格林函数法

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数理方程第四章格林函数法

则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是的外法线方向。
证明只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法

格林函数法

为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理：格林函数代表r0处的点源在r处所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下的互易定理：

第三章格林函数法

r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初始和边界条件下产生的场
格林函数：代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，

数学物理方法--格林函数法

G(r , r0)r(r )dV T

1
4

f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n

f
第二边值问题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n

0
u(r0 )

1
4
G(r , r0)(r )dV T

(u
v n

v
u )dS n

T
(uv

vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题边界条件
泊松方程
u
[
u n

u]

()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件求通解＝积分

定解＝积分＋边界条件（格林函数法）
T

设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在上有连续一阶导数。由高斯定理

uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：

4 0 q
a r1

数学物理方法12格林函数

泊第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|

数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]

第五章格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+，（4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习题五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1）如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1）验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=，求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3）设()u u r =, 222z y x r ++=，求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5．设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10．求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11．设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。

格林函数法

因此，无界空间的格林函数为
G (x ,x )
1
40( x x ') 2 (y y ') 2 ( z z ') 2
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21
计算电磁学基础
（2）上半空间的格林函数。当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林
函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在
点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格
• 这种方法称为电像法
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计算电磁学基础
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G (x x ')(y y ')(z z')z , 0
G |z 0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
2(x)10(x)
已知
S
(xx)
2G (x,x)1 0(xx)
令 G 0 S
已知
n S
令 G 1 ，
n S 0S
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计算电磁学基础
常见的几个格林函数：
（1）无界空间的格林函数。
在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电
势为:
( x ) 1
1
40 r40( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。

