA PB A =+++0.0900.360.20.410.60.1410.458=?+?+?+?=.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：00303()0.60.40.064P A C =??=，1213()0.60.40.288P A C =??=，2223()0.60.40.432P A C =??=，3333()0.60.216P A C =?=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=?+?+?+?=13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+95%0.985%0.030.9325=?+?=；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ?==≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ 123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A PA P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=??+??+??+??=15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立.所求概率为：123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=-1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=-1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=.(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==?=；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.80.30.20.70.20.30.44=?+?+?=；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-?=.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ??=；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：p 2=55520.70.3k k k k C -=??∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -??-??=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：p 3=55510.70.3k k k k C -=??∑=005510.70.30.99757C -??=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率. .解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：4801(1)81p --=，解得：23p =. 20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0证：必要性设事件A 与B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B )，P (A|B )=P (A )，又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--，所以，(|)(|)P A B P A B =.充分性若(|)(|)P A B P A B =，则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--，对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-.证：(1)因为()(|)()P AB P A B P B =，而0()()P AB P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤，且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===，()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ；(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ，又A A =ΩU ，由性质(1)知，(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}= ( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.52.设随机变量X 的概率分布为则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1c x f x x x ?>?=??≤?则常数c =( D ).A. 1-B. 12C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ?≤≤?=其它则常数a = ( D ).A. 14B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是(A ).A.2100,1000,100x x x ?>≤? B.10,00,0x x x ?>≤? C. 1,020,x -≤≤其它 D. 113,2220,x ?≤≤其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π 7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x xB. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x xC. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x xD. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ?<-=-≤8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ).A. ()F x 一定连续B. ()F x 一定右连续C. ()F x 是不增的D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-= C.()()()P a X b F b F a <≤=- D.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =( B ). A. 1 B. 12C. 2D. 12- 11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <A.14 B.13 C.12 D.3413.已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}= ( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.214.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C).A. N (1, 4)B. N (0, 1)C. N (3, 16)D. N (3, 9)16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2<=""A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ 18.设X ~N (0，1)，()x ?是X 的概率密度函数，则(0)?= (C ).A. 0B. 0.5C. D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从( B ).A. U[0, 5]B. U[2, 17]C. U[2, 15]D. U[0, 17]20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤=22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<="" 2,="" bds fid="604" p="" x="" ≤≤="1" 则12()p="">2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x e dt --∞=?,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ??f π= 1/2 . 7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x -?-≥=?0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 .(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1(||)2P X ≤= 0.5 . 15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<= 0.5 .。

概率统计作业电子版

)
( A)e

| y| 2
1 ( B) e 2 4
| y|
1 | | ( D) e 2 2
y
2．设的分布律为 P 则 2 1 的分布律为 -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 3
1/15 11/30
3 ．设随机变量在 [0 ,1] 上服从均匀分布，则 2 1 的分布密度为
0 1.5 1.5 1
)
( D) (2 x)dx
3．设 ~ N (0,1) ，已知 P x ( x) (0 x ) ，又 ~ N (6, 32 ) ，用 ( x) 之值表示概率 P 10.5 _________________
1 x , x0 2 e 1 , 0 x 1 4．设随机变量的分布函数 F x 2 1 x 1 ,x 1 1 2 e
2 3
( D) a
1 3 ,b 2 2
2．离散型随机变量的分布律为 P k bk (k 1,2,) 的充分必要条件是(
( A) b 0且0 1 (C ) b
1
)
( B) b 1 且0 1 ( D)
1 且b 0 1 b
华北水利水电学院学生作业纸
《概率统计》第 7 次学号姓名
c , 1．为使 ( x) 1 x 2 0,
x 1 x 1
成为某个随机变量的概率密度，则 c 应满足（
）
( A)

c 1 x
2

dx 1 ( B)
1
c 1 x
2
1

概率论与数理统计作业(第三章)

院（系）班姓名学号第三章随机向量练习3.1 二维随机向量及其分布一、填空1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为, 510,49,(,)0, C x y f x y其它 ,则C ;2. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为(2)2, 0,0,(,)0, x y e x y f x y 其它,则{1}P X Y ;3.设二维随机变量),(Y X 的分布函数为1, 0,0,(,)0, x y x y e e e x y F x y 其它,则二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ; 4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为22220(,)(16)(25)f x y x y,则二维随机变量),(Y X 的分布函数为 ;5.用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率：（1） },{c Y b X a P ; （2） },{b Y a X P ; （3） }0{a Y P ; （4） },{b Y a X P . 二、选择题1、设随机变量101,1,2111424i X i，且满足条件12{+=0}=1P X X ，则12{}P X X ( )A.0B.14 C. 12D.1 2.已知随机变量),(Y X 在区域{(,)|11,11}D x y x y 上服从均匀分布，则下列概率等于14的是（） A. {0}P X Y B. {0}P X YC. {(,)0}P MAX X YD. {(,)0}P Min X Y三．掷二枚硬币，以X 表示第一枚硬币出现正面的次数，Y 表示第二枚硬币出现正面的次数，试求二维随机变量),(Y X 的联合分布。

四、设二维随机变量),(Y X 的概率密度2, 01,02,(,)30, xyx x y f x y 其它 ,试求{1}P X Y 。

五、设二维随机变量),(Y X的概率密度222222( ,(,)0, C R x y R f x y x y R,求:(1) 系数C ; (2) ),(Y X 落在222()x y r r R 内的概率。

概率统计习题册.pdf

班级姓名座号成绩第一章练习一（随机试验，古典概型等）一、填空：1、进行如下试验，试写出下列各试验的样本空间Ω(用b 表示不中，z 表示中)（1）射击3次，观察中靶的情况。

（2）射击5次，观察中靶的次数。

（3）连续射击，直到中靶为止，计算射击的次数。

（4）测试一小白鼠的寿命。

2、设A、B、C 为随机事件，试判断下列说法是否正确。

（1）事件C B A ∪∪表示A、B、C 至少一个发生（）（2）“A、B、C 恰有一个发生”可表示为事件B A C C A B C B A ∪∪（）（3）ABC 表示A、B、C 都不发生（）（4）互为对立事件必为互不相容事件（）3、设Ω是一随机试验的样本空间，A、B 是其中的随机事件，若Φ≠AB , （1）作图（以图中阴影部分）表示如下事件：B A A B B A ∪（2）用两两互不相容的事件（A、B 及其逆事件之间的积事件）的和表示如下事件： B A ∪=A B A （∪= ；=A ；=B 4、设{02},{0.51},{0.25 1.5},x x A x x B x x Ω=≤≤=<<=≤<写出下列各事件： A B - = A B ∪ = A B ∩ = 。

5、(1)对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A={恰有一弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两弹都击中飞机}，D={两弹都没击中飞机}，试求A，B，C，D 中（一对）互不相容的事件，互为对立的事件，包含关系的事件。

（2）在房间里有10人，分别佩戴着1 ~ 10号的纪念章，任意选(不放回)4人记录其纪念章的号码，则最小的号码为5的事件的概率等于______ _____。

二、解答题：1．一付扑克牌去掉大小鬼后共52张，现从中随机抽取5张（不放回），试求（1）抽到5张都是方片的概率（2）抽到3张A,2张K的概率（3）其中4张是同一个数的概率（4）其中只有两张成对，其余3张都是单个的概率2.盒子里有5个标有1，2，…，5号码的球，现随机从中（有放回）取球4次，每次取一个，求（1）4次取到的球的号码都不同的概率（2）其中2次取到3号球的概率班级姓名座号成绩第一章练习二（几何概率、概率的公理化定义、条件概率）一、选择题：1、在随机事件B A ,中，且B A ⊂，下列各式中正确的是（）( A ) ()()P A B P A =∪ ( B ) ()()P AB P A =( C )(/)()P A B P A = ( D ) ()()()P B A P B P A −=−2、已知P A P B P A B ().,().,().,===0806096∪ 则=)(AB P ( ) ( A ) 044. ( B ) 055. ( C )223.( D ) 048. 3.判断下列说法是否正确（1）设A 、B 为样本空间中任意两个事件，且0)(,>⊆A P B A ，则1)|(=A B P （） ( 2 ) 若41)(,31)(==B P A P ，则A,B 可能互不相容（）（3）几何概型中每个样本点在随机实验中的出现都是等可能（）（4）设A 、B 为样本空间中任意两个事件，则1)()()(−+≥B P A P AB P ( ) （5）设A 、B 为样本空间中任意两个事件，则)()()(B A P AB P A P +=（）二、填空题：1、设事件B A ,互不相容，且,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

