七年级数学下册《不等式与不等式组》经典例题分析
人教版数学七年级下册第九章不等式与不等式组基础知识点讲解+典型例题讲解.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画． 注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)． 要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m+≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．举一反三： 【变式】（2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B ．类型二、不等式的解及解集2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】D【解析】解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．故知x＝2不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】C【解析】解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:故选C．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4【答案】B类型三、不等式的性质4.（2015•浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【答案】C ． 【解析】解：A 、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B 正确； C 、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C 错误； D 、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D 正确； 故选：C ．【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 举一反三：【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：b ac ,a c b ,c b a >+>+>+移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->-> 即：三角形两边的差小于第三边．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】一元一次不等式的解法（基础）知识讲解【学习目标】1．理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式．【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些? (1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3)384x < (4)1x≥2 (5)2x+y ≤8 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数． 【答案与解析】解：(2)、(3)是一元一次不等式． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.（2015•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解：去括号，得2x+2﹣1≥3x +2， 移项，得2x ﹣3x≥2﹣2+1， 合并同类项，得﹣x≥1， 系数化为1，得x ≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三：【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为 ( )【答案】C3.（2015•巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变． 【答案与解析】解：去分母得，4（2x ﹣1）≤3（3x+2）﹣12， 去括号得，8x ﹣4≤9x+6﹣12， 移项得，8x ﹣9x≤6﹣12+4， 合并同类项得，﹣x≤﹣2， 把x 的系数化为1得，x≥2． 在数轴上表示为：．【总结升华】去分母时，不要漏乘没有分母的项． 举一反三： 【变式】若3511+-=x y ,14522--=x y ,问x 取何值时，21y y >． 【答案】 解：∵3511+-=x y ,14522--=x y , 若21y y >， 则有1452351-->+-x x即 6101<x ∴当6101<x 时，21y y >．4.关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集为x ≤-1，则a 的值是_________．【思路点拨】首先把a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a 的方程，解方程即可求解． 【答案】－１【解析】由已知得：12a x -≤，由112a -=-，得1a =-． 【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．举一反三：【变式1】如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l ，则a 的取值范围是________． 【答案】1a -<【变式2】已知关于x 的方程2233x m xx ---=的解是非负数，m 是正整数，求m 的值． 【答案】 解：由2233x m xx ---=，得x ＝22m -， 因为x 为非负数，所以22m-≥0，即m ≤2， 又m 是正整数，所以m 的值为1或2．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题； 2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系 1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100%⨯利润利润率进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.要点二、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点诠释：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B 型车 ”．这一点应十分注意． 【典型例题】类型一、行程问题1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外（包括100m ）的安全地区，导火索至少需要多长？ 【思路点拨】设导火索要xcm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解． 【答案与解析】解：设导火索要xcm 长，根据题意得：1000.85x ≥解得：答：导火索至少要16cm 长．【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离作为不等量关系列不等式求解． 类型二、工程问题2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？ 【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x 土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300-60=240土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，说明至多4天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式2403x≤ 解得x 即可知以后平均每天至少完成多少土方． 【答案与解析】解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得：30060621x---≤ 解得： x≥80答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方． 【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．举一反三： 【变式】（2014春•常州期末）某人计划20天内至少加工400个零件，前5天平均每天加工了33个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？【答案】解：设以后平均每天加工x 个零件，由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，解得：x≥2153． ∵x 为正整数， ∴x 取16．答：该工人以后平均每天至少加工16个零件．类型三、利润问题3.水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？ 【答案与解析】解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：1t ＝1000kg10001000(107)(107)20001022x ⨯-⨯+-⨯≥ 解得：8x ≥ 答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式． 