人教版高中数学必修一教学课件《函数及其表示》
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人教A版高中数学必修第一册《函数的概念及其表示》PPT
人教A版（2019）高中数学必修第一册 《3.1 函数的 概念及 其表示 》第1课 时（共 15张pp t）
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例题讲解 例 1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个
量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数 y kx（ k 0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、
人教A（2019版）高一上
3.1.1 函数的概念（第1课时）
学习目标
1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值．
情景引入
问题：某“复兴号”高速列车加速到 350km/h 后保持匀速运行半小时.这段 时间内，列车行进的路程 S （单位: km） 与运行时间 t （单位: h）的关系可以 表示为 S= 350t.
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学习新知——函数的概念 1.二次函数 y ax2 bx c ( a 0 )的定义域、值域分别是什么？对应关系 f 把定义域
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例题讲解
求函数定义域的常用依据 1.若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； 2.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； 3.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； 4.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
人教版高中数学必修一第一章函数的概念课件PPT
例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f [f (0)]； 解 f(0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3. (2)求函数 g(x)＝01，，xx为为无有理理数数， 的定义域，值域； 解 x为有理数或无理数，故定义域为R. 只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}.
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中 都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( C ) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→|1x| B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
答案
(5) x 1 2 3 ； y12
答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．
答案
知识点二 函数相等
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系 “平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数
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第一章 1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
人教版高中数学必修第一册 3.1函数的概念及其表示【课件】
(2)【多选题】下列图象中能作为函数图象的是( ACD )
【解析】 B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函 数的定义．故选ACD.
题型二 函数的三要素 例2 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为________ ______{_x|_－_2_≤_x≤_4_或__5≤_x_≤_8}______________，值域为______{y_|－__4_≤y_≤_3_} ___________．
课时学案
题型一 函数的概念
例1 (1)判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数？ ①A＝B＝N*，f：x→y＝|x－3|； ②A＝R，B＝{0，1}，f：x→y＝10（ （xx≥ <00））；， ③A＝B＝R，f：x→y＝± x； ④A＝Z，B＝Q，f：x→y＝1x.
【解析】 对于①，A中x＝3时，B中y＝0，0 N*，∴①不是；对于②，符
探究1 判定一个关于x，y的关系式能否构成函数关系，要考虑以下两方 面：①x的取值集合是否为非空数集；②对于定义域中任何一个x的值，是否有 唯一确定的y值与之对应．
思考题1 (1)判断下列对应是否为函数，若是函数，写出定义域与值域．
【解析】 图1是函数，一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝ {4，5，6}＝B；
图2是函数， 一对一的函数，定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，5，6}⊆ B＝{4，5，6，7}；
图3是函数，多对一的函数， 定义域A＝{1，2，3}，值域C＝{4，6}⊆B＝ {4，5，6}；
图4不是函数，因为不满足对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，也就是说，一对多的不是函数．
{x|x≤a} {x|x<a}
人教版必修1数学课件1.2.1 函数的概念精选ppt课件
(1)判断一个集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系的 方法：①A，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在 B 中 必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函 数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不 能是“一对多”.
符号 (－∞,＋∞) _[_a_，__＋__∞__) (_a_，__＋__∞_) (_－__∞_，__a_] (_－__∞_，__a_)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函 数 值 域 中 的 每 一 个 数 都 有 定 义 域 中 的 数 与 之 对 应．(√ ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × ) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( √ ) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素．( √ ) (5)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( × ) (6)数集{x|x<－3}，其区间表示为(－∞，－3)．( √ )
2．函数 y＝ 1－x＋ x的定义域为( D )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．已知 f(x)＝x2＋1，则 f(f(－1))＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知 f(x)＝2x1＋1，x∈{0，1，2}，则函数 f(x)的值函数符号，f 表示对应关系，f(x)表示 x 对应的函 数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积．在不同的函数中 f 的具 体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等(下节讲函 数这三种表示)．函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x)， F(x)等表示．
人教版高中数学《函数的概念及其表示》教学课件
B1={S|0≤S≤175}
函数值的集合
对于 数集A1 中的任意时刻t，按照对应关系 S=350t，在
唯一确定的路程S和它对应。
数集B中都有
1
二、创设情境、兴趣导入
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司
确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.那么
(1) 你认为该怎样确定一个工人每周的工资?（使用w表示工资，d表示天数）
f ，
那么就称 f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数，
记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域,
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A }叫
做函数的值域.