概率统计作业

概率与统计作业（4）班级学号姓名
1.盒中有10个合格品，3个次品，从盒中一件一件的抽取产品检验，每件检验后不再放回
盒中，以X表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数，求X的分布律，并求概率P。

X
}3
{
2.袋中装有编上号码1,2,…,9的九个性质相同的球，从袋中任取5个球，以X表示所取的5
个球中偶数号球的个数，求X的分布律，并求其中至少有两个偶数号球的概率。

3.射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中3发
的概率;(3)至少命中一发的概率.
4.从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是3
1
，（1）以X 表示途中遇到的红灯次数，求X 的分布律，（2）以Y 表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y 的分布律。

（3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。

5 假设某汽车站在任何长为t （分）的时间内到达的候车人数N （t ）服从参数为3t 的泊松分
布。

（1）求在相邻两分钟内至少来3名乘客的概率；（3）求在连续5分钟内无乘客到达的概率。

6 某种疾病的发病率为0.01,求下列概率的近似值。

(1)100个人中恰有一人发病的概率为多少？
(2) 100个人中至少有一人发病的概率为多少？。

应用概率统计作业

应⽤概率统计作业应⽤概率统计1⼀、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 、B 、C 都不发⽣”，⽤C B A 、、表⽰为；2．设随机变量X 服从⼆项分布),(p n B ，则=EXDX； 3．设随机变量X 的分布律为() ,2,1,0!)(=?==k k a k X P kλ，其中0>λ为已知常数，则常数a 为；4．若事件C B A 、、相互独⽴，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P = ；5．设随机变量X 在()1,0服从均匀分布，则X e Y =的概率密度为； 6．设随机变量X 的分布律为则12+X 的分布律为；7．随机变量X 、Y 的相关系数XY ρ定义为；8．若b a ,为常数，X 的⽅差为)(X D ，则=+)(b aX D ； 9．设n X X X ,,,21 是来⾃正态总体()2 ,~σµN X 的样本，2S 为样本⽅差，则()2S E 为；10．设n X X X ,,,21 是来⾃总体),(~2σµN X 的样本，且2σ未知，⽤样本检验假设0H ：0µµ=时，采⽤统计量是。

姓名：___________ 学号：___________得分：___________ 教师签名：___________⼆、判断题1．设C B A 、、表⽰3个事件，则________C B A ABC =；（） 2．n X X X ,,,21 是来⾃于总体),(2σµN 的样本，则∑==ni iXnX 11~),(2σµn n N 分布（） 3．若()2,~σµNX ，则()()σµ==X D X E ,；（） 4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表⽰{}10|＜＜x x ；（）5．若事件A 与B 互斥，则A 与B ⼀定相互独⽴；（） 6．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；（） 7．在5次独⽴重复试验中，事件A 发⽣了2次，则()52=A P ；（） 8．设随机变量ξ的⽅差1=ξD ，且βαξη+=（α、β为⾮零常数），则ηD 为βα+2；（）9.两个相互独⽴的随机变量Y X ,的⽅差分别为4与2；则()2823=-Y X D （）10．设总体)1,(~µN X ， 1X ,2X ,3X 是来⾃于总体的样本，则321?X X X ++=µ是µ的⽆偏估计量。

概率统计作业题

《概率统计》习题（一）一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7, 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB = （C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -=三、计算题1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