举一反三： 【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折． 【答案】六.类型四、方案选择4.（2015•庆阳）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．【思路点拨】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得到方程组；即可解得结果；（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得不等式组即可得到结果．【答案与解析】解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元，y元，根据题意得：，解得：，答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；（2）设购进篮球m个，排球（100﹣m）个，根据题意得：，解得：≤m≤35，∴m=34或m=35，∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3xx>⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3xx<⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3xx<⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3xx>⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x>；（2）3x<-；（3）32x-<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1)313112123x xx x+<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x+>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x＜-2解不等式②，得x≥-5故原不等式组的解集为-5≤x＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12x≥-故原不等式组的解集为142x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：4376114376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x＜2121；不等式（2）的解集是：x＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x＜2121，因为x是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】。
人教版七年级数学下册第九章课题：第9章不等式与不等式组复习优秀教学案例
（三）学生小组讨论
在讲授完不等式与不等式组的知识后，我会组织学生进行小组讨论。我会提出一些具有挑战性的问题，如“如何解决一个复杂的不等式组？”让学生在小组内讨论、交流，共同寻找答案。通过小组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
针对七年级学生的认知特点，本案例旨在通过复习不等式与不等式组的相关知识，帮助学生巩固基本概念、性质及解法，提高他们在实际问题中运用不等式知识解决问题的能力。教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主学习、合作交流，达到对不等式知识的深度理解和灵活运用。同时，通过设置富有生活情境的例题，激发学生的学习兴趣，增强他们对数学知识的亲切感，从而提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
本节课的导入我会设计一个关于不等式在实际生活中的应用情境，如购物时遇到的折扣问题。通过展示实际案例，让学生思考如何利用不等式来解决问题，从而引出本节课的主题——不等式与不等式组的复习。这样的导入既能激发学生的学习兴趣，又能使他们认识到不等式在实际生活中的重要性。
（二）讲授新知
2.引导学生利用不等式的性质和规律，培养学生的推理能力和逻辑思维；
3.利用生活情境和实际问题，培养学生运用不等式知识解决问题的方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的热情；
2.培养学生克服困难的意志，增强学生面对挑战的自信心；
3.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队精神和合作意识；
4.使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的责任感和使命感。
七年级数学不等式组典型例题
七年级数学不等式组典型例题不等式组是数学中常见的一个概念，它涉及到不等式的集合。
在七年级的数学学习中，学生通常会学习如何解决一些典型的不等式组问题。
以下是一些七年级数学中常见的不等式组典型例题，帮助学生更好地理解和应用不等式组的知识。
例题1：求解不等式组：x + y > 10x - y < 5解析：首先我们可以通过图形法来解决这个问题。
我们将不等式转化为等式得到两条直线：x + y = 10和x - y = 5。
然后我们可以在坐标平面上画出这两条直线，并找出它们的交点。
交点的左侧区域就是不等式组的解集。
例题2：求解不等式组：2x + 3y ≤ 12x + 2y > 4解析：这个问题中的不等式组包含了一个不等式和一个不等式。
我们可以通过图形法来解决这个问题。
首先我们将两个不等式转化为等式得到两条直线：2x + 3y = 12和x + 2y = 4。
然后我们可以在坐标平面上画出这两条直线，并找出它们的交点。
交点的右侧区域就是不等式组的解集。
例题3：求解不等式组：3x - 2y < 6x + y > 2解析：这个问题中的不等式组包含了一个不等式和一个不等式。
我们可以通过代入法来解决这个问题。
首先我们解决第一个不等式3x - 2y < 6，我们可以选择一个合适的x值，然后计算出相应的y 值。
例如，当x = 1时，我们得到-2y < 3，即y > -3/2。
然后我们解决第二个不等式x + y > 2，我们选择一个合适的x值，计算出相应的y值。
例如，当x = 1时，我们得到1 + y > 2，即y > 1。
因此，不等式组的解集为x > 1且y > -3/2。
通过解决这些典型例题，学生可以更好地掌握不等式组的解题方法。
同时，这也为他们以后更复杂的不等式组问题的解决打下了坚实的基础。
七年级数学下册不等式与不等式组练习题
七年级数学下册不等式与不等式组练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．关于x 的不等式ax <-b 的解集x <2，则关于y 的不等式by >a 的解集为____2．已知关于x 的方程2(23)20mx m x m ---+=有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 3．已知3a ≤，则负整数=a _____．4．已知关于x ，y 的二元一次方程组235423x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩满足0x y ->，则a 的取值范围是____． 5．已知函数y ＝（2m ﹣4）x +m 2﹣9（x 是自变量）的图象只经过二、四象限，则m ＝_____． 6．若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．二、单选题7．在二元一次方程12x ＋y ＝8中，当y ＜0时，x 的取值范围是（ ）．A ．23x <B ．23x >-C ．23x >D ．23x <- 8．已知x a <的解中最大的整数解为3，则a 的取值范围为（ ）A ．34x <<B ．34x <≤C ．34x ≤<D ．34x ≤≤9．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；①若﹣1＜m ＜0，则21m m m <<；①若a +b ＜0，且0b a>，则33a b a b +=--；①若m 是有理数，则|m |+m 是非负数；①若c ＜0＜a ＜b ，则(a ﹣b )(b ﹣c )(c ﹣a )＞0；其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列解方程变形：①由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；①由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ①由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；①由344x =，得x ＝3．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个11．若关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 应满足（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a ≤且0a ≠ 12．