{| = (). ∈ }
函数三要素：
定义域
对应关系f
值域
四、巩固理解、知识应用
二、创设情境、兴趣导入
食物支出金额
× 100%）反映一个地区生活质量的
总支出金额
高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化
情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
问题4：国际上常用恩格尔系数r(r =
(1)你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?
}
4
{y|y≠0, ∈ }
29.35、28.57}
函数值的集合
对于 数集A4 中的任意一个年份y，按照对应关系 表3.1-1 ，
在 数集C4 中都有唯一确定恩格尔系数r和它对应。
二、创设情境、兴趣导入
A4={2006、2007、2008、2009、
2010、2011、2012、2013、2014、
人教版高中数学必修第一册3.1函数的概念及其表示 课时4 函数的表示法(2)【课件】
随堂演练
1．
B
2.[教材改编题]已知函数f(x)＝
x x
1, x 1,0则函数f(x)的图象是( 2 1, x 0,1
A
)
BC
4. 若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)＝__3_x_＋__2__.
5.已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且F(1 )＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为
3.1 函数的概念及其表示
课时4 函数的表示法(2)
高考导向
1. 通过具体实例,了解分段函数的概念及其表示 方法,掌握其简单应用.
2. 通过具体问题,掌握求函数解析式的几种常见 方法,理解其适用范围.
3. 能够求解有关函数解析式的综合性问题,提高 分析和解决问题的能力.
学习目标
课程目标
学科核心素养
【变式训练3】已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝2x－1，求 f(x)的解析式．
【解】
（备选例题）[教材改编题]已知函数f(x)对于任意的x有f(x) ＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)．
思路点拨 将x替换为－x，得到第二个恒等式，与第一个恒等式构成方 程组求解．
【解】
【方法规律】
【变式训练1】 【解】
【例2】[教材改编题]已知f(x＋1)＝x2-3x＋2，求f(x).
思路点拨 思路一：令x＋1＝t，换元求解．思路二：采用配凑法，将等式右 边配凑成关于(x＋1)的式子．
【解】
【方法规律】 我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数．在抽象函数 问题中，当不知道函数类型时，一般可采用换元法或配凑法求 函数解析式．使用换元法或配凑法时要注意自变量取值范围的 变方法
高一数学优秀课件《函数的表示法》
掌握用三种方法表示函数
【例4】某种笔记本的单价是5元，买x x 1,2,3,4,5个
笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为 y 5x, x 1,2,3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
可以看出: 王伟同学的数学成绩始终高于平均水平，学习情况稳定 且成绩优秀。 张城同学的数学成绩不大稳定，总在班级平均水平上下 波动,且波动幅度较大; 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平,但他成绩在稳步 提高.
例8. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人
民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．2019年１月
（3）恩格尔系数 （列表法）
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法． 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2． 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4． 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3． 这三种方法是常用的函数表示法．
72
75
82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三人的学习情况进行分析. 思考2: 上述4个函数能用解析法表示吗？表格能否直观地分 析出三位同学成绩高低? 你能用图象法表示吗？
班级 平均
王伟
赵磊 张城
解：为了直观地反映每位同学和班级平均成绩的变化情况， 我们用图象法将表格中的4个函数表示出来，如图。
0.35t 85920, 6600000 t 960000,
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
人教版高中数学第一章 函数的表示法(共31张PPT)教育课件
(2)已 知 f(x+1)=x+2x,求 f(x).
练习：
已知f(x1)=1-xx2,求f（x） .
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部 分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
4. 分段函数求函数值及其实际应用。
1.2.2 函数的表示法(二)
解析法
就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系
图象法
就是用图象表示两个变量之 间的对应关系
列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的
对应关系
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部 分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
例题8
下列集合M到P的对应f是映射的是 A（ ）
A. M={-2,0,2},P={-4,0,4},f:M中数的平方 B. M={0,1},P={-1,0,1},f:M中数的平方根 C. M=Z,P=Q,f:M中数的倒数 D. M={x|0x 2},P={y|0y6},f:xy=4x.
例题9
若f:xx2(x>0)是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}， 则AB=
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？
解析法的优点是：①函数关系清楚、准确；②容易从 自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的 性质。解析法是中学研究函数的主要表示方法．
图像法的优点：能形象直观地表示出函数的变 化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基 础．
练习：
已知f(x1)=1-xx2,求f（x） .