概率论各章精选习题（PDF）

概率统计各章节习题§1.1 随机事件1、写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点；（i ）将一枚硬币抛掷三次，{}A =第一次掷出正面、{}B =三次掷出同一面、{}C =有正面掷出；（ii ）将一颗骰子掷两次，{}A =点数相同、{}B =其中一次点数是另一次的两倍、{}6C =点数之和是；2、从某图书馆里任取一本书，事件A 表示“取到数学类图书”，事件B 表示“取到中文版图书”，事件C 表示“取到精装图书”； ①试述ABC 的含义；②何种情况下，C B ⊂？；③何种情况下，A B =3、设1234,,,A A A A 为某一试验中的四个事件，试用事件的运算表达如下事件：①“四个事件中至少有一个发生”；②“恰好发生两个”；③“至少发生三个”；④“至多发生一个”；4、试述下列事件的对立事件：①A = “射击三次皆命中目标”；②B =“甲产品畅销乙产品滞销”；③C =“加工四个零件至少有一个是合格品”；5、在区间[]0,1中任取一点x ，记：203A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭、1344B x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭、 213C x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，试用相同的作法表示如下诸事件：①AB ；②AB ； ③()A B A C ； 6、试证明以下事件的运算公式：（i ）A AB AB =；（ii ）A B A AB =；§1.2 频率与概率1、任取两整数，求“两数之和为偶数”的概率；2、①袋中有7个白球3个黑球，现从中任取2个，试求“所取两球颜色相同”的概率；②甲袋中有球5白3黑，乙袋中有球4白6黑，现从两袋中各取一球，试求“所取两球颜色相同”的概率；3、①n 个人任意地坐成一排，求“甲、乙两人坐在一起”的概率；②n 个人随机地围一圆桌而坐，求“甲、乙相邻”的概率；③n 个男生、m 个女生（1m n ≤+）坐成一排，求“任意两个女生都不相邻”的概率；4、从()0,1中随机地取两个数，试求：①“两数之和小于65”的概率；②“两数之积小于14”的概率；5、①已知事件,A B 满足：AB AB =，若()P A a =，试求()P B ；②已知事件,A B 满足：()()P AB P AB =，若()P A a =，试求()P B ；6、设,A B 为两事件，且()0.4P A =，()0.7P B =，问：①在什么条件下，()P AB 取得最大值，最大值是多少？②在什么条件下，()P AB 取得最小值，最小值是多少？若()0.5P B =，结果又如何？7、某班n 名战士各有一支归自己保管使用的枪，这些枪外形完全一样；在一次夜间紧急集合中，每人随机地取一支枪，求“至少有一人拿到自己的枪”的概率；8、证明：①()()()1P AB P A P B ≥+-；②()()()()()12121n n P A A A P A P A P A n ≥+++--；9、试证明：若,A B 为两事件，则()()()14P AB P A P B -≤； §1.3 条件概率、全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式1、已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P A B =；试求：()P AB 、 ()P A B 、()P B A 、()P B A B 、()P A B A B； 2、已知()12P A =，()13P B =，()16P A B =，试求()P A B ； 3、已知()0.8P A =，()0.7P B =，()0.2P A B -=，试求()P B A ； 4、已知()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，试求()P AB ； 5、设一批产品中一、二、三等品各占60％、35％、5％，从中任取一件，结果不是三等品，求“取到的是一等品”的概率；6、设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求“另一件也是不合格品”的概率；7、袋中有4白1红5只球，现有5人依次从袋中各取一球，取后不放回，试求“第i （1,2,,5i =）人取到红球”的概率；8、两台车床加工同样的零件，“第一台出现不合格品”的概率是0.03，“第二台出现不合格品”的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，①试求“任取一个零件是合格品”的概率；②如果取出的零件是不合格品，求“它是由第二台车床加工”的概率；9、某商店正在销售10台彩电，其中7台是一级品，3台是二级品；某人到商店时，彩电已售出2台，试求“此人能买到一级品”的概率；10、甲袋中有2只白球1只黑球，乙袋中有1只白球2只黑球，今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求“此球是白球”的概率；11、有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品；现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：①“第一次取出的零件是一等品”的概率；②“第二次取出的零件是一等品”的概率；③在第一次取出的是一等品的条件下，“第二次取出的零件仍然是一等品”的概率；④在第二次取出的是一等品的条件下，“第一次取出的零件仍然是一等品”的概率；12、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1；一个顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无次品，就买下这箱玻璃杯，否则退回；试求：①“顾客买下这箱玻璃杯”的概率；②“在顾客买下的一箱中，确实没有次品”的概率；13、证明：()()()()()P A B P A BC P C B P A BC P C B=+；14、设有N个袋子，每个袋子中都装有a个白球b个黑球，现从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中任取一球放入第三个袋中，如此下去，求“从最后一个袋中取出一白球”的概率；§1.4 事件的独立性1、假设()0.4P A=，()0.9P A B=，在以下情形下求()P B：①,A B互斥；②,A B独立；③A B⊂；2、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求“它是甲命中”的概率；3、若事件,A B独立，且两事件“仅A发生”与“仅B发生”的概率都是14，试求()P A与()P B；4、三人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为13、14、15，求“此密码被译出”的概率；5、一射手对同一目标独立地射击四次，若“至少命中一次”的概率为8081，试求该射手进行一次射击的命中率；6、三门高射炮独立地向一飞机射击，已知“飞机中一弹被击落”的概率为0.4，“飞机中两弹被击落”的概率为0.8，中三弹则必然被击落；假设每门高射炮的命中率为0.6，现三门高射炮各对飞机射击一次，求“飞机被击落”的概率；7、甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜；已知甲的命中率为a ，乙的命中率为b ，甲先射击，试求“甲（乙）获胜”的概率；8、甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知每局中“甲获胜”的概率为0.6，“乙获胜”的概率为0.4；比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问：何种赛制对甲更有利？§2.1 随机变量及其分布函数1、箱中装有次品12,a a 与正品123,,b b b ，现从中一次取出两件产品，①写出此试验的样本空间；②令ξ表示所取两件产品中的次品个数，标出ξ在每个样本点上的值；③写出{}{}0,1,ξξ=≤ {}2ξ≥所包含的样本点；2、设随机变量（..r v ）X 的分布函数（..d f ）为()0,0;1,03;41,36;31,6;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求()3P X <、()3P X ≤、()1P X >、()1P X ≥； 3、设..r v X 的..d f 为()0,1;ln ,1;1,;x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：()2P X <、()03P X ≤≤、 ()2 2.5P X <<；4、已知..r v X 的分布函数为()0,0;2,01;23,12;1112,23;1,3;x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，试求：()3P X <、()13P X ≤<、12P X ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()3P X =； 5、设随机变量ξ的分布函数为()F x ，试用()F x 表示下列事件的概率：{}{}{}{}{}231,23,215,4,8ξξξξξ<-<+>≤<；6、若()()121,1P X x P X x αβ≥=-≤=-，其中12x x <，试求()12P x X x ≤≤；7、①设..r v ξ的分布函数为：()0,1;arcsin ,11;1,1;x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩，试确定常数,a b ；②设..r v ξ的分布函数为()arctan ,F x A B x x R =+∈，试确定常数,A B ；8、①在半径为R 的圆内任取一点，求此点到圆心距离X 的分布函数及概率23P X R ⎛⎫> ⎪⎝⎭；②在ABC ∆内任取一点P ，记X 为点P 到底边BC 的距离，试求X 的分布函数；9、设()()12,F x F x 分别是两个随机变量的分布函数，,0a b >且 1a b +=，试证明：()()()12F x aF x bF x =+也是一个分布函数； §2.2 离散型随机变量及其分布律1、试判断下列分布列中所含的未知参数c ：① (),1,2,,c P k k N N ξ===； ② (),0,1,2,3!k c P k k k ξ===⋅； 2、现有三只盒子，第一只盒中装有1只白球4只黑球，第二只盒中装有2只白球3只黑球，第三只盒中装有3只白球2只黑球；现任取一只盒子，从中任取3只球，以X 表示所取到的白球数，试求：①X 的分布列；②“取到白球数不少于2”的概率；3、袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5；现从中任取3只，以X 表示3只球中的最大号码；①试求X 的分布列；②写出X 的分布函数并作图；4、已知..r v X 的..d f 为()0,0;0.5,01;0.7,13;1,3;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求X 的分布列； 5、已知...d r v X 的分布列为：1010.25a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其分布函数为： (),1;,10;0.75,01;,1;c xd x F x xe x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求,,,,a b c d e ； 6、从1,2,3,4,5五个数中任取三个，按大小顺序排列记为： 123x x x <<，令2X x =，试求： X 的分布函数及()()2,4P X P X <>；7、连续“独立”地掷n 次骰子，记,X Y 分别为n 个点数的最小、最大值，试求,X Y 的分布列；8、设()X P λ～，试求X 的最大可能值，即：k 取何值时，概率()P X k =取最大值？§2.3 连续型随机变量及其概率密度1、设..r v X 的分布函数为：()20,0;,01;1,1;x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：① A；②()()0.3,0.7P X ∈；③X 的概率密度函数（...p d f ）；2、设..r v X 的...p d f 为(),01;2,12;0,;x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，试求：①X 的分布函数；②32P X ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭； 3、已知..r v X 的...p d f 为(),x f x ce x -=-∞<<+∞，试确定常数c 并求X 的..d f ；4、设..r v X 有()11;...29,36;0,;x p d f f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他，若()23P X k ≥=，试确定k 的取值范围；5、设..,r v X Y 同分布（又记为：d X Y =），且X 有...p d f 为()23,02;80,;x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他；已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立，且 ()34P A B =，试求常数a ； 6、设A 为曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域，在A 中任取一点，求该点到y 轴的距离ξ的分布函数及密度函数；7、设[]..0,5r v U ξ～，试求“方程24420x x ξξ+++=有实根”的概率；8、设..r v ξ的...p d f 为()221,x x f x x -+-=-∞<<+∞，试求()02P ξ≤≤；9、设()2..3,2r v X N ～，试求：①()()25,2P X P X<≤>；②确定c ，使得()()P X c P X c >=<；③设d 满足()0.9P X d >≥，d 至多为多少？10、由学校到火车站有两条路线，所需时间随交通堵塞状况有所变化，若以分钟计算，第一条路线所需时间()2150,10N ξ～，第二条路线所需时间()2260,4N ξ～，如果要求：①在70分钟内赶到火车站；②在65分钟内赶到火车站；试问：各应选择哪条路线？ 