已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．23b <≤ B ．34b <≤ C ．23b ≤< D ．34b ≤<三、解答题13．在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗.14．解方程：-314x x +＝．15．比较大小：和4；和12．参考答案：1．12y <- 【分析】根据不等式的性质可得b a-2=，0a >，进而可得0b <，据此即可求解． 【详解】解：①关于x 的不等式ax <-b 的解集x <2，①b x a<-，b a -2=，0a >， 0b ∴<，∴关于y 的不等式by >a 的解集为a y b<， 2b a=-， ①1=2a b - ∴关于y 的不等式by >a 的解集为12y <-． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，确定a b ，的符号以及2b a=-是解题的关键． 2．m ＜94且m ≠0##m ≠0且m ＜94 【分析】根据判别式①＞0时一元二次方程有两个不相等的实数根求解不等式即可．【详解】解：①关于x 的方程2(23)20mx m x m ---+=有两个不相等的实数根，①①=（2m -3）2-4m （-2+m ）=-4m +9＞0，且m ≠0，解得：m ＜94且m ≠0， 故答案为：m ＜94且m ≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解答的关键，注意二次项系数不为0．3．1-，2-，3-．【分析】直接根据绝对值的概念可得a 的取值范围，然后列举出负整数即可．【详解】①3a ≤，①33a -≤≤．①a 为负整数，①a 为1-，2-，3-．故答案为：1-，2-，3-．【点睛】此题主要考查绝对值的概念及一元一次不等式组的整数解，正确理解绝对值的概念是解题关键． 4．1a >．【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a 的代数式表示出x y -，再根据0x y ->，即可求得a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：235423x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩①②①-①，得33x y a -=-①0x y ->①330a ->，解得1a >，故答案为：1a >．【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 5．-3【分析】根据解析式是关于x 的一次函数，只经过二、四象限可知函数为正比例函数，k ＜0，b =0,列方程与不等式求解即可．【详解】解：函数y ＝（2m ﹣4）x +m 2﹣9是关于x 的一次函数，①函数y ＝（2m ﹣4）x +m 2﹣9（x 是自变量）的图象只经过二、四象限，①224090m m -⎧⎨-=⎩＜， 解得23m m ⎧⎨=±⎩＜， ①m =3＞2舍去，m =-3＜2,满足条件，①m=-3，故答案为-3．【点睛】本题考查一次函数的性质，正比例函数，解不等式，直接开平方法解一元二次方程，掌握一次函数的性质，正比例函数，解不等式，直接开平方法解一元二次方程是解题关键．6．1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可． 【详解】33122x x x-+=-- 去分母得：323x x -+-=-解得：1x =经检验，1x =是分式方程的解把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则． 7．C【解析】略8．B【分析】根据x a <的解中最大的整数解为3，则3x =是不等式的解，则3a >，同时4x =不是不等式的解，则4a ≤，从而求解．【详解】解：①x a <的解中最大的整数解为3，①3x =是不等式的解，则3a >，又①同时4x =不是不等式的解，则4a ≤，①34a <≤，故选B ．【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．C【分析】根据绝对值的性质，倒数的性质，不等式的性质，有理数的运算法则依次判断即可．【详解】①0没有倒数，①①错误．①﹣1＜m ＜0， ①1m＜0，2m ＞0， ①①错误．①a +b ＜0，且0b a＞，①a ＜0，b ＜0，①a +3b ＜0，①|a +3b |＝﹣a ﹣3b ．①①正确．①|m |≥﹣m ，①|m |+m ≥0，①①正确．①c ＜0＜a ＜b ，①a ﹣b ＜0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，①（a ﹣b ）（b ﹣c ）（c ﹣a ）＞0正确，①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查绝对值，倒数，不等式的性质，有理数的运算法则，正确掌握相关法则是求解本题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：①由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；①由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ①由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；①由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意； 综上，正确的是①，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11．D【分析】方程为一元二次方程，故a ≠0，再结合根的判别式：当24b ac -≥0时，方程有实数根；即可求解．【详解】解：①原方程为一元二次方程，且有实数根，①a ≠0，24b ac -≥0时，方程有实数根；①2(2)40a --≥，解得：a ≤1，①1a ≤且0a ≠，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当24b ac -≥0时，方程有实数根，当24b ac -<0时，方程无实数根．12．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．(1) −2<a<4;(2) 小于3【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．【详解】解：(1)根据题意得：|a −1|<3，得出−2<a <4，(2)由(1)得：到点B 的距离小于3的数在−2和4之间，①在−3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B 点的距离小于3.【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．14．x ＝32 或x ＝﹣54【分析】利用绝对值的性质，将方程转化为314xx +﹣＝或314x x +﹣＝﹣，再分情况讨论： 当3x +1＞0时可得到|3x +1|=3x +1；当3x +1＜0时可得到|3x +1|=-3x -1，分别求出对应的方程的解即可． 【详解】解：原方程式化为-314x x +＝或31-4xx +﹣＝， 当3x +1＞0时，即x ＞﹣13， 由-314x x +＝得-3-14x x ＝，①x ＝﹣52与x ＞﹣13 不相符，故舍去； 由-31-4x x +＝得314x x﹣﹣＝﹣，①x＝32，符合题意；当3x+1＜0时，即x＜﹣13，由-314x x+＝得314x x++＝，①x＝34与x＜﹣13不相符，故舍去；由-31-4x x+＝得314x x++＝﹣，①x＝﹣54，符合题意；故原方程的解是x＝32或x＝﹣54．【点睛】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．分类讨论是解题的关键．15．412<【分析】（1）根据无理数的估算即可得；（22，由此即可得．（1）解：1216<，4．（2）解：34<，<2，121<-11<，12<．【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题关键．。
2021年七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典习题(答案解析)