第六章格林函数法

第六章格林函数法本章利用高等数学中的格林(Green)公式导出调和函数的积分表达式，引进格林函数(又叫点源函数)，它是一种广义函数.利用格林函数求解稳态的边值问题，这种方法叫格林函数法，它是解数学物理问题时常用的方法之一.§2.6.1 格林（Green ）公式调和函数的积分表达式2.6.1.1 格林公式设D 是以分片光滑的曲面S 为其边界的有界区域，函数P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z )是在D 上连续，在区域D 内有连续偏导数的任意函数，则成立奥一高公式 V z R y Q x P D d (∂∂+∂∂+∂∂∫∫∫=∫∫++SS z n R y n Q x n P d )],cos(),cos(),cos([,这里d V 是体积元，n 是曲面S 的外法线方向，d S 为S 上的面积元.由此可以导出格林第二公式或格林公式：S nu v n v uV u v v u D S d d )()(∫∫∫∫∫∂∂−∂∂=Δ−Δ. 事实上，设函数u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )以及它们的所有的一阶偏导数在闭区域S D D U =上是连续的，u 、v 在D 内具有连续的二阶偏导数.令 P =x v u ∂∂, Q =yv u ∂∂, R =z v u ∂∂, 代入奥一高公式得到格林第一公式：V z v z u y v y u n v x u S n v uV v u DD S d d d )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂−∂∂=Δ∫∫∫∫∫∫∫∫ 这里是三维拉普拉斯(Laplace)算子，Δn∂∂表示曲面S 的外法线方向导数.如果引进梯度算子＝∇k j v v v z yi x ∂∂+∂∂+∂∂ ，那么格林第一公式缩写成 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔDS D V v u s n v uv v u d d d )()(，类似地，如果令 P =x u v ∂∂， Q =y u v ∂∂， R =zu v ∂∂，就有 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔD D SV u v S n u v V u v d d )()(d 注意到向量的数性积的可交换性，上两式相减，得格林第二公式(又叫格林公式)：S nu v n v u V u v v u D S d d )()∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫（ . 2.6.1.2拉普拉斯方程的基本解在三维空间内，记),()()()(222N M r z y x r =−+−+−=ςηξ表示点M (x ，y ，z )、)(ςηξ，，N 之间的距离，利用复合函数求导的链式法则，对空间中任意固定的一点N ，函数r1除点N 外关于变量（x , y , z ）处处满足拉普拉斯方程0=Δu ；注意到函数r1的特征，同样对于任意固定的一点M (x , y , z ),函数r1除点M 外，关于变量),,(ςηξ处处满足拉普拉斯方程，即0)1(=Δr，（N M ≠）. 函数r1在求解拉普拉斯方程和泊松(Poisson)方程时有极重要的作用，通常把函数r1称为三维拉普拉斯方程或者泊松方程的基本解.同样，对于二维空间，函数),(1ln )()(1ln 1ln 22N M r y x r =−+−=ηξ 叫做二维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解.2.6.1.3 调和函数的积分表达式仍以三维空间为例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式.定理:（调和函数的积分表达式）设函数u (x , y , z )在闭区域D 上有连续的一阶偏导数，且u (x , y , z )在区域D 内调和（即0=Δu 在D 内成立），那么对于D 内任意固定的一点就有),,(0000z y x M ,])1(1[41)(0S nr u n u r M u S d ∂∂−∂∂=∫∫π D M ∈0 ,这里M 为点(x , y , z )，并有2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .事实上，设为区域D 内任意固定的一点，M (x ,y ,z )为),,(0000z y x M D 上的一个动点，动点M 到定点M 0的距离2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .注意到函数r 1除点M 0外，处处调和，M 0挖去.以M 0点为球心，充分小的正数（ρ>0),用表示这个小球的球面.记区域D 0M K ρ0M S ρ0M K ρ1=D \ (通常称区域D 内挖去点M 0M K ρ0).这时区域D 1的表面为.U S 0M S ρ于是函数u , v =r1在闭区域011M S S D D ρU U =上可用格林公式，就有∫∫∫∫∫∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−ΔS S n u r n r u D S n u r n r u V u r r u M S 01)1)1((1)1((]1)1([ρd d d 因为在区域D 1内0)1(,0=Δ=Δru ，上式左边等于零，由此得 01)1()1)1((00=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫∫∫∫∫S S n u r S S n r u S n u r n r u M M S ρρd d d 现在讨论上式左边的后两项积分.注意到，对区域D 1而言，小球面0M S ρ的外法线方向应指向球心M 0 , 与半径r 的方向刚好相反，因此在球面上有0M S ρ2211)1(1(ρ==∂∂−=∂∂rr r n r ，这样上式第二项积分有 )(44)(1)1(1212200M u M u s S u S S n r u M M ππρρρρρ===∂∂∫∫∫∫d d , 这里用到积分中值定理，M 1为球面上的某一点.0M S ρ对于上式第三项积分，用积分中值定理有||22044112M n u M n u S n u r M S ∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∂∂∫∫πρπρρρd 这里M 2为上的某一点.0M S ρ 因为nu ∂∂在M 0点的邻域内是有界的，让0→ρ，则M 1、M 2趋于球心M 0 ,所以第三项积分趋于零，由此得0)(4)1)1((0=+∂∂−∂∂∫∫M u S n u r n r u Sπd . 