11、假设一机器的检修时间（单位：小时）服从12λ=的指数分布，试求：①“检修时间超过2小时”的概率；②若已经检修4小时，求“总共至少5小时检修好”的概率；12、①设()2,5X U ～，试求“对X 进行三次独立地观测中，至少有两次观测值大于3”的概率；②设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟记）服从参数为15的指数分布，某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开；他一个月要到银行五次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求()1P Y ≥；13、对某地考生抽样调查的结果表明：考生的外语成绩（百分制）近似服从()272,N σ（0σ>未知）；已知96分以上的考生占考生总数的2.3％，试求“考生成绩介于60分与84分之间”的概率；14、设()2..0,1r v N ξ～，ηξ=或ηξ=-视1ξ≤或1ξ>而定，试求η的分布；§2.4 随机变量的函数的分布1、①设...d r v X 有分布列：210131111115651530--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试求2Y X =与Z X =的分布列；②设()...1,2c r v X U -～，记1,0;1,0;X Y X ≥⎧=⎨-<⎩，试求Y 的分布列； 2、设随机变量X 的概率分布为：()1,1,2,2k P X k k ===；试求sin 2Y X π⎛⎫= ⎪⎝⎭的分布律； 3、假设一设备开机后无故障工作的时间15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，设备定时开机，出现故障时自动关机；且在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y ，并指明Y 是否为连续型随机变量？4、设..r v X 的...p d f 为()[]1,8;0,;x f x ∈=⎩其他，()F x 为X的..d f ，试求随机变量()Y F X =的分布函数；5、①设()..0,1r v X U ～，试求1X -的分布；②设()..2r v X E ～，试证：21X Y e -=与221X Y e -=-均服从()0,1上的均匀分布；6、若()2..ln ,r v X N μσ～，则称X 服从对数正态分布；①试求X 的概率密度函数()X f x ；②若()2ln 1,4X N ～，求31P X e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； 7、设()..0,1r v X U ～，试求以下Y 的密度函数； ① 2ln Y X =- ；② 31Y X =+ ；③ X Y e = ；④ ln Y X = ；8、设()21,03;..90,;x x r v X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩～其他，且2,1;,12;1,2;X Y X X X ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，试求：①Y 的分布函数；②()P X Y ≤；§3.1 二维随机变量及其分布1、袋中有1红2黑3白共6个球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取到的红、黑、白球的个数，①求()10P X Z ==；②求(),X Y 的概率分布；2、袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球；现随机抽取2次，每次抽取1个，定义随机变量,X Y 如下：1,0X ⎧=⎨⎩第一次抽到红球；，第一次抽到白球；、1,0Y ⎧=⎨⎩第二次抽到红球；，第二次抽到白球；，试就以下两种情况，分别求出(),X Y 的联合分布：①第一次抽取后放回；②第一次抽取后不放回；3、将一枚硬币抛掷三次，以X 表示三次中掷出正面的次数，以Y 表示掷出正面与反面次数之差的绝对值，试求(),X Y 的联合分布；4、①假设,X Y 同分布，且101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，()01P XY ==，试求(),X Y 的联合分布及()P X Y =；②设,X Y 为离散型随机变量，且101111442X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，1101513124Y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，已知()0P X Y <=，()14P X Y >=，试求(),X Y 的联合分布； 5、①设(),X Y 的联合概率密度为()22,1;,0,;cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数c ；（ii ）求()(),P X Y D ∈，2:21D x y ≤≤； ②设(),X Y 具有联合密度()()6,02,24;,0,;k x y x y f x y ⎧--≤≤≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数k ；（ii ）求()1,3P X Y ≤<、()1.5P X ≤、()4P X Y +≤；6、从()0,1中随机地取两个数，求“其积不小于316且其和不大于1”的概率； 7、设()0.5,10;..0.25,02;0,;x r v X f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩～其中，令2Y X =，(),F x y 为二维随机向量(),X Y 的联合分布函数，①求Y 的()...Y p d f f y ；②求1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭； §3.3 条件分布1、①将2只球放入3只盒中，以,X Y 分别表示1号盒与2号盒中的球数，试求在0Y =的条件下X 的条件分布； ②从1,2,3,4,5中任取一个数，记为X ；再从1,,X 中任取一个数记为Y ，试求(),X Y 的联合分布及Y 的分布；2、设..,r v X Y 独立，且()1X P λ～，()1Y P λ～，试求给定X Y n +=时，X 的条件分布；3、①设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求给定X x =（01x <<）时，Y 的条件密度函数()Y X f y x ；②设()()1,,0;,,0,;xy y e e x y X Y f x y y --⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩～其他，0y ∀>，试求给定Y y =时，X 的条件密度函数()X Y f x y 及()1P X Y y >=；③设()()2221,1;,,40,;x y x y X Y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩～其他，试由此求条件概率 ()0.750.5P Y X ≥=；4、①设()0,1X U ～，已知X x =（01x <<），10,Y U x ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，试求Y 的 ()...Y p d f f y ；②设ξ在区间[]0,1上随机地取值，当观察到x ξ=时，η在区间[],1x 上随机地取值，试求η的密度函数；③设()2,0;0,0;x xe x f x x λξλξ-⎧>=⎨≤⎩～，η在()0,ξ上均匀分布，试求η的密度函数；④设()45,01;0,;Y y y Y f y ⎧<<=⎨⎩～其他，给定Y y =（01y <<）时，X 的条件密度为()233,0;0,;X Y x x y f x y y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求()0.5P X >；5、设[]2,4Y U ～，且给定Y y =（24y ≤≤）时，()X E y ～，试求：①(),X Y 的....J p d f （联合密度函数）；②试证：()1XY E ～； 6、①设,X Y 为两个随机变量，010.70.3Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，且给定Y k =时， ()2,1X N k ～，0,1k =；试求X 的分布； ②设121122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，且给定X k =时，()0,Y U k ～，1,2k =；试求Y 的分布，并求EY ；7、设[]0,1X U ～，试求给定12X >时，X 的条件分布； §3.4 随机变量的独立性1、设(),X Y 有如下联合分布：/01104114X Y b a ，且事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立，①确定常数,a b ；②问：,X Y 是否独立？2、设101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，如果()221P X Y ==，①试求(),X Y 的联合分布；②,X Y 是否独立？3、设随机变量,X Y 独立同分布，且011X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭～，令 1,0X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩若为偶数；，若为奇数；，问：p 取何值时，,X Z 相互独立？ 4、设随机向量(),X Y 具有如下的联合密度： ①(),4,0,1f x y xy x y =<<；②(),8,01f x y xy x y =<<<；试讨论以上两种情形下，,X Y 是否独立？5、①设()(),X Y U D ～，其中22:1D x y +≤，试讨论,X Y 的独立性；②设()(),X Y U G ～，其中[][]0,10,2G =⨯，试讨论,X Y 的独立性；6、设()()()2,,0;,,0,;x y ce x y X Y f x y -+⎧>⎪=⎨⎪⎩～其他，①确定常数c ；②试求X 的边缘密度及条件密度，讨论,X Y 是否独立？③求(),X Y 的联合分布函数；7、①设..,r v X Y 独立，且[]0,1X U ～，12Y E ⎛⎫⎪⎝⎭～，（i ）试写出(),X Y 的联合密度函数；（ii ）试求“方程220t Xt Y ++=有实根”的概率；②从长度为a 的线段的中点两边随机各选取一点，求“两点间距离小于3a ”的概率；8、试用概率方法证明：0a ∀>22x aa e dx --≤⎰9、设随机向量(),X Y 的联合密度为()1,1,1;,40,;xyx y f x y +⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试证：,X Y 不独立，但22,X Y 是独立地；§3.5 二维随机变量的函数的分布1、设,X Y 满足()30,07P X Y ≥≥=，且()()4007P X P Y ≥=≥=，试求{}()max ,0P X Y ≥；2、设..,r v X Y 具有分布：101111424X -⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭～；已知 ()01P XY ==，试求()max ,Z X Y X Y =∨=的分布；3、设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布，且 ()01i P X ==-()10.6,1,2,3,4i P X i ===，试求行列式1234X X X X X =的概率分布；4、设,A B 为两个事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令1,0,;A X ⎧=⎨⎩若发生;否则，1,0,;B Y ⎧=⎨⎩若发生;否则，试求：①(),X Y 的概率分布；②22Z X Y =+的概率分布；5、设某一设备装有三个同类的电器元件，各元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布；当三个元件都正常工作时，设备才正常工作；试求设备正常工作时间T 的概率分布；6、①设()(),X Y U D ～，(){},02,01D x y x y =≤≤≤≤，试求边长为,X Y 的矩形面积S 的概率分布；②设,X Y 独立同()20,1N分布，则Z =Rayleigh ）分布，试求Z 的密度函数；7、设,X Y 独立，且()1X E λ～，()2Y E λ～，若{}()1min ,1P X Y e ->=，()13P X Y ≤=，试求12,λλ； 8、①设..,r v X Y 独立，且()13P Xi ==，1,0,1i =-；[)0,1Y U ～，记： Z X Y =+，试求： 102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭、Z 的()...Z p d f f z ；②设..,r v X Y 独立，且120.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()Y Y f y ～，试求Z X Y =+的概率分布；9、①设,X Y 独立同()0,1U 分布，试求Z X Y =+的密度； ②设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =-的密度；③设()()2,0,1;,,0,;x y x y X Y f x y --<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =+的密度；④设,X Y 独立同()1E 分布，试求Z X Y =-的密度；10、（最大值与最小值分布）设12,,,n X X X 相互独立，若()12max ,,,n Y X X X =，()12min ,,,n Z X X X =，试在以下情况下求,Y Z 的分布；① i X 具有()..i d f F x ，1,2,,i n =；②诸i X 同分布，且有 ()..d f F x ，1,2,,i n =；③诸i X 为...c r v 且同分布，()i X f x ～，1,2,,i n =；④()i X E λ～，1,2,,i n =；11、设,X Y 独立同[]0,1U 分布，若(),01;1,12;X Y X Y Z X Y X Y +≤+≤⎧=⎨+-<+≤⎩，试问：Z 服从什么分布？ §4.1 数学期望2、某新产品在未来市场的占有率X 是仅在()0,1上取值的随机变量，其密度函数为()()341,01;0,;x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求其平均占有率；3、设..r v X 的...p d f 为()2,01;0,;a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他，若23EX =，试求,a b ；4、①设()X P λ～，试求2321Y X X =+-的数学期望；②设()1X E ～，试求()2X E X e -+； ③设()20,1X N ～，试求()2X E Xe ；5、①假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障获得利润0元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元；试求机器一周内所获得的平均利润；②游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光。