一、选择题1．若a b >，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．22ac ab >C ．c a c b -<-D ．a c b c +>+ B 解析：B【分析】根据不等式的性质逐一分析四个选项的正误即可得出结论．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴a-c ＞b-c ，选项A 成立；B 、22ac ab >不一定成立；C 、∵a ＞b ，∴a b -<-∴c a c b -<-，选项C 成立；D 、∵a ＞b ，∴a c b c +>+，选项D 成立．故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，牢记不等式的性质是解题的关键．2．已知实数a 、b ，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a b >，则 22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若33a b >，则22a b > B解析：B【分析】用特殊值举反例逐一判断即可．【详解】解：A 、当a=1，b=-2时，则2211,(2)4=-=， 221(2)<-，所以若a b >，则 22a b >不一定成立，故A 选项错误；B 、若a b >，则22a b >，故B 正确；C 、当a=1，b=-3时，则2211,(3)9=-=， 221(3)<-，所以若a b >，则22a b >不一定成立，故C 选项错误；D 、当a=1，b=-3时，则满足33a b >，但22a b <，所以若33a b >，则22a b >不一定成立，故D 选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．3．不等式-3＜a≤1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D． A解析：A【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．【详解】解：∵-3＜a≤1，∴1处是实心原点，且折线向左．故选：A．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握“小于向左，大于向右”是解题的关键．4．在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（）A．B．C．D． A解析：A【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集． 2(1–x)＜4去括号得：2﹣2ｘ＜4移项得：2x＞﹣2，系数化为1得：x＞﹣1，故选A．“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．不等式组64325xx x-<⎧⎨≥+⎩的解集是（）A．x≥5B．x≤5C．x＞3 D．无解A 解析：A【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．【详解】解：643 25xx x-<⎧⎨≥+⎩，解不等式①得：x＞34，解不等式②得：x ≥5，所以不等式组的解集是x ≥5，故答案为A ．【点睛】本题考查了解不等式组，正确求解每一个不等式和确定不等式组的解集是解答本题的关键．6．不等式组111x x -<⎧⎨≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． B解析：B【分析】先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可．【详解】 111x x -<⎧⎨-⎩①② 由不等式①组得，x<2∴不等式组的解集为：21x x ⎧⎨≥-⎩＜ 其解集表示在数轴上为，故选B ．【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．不等式组3213,23251223x x x x ++⎧≤+⎪⎨⎪->-⎩的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． C解析：C【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集，即可得到答案．【详解】解：3213232 51223x xx x++⎧≤+⎪⎨⎪->-⎩①②，解不等式①得：2x≥-；解不等式②得：3x>；将解集在数轴上表示为：，故选：C．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键．8．若关于x的不等式组3122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜-2 B．a≤-2 C．a＞-2 D．a≥-2D解析：D【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．【详解】解：3122 x ax x->⎧⎨->-⎩①②解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥-2．故选：D．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．9．若关于x的一元一次方程x−m+2=0的解是负数，则m的取值范围是A．m≥2B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2C解析：C【解析】试题分析：∵程x ﹣m+2=0的解是负数，∴x=m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ． 考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解．10．若关于x 的不等式组132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤≤B ．12a ≤<C ．12a <≤D ．12a << C 解析：C【分析】先解含参的不等式组，根据不等式组仅有四个整数解得到关于a 的不等式组，求解即可．【详解】解：132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩①②， 解不等式①，得1x a ≥-，解不等式②，得：4x ≤，∵不等式组仅有四个整数解，∴011a <-≤，解得12a <≤，故选：C ．【点睛】本题考查解不等式组，根据解集的情况得到关于a 的不等式组是解题的关键．二、填空题11．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A 、B 、C 三类糖果．已知一班分别购买 A 、B 、C 三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A 、B 、C 三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A 与C 单价差大于25元．则三班分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．296【分析】可设A 单价x 元B 单价y 元由三类糖果单价和为108元得C 单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得xy 的关系式再由A 与C 单价差大于25元可得一元一次不等式根据各单价是低于50元解析：296【分析】可设A 单价x 元，B 单价y 元，由三类糖果单价和为108元得C 单价；再由一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2，可得x 、y 的关系式，再由A 与C 单价差大于25元，可得一元一次不等式，根据各单价是低于50元/千克的整数求出符合题意的解即可【详解】解：设A 单价x 元，B 单价y 元三类糖果单价和为108元得C 单价为（108-x-y ）元又一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2可得：325(108)324(108)2x y x y x y x y ++--=++-- 整理可得：2x+3y=216①又A 与C 单价差大于25元，即x-（108-x-y ）>25整理可得：2x+y>133,将①中的2x 代入可得：y<41.5又A 、B 、C 三类糖果单价是低于50元/千克的整数，故：若y=41，代入①得x=46.5，不符合题意若y=40，代入①得x=48，符合题意若y=39，代入①得x=49.5，不符合题意若y=38，代入①得x=51，不符合题意y 越小，x 越大，故后面x 的结果均大于50，不符合题意故x=48，y=40,108-x-y=20由上可知：A 类糖果的单价是48元B 类糖果的单价是40元C 类糖果的单价是20元故分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为：48×2+40×3+20×4=296（元）故答案为：296【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，利用条件建立一元一次不等式并结合题意准确得到A 、B 、C 三类糖果的单价是解本题的关键12．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =；③22()a b c =+ ④||||||||a b c abc a b c abc +++的值为0或2； ⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >．其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．②③⑤【分析】①根据a+b+c=0且a ＞b ＞c 推出a ＞0c ＜0即可判断；②根据a+b+c=0求出a=-（b+c ）又ax+b+c=0时ax=-（b+c ）方程两边都除以a 即可判断；③根据a=-（b+c ） 解析：②③⑤【分析】①根据a +b +c =0，且a ＞b ＞c 推出a ＞0，c ＜0，即可判断；②根据a +b +c =0求出a =-（b +c ），又ax +b +c =0时ax =-（b +c ），方程两边都除以a 即可判断；③根据a=-（b+c）两边平方即可判断；④分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出aa+bb+cc-+abcabc-，求出结果，当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号得出aa+bb-+cc-+abcabc，求出结果，即可判断；⑤求出AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，根据b＜0利用不等式的性质即可判断．