从而得到有界区域D 内调和函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u S d )1(1(41)(0∂∂−∂∂=∫∫π, D M ∈0. 这个公式说明，调和函数u 在区域D 内任意一点M 0处的值可以由它的边界S 上的值和它在边界S 上的法向导数nu ∂∂的值来确定，这对解边值问题提供了方便.推论：若u 在有界区域D 内是二阶连续的可微函数，则有积分表达式∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=DS V r u S n r u v u r M u d d ππ41))1(1(41)(0，. D M ∈0这是因为在闭区域1D 上用格林公式，有 S n u r S n r u S n u r n r u V u D r S M d d d )11(()1)1((101∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−∫∫∫∫∫∫∫ρ 类似上述的讨论，上式右端当0→ρ时，区域,其余都一样.D D →1对于二维情形，由于基本解为r1ln ，所以不难得到在二维有界区域D 内调和的函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u C d )1(ln )1[ln(21)(0∂∂−∂∂=∫π, D M ∈0. 这里C 为区域D 的边界.对一般的在区域D 内有二阶连续可微函数u ，则积分表达式为S u r l n r u n u r M u DC d d Δ−∂∂−∂∂=∫∫∫)1(ln 21])1(ln )1[ln(21)(0ππ, .D M ∈0这两个公式的证明作为习题留给读者自己去证明.§2.6.2 拉普拉斯（Laplace ）方程的狄里克雷问题2.6.2.1 边值问题的提法数学物理的不少问题都会归结为求拉普拉斯方程的解，根据边界条件的不同提法，可以把它的定解问题分为三类：第一边值问题，又称狄里克雷(Dirichlet)问题.求区域D 内调和，而在D 的边界S 上取已知值f 的函数u ，即狄里克雷问题的提法为：0=Δu ，在D 内,|u s =f 1(M ) ，在S 上.第二边值问题，又称诺伊曼(Neumann)问题，它的提法为： 0=Δu ，在D 内,),(|2M f nu S =∂∂ S M ∈. 第三边值问题，又称洛平(Robin)问题，它的提法为：，在D 内,0=Δu ),(3M f u n u S=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂βα S M ∈. 这里α、β为已知常数，且不同时为零；f 、f 、f 为已知函数.)(1M )(2M )(3M 如果以上的提法，针对求有界区域D 内的解，称为内问题，如果求区域的外部的解，称为外问题.对于狄里克雷问题、诺伊曼问题解的存在性，要用到积分方程的理论，由于已超出本书的范围，这里不再赘述，感兴趣的读者可以查阅相关的书籍，例如由沈乃录主编的《积分方程》一书，将会给你一个满意的解答.2.6.2.2 狄里克雷问题的格林函数格林函数法我们重点来解狄里克雷问题.从调和函数u 的积分表达式出发，在区域D 内的调和函数u 的积分表达式为：S n r u nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=)/1(1(41)(0π， D M ∈0. 这里由于狄里克雷问题0=Δu ，在D 内,|u s =f (M ) ，在∈M S 上.所以，积分表达式中的第二项u 在边界面S 上的值已知，用f (M )代替，就有S n r M f nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=))/1()(1(41)(0π， D M ∈0, 这样求解的关键是如何从上式中消去带nu ∂∂（未知的）这一项. 由格林公式出发，要在区域D 内求一个函数g ，它在区域D 内调和（即0=Δg ），则格林公式为：S n u g ng uS d ∫∫∂∂−∂∂=)(0 用π41乘以上式，再和积分表达式相加，就有 S n g r M f n u g r M u S d ∫∫−∂−∂∂−=])/1()()1[(41)(0π， D M ∈0如果上式中在边界面S 上有g r −1＝0，即=S g |r1，那末狄里克雷问题的解就是：S ng r M f M u S d ∫∫−∂−=])/1()([41)(0π， D M ∈0. 综上所述，欲解狄里克雷问题：0=Δu ，在D 内,|u s =f(M) ，在∈M S 上就转化为解另一个狄里克雷问题：0=Δg ，在D 内,=S g |r1 ， ∈M S, 这里，);(0M M r r =);(0M M g g =，∈M S ，D M ∈0一般说来，函数也不是好求的，它与边界曲面S 的形状有关，但是不管怎么讲，给出了一个解狄里克雷问题的思路，并且对于一些特殊的区域D ，例如球体、半空间、圆域、半平面等可以用初等的方法求出函数g (M ; M );(0M M g 0)来.为了更清楚，我们令函数 );();(1);(000M M g M M r M M G −= 注意到基本解的特征，);(10M M r g (M ；M 0)的要求，对于函数G (M ；M 0)有两个基本性质：(1)除点D M ∈0外，函数G (M ；M 0)在区域D 内调和，即 0);(0=ΔM M G , M , M 0D ∈ 且0M M ≠ ;(2)在边界面S 上， ,0);(0=M M G ∈M ,S D M ∈0 . 通常把函数G (M ；M 0)称为拉普拉斯方程0=Δu 关于区域D 的狄里克雷问题的格林函数.用求格林函数G (M ；M 0)的方法解狄里克雷问题称为格林函数法.如果格林函数G (M ；M 0)求得，那么狄里克雷问题的解也就有了，并且为S M M G nM f M u S d );()(41)(00∫∫∂∂−=π , D M ∈0.对于二维的情形，完全类似地，可以得到 S nG M f M u C d ∫∂∂−=)(21)(0π , D M ∈0 为狄里克雷问题 C D M M f u D M u C=∂∈=∈=Δ),(,0| 的解，这里格林函数 );(1ln );(00M M g rM M G −=，作为习题留给读者自己去证明.例1. 球的狄里克雷问题和球的格林函数球内狄里克雷问题的提法： , 在球内 0=Δu 2222R z y x <++ u=f (M ) , 在球面上 2222R z y x =++这里 M =(x , y , z ).解：先求球的格林函数 2222R z y x <++ 设球内任一点，由此求满足另一个球狄里克雷问题：),(00,00z y x M );(0M M g 0);(0=ΔM M g , 在球内);(1);(00M M r M M g = , 在球面上对于球而 2222R z y x <++M 1言，函数可以用初等的方 );(0M M g 法求得.