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题1-设川与另互为对立事件，且* ? U) >0, P <B) >0,则下列各式中错误的是(P VA JP⑷=1申⑻ B.P (>4B) =P <A)B (B)屮C.F(AB) = 1D.P (AUB) =2您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：对立不是独立。

两个集合互补。

第2题2•设儿&为两个随机事件.且P U)>0,则P UU5U)=( 八A. P (AB)B.P (乂)4C P (B) D3您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A发生，必然导致和事件发生。

■3.下列各函数可作为随机变壘分市函曹时是(0<r<l(_1」工w -1；C.用兀-[1 r>l.X 2 0<XClj .J r>l.I <0;0 <x <1 ；zx>1.您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：分布函数的取值最大为1，最小为0.第4题4 .设随机变量X的概率密度次(|x|a 其他4c.2J!l JP{-i<z<i}=(DU您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：密度函数在【-1，1】区间积分。

第5题玄役岛B为陋机事件，P (B) Ah P (A|B) =1贝J必有( )束A. F(AUB)^F (A)B. A ziBC. P (A) =P (B) D・ P (AB) =F <A)-您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：A答案，包括了BC两种情况。

第6题&将两封信ffi机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（）心C. 2!D当C：4!您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：古典概型，等可能概型，16种总共的投法。

第7题第9题7.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率沟轴他连续射击直至倫中沟止，则射註 i ■燉沏3的概率是（）-您的答案：C题目分数：0.5 此题得分：0.5批注：几何概型，前两次没有命中，且第三次命中，三次相互独立，概率相乘。

概率统计习题集(含答案)

第一章随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则（）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是（）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则（）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则（）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于（）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示（）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -=U （）（）.A ．0.5B ．0.1C ．0.44D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）。

概率统计作业

1.6 已知 N 件产品中有 M 件是不合格品,今从中随机地抽取 n 件.试求,(1) n 件中恰有 k 件不合格品的概率;(2) n 件中至少有一件不合格品的概率.假定 k ≤ M 且 n − k ≤ N − M . 1.10 在长度为 T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为 t1 (≤ T ) ,短
2.18
已知随机变量 X , Y 的联合概率函数如下.当 α , β 取何值时 X 与 Y 相互独立?
X Y
1 2
1 1/6 1/3
2 1/9
α
3 1/18
β
2.15 两名水平相当的棋手奕棋三盘．设 X 表示某名棋手获胜的盘数, Y 表示他输赢盘数之差的绝对值. 假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1) X 与 Y 的联合概率函数;(2) X , Y 的边缘概率函数.
3.2
设 F ( x) 是分布函数.验证 F 2 ( x) 满足定理 3.1 的 4 条特征性质,从而证明 F 2 ( x) 必定是某个随机变量的
分布函数.
3.5
Y 表示对 X 作三次独立重复观测中事件 { X < 2} 出现的次设随机变量 X 服从区间(—1,4)上的均匀分布．
1.26 甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是 0.2.飞机被击中 1 弹而坠毁的概率为 0.1,被击中 2 弹而坠毁的概率为 0.5,被击中 3 弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中 1 弹的概率.
1.24
某厂生产的钢琴中有 70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中 80％可以出厂,20％被定为不 1.27 已知甲袋中装有 a 只红球, b 只白球;乙袋中装有 c 只红球, d 只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.

西南大学《概率统计》网上作业题及答案

[0068]《概率统计》网上作业题答案第一次作业 [论述题]作业1 参考答案：答案1第一章作业答案1：设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件：(1) C B A (2) C B A (3) C B A (4) C B A (5) C B A (6) C B C A B A (7) C B A (8) CA BC AB2： 0.5 0.33：已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。

求下列事件的概率：(1) 两只都是正品； (2) 两只都是次品；(3) 一只是正品，一只是次品； (4) 第二次取出的是次品。

解：（1）452821028=P P （2）45121022=P P（3）451622101218=P P P （4）459210221218=+P P P P4：在3题中若将不放回抽样改为有放回抽样，所求概率分别为多少？解：（1）64.0101088=⨯⨯ （2）04.0101022=⨯⨯（3）32.010108228=⨯⨯+⨯ （4）2.010102228=⨯⨯+⨯5：在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小号码为5的概率。

（2）求最大号码为5的概率。

解：（1）12131025=C C (2)20131024=C C6：从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：21131410141618110=-P P P P P （用逆事件）7：在11张卡片上分别写上probability 这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability 的概率。

0000024.041111221711711==⨯⨯⨯⨯⨯⨯P P8：已知41)(=A P ，31)|(=AB P ，21)|(=B A P ，求)(B A P 。

《概率论与数理统计》作业

A． p1 p2
B． p1 p2
C． p1 p2
D． p1 p2
14.
设的概率密度为
f (x)
Ax, 0,
0 x 1 其它
A．0.1
B．2
C．1
，则A = D．0.5
15. 任何一个连续型随机变量的概率密度 f (x) 一定满足
A． 0 f (x) 1
B．在定义域内单调不减
C．
y)
0
x
2
,0
y
2
，
0
其他
则 A=( )
① 0.1
② 0.5
③1
④2
6. 若事件 A、B 为互逆事件，则 P( A B) （）
①0
②0.5
③1
7. 设ξ～N(0，1)，令η=aξ+b,则 Dη=( )(a,b 为常数)
①a－b
②a＋b
③a
8. 若母体ξ的方差为 2 ，则 2 的无偏估计为（）
应选取服从
分布的统计量．
20. AB AC BC表示的是随机事件 A、B、C 中至少有
发生的事件．
21. 命中率为 p 的射手射击至第 k 次才首次击中目标的概率为
．
22. 随机变量服从区间[a, b] 上的均匀分布，则它的期望为
．
23. 设 ~ N(5,1), ~ N(3,16) ，与相互独立，令 3 , 则 E
3. 设随机变量的方差 D 存在，设 a, b 均为常值，试证明 D(a b) a 2 D
4. 证明必然事件、不可能事件与任何事件相互独立.
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概率统计章节作业精编版