【详解】解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴①错误；∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，a=-（b+c），∵ax+b+c=0，∴ax=-（b+c），∴x=1，∴②正确；∵a=-（b+c），∴两边平方得：a2=（b+c）2，∴③正确；∵a＞0，c＜0，∴分为两种情况：当b＞0时，aa+bb+cc+abcabc=aa+bb+cc-+abcabc-=1+1+（-1）+（-1）=0；当b＜0时，aa+bb+cc+abcabc=aa+bb-+cc-+abcabc=1+（-1）+（-1）+1=0；∴④错误；∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，∴a＞0，c＜0，a=-b-c，∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，∵b＜0，∴-3b＞0，∴-3b+b-c＞b-c，∴AB＞BC，∴⑤正确；即正确的结论有②③⑤．故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了比较两线段的长，数轴，有理数的加法、除法、乘方，一元一次方程的解，绝对值等知识点的综合运用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．13．不等式21302x--的非负整数解共有__个．4【分析】不等式去分母合并后将x系数化为1求出解集找出解集中的非负整数解即可【详解】解：解得：则不等式的非负整数解为0123共4个故答案为：4【点睛】此题考查了一元一次不等式的非负整数解熟练掌握运算解析：4【分析】不等式去分母，合并后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．【详解】解：2130 2x--，2160x--，27x，解得： 3.5x，则不等式的非负整数解为0，1，2，3共4个．故答案为：4．【点睛】此题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．不等式组2173112xxx-<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩的解集是____．1≤x＜4【分析】分别求出每一个不等式的解集再找到公共部分即可得【详解】解：解不等式①得x＜4解不等式②得x≥1所以不等式组的解集为：1≤x＜4故答案为：1≤x＜4【点睛】此题主要考查了求一元一次不解析：1≤x＜4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．【详解】解：217?311?2xxx-<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①得，x＜4，解不等式②得，x≥1，所以，不等式组的解集为：1≤x＜4．故答案为：1≤x＜4．【点睛】此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．15．如果点P （3m +6，1+m ）在第四象限，那么m 的取值范围是_____．﹣2＜m ＜﹣1【分析】根据各象限内坐标符号特征列出不等式组然后解不等式组即可解答【详解】解：∵点P （3m+61+m ）在第四象限∴即解得：﹣2＜m ＜﹣1故答案为：﹣2＜m ＜﹣1【点睛】本题考查各象限内解析：﹣2＜m ＜﹣1【分析】根据各象限内坐标符号特征列出不等式组，然后解不等式组即可解答【详解】解：∵点P （3m +6，1+m ）在第四象限，∴3601+0m m +>⎧⎨<⎩即21m m >-⎧⎨<-⎩， 解得：﹣2＜m ＜﹣1，故答案为：﹣2＜m ＜﹣1．【点睛】本题考查各象限内坐标符号特征、解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标符号特征是解答的关键．16．不等式12x -<的正整数解是_______________．12【分析】先求出不等式的解集再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可【详解】解：∴∴正整数解为：12故答案为：12【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解属于基础题关键是根据解集求出符合条件的解解析：1，2．【分析】先求出不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【详解】解：12x -<∴3x <∴正整数解为：1，2．故答案为：1，2．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，属于基础题，关键是根据解集求出符合条件的解．17．已知关于x 的不等式组010x a x -≥⎧⎨->⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是________．【分析】表示出不等式组的解集由不等式组整数解有3个确定出a 的范围即可【详解】不等式组整理得：即由不等式组整数解有3个得到故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解熟练掌握运算法则是解本题的解析：32a -<≤【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组整数解有3个，确定出a 的范围即可．【详解】不等式组整理得：1x a x ≥⎧⎨<⎩，即1a x ≤<， 由不等式组整数解有3个，得到32a -<≤-，故答案为：32a -<≤-．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．若不等式组30x a x >⎧⎨-≤⎩只有三个正整数解，则a 的取值范围为__________．【分析】先确定不等式组的整数解再求出的取值范围即可【详解】∵不等式组只有三个正整数解∴故答案为：【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键解析：01a ≤<【分析】先确定不等式组的整数解，再求出a 的取值范围即可．【详解】30x a x >⎧⎨-≤⎩30x -≤3x ≤∵不等式组只有三个正整数解∴01a ≤<故答案为：01a ≤<．【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键． 19．已知a ＞b ，则15a +c _____15b +c （填“＞”“＜”或“＝”）．>【分析】根据不等式的性质求解即可15>0所以不等式两端同时乘15时不改变不等号的方向【详解】∵a ＞b15>0∴15a ＞15b ∴15a+c ＞15b+c 故答案为>【点睛】本题考查了不等式的性质熟记不等解析：>【分析】根据不等式的性质求解即可，15>0，所以不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向．【详解】∵a ＞b ，15>0∴15a ＞15b∴15a+c ＞15b+c故答案为>．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式两端同时乘或除一个负数时，符号改变是本题的关键．20．若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩恰有四个整数解，则a 的取值范围是_________.3≤a ＜4【分析】求出每个不等式的解集根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3求出不等式的解集即可得答案【详解】解不等式①得：x≥-a 解不等解析：3≤a ＜4【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3，求出不等式的解集即可得答案．【详解】0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩①② 解不等式①得：x≥-a ，解不等式②x ＜1，∴不等式组得解集为-a≤x ＜1，∵不等式组恰有四个整数解，∴-4＜-a≤-3，解得：3≤a ＜4，故答案为：3≤a ＜4【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解题关键．三、解答题21．解不等式组103124x x +≥⎧⎪⎨-<⎪⎩，并把它的解集表示在数轴上．解析：13x -≤<，在数轴上表示见解析．【分析】先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别画出x 的取值，它们的公共部分就是不等式组的解集．【详解】 解：103124x x +≥⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 由①得：1x ≥-由②得：318x -<，∴3x <，∴不等式组的解集为13x -≤<在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x 是否取得到，若取得到则x 在该点是实心的．