记202020z y x ++＝ρ，点 M 0的对称点为M 0R S 1,显然点M 1在球外，并在OM 0的延长线上（如图），由对称点的定义知：21R ＝ρρ⋅其中1ρ为OM 1的长，即 2121211z y x ++＝ρ ，),,(1111z y x M =，由调和函数的基本解，这个应该是);(0M M g 1r A这种形式，这里 2121211)()()(z z y y x x r −+−+−= ，A 为待定常数.显然函数1r A在球内是调和的.问题是怎样确定常数A .由的第二个条件在球面上应为);(0M M g r 1.为区别起见，球面上的点记为),,(z y x M ′′′′.由于，所以在21R =⋅ρρM OM ′Δ0与中，是公共角，且夹这角的两边成比例1M M O ′ΔO ∠10OM M O M O OM ′=′，因此M OM ′Δ0与1M M O ′Δ相似，从而有M O OM M M M M ′=′′010，亦即R r r ρ=1，这样在球面上有OR S rr R 111=⋅ρ ，可见常数202020z y x RRA ++==ρ，所求的101);(r R M M g ⋅=ρ，因此球的格林函数为2121212020202020201100)()()(1)()()(1);(1);(1);(z z y y x x z y x Rz z y y x x M M r R M M r M M G −+−+−⋅++−−+−+−=⋅−=ρ得球内狄里克雷问题的解为S nG M f M u RS d ∂∂′−=∫∫)(41)(00π,（）.球∈0M 2222R z y x <++为了计算，还须将这公式化成便于积分的形式.采用球面坐标系.设点M ′的球坐标为),,(ϕθ′′R ，点M 0的球坐标为),,(00ϕθρ，将记为O∠α，于是在球面上，ORS nr nr ∂∂∂∂1(,)1(1有 02022)(1grad 11)1()1(n n ⋅∂∂+∂∂+∂∂−=⋅−=∂∂−=∂∂⋅∂∂=∂∂k zr j y r i x r r r r n r r n r r r n r 其中n 0是球面的外法线单位向量.O R S 在球面上, OR S M ′点的坐标为),,(z y x ′′′，由此r x x x r 0−′=∂∂ , r y y y r 0−′=∂∂ , rz z z r 0−′=∂∂ , 设r 0是r 方向上的单位向量，由此),cos(1)(1)1(200002n r r k r z z j r y y i r x x r n r −=⋅−′+−′+−′−=∂∂n , 同理 ),cos(1)1(1211n r r nr −=∂∂，这样),cos(),cos(1)1()1(12121n r r Rn r rn r n r R n G ρρ−=∂∂−∂∂=∂∂−为了简化上式，在与M OM ′Δ01M M O ′Δ中用余弦定理得Rr r R n r 2),cos(222ρ−+=， 12121212),cos(Rr r R n r ρ−+= ，注意到在球面上有OR S rr R 11=ρ，并且，于是有 21R =⋅ρρ3221212),cos(),cos(1Rr R n r r R n r rn G ρρ−=−=∂∂−, 从而球内狄里克雷问题的解化简为ϕθθραρρϕθπρπππ′′′+−−′′=−′=∫∫∫∫d d d sin ]cos 2[),(4)(41)(2322222003220R R R f RS rR M f R M u O RS这也叫球的泊松积分.利用M 0的对称点M 1构造格林函数的方法，叫做镜像法，物理学中又叫静电源象法.例 2. 半空间的狄里克雷问题.半空间的狄里克雷问题就是求一个在上半空间内的调和函数u (x , y, z )，且在边界面z =0上满足u (x , y , 0)=f (x , y )，即0>z⎪⎩⎪⎨⎧=>=Δ=),(0,0|0y x f u z u z解：设在半空间在z >0内任意一点，这里z ),(00,00z y x M 0>0,那么M 0关于平面的对称点M 0=z 1就是 ),(00,0z y x −.所以函数2020201)()()(11z z y y x x r ++−+−=是半空间内的调和函数，并且在边界面z =0上，显然有0>z rr 111=，因此半空间z >0内的格林函数为20202020202010)()()(1)()()(111);(z z y y x x z z y y x x r r M M G ++−+−−−+−+−=−=对于半空间z >0，边界面z ＝0的外法线方向与z 轴的正向相反，于是z G nG ∂∂−=∂∂，这个半空间z >0的狄里克雷问题的解为S n G y x f z y x u z d ∫∫=∂∂−=0000),(41),,(π =S zG y x f z d ∫∫=∂∂0),(41π=y x z y y x x y x f z d d ∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−232020200])()[(),(2π.§2.6.3 泊松方程的狄里克雷问题在研究有外力作用下的薄膜平衡和有热流的热平衡以及稳定电场的静电势等问题时，都会导出称谓泊松方程的数学物理方程.泊松方程的一般形式是),,(z y x F u u u u zz yy xx =++≡Δ,其中F (x , y , z )为已知函数.泊松方程的狄里克雷问题的提法是),,(z y x F u =Δ （x , y , z ）D ∈, )(|M f u S= M 在D 的边界面S 上.对于在有界区域D 内有二阶连续的可微函数u (M ),有积分表达式V r uS n r u n u r M u DSd d ∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=ππ41))1(1(41)(0, . D M ∈0设是区域);(0M M G D 的格林函数，就有);();(1);(000M M g M M r M M G −=这里函数为区域);(0M M g D 内的调和函数，在边界面S 上有r g S1|=，对格林公式S n u v n v u V u v v u D Sd d ()(∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫中用函数替代v ，再两边乘以);(0M M g π41得∫∫∫∫∫Δ+∂∂−∂∂=DSV u g S n u r n g ud d ππ41)1(410将以上两等式相加，消去S n ur Sd ∂∂∫∫141π项就得泊松方程狄里克雷问题的解为∫∫∫∫∫+∂∂−=DSV FG S n G fM u d d ππ4141)(0显然，上式第一项是定解问题0=Δu 在D 内，的解；第二项是定解问题的解f u S=|0,|==ΔSu F u 对于二维泊松方程的狄里克雷问题可以类似地求解.。