概率统计章节作业精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是(). A. AB ={出现奇数点}B.AB ={出现5点} C.B ={出现5点}D.A B =Ω2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是().()A B B A +-=.()A B B A B A AB +-=-=- ()A B B A B -+=+.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为().1212A A A A 12A A 12A A 12A A 某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为().123A A A 123A A A ++123A A A 123A A A 设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是().(|)0P A B =(|)0P B A =()0P AB =()1P A B =设事件A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则(|)P A B =().A. 0.2B.0.4C.已知事件A 与B 互不相容,P (A )>0,P (B )>0,则().()1P A B =.()()()P AB P A P B = ()0P AB =.()0P AB >8.设P (A )=0,B 为任一事件,则().A =ΦAB ⊂与B 相互独立与B 互不相容9.已知P (A )=,P (B )=,且A B ⊂,则P (A |B )=(). .0.4 C.设A 与B 为两事件,则AB =().A B AB A B A B 设事件A B ⊂,P (A )=,P (B )=,则()P A B =().A. 0.3B.0.2C.设事件A 与B 互不相容,P (A )=,P (B )=,则P (A|B )=().A. 0.08B.0.4C.设A ,B 为随机事件,P (B )>0,P (A |B )=1,则必有().()()P A B P A =.A B ⊂(A )=P (B )(AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为().A. 0.4B.0.2C.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为().37.0.4 C..1616.某种动物活20年的概率为，活25年的概率为，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是().A. 0.48B.0.75C.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为().0.25 C 一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为().0.75 C 设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为().7104471047410C C 4710⨯设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为().81038310C C 3381038310C 某人打靶的命中率为，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为().20.430.622350.40.6C 23250.40.6C 随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为().15615()66C 156151()66C -15651()66C 651()6-把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为().19122313从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为().5 184!6!4446AA44!6某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为()..(1-p)2 C.(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为.2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为.3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为.4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为.5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是，，，则目标被击中的概率为.6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为.7.设事件A与B互不相容，P(A)=,P(B)=,则()P A B=.8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=,P(A)=,则P(B)=.9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)=.10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=.11.已知P(A)=,P(A-B)=,则()P AB=.12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，则4次射击中恰好命中3次的概率为.13.已知P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(A|B)=.14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B===，则()P A B=.15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，，则飞机至少被击中一炮的概率为.三、计算题1.设P (A )=,P (B )=,(|)0.3P B A =,求P (AB )以及P (A |B ).2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4)()P A B ；(5)P (B -A ).3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=,P (A+B )=,求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=,P (A+B )=,求(1)P (B )；(2)()P AB ；(3)P (A|B ). 四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1)两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是，，，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.9.已知5%的男人和%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为，和.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为；若有两人击中，飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为，第二台为，第三台为，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是，，，求此密码被破译的概率.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081,求射手射击一次命中目标的概率.20.一射手对一目标独立地射击,每次射击命中率为p ,求射击到第4次时恰好两次命中的概率.五、证明题1.设0<P (B )<1，证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B =.2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}=()..0.2 C. 设随机变量X 的概率分布为则a =().A. 0.2B.0.3C.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =().1-1212设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a =(). 1412下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是().2100,1000,100x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩.10,00,0x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它.113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为().[0,]2π[0,]π[,0]2π-3[0,]2π下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是(). 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则(). A.()F x 一定连续B.()F x 一定右连续 C.()F x 是不增的D.()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(). A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=()()()P a X b F b F a <≤=-.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =().1212- 已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F =().A. 0.7B.0.8C.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则11{}22P X -≤≤=().14131234已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}=().A. 0.1B.0.3C.设随机变量X ~B (4,，则P {X >3}=(). A. 0.0016B.0.0272 C.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~(). (1,4)(0,1)(3,16)(3,9)16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0,1)的分布函数，则()P a X b ≤≤=().()()b a Φ-Φ.()()b a Φ+Φ22()()b a μμσσ--Φ-Φ.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0,1)的分布函数，则P (-2<X <0)=().12()12Φ-(0)(2)Φ-Φ-1(2)2Φ-(2)(0)Φ-Φ设X ~N (0，1)，()x ϕ是X 的概率密度函数，则(0)ϕ=().19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从(). [0,5][2,17][2,15][0,17]20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为().A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是().2(1)F e -=.2(0)F e -=(X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤=22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ=(). .2 C.二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2,则12()P x X x ≤≤=. 设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2,则P (Y =4)=.3.若X 是连续型随机变量,则P (X =1)=.4.设随机变量X 的分布函数为F (x ),已知F (2)=,F (-3)=,则(32)P X -<≤=.5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=⎰,则其密度函数为.6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩,其密度函数为()f x ,则()6f π=.7.设随机变量X 的分布函数为1,()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩,则当x >0时,X 的概率密度()f x =. 8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤=.X ~N (3,4),则(45)P X <<=.9.设随机变量(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布,写出其概率分布律. 11.若随机变量X ~B (4,,则(1)P X ≥=.12.若随机变量X ~U (0,5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时,Y 的概率密度()Y f y =. 13.设随机变量X ~N (0,4)，则(0)P X ≥=.14.设随机变量X ~U (-1,1)，则1(||)2P X ≤=.15.设随机变量X 在[2,4]上服从均匀分布，则(23)P X <<=. 16.设随机变量X ~N (-1,4)，则1~2X Y +=.17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2,...3kaP X k k ===，则a =. 18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它，则k =.19.若随机变量X ~N (1,16)，Y =2X -1，则Y ~. 20.若随机变量X ~U (1,6)，Y =3X +2，则Y ~. 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求X 的概率密度函数.2.设X 服从参数p =的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <.3.设随机变量X ~U (a ,b )，求X 的密度函数与分布函数.4.设随机变量X ~N (3,4)，求：(1)P (2<X <3)；(2)P (-4<X <10)；(3)P (|X|>2)；(4)P (X >3).5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)分布函数；(3)(10.5)P X -<<.6.设随机变量X 的概率密度为,011(),1220,x x f x x <<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它，求X 的分布函数.7.设随机变量X~,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，求：(1)1()2P X ≥；(2)13()22P X <<.8.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，求方程24420x Xx X +++=有实根的概率. 设随机变量X 的分布律为求：(1)Y =2X 的分布律；(2)Z =|X |的概率分布；(3)X 2的分布律.10.设X ~U [0，4]，Y =3X +1，求Y 的概率密度.11.已知随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +3，求Y 的概率密度. 12.已知X 服从参数1λ=的指数分布，Y =2X -1，求Y 的概率密度. 四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X 表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X 的分布律；(2)随机变量X 的分布函数.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数.3.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X 表示取出的两个球的最大号码，求X 的概率分布.4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X 的概率分布.(1)不放回抽样； (2)有放回抽样.5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为13，连续抛掷10次，以X 表示正面出现的次数，求X 的分布律.6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有4次呼唤的概率； (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.9.已知某类电子元件的寿命X （单位：小时）服从指数分布，其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1； (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=（厘米），6σ=（厘米）的正态分布，即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定？五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求： (1)抽样次数X 的概率分布； (2)X 的分布函数F (x )； (3)(2),(13)P X P X >-<<.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求(1)P Y ≥.3.甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位：分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.4.设测量距离时产生的随机误差X ~N (0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于的次数，已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于的概率.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：分钟）服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率. 6.设连续型随机变量X 的分布函数为：20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求：(1)系数A ；(2)X 的概率密度； (3)(0.30.7)P X <≤； (4)Y =X 2的概率密度.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞，求： (1)常数A ，B ； (2)(11)P X -<<； (3)X 的概率密度.8.设X 是连续型随机变量，其概率密度为：2,02()0,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)系数A 及分布函数F (x )；(2)(12)P X <<； (3)Y =2X 的概率密度. 9.设X 的分布律为：求：(1)Y =(X -1)2的分布律；(2)Y 的分布函数； (3)(12)P Y -≤≤.第三章多维随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：则P (X=Y )=().A.0.3B.0.5C.设随机变量X 与Y 相互独立，且13(1),(1)44P X P Y =-===，则P (XY =-1)=().1163161438设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：则P (X+Y ≤1)=().A.0.4B.0.3C.设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为F (x ,y )，则(,)F x +∞=().()X F x ()Y F y 设随机变量X 与Y相互独立，且X ~N (3,4),Y ~N (2,9),则Z =3X -Y ~(). (7,12)(7,27)(7,45)(11,45)6.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则Y ~(). 