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部 分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
4. 分段函数求函数值及其实际应用。
1.2.2 函数的表示法(二)
解析法
就是用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系
图象法
就是用图象表示两个变量之 间的对应关系
列表法 就是列出表格来表示两个变量之间的
对应关系
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部 分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点 基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
例题8
下列集合M到P的对应f是映射的是 A（ ）
A. M={-2,0,2},P={-4,0,4},f:M中数的平方 B. M={0,1},P={-1,0,1},f:M中数的平方根 C. M=Z,P=Q,f:M中数的倒数 D. M={x|0x 2},P={y|0y6},f:xy=4x.
例题9
若f:xx2(x>0)是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}， 则AB=
思考二：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？
解析法的优点是：①函数关系清楚、准确；②容易从 自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的 性质。解析法是中学研究函数的主要表示方法．
图像法的优点：能形象直观地表示出函数的变 化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基 础．
电子课件：人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示课件(4)
（二）复杂函数的定义域
例2 求函数 f (x) 3x 2 1 的定义域.
x2
【解题关键】
解：要使函数有意义，
使各个式子都 有意义的实数
集合.
则 3xx22，0即0
x . 2 且x 2
3
定义域是一个集合，要 用集合或区间表示．
所以函数的定义域为
x
x
2 3
,且x
2.
【变式练习】
求下列函数的定义域： (1) y＝ x－1＋ 1－x.(2) y＝xx2＋－11.
函数及其表示
学 习 不 可 浅 尝 辄 止 哦 ！
上节课我们学习了函数，都学习了哪些知识？你都理
解了吗？
函数
函数的概念 函数的记法
定义域 值域
区间的概念与表示
1.掌握简单函数的定义域的求法.(重点） 2.会求简单函数的值域.（难点） 3.掌握换元法求函数的对应关系.（难点）
探究点1 函数的定义域的求法 求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式，则函数的定义域是: 实数集R； ②若f(x)是分式，则函数的定义域是: 使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是: 使根号内的式子大于等于0的实数集.
5.求下列函数的值域
(1)y x2 2x 3, x R 2,
（2）y 5x 4 y y 5 x 1
(3)y 2x
x 1
15 8
,
回顾本节课的收获 函数的应用
函数的定义域
简单函数的值域
简单函数的 定义域
复杂函数的 定义域
复合函数的 定义域
1 x 3
2
2
故f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}.
人教版高中数学必修一函数的表示法(一)课件PPT
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意知自变量的取值范围是(0,20].
根据“票价规则”，得到以下解析式：
y 5 4 3
2 1
2,0 x 5
y
3,5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
o 5 10 15 20 x
例5．某路公共汽车，行进的站数与票价 关系如下表：
行进的 站数
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
2.三种函数表示方法的相互转换； 3.分段函数的定义及表示法； 4.分段函数的表达式虽然不止一个，
但它不是几个函数，而是一个函数．
课后作业
1.阅读教材； 2.习案:作业7，第P160至P161； 3.预习下节内容．
思考题：你能作出函数 的函数图象吗？
根据“票价规则”，得到以下解析式：
y 5 4 3
2 1
2,0 x 5
y
3,5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
o 5 10 15 20 x
例5．某路公共汽车，行进的站数与票价 关系如下表：
行进的 站数
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
例5．A、B两地相距150km，某汽车以每
小时50km的速度从A地到B地,在B地停留 2小时后，又以每小时60km的速度返回A 地. (1)写出该车离开A地的距离s(km)关于
时间t(h)的函数关系； (2)并画出图象.
例6．如图，在边长为4的正方形ABCD的 边上有一点P，沿着折线BCDA由B点 (起 点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程 为S，△ABP的面积为y，求△ABP的面积 y与P点移动的路程S间的函数关系式.
2.三种函数表示方法的相互转换； 3.分段函数的定义及表示法； 4.分段函数的表达式虽然不止一个，
但它不是几个函数，而是一个函数．
课后作业
1.阅读教材； 2.习案:作业7，第P160至P161； 3.预习下节内容．
思考题：你能作出函数 的函数图象吗？
高中数学人教A版必修1课件：1.2函数及其表示
2．分式1x有意义的条件是 x≠0，无理式 x有意 义的条件是 x≥0，x0 有意义的条件是 x≠0.
1．函数的概念
(1)函数的定义 设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个__数__x_，在集
合B中都有_唯__一__确__定__的__数__f_(x_)__和它对应，那么就 称_f：__A__→__B___为从集合A到集合B的一个函数，记 作_y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A. 函数y＝f(x)中，x叫自变量，_x_的__取__值__范__围___叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_函__数__值__， 函数值的集合_{_f(_A_)_|x_∈__A__}_叫做函数的值域．显 然，值域是集合B的_子__集__．
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m 的范围； ②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对 m进行分类，而不是对x分类； ③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取 并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围, 也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取 并集； ④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例, 则最后既不取交集也不取并集． [注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数 集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
2．区间与无穷的概念 (1)区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.