第12章_格林函数法

电磁场的源场关系
源量： (r , t ) 或 q(r , t )
场量： E (r , t ) D(r , t )
电场
J (r , t ) 或 I (r , t )
B(r , t ) H (r , t )
磁场
比如：静电场
源量： (r )
场量： E (r ) D(r )
全电流定律：传导电流和时变的电场都能产生磁场电磁感应定律：电荷和时变的磁场都能产生电场（库仑电场(有源无旋场)和感应电场(无旋有源场)）磁通连续性原理：磁场是无散度场，磁力线总是闭合曲线高斯定理：电荷是产生电场的源
WangChengyou © Shandong University, Weihai
全电流定律：磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。电磁感应定律：电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。磁通连续性原理：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒为0。高斯定理：穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
T T
同理 vu dS vudV u vdV T T 两式相减有 uv dS vu dS (uv vu )dV

T
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数学物理方法
第12章格林函数法

Chapter4.1格林函数法

此公式称为第一格林公式
若令上述公式中u, v对换，可得 u 2 v udV v dS u vdV n
两式相减可得第二格林公式 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
二、调和函数的基本性质
数学解释：在内寻求一个调和函数，它在闭区域上有一阶连续偏导数,即u C 2 () C1 ()，且在边界上满足边界条件。
注：前面两种边值问题都是在内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。还有一类问题，例如确定某物体外部的稳恒温度场, 就归结为在区域外部求调和函数，满足边界条件。这样的问题称为Laplace方程外问题。
1 4
u(M 0 ) 1 4 1 4 a 2
(u ( M )