211(,)N μσ212(,)N μσ221(,)N μσ222(,)N μσ二维随机变量(X ,Y )只取如下数组中的值(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)，且相应的概率依次为1115,,,244c c c c，则c 的值为()..3 C 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为(,)f x y ，则(1)P X >=().1(,)dx f x y dy +∞-∞-∞⎰⎰.(,)f x y dx +∞-∞⎰1(,)dy f x y dx +∞+∞-∞⎰⎰.1(,)dx f x y dy +∞+∞-∞⎰⎰9.设二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为(2),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则常数c 为()..0.5 C.10.设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为F (x ,y )，其边缘分布函数为()X F x 、()Y F y ，且对某一组11,x y 有1111(,)()()X Y F x y F x F y =，则下列结论正确的是().和Y 相互独立和Y 不独立和Y 可能独立，也可能不独立和Y 在点(11,x y )处独立11.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则(). 12μμ=0ρ=1212,μμσσ==2212σσ=设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则下列结论正确的是().21212~(,())X Y N μμσσ+++.221212~(,)X Y N μμσσ+++221212~(,)X Y N μμσσ---.221212(,)~(,)X Y N μμσσ++二、填空题1.设二维连续随机变量(X ,Y )在区域G =22{(,)|4}x y x y +≤上服从均匀分布，则其概率密度(,)f x y =.2.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：则P {X=3.Y 相互独立，且其分布律则P {X =Y }=.4.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，22,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，则二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为.5.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为1,01,01(,)0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则1{}2P X ≤=.6.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则当0y >时，(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度()Y f y =.7.当01,01x y <<<<时，随机变量(X ,Y )的分布函数22(,)F x y x y =，其概率密度为(,)f x y ，则11(,)44f =.8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为1,12,01(,)0,x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则31(,)22P X Y ≤>=.9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为221()21(,)2x y f x y e π-+=，则(X ,Y )关于X 的边缘概率密度()X f x =.10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：1(),02,01(,)30,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，则(X ,Y )关于X 的边缘概率密度为.三、计算题1.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为： (1)确定常数C ；(2)求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布. 2.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为：求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布.3.设二维离散型随机变量(X ,Y )的等可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).求：(1)(X ,Y )的联合概率分布律； (2)(X ,Y )关于X ,Y 的边缘概率分布. 4.设二维随机变量(X ,Y )只能取下列数组中1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取的值：次为1115,,,631212.这些值的概率依(1)写出(X ,Y )的分布律；(2)求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布律. 5.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：试问：X 与Y 是否相互独立？6.设二维随机变量(X ,Y )求边缘分布律； (2)试问X 与Y 是否相互独立？为什么？7.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，求边缘概率密度. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为22221,(,)0,x y Rf x y R π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，求边缘概率密度.9.已知二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：222,01,01(,)0,ax xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)常数a ；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度. 10.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：求：(1)1Z X Y =+的分布律；(2)2Z XY =的分布律. 四、综合题1.箱子里装有12件产品,其中2件是次品,每次从箱子里任取一件产品,共取两次,定义随机变量X ,Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩第一次取出正品第一次取出次品，0,1,Y ⎧=⎨⎩第二次取出正品第二次取出次品. (1)在有放回抽样情况下，求(X ,Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？ (2)在不放回抽样情况下，求(X ,Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？ 2.袋中有2个白球，3个黑球，现进行无放回地摸球，定义：1,0,X ⎧=⎨⎩第一次摸出白球第一次摸出黑球，1,0,Y ⎧=⎨⎩第二次摸出白球第二次摸出黑球. 求：(1)(X ,Y )的概率分布；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布，并问X 与Y 是否相互独立？3.已知(X ,Y )在区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤内服从均匀分布，求： (1)(X ,Y )的联合概率密度；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度，并问随机变量X 与Y 是否独立？ (3)(X ,Y )的分布函数.4.已知二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为：2,01,01(,)0,kxy x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度. (3)X 与Y 是否相互独立？为什么？ (4)(1)P X Y +≤.5.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：(34),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)(01,02)P X Y ≤≤≤≤； (3)(X ,Y )的分布函数；(4)随机变量X 与Y 是否相互独立？6.设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布U [0,15]，Y 的概率密度为：55,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，求：(1)随机变量(X ,Y )的概率密度； (2)()P Y X ≤.第四章随机变量的数字特征一、单项选择题随机变量X 的概率分布律为则期望EX =().A.1.2B.1.3C.随机变量X 的概率分布律为则方差DX =().B.2.5C.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是().=,DX =设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ~B (6,，则E (X -Y )=(). 0.5 C 设随机变量X 与Y 相互独立，X ~B (16,，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=()..-11 C.6.已知随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则EX 与DX 分别为().21,31821,3621,36-11,218已知随机变量X 服从均匀分布U [1,5]，则下列各项中正确的是(). =2,DX =43=3,DX =43=3,DX =13=2,DX =138.设X 为随机变量，EX =2，DX =5，则E (X +2)2=()..9 C 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则X 的期望EX =()..1 C 设X 服从[0,1]上的均匀分布，则D (2X )=().112131416设随机变量X 与Y 相互独立，X ~N (2,42),Y ~N (3,32),则E (X+Y ),D (X-Y )的值分别为().，，25 C.5，，712.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，若0ρ=，则(). 与Y 一定独立与Y 一定不独立与Y 不一定独立与Y 仅不相关，但不独立 13.设X 与Y 为两个随机变量，且,0X Y ρ=，则(). 与Y 一定独立与Y 不相关与Y 独立且不相关与Y 仅不相关，但不独立14设随机变量X ~N (2,4),则D (2X +5)=()..8 C 设随机变量X 的分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则EX 与DX 为().，4，0.5 C.，，216.已知DX =1，DY =25，,0.4X Y ρ=，则D (X -Y )=()..22 C 已知DX =4，DY =9，,0.5X Y ρ=-，则D (2X -3Y )=(). .61 C 设随机变量X 与Y 的协方差1(,)6Cov X Y =，且DX =4，DY =9，则,X Y ρ=(). 121613616若随机变量X 与Y 满足()E XY EX EY =⋅，则下列结论不正确的是().与Y 不相关与Y 相互独立()D X Y DX DY ±=+.相关系数,X Y ρ=020.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的分布律为：则E (X +Y )与E (XY )分别是().A.2.1，，0.8 C.，，二、填空题1.设随机变量X 的期望EX =2，方差DX =4，则E (X 2)=.2.设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则E (X +Y )= ，D (X +Y )=.3.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1,4)，Y ~B (10,，则E (2X -3Y )= ，D (2X -3Y )=.4.随机变量X 服从0-1分布，且EX =，则P (X =0)=.5.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D (2X +1)=.6.设随机变量X 的分布律为则E (X 2)=.7.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的分布律为：则E (XY )=.8.设随机变量X 与Y 相互独立，且DX >0,DY >0，则X 与Y的相关系数ρ=.9.设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为：则E (XY )=，D (X -Y )=.10.设随机变量X ~N (0,1)，(,)0.5Cov X Y =，则Y ~N (0,1)，D (X +Y )=.11.设DX =9，DY =25，相关系数,0.5X Y ρ=，则D (X -Y )=.12.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX =EY =0，E (X 2)=E (Y 2)=1，则E (X+Y )2= ，D (X +Y )=.13.已知二维随机变量1(,)~(1,1,4,9,)2X Y N ，则(,)Cov X Y =.设随机变量X 的分布律为令Y =2X +1，则EY =.15.设随机变量12,,...,n X X X 独立同分布，且均值为μ,若11ni i Y X n ==∑，则EY =.三、计算题设随机变量X 的分布律为求：(1)EX ；(2)E (X 2)；(3)E (3X 3+5).设随机变量X 的分布律为求：期望EX 与方差DX . 3.设随机变量X 的概率密度为6(1),01()0,x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，求：期望EX 与方差DX . 4.设随机变量X的概率密度为||1()0,||1x f x x <=≥⎩，求：期望EX 与方差DX .5.设随机变量X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求：期望EX 与方差DX .6.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从参数2λ=的泊松分布，Y 的概率密度为1,04()40,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：(1)(2),()E X Y E XY +；(2)(23)D X Y -+. 7.已知二维随机变量(X ,Y )的概率分布为求：协方差(,)Cov X Y 与相关系数,X Y ρ.8.设(X ,Y )在圆域222{(,)|}G x y x y R =+≤内服从均匀分布，求(,)Cov X Y .四、应用题1.甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、Y 的分布律分别为：问哪一台机床加工的产品质量好？ 2.某车间生产的圆盘直径服从均匀分布U [a ，b ]，求圆盘面积的期望.3.有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差（单位：秒）分别记作X 、Y ，且日走时误差所服从的分布律如下：问哪种牌号的手表质量更好？ 4.设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X （单位：万台），它均匀分布于[10，20].每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大？五、综合题1.设随机变量X 的概率密度在[0，1]之外为0，在[0，1]上的密度与x 2成正比.求：(1)X 的分布函数；(2)期望EX 和方差DX .2.设X 服从参数为λ的泊松分布，已知(2)(3)P X P X ===，且(4)(0)P X aP X <==，求：(1)常数a ；(2)[(21)(21)]E X X +-.3.设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为：242,04,0(),()0,00,0x y X Y e x e y f x f y x y --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩. 求：(1)E (X +Y )，E (XY )；(2)D (X+Y )，D (2X -3Y ).4.设X ~N (5,5)，Y 在[0,]π上服从均匀分布，相关系数,0.5X Y ρ=，求：(2)E X Y -和(2)D X Y -.5.设随机变量12,,...,n X X X 相互独立，且服从同一分布，期望为μ，方差为2σ，令11ni i X X n ==∑，求：,E X D X .6.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：求：(1)边缘概率分布；(2)协方差(,)Cov X Y 与相关系数ρ； (3)问随机变量X 与Y 是否独立？是否相关？7.设(X ,Y )的概率密度212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)边缘概率密度； (2)EX ，EY ；(3)(,)Cov X Y .8.设随机变量X ~,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，试求：(1)EX ，DX ；(2)D (2-3X )；(3)(01).P X <<9.设连续型随机变量X 的分布函数为：0,0(),0881,8x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求：(1)X 的概率密度()f x ；(2)EX ，DX ； (3){||}8DXP X EX -≤. 10.设随机变量X ~,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它，且712EX =，求：(1)常数a ，b ；(2)DX .11.设随机变量X 1与X 2相互独立，且2212~(,),~(,)X N X N μσμσ.令12X X X =+，12Y X X =-.求：(1)DX ，DY ； (2)X 与Y 的相关系数,X Y ρ.12.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：2,01,0(,)0,x y xf x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 求：(1)边缘分布密度；(2)E (X +Y )，E (XY )，(,)Cov X Y ； (3)(1)P X Y +≤.第五章大数定律及中心极限定理一、单项选择题1.设随机变量X 的方差DX =2,则利用切比雪夫不等式估计(||8)P X EX -≥的值为().3132≥132≤132≥3132≤设随机变量X 的期望EX 与方差DX 都存在,则对任意正数ε,有(). 2(||)DX P X EX εε-≥=.2(||)DXP X EX εε-<>2(||)1DXP X EX εε-<≥-.2(||)1DXP X EX εε-≥≤-3.设随机变量Z n ~B (n ,p )，n =1,2,…，其中0<p <1，则lim }n P x →∞≤=().22txdt-⎰.22txdt-⎰22tdt-⎰.22tdt+∞--∞⎰4.设随机变量X1,X2,…,X100独立同分布，0,1,1,2,...,100i iEX DX i===，则由中心极限定理得1001{10}iiP X=≤∑近似于().(1)Φ(10)Φ(100)Φ设X n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的0ε>，lim{||}nnXP pnε→∞-≥=()..1 C.εD.p6.设随机变量X1,X2,…,X n,…相互独立，且X i都服从参数为12的指数分布，则当n充分大时，随机变量11nn iiZ Xn==∑的概率分布近似服从().(2,4)N4(2,)Nn11(,)24Nn(2,4)N n n二、填空题1.设EX=-1，DX=4，则由切比雪夫不等式估计P{-4<X<2}≥.2.已知随机变量X的期望EX=100，方差DX=10，估计X落在(80,120)内的概率.3.设随机变量X1,X2,…,X n,…相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2σ，令11nn iiZ Xn==∑，则对于任意的0ε>，lim{||}nnP Zμε→∞-<=.4.设X1,X2,…,X n,…是独立同分布的随机变量序列，且有,iEXμ=20(1,2,...)iDX iσ=>=，则对于任意实数x，lim}ninX nP xμ→∞-≤=∑.5.设X1,X2,…,X n,…是独立同分布的随机变量序列，且X i都服从参数为的0-1分布，记1001iiZ X==∑，则{30}P Z≥≈.6.在n重独立重复试验中，设P(A)=p，X为A发生的次数，则当n充分大时，X近似服从.。

