张量分析在弹性力学中的应用

张量分析在弹性力学中的应用

自然界的许多问题用数学语言来描述时都需要引入坐标系，但其本质又与坐标无关。当有些自然规律用坐标形式表达后，由于复杂的方程式往往使得人们忽略了它的内在本质。张量是一种特殊的数学表达形式，它描述的结果不会因为坐标系的变化而发生变化[1]，因此可以摆脱坐标系的影响，反应事物的本质。此外通过爱因斯坦求和约定、相关记法的规定等常用的表示方法，使得张量的表达形式变得十分简洁。

弹性力学，又称弹性理论，主要是研究弹性体在外力和其它外界因素作用下产生的应力、形变和位移，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。为了求得一定边界条件下物体的应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程，即平衡微分方程、几何方程和本构方程，共15个方程[2]。由于方程数目的众多，使得我们在分析过程中往往将大部分注意力集中在了方程的形式上，从而忽略问题的本质。

如果将张量引入到物体的应力、应变和位移中，关于弹性问题的15个方程都可以用相关的符号而不是展开式来表示，一方面可以使得书写简便，更重要的是可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身，从而深化对问题的分析[3,4]。

由于表达简洁、不会改变方程式的本质，张量分析得到了广泛的应用。黄勇对张量的概念做出了具体的分析[5]；林诚之利用张量的概念推导了形状比能的表达式[6]；赵超先[7]、黄晓琴[8]将张量应用于物理学中，利用应力张量对麦克斯韦磁场力进行了重新推导；明华军等利用监测得到的张量结果得到了岩体破裂面空间方位的计算方法[9]；杨天鸿等以现场岩体渗透结构面概率模型统计资料为依据，采用离散介质方法建立典型裂隙网络模型，提出计算岩体结构面网络的等效渗透系数张量方法[10]。

本文的目的并不是概述张量在工程中的应用，而是主要介绍张量在弹性力学中的应用，具体介绍弹性力学中基本方程的张量表达形式以及用张量概念推导的弹性应变能函数的表达式。

2 弹性力学中基本方程的张量表达形式[2,3,4]

2.1 用张量表示弹性力学中的基本物理量

对于空间问题，受力物体在外力作用下，物体的各个点都会长生相应的应

来表示

力、应变和位移。将受力物体上一点的应力状态用应力张量

ij

11121321

2223313233x xy xz ij yx y yz zx zy z σσσσττσσσστστσσσττσ⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1） 其中，,1,2,3i j =，下标1、2、3表示笛卡尔坐标，以下表达式中i ，j 的取值也是如此。对于ij σ，当i j =时表示正应力；i j ≠时，等表示剪切应力。

将受力物体上一点的位移用位移张量i u 来表示。

i u u v w ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2） 小应变条件下，受力物体一点的应变状态可以用应变张量ij ε来表示

1112

132122

233132

3311()()2211()

()2211()()22ij u

v u u w x

x y

z x v u v v w x y y z y u w v w w

z x

z y

z εεεεεεεε

εε⎛⎫∂∂∂∂∂++

⎪∂∂∂∂∂

⎪⎛⎫ ⎪

∂∂∂∂∂ ⎪==++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎪∂∂∂∂∂++ ⎪

∂∂∂∂∂⎝⎭

（3） 其中，对于ij ε，当i j =时表示正应变；i j ≠时表示剪应变。 2.2 弹性力学中的基本方程

（1）平衡方程

000xy x xz

x yx y yz

y zy zx z

z f x

y z f x y z f x y z τσττστττσ∂⎧∂∂+++=⎪

∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎩

（4） （2）几何方程

x y z xy

yz zx u v w x y z v u w v u w x y y z z x εεεγγγ∂∂∂⎧===⎪∂∂∂⎪

⎨

∂∂∂∂∂∂⎪=+=+=+⎪∂∂∂∂∂∂⎩

（5） （3）本构方程

1

() 1() 1() xy x x y z xy yz y y x z yz zx z z

x y zx E G E G E G τεσμσσγτεσμσσγτεσμσσγ⎧⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎪

⎪

⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪

⎪

⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩

（6） 2.3 将弹性力学中的基本方程用张量表示

利用应力张量，受力物体的平衡微分方程可简化为：, 0ij j i f σ+= （7） 利用应变张量，受力物体的几何方程可以简化为：(),,1

2

ij i j j i u u ε=+ （8）

物体的本构方程可以表示为：1ij ij ij E E

μμ

εσδσ+=- （9）

式中，ij δ为Kronecker 符号，112233x y z σσσσσσσ=++=++。

将式（4）、式（5）和式（6）与（7）、式（8）和式（9）进行对比，我

们可以发现将张量形式引入到弹性力学后，基本方程的表达式明显得到简化，当然简化的前提是我们对张量表示的应力、应变状态以及相应的张量计算规则达到一定的熟

通过将用张量形式表达后的弹性力学基本方程与原方程进行对比，可以发现张量的引入可以使得弹性力学中的相关表达式得到很大的简化，所表达的物理含义更加明显。

利用张量，推导了弹性体的弹性应变能函数。弹性应变能函数取决于物体的偏应力张量和球应力张量。