1．函数的概念
(1)函数的定义 设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个__数__x_，在集
合B中都有_唯__一__确__定__的__数__f_(x_)__和它对应，那么就 称_f：__A__→__B___为从集合A到集合B的一个函数，记 作_y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A. 函数y＝f(x)中，x叫自变量，_x_的__取__值__范__围___叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_函__数__值__， 函数值的集合_{_f(_A_)_|x_∈__A__}_叫做函数的值域．显 然，值域是集合B的_子__集__．
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m 的范围； ②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对 m进行分类，而不是对x分类； ③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取 并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围, 也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取 并集； ④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例, 则最后既不取交集也不取并集． [注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数 集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
2．区间与无穷的概念 (1)区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.
人教B版高中数学必修一 《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第1课时函数的概念)
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B 中元素对应．
24
[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一 元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
43
1．判断两个函数相同 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此， 判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完 全一致的两个函数才算相同．
44
2．对函数定义的再理解 (1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不 存在．如 y＝ 11－x＋ x－3就不是函数；集合 A 中的元素是实数，即 A≠∅且 A⊆R.
5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题 有意义.
34
2．下列函数的定义域不是 R 的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2
C．y＝1x
D．y＝2x
C [A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定
义域都是 R；C 中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是 R.]
35
17
(1)C [选项 A 中，由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝x 两函数对应法则不 同，所以它们不是同一函数；
选项 B 中，由于 f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝xx2的定义域为{x|x≠0}， 它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项 C 中，f(x)＝3 x3＝x，g(x)＝x 的定义域和对应法则完全相同， 所以它们是同一函数；
24
[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A 中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 ±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一 元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
43
1．判断两个函数相同 函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此， 判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完 全一致的两个函数才算相同．
44
2．对函数定义的再理解 (1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不 存在．如 y＝ 11－x＋ x－3就不是函数；集合 A 中的元素是实数，即 A≠∅且 A⊆R.
5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题 有意义.
34
2．下列函数的定义域不是 R 的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝x2
C．y＝1x
D．y＝2x
C [A 中为一次函数，B 中为二次函数，D 中为正比例函数，定
义域都是 R；C 中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是 R.]
35
17
(1)C [选项 A 中，由于 f(x)＝ x2＝|x|，g(x)＝x 两函数对应法则不 同，所以它们不是同一函数；
选项 B 中，由于 f(x)＝x 的定义域为 R，g(x)＝xx2的定义域为{x|x≠0}， 它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；
选项 C 中，f(x)＝3 x3＝x，g(x)＝x 的定义域和对应法则完全相同， 所以它们是同一函数；
人教版A版必修一《函数的概念及其表示》课件ppt
自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是
√
√
√
在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中， 图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函 数图象.
自主诊断
3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是
A.y＝ x3＋－3x与 y＝
x＋3 3－x
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
0
(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，
①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，
②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
思维升华
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.
√B.y＝x2 与 y＝(x－1)2 √C.y＝ x2与 y＝x
√D.y＝1 与 y＝x0
自主诊断
对于 A 选项，y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， y＝ x3＋－3x的定义域是[－3,3)， 并且 x3＋－3x＝ x3＋－3x，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同， 所以是同一个函数；
√C.f(x)＝x－，xx，≥x0<，0， g(t)＝|t|
D.f(x)＝x＋1，g(x)＝xx2－－11
对于 A，f(x)＝ x2的定义域为 R，g(x)＝( x)2 的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一 个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于 D，f(x)＝x＋1 的定义域为 R，g(x)＝xx2－－11的定义域为{x|x≠1}， 不是同一个函数.
人教版必修一函数的概念及表示方法(课堂PPT)
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ 所以它们是相等函数．
＝ |2x ＋ 1| ，
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都是Z， 值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相 等函数．
④中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域都是R，尽管它们表 示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”， 是相同的对应法则，所以是相等函数．
[例 1] (1)由下列式子能否确定 y 是 x 的函数？
①x2＋y2＝2； ② x－1＋ y－1＝1；
③y＝ x－2＋ 1－x.
(2)已知 f(x)＝3x－1，求 f(2)，f(2a－1)．
[分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元 素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断． (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应 法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数 值．
故填②④.