(完整word版)概率统计作业-第一章(参考解答)

《概率论与数理统计》第一章作业一、一批产品中有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品，以i A (1,2,3)i =表示第i 次抽到废品，试用i A 的运算表示下列事件：1．第一次和第二次至少抽到一次废品；2．只有第一次抽到废品；3．只有一次抽到废品；4．至少有一次抽到废品；5．三次都抽到废品；6．只有两次抽到废品。

解答：1．12A A U ； 2．123A A A ； 3．123123123()()()A A A A A A A A A U U ；4．123A A A U U ； 5．123A A A ； 6．123123123()()()A A A A A A A A A U U 。

二、计算下列各题：1．已知()0.7P A =，()0.4P A B -=，求()P AB ；解：由0.4()()()P A B P A P AB =-=-，得()()()0.70.40.3P AB P A P A B =--=-=；所以()1()10.30.7P AB P AB =-=-=2．已知()1/3P A =，(|)1/4P B A =，(|)1/6P A B =，求()P A B U ；解：111()()(|)3412P AB P A P B A ==⨯=；又因为11()()(|)()126P AB P B P A B P B ===⨯，得1()2P B =；所以1113()()()()32124P A B P A P B P AB =+-=+-=U3．已知()()1/3P A P B ==，(|)1/6P A B =，求(|)P A B ；解：因为()()(|)P AB P B P A B ==1113618⨯= ()1()1[()()()](|)()1()1()P AB P A B P A P B P AB P A B P B P B P B --+-===--U 1111[]7331811213-+-==-4．设三个事件1A ,2A ,3A 相互独立，且()2/3i P A =，1,2,3i =。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业概率论与数理统计作业第⼀章随机事件与概率1. 将⼀枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C 分别表⽰“第⼀次出现正⾯”，“两次出现同，“⾄少有⼀次出现正⾯”。

试写出样本空间及事件 A,B,C 中的样本点。

4. 进⾏⼀系列独⽴试验，每次试验成功的概率均为:，试求以下事件的概率: (1) 直到第r 次才成功;⼀⾯解:正正、正反、反正、反反正正、正反,B 正正,C正正、正反、反正2.设 P(A) 3， P(B) 1,试就以下三种情况分别求 P(BA):(1) ABB , (3) P(AB)解:(1) P(BA) P(B AB) P(B) P(AB) P(B) 0.5(2) P(BA) P(B AB) P(B) P(AB) P(B) P(A) (3) P(BA)P(BAB)P(B)P(AB) 0.5 0.1253.某⼈忘记了电话号码的最后⼀个数字，因⽽随机的拨号，求他拨号不超过三次⽽接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后⼀个数字是奇数，那么此概率是多少?解：记H 表拨号不超过三次⽽能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第⼀次拨号不通，第⼆拨号就不再拨这个号码。

H A A 1A 2 P(H) P(A)1 _9 10 10 9 10 9 8A 1A 2A 3三种情况互斥P (A JP (A 2 |⽡)P (A)P (A 2| A JP (A 3 门⽠2)19 8 1?10如果已知最后⼀个数字是奇数(记为事件 B)问题变为在B 已发⽣的条件下，求⽣的概率。

春季《概率论与数理统计》作业册电子版(第3章)

时(h)计)，设( X, Y ) 的联合分布函数为
F
(x,
y)
1
e0.01x
e 0.01 y
e , 0.01( x y)
x 0, y 0,
0,
others.
试求：(1) 关于 X、Y 的边缘分布函数；
(2) 该电子部件能工作 120 h 以上的概率.
概率论与数理统计作业
班级：
学号：
姓名：
第 8 讲作业
第 9 讲作业
20.设二维随机变量( X, Y ) 的联合概率密度为
f
(x,
y)
2( x
y),
0 x y 1,
0,
others.
(1) 求关于 X、Y 的边缘密度函数；(2) 求 Z X Y 的概率密度 fZ (z) .
概率论与数理统计作业
22.设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为
课本 P60 习题三 11,12,13 （选做）14,18
11.
设二元函数 f (x,
y)定义为
f
(x,
y)
sin
x
cos
y,
0 x ,c y , 2
0,
others.
问 c 取何值时，f (x, y)是二维随机变量的联合概率密度.
12.设( X, Y )
的联合概率密度为
f
求边缘分布律.（此题有难度，选做）
概率论与数理统计作业
9.设随机变量( X, Y ) 的联合分布函数为
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ,
2
3
试求：(1) 系数 A , B , C；(2) 边缘分布函数.
(x, y) R 2.