反之x 在该点是空心的．22．某县举办运动会需购买A ，B 两种奖品，若购买A 种奖品5件和B 种奖品2件，共需80元；若购买A 种奖品3件和B 种奖品3件，共需75元．（1）求A 、B 两种奖品的单价各是多少元？（2）大会组委会计划购买A ．B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围，以及确定最少费用W 的值．解析：（1）A 、B 两种奖品的单价分别是10元、15元；（2）1015(100)W m m =+-，7075m ≤≤，当75m =时，W 有最小值为1125．【分析】（1）设A 种奖品的单价是x 元，B 种奖品的单价是y 元，根据“钱数=A 种奖品单价×数量+B 种奖品单价×数量”可列出关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设购买A 种奖品m 件，则购买B 种奖品（100m -）件，根据购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，可列出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m 的取值范围，再结合数量关系即可得出W 与m 之间的函数关系，根据一次函数的性质既可以解决最值问题．【详解】解：（1）设A 、B 两种奖品的单价分别为x 、y 元则52803375x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1015x y =⎧⎨=⎩∴A 、B 两种奖品的单价分别是10元、15元．（2）设购买A 种奖品m 件，则B 为（100m -）件由题意得：3(100)1015(100)1150m m m m ≤-⎧⎨+-≤⎩， 解得：7075m ≤≤1015(100)W m m =+-15005m =-∵50-<，∴W 随m 的增加而减少，当75m =时，W 有最小值为1125．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）列出关于x 、y 的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出W 关于m 的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、函数关系或不等式组）是关键．23．近两年，重庆市奉节县紧紧围绕“村有骨干产业、户有致富门路”的发展思路，大力实施农产品产业扶贫项目，实现助农增收其中“乡坛子”什锦套菜礼盒、奉节脐橙10km 装广受好评，单价分别为100元/盒和60元/盒．（1）某公司大力响应扶贫政策，准备用不低于15000元购买什锦套菜礼盒、奉节脐橙共200盒，则至少购入什锦套菜礼盒多少盒？（2）2021年春节将至，该公司准备再次购入以上两种产品作为员工新春福利．恰逢“学习强国”重庆学习平台开展“党员直播带货、‘渝’你抗疫助农”扶贫农产品公益直播活动．直播中，什锦套菜礼盒以原价8折销售，该公司购买数量在（1）问最少数量的基础上增加了5%2m ；奉节脐橙售价比原价降低了815m 元，购买数量在（1）问奉节脐橙最多数量的基础上增加了40%．该公司在直播间下单后实际花费比（1）问中最低花费增加2350元，求m 的值．解析：（1）至少购入什锦套菜礼盒75盒；（2）15m =．【分析】（1）设购进什锦套菜礼盒x 盒，则购进奉节脐橙礼盒（200-x ）盒，根据总价值不低于15000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）根据销售总价=销售单价×销售数量结合题意可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设购进什锦套菜礼盒x 盒，则购进奉节脐橙礼盒（200-x ）盒，根据题意得：()6020010015000x x -+≥，解得：75x ≥．答：至少购入什锦套菜礼盒75盒；（2）根据题意得：()()5810080%751%6020075140%150002350215m m ⎛⎫⎛⎫⨯⨯++--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：1708503m =， 解得：15m =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．24．某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？解析：（1）一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）25个【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x 元，一个乙种笔记本需y 元列二元一次方程组解答； （2）设需要购买a 个甲种笔记本，列不等式解答．【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x 元，一个乙种笔记本需y 元，15202501025225x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得105x y =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元．（2）设需要购买a 个甲种笔记本，105(35)300a a +-≤，解得：25a ≤，答：至多需要购买25个甲种笔记本．【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 25．某社区要进行十九届五中全会会议精神宣讲，需要印刷宣传材料。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组题型总结及解题方法
七年级数学下册第九章不等式与不等式组题型总结及解题方法单选题1、对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( )A．②③④B．①②④C．①③④⑤D．①③④答案：D分析：①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证，证实或证伪；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④把方程问题转化为不等式问题；⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值．对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确；对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确；对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确；对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确；对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2；当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1；当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1．故[1+a]-[1-a]的值为-1或1或-2，故⑤不正确．综上所述，正确的是①③④故选：D．小提示：本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．2、斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路，某人行横道全长24米，小明以1.2m/s 的速度过该人行横道，行至13处时，9秒倒计时灯亮了，小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（ ）A ．1.1倍B ．1.4倍C ．1.5倍D ．1.6倍答案：C分析：已经行至13，说明还剩24×(1−13)路程，设提速后的速度为x ，依题意列出不等式并求出解集即可． 解：设提速后的速度为x ，依题意可得9x ≥24×(1−13)， 解得x ≥169，则x ÷1.2≥4027≈1.48，故选：C ． 小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，依题意能列出不等式并求出提速后的速度是解决问题的关键．3、关于x 的不等式{2(x −1)＞4a −x ＜0的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为（ ） A ．a ＞3B ．a ＜3C ．a ≥3D ．a ≤3答案：D分析：先解第一个不等式得到x ＞3，由于不等式组的解集为x ＞3，则利用同大取大可得到a 的范围． 解：解不等式2（x -1）＞4，得：x ＞3，解不等式a -x ＜0，得：x ＞a ，∵不等式组的解集为x ＞3，∴a ≤3．故选：D小提示：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0答案：A解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、已知a <b ，下列式子不一定成立的是（ ）A ．