1 1 u 1 ( ) )dS n r r n 4
(u ( M )

1 1 u ( ) )dS r r r n
1 1 u 1 (u ( M )( 2 ) )dS 2 r r n 4 a
取u为调和函数，并假定其在上有一阶连续偏导数，取v 1/ r 1 2 1 1 u 2 1 由第二格林公式 (u u )dV (u ( ) )dS， r r n r r n K
1 1 1 u 注意到 u 0, 则 u dS 0 r n r r n
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
u 0, r 1, u r 1 1 其中r x 2 y 2 z 2
易知
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件.

数学物理方程第四章格林函数法

为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在上有连续
的一阶偏导数，在内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离：则有
u(M0 )

1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1）第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ，为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在边界上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。

2u 2u 2u
u
x 2
y 2

z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互换
v
u v u v u v
( uv )dV

u
n
ds

(
x
x

y
y

z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV

v

n
ds

(
x
x

y
y

z

格林函数法

格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。

它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。

格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。

格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。

格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。

此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。

第十二章格林函数法

1

(
x)
0 V
0
得到

V
G(
x

x)
1
0

S
G
(
x

x)
(x)d
(x)
n

1
0
(

(
x)
x) G (x
n
x)
ds
13
故得到
(x) G(x x)(x)d

V

G(
x,
x)
1
0

S
G(
x

(x)
x)

( x)
n
( x)

1
0

( x

x)d

( x)
G(x n
x)
ds
12
该式左边第二项为
1
(x) (x x)d
第十二章格林函数法
Method of Green Function
1
• 泊松方程的格林函数 • 用电像法求格林函数 • 含时间的格林函数 • 用冲量定理法求格林函数 • 推广的格林公式及应用
2
第一节泊松方程的格林函数法
一、分离变量法和镜像法能解的情况
1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上，也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。
内找一个待定函数（为待求），通过这个公式从
已知确定未知。
（2）边值问题的解给定一个区域V，其中给定了

格林函数方法

格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。

格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。

格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。

主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。

这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。

具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。

格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。

如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。

在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。

最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。

此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。

综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。

该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。

格林函数法

n
r
0
dS
(5.2.8）
式（5.2.8）称为泊松方程的基本积分公式。但是它
的物理解释很困难，因此我们根据前面的格林函数互易定
理，并利用跟林函数的对称性，将上式改为：
u r0
G r0,r
u r
G
T0
r0,r
f
r0
dV0
0
G
r0,r
u r0 n0
n0 dS0（5.2.9）
G r0,r
u r
G r,r0
T0
f
r0
dV0 r0
0
n0 dS0
（2）第二类边值问题
（5.2.13）
14
对应下列格林函数的解：
u r f r
u
n
|
rp
（5.2.14）
G r, r0 r r0 G r, r0
n | 0
（5.2.15）
代入基本积分公式可得第二类边值问题的解的积
G(r, r0) G(r0, r)
上式表明，在位于r0处的脉冲（或点源）在一定边界条件下在r处产生的影响（或产生的场），等效于把脉冲（或点源）移至r处在同样边界条件下在r0处算产生的影响（或场），即物理场的互易性。
10
根据第二格林公式，得到：
u
r
G n
G
u r
n
dS
T
u rG Gr
u
r
0
T
G
r,
r
0
f
r
dV
1
r
G
r,
n
r0
dS
（5.2.19）
利用格林函数的互易性可得到互易后的解的积