[例1] (1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动
点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，
△ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式为
．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤) 如表所示.
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
③由x1－－2x≥≥00 ，得解集为∅，故由它不能确定 y 是 x 的 函数．
(2)f(2)＝3×2－1＝5，f(2a－1)＝3(2a－1)－1＝6a－4.
二、填空题 7．函数 y＝2xx－＋11的图象过点(p,4)，则实数 p＝______.
二、填空题 7．函数 y＝2xx－＋11的图象过点(p,4)，则实数 p＝______.
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记作 y=f(x) , x∈A x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域。(p16)
环节3：回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分 别是什么？
函数
对应法则 定义域
正比例
R
函数 y kx(k 0)
共同点
（1）都有两个非空数集 （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系
环节2：函数的定义
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量 之间的关系可以描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作
f: A→B.
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集 合A到集合B的一个函数，
判断下列图象能表示函数图象的是（
y
D）
y
0
x
(A) y
0
x
(B) y
0
x
(C)
0
x
(D)
环节4：区间的概念
请阅读课本P17关于区间的内容
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经 常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端点，用空 心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集 （1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一 个整体； ②值域由定义域、对应法则惟一确定； ③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等 于f与x的乘积。
问题： （2）如何判断给定的两个变量之间是否具 有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？ ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的 每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和 它对应。
反比例 函数
一次函 数
y k (k 0) x
y kx b (k 0)
{x | x 0}
R
二次函 y ax2 bx c
数
(a 0)
R
值域
R
{ y | y 0}
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
问题 （1）试说明函数定义中有几个要素？
函数及其表示
学习过程
1.初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则 称x是自变量，y是x的函数
2.请问：我们在初中学过哪些函数？
正 比 例 函 数 ： y k x(k 0)
反 比 例 函 数 ： y k (k 0)
一
次
值域
对应法则f 对应Βιβλιοθήκη 则3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
(5)如果是实际问题，使是实际问题有意义的实数的集合
四、【要点小结】
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集 合A到集合 B的函数。
定义域 2.函数的三要素 值域
定义域
决定
函
数
：
y
x
kx
b(k
0)
二 次 函 数 ： y ax 2 bx c(a 0)
3.请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ （2）y x与y x 2 是同一个函数吗？
x
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。 因此，需要从新的高度认识函数。
不同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系， 实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
[5,6)
[9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
环节3：回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定义域、值域分 别是什么？
函数
对应法则 定义域
正比例
R
函数 y kx(k 0)
共同点
（1）都有两个非空数集 （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系
环节2：函数的定义
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量 之间的关系可以描述为：
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有惟一确定的y和它对应，记作
f: A→B.
函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集 合A到集合B的一个函数，
判断下列图象能表示函数图象的是（
y
D）
y
0
x
(A) y
0
x
(B) y
0
x
(C)
0
x
(D)
环节4：区间的概念
请阅读课本P17关于区间的内容
注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经 常用区间表示用③实心点表示包括在区间内的端点，用空 心点表示不包括在区间内的端点。
试用区间表示下列实数集 （1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} （4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
定义域、值域、对应法则
①定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一 个整体； ②值域由定义域、对应法则惟一确定； ③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等 于f与x的乘积。
问题： （2）如何判断给定的两个变量之间是否具 有函数关系？
①定义域和对应法则是否给出？ ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的 每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和 它对应。
反比例 函数
一次函 数
y k (k 0) x
y kx b (k 0)
{x | x 0}
R
二次函 y ax2 bx c
数
(a 0)
R
值域
R
{ y | y 0}
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
问题 （1）试说明函数定义中有几个要素？
函数及其表示
学习过程
1.初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，则 称x是自变量，y是x的函数
2.请问：我们在初中学过哪些函数？
正 比 例 函 数 ： y k x(k 0)
反 比 例 函 数 ： y k (k 0)
一
次
值域
对应法则f 对应Βιβλιοθήκη 则3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
(5)如果是实际问题，使是实际问题有意义的实数的集合
四、【要点小结】
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集 合A到集合 B的函数。
定义域 2.函数的三要素 值域
定义域
决定
函
数
：
y
x
kx
b(k
0)
二 次 函 数 ： y ax 2 bx c(a 0)
3.请同学们考虑以下两个问题：
(1) y 1是函数吗？ （2）y x与y x 2 是同一个函数吗？
x
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。 因此，需要从新的高度认识函数。
不同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系， 实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系；
[5,6)
[9,) (,1] [5,2) (,9) (9,20)
探究结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R (2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)