a −1<b −1B ．−2a >−2bC ．12a +1<12b +1D ．ma >mb答案：D分析：根据不等式的性质解答．解：A 、不等式a ＜b 的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B 、不等式a ＜b 的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即−2a >−2b ，故本选项不符合题意；C 、不等式a ＜b 的两边同时乘以12，不等式仍成立，即：12a <12b ，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即12a +1<12b +1，故本选项不符合题意；D 、不等式a ＜b 的两边同时乘以m ，当m>0，不等式仍成立，即ma <mb ；当m<0，不等号方向改变，即ma >mb ；当m=0时，ma =mb ；故ma >mb 不一定成立，故本选项符合题意，故选：D ．小提示：本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．6、实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a <−2B ．|a |<|b |C ．−a <−bD ．ab >0答案：D分析：先根据数轴的性质可得−2<a <b <0，再根据绝对值的性质、不等式的性质、有理数乘法法则逐项判断即可得．解：由数轴的性质得：−2<a<b<0．A、a>−2，此项错误，不符题意；B、|a|>|b|，此项错误，不符题意；C、−a>−b，此项错误，不符题意；D、ab>0，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了数轴、绝对值、不等式的性质、有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．7、不等式组{x−2≤0x+3>0的解集是（）A．-3<x≤2B．-3≤x<2C．x≥2D．x<−3答案：A分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：{x−2≤0①x+3>0②解不等式①得：x ⩽ 2，解不等式②得：x>−3，∴不等式组的解集为：−3<x⩽2，故选：A．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8、已知x=m+15，y=5−2m，若m>−3，则x与y的关系为（）A．x=y B．x>y C．x<y D．不能确定答案：B分析：根据题意，直接利用作差法进行计算，得x−y=3m+10，比较3m+10与0的大小，即可得到答案．解：∵x−y=m+15−(5−2m)=3m+10，∵m>−3，∴3m>−9．∴3m +10>1>0．∴x >y ．故选：B ．小提示：本题考查了有理数的比较大小，以及代数式的变形和不等式的解法，难度适中．解题的关键是熟练掌握作差法比较大小．9、对于三个数字a ，b ，c ，用max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝{a,(a ≥−1)−1,(a <−1),如果max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则x 的取值范围是（ ） A ．23≤x≤92B ．52≤x≤4C ．23＜x ＜92D ．52＜x ＜4答案：B分析：根据max{a ，b ，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，可得不等式组{3≥8−2x 3≥2x −5，可得结论. ∵max{3，8﹣2x ，2x ﹣5}＝3，则{3≥8−2x 3≥2x −5， ∴x 的取值范围为：52≤x≤4，故选：B ．小提示：本题考查了不等式的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键．10、在数学表达式：−3<0，a +b ，x =3，x 2+2xy +y 2，x ≠5，x +2>y +3中，是一元一次不等式的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：A分析：一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；a +b 是整式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1个故选：A．小提示：本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．填空题11、某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的______折出售．答案：七##7分析：设按标价的x折出售，利用利润=售价-成本，结合利润不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．解：设按标价的x折出售−800≥800×5%由题意得：1200×x10解得：x≥7∴最低可按标价的7折出售故答案为7小提示：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．12、如果不等式2x－m≤0的正整数解共3个，则m的取值范围是________．答案：6≤m＜8分析：先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．解：移项，得：2x＜m，系数化为1，得：x＜m，2∵不等式2x-m ＜0只有三个正整数解，∴3≤m 2＜4， 解得：6≤m ＜8，故答案为6≤m ＜8．小提示：本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解的应用，能得出关于m 的不等式组是解此题的关键．13、不等式12x −3>−14−52x 的最小负整数解______．答案：-3分析：移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．解：12x −3>−14−52x ， 移项，得12x +52x >−14+3， 合并同类项，得3x ＞-11，系数化成1，得x ＞−113，所以不等式的最小负整数解是-3，所以答案是：-3．小提示：本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．14、有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．答案：39或44或49分析：可设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，列出不等式组为0＜5x ＋14−8（x−1）＜8解出即可． 设共有x 间宿舍，则学生数有（5x ＋14）人，根据题意得：0＜5x ＋14−8（x−1）＜8，解得143＜x ＜223，∵x 为整数，∴x ＝5或6或7，即学生有5x ＋14＝39或5x ＋14＝44或5x ＋14＝49．即，学生人数是39或44人或49；所以答案是：39或44或49．小提示：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确的解不等式组是需要掌握的基本能力．15、a 与b 的差是非负数，列出不等式为_______．答案：a -b ≥0．分析：先作差，然后根据非负列出不等式即可．解：由题意可得：a -b ≥0．故答案为a -b ≥0．小提示：本题主要考查了列不等式，理解非负的意义是解答本题的关键．解答题16、已知关于x 的不等式组{5x +1>3(x -1),12x ≤8-32x +2a 恰有两个整数解,求实数a 的取值范围. 答案：-4≤a<-3.试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a 的不等式组求得a 的范围．试题解析：解：由5x +1＞3（x ﹣1）得：x ＞﹣2，由12x ≤8﹣32x +2a 得：x ≤4+a ．则不等式组的解集是：﹣2＜x ≤4+a ．不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．根据题意得：0≤4+a ＜1．解得：﹣4≤a ＜﹣3．点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17、某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A ，B 两种型号的新型公交车，已知购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．(1)求A 型公交车和B 型公交车每辆各多少万元？(2)公交公司计划购买A 型公交车和B 型公交车共140辆，且购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A 型公交车？答案：(1)A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)80分析：（1）设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意：购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140-m ）辆B 型公交车，由题意：购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．