数学物理第五章-格林函数法

则有
(P[, P(0P),P0)(P, P(1P),P10),]
P
(P,
P0
),
P
即
G(P, P0) (P, P0) (P, P1)
为上半空间的格林函数，且有
G(P, P0) (P, P0) (P, P1)
1(
4
1 (1 1)
4 r0 r1
1
(x )2 (y )2 (z )2
( x,
y)
1
0
x2 x2
0 y2 y2
1 1
的解并求出u(0, 0, a)的值(常数a 0)？
解由上半空间的泊松公式
1 )
(x )2 (y )2 (z )2
G 1 (
1
1
)
4 (x )2 ( y )2 (z )2 (x )2 ( y )2 (z )2
直接计算可得
G
G
1
n
z
z0
2
3
[(x )2 ( y )2 2 ]2
又
u(
,,
)
G n
ds
GfdV
1
2
(x, y)
3
R2 [(x )2 ( y )2 2 ]2
因此
u
B
n
ds
B
u
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
u
u
B
n
ds
B
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
其中 P(x, y, z ) B.------积分中值定理
同理可得
B
u n

微分方程格林函数法的研究

微分方程格林函数法的研究
微分方程格林函数法是一个非常具有挑战性的方法，用于求解非
线性、复杂的微分方程组。

它是由英国数学家格林在19世纪60年代
发明的，也被誉为“积分方程化解法”。

格林函数法利用“积分”的
思想去求解一组微分方程，把求解的复杂的微分方程组变成求解一组
数值的问题，最终把这一组数值解合成一个“格林函数”，并以此函
数为基础解微分方程组。

格林函数法的优势在于可以快速精确的求解复杂的微分方程组，
而且它可以在非常复杂的情况下求解微分方程组，如非线性的、多变
量的、不稳定的情况等。

此外，格林函数法还可以求解符号和数值混
合方程组，这在微分方程中是很少见的。

格林函数法的研究已经源远流长。

它一直是微积分学习者深入探
索的重要内容，更是理论物理学、数学物理学和动力系统分析的重要
工具。

在过去的几十年中，格林函数法已经被用于求解非线性的微分
方程，如传播方程、拟制数据的稳定性等。

随着信息技术的飞速发展，格林函数法也受到了广泛的应用，并在一些具有实际意义的复杂问题
上发挥重要作用，如气流扩散等。

总之，微分方程格林函数法已经成为解决复杂微分方程的一个重
要工具，它对微积分学习者和理论物理学家都有着重要的意义。

研究
者不仅可以借助格林函数法，来解决一些具有实际意义的微分方程，
而且应用在其他领域也有很好的效果，例如精确科学计算。

格林函数法

1 2π
x x0 2
z0
y
y0 2
z02
32
代入相应积分公式，
uM
0
z0
GM;M
0
f
M
dM
M
z0
GM;M
n
0
dS
可得
uM0
z0
1 4πrMM1
1 4πrMM0
f
M dM
M
z0
1
2π
x
x0 2
z0
y
y0 2
z02
32
dS
6.4.2 球域上的格林函数
在以原点为球心，以R为半径的球域内的格林函数满足
vΔudV
S
u
v n
dS
若令u=1，可得
ΔvdV
S
v n
dS
二维公式
平面格林公式
D
Q x
P y
d
C
Pdx
Qdy
或写成对弧长积分的形式
（5）
D
Q x
P y
d
Qn1
C
Pn2 ds
其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。
（6）
关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系
dy n1ds, dx n2ds
M0(x0,y0,z0)
y
M1(x0,y0,-z0)
应用举例
下面利用半空间格林函数给出定解问题
Δu 3u f,
z0 z0
解的积分表达式。
首先计算边界上的方向导数
G
M;M
0
1 4πrMM
0
1 4πrMM1
G G
n z0

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应的单位点源的电势解；原问题的解可以通过这个点源的解表示出来;
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林函数问题联系起来。一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
10/20/2014
格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
10/20/2014
几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��

格林函数法

数理方程第四章 格林函数法

格林函数法

第三章格林函数法

数学物理方法--格林函数法

数学物理方法12格林函数

数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]

格林函数法

第六章 格林函数法

第12章_格林函数法

Chapter4.1格林函数法

数学物理方程第四章 格林函数法

格林函数法

第十二章 格林函数法

格林函数方法

格林函数法

数学物理第五章-格林函数法

微分方程格林函数法的研究

格林函数法

数理方程第四章格林函数法

第六章格林函数法

数学物理方程第四章格林函数法

第十二章格林函数法