(1)解：设A 型公交车每辆x 万元，B 型公交车每辆y 万元，由题意得：{x +2y =1652x +3y =270， 解得：{x =45y =60， 答：A 型公交车每辆45万元，B 型公交车每辆60万元；(2)解：设该公司购买m 辆A 型公交车，则购买（140﹣m ）辆B 型公交车，由题意得：45m ≤60（140﹣m ），解得：m ≤80，答：该公司最多购买80辆A 型公交车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18、某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？ 答案：（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析分析：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数，即可得出各租车方案．解：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，依题意得：{30x +50y =150020x +60y =1400， 解得：{x =25y =15． 答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．（2）设租用m 辆甲型货车，则租用(70−m)辆乙型货车，依题意得：{25m +15(70−m)≤124570−m ≤3m， 解得：352≤m ≤392． 又∵m 为整数，∴m 可以取18，19，∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。
山东省济南第一中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典练习(含答案解析)
一、选择题1．已知关于x 的不等式组15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩的解集是3≤x ≤5，则+a b 的值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12D解析：D【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再根据不等式组的解集列出求出a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】 15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩①②， 由①得，x≥a ＋1，由②得，x≤b−5，∵不等式组的解集是3≤x≤5，∴a ＋1＝3，b−5＝5，解得a ＝2，b ＝10，所以，a ＋b ＝2＋10＝12．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．2．不等式组1322<4x x ->⎧⎨-⎩的解集是（ ） A ．4x >B ．1x >-C ．14x -<<D ．1x <-A解析：A【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．【详解】解：解不等式13x ->得4x >，解不等式224x -<得1x >-，∴不等式组的解集为4x >．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．已知关于x 的不等式组3x 05m x +⎧⎨-⎩＜＞的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（ ）A ．3≤m ＜6B ．4≤m ＜8C ．3≤m ＜6或-6≤m ＜-3D ．3≤m ＜6或-8≤m＜-4C解析：C【分析】 先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．【详解】 解原不等式得：35m x x ⎧<-⎪⎨⎪>-⎩，即53m x -≤<-， 由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1， 当整数为-4，-3，-2时，则13m -2<-≤-，解得：36m ≤<， 当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则23m 1<-≤，解得：63m -≤<-， 故选：C ．【点睛】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键． 4．程序员编辑了一个运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x 到结果是否75>”为一次程序操作，如果要程序运行两次后才停止，那么x 的取值范围是（ ）A ．18x >B ．37x <C ．1837x <<D ．1837x <≤ D解析：D【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于75，第二次运算结果大于75列出不等式组，然后求解即可．【详解】 由题意得，()2175221175x x +≤⎧⎪⎨++>⎪⎩①②， 解不等式①得：37x ≤，解不等式②得：18x >，∴1837x <≤，故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．5．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． B解析：B【分析】 由点()121M m m --，在第四象限,可得出关于m 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出m 的取值范围,再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：由点()121M m m --，在第四象限，得1-2010m m >⎧⎨-<⎩， ∴0.51m m <⎧⎨<⎩即不等式组的解集为：0.5m <，在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】此题考查了象限及点的坐标的有关性质、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，需要综合掌握其性质6．不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． A 解析：A【分析】先解出不等式组的解集，然后再根据选项解答即可．【详解】解：由题意可得：不等式组的解集为：21x ， 在数轴上表示为：故答案为A.【点睛】本题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，在表示解集时“≥”或“≤”要用实心圆点表示，“<”，“>”要用空心圆点表示成为解答本题的关键．7．若关于x 的不等式组327x x a-<⎧⎨<⎩的解集是x a <，则a 的取值范围是（ ）． A ．3a B ．3a > C ．3a D ．3a < C 解析：C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得a 的范围．【详解】解：327x x a -<⎧⎨<⎩①②， ①式化简得：39,3x x << 又∵该不等式的解集为x a <， ∴3a ．故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．若01x <<，则下列选项正确的是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<< C 解析：C【分析】利用不等式的基本性质，分别求得x 、x 2及1x 的取值范围，然后比较，即可做出选择． 【详解】解：∵0＜x ＜1，∴0＜x 2＜x （不等式两边同时乘以同一个大于0的数x ，不等号方向不变）；0＜1＜1x（不等式两边同时除以同一个大于0的数x ，不等号方向不变）； ∴x 2＜x ＜1x． 故选：C ．【点睛】 考查了有理数大小比较，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数或式子，不等号方向不变；基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数或式子，不等号方向改变．9．若x (x +a )＝x 2﹣x ，则不等式ax +3＞0的解集是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣3D ．x ＜﹣3B 解析：B【分析】直接利用单项式乘多项式得出a 的值，进而解不等式得出答案．【详解】解：∵x （x +a ）＝x 2﹣x ，∴x 2+ax ＝x 2﹣x ，∴a ＝﹣1，则不等式ax +3＞0即为﹣x +3＞0的解集是：x ＜3．故选：B ．【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式以及解不等式，正确得出a 的值是解题关键．10．已知a<b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）A ．a+2<b+2B ．22ac bc <C ．1122a b <D ．-2a-1-2b-1> B解析：B【分析】根据不等式的性质逐项排除即可．【详解】解：∵a<b∴a+2<b+2成立，则A 选项不符合题意；当c=0时，22ac bc =，则B 选项符合题意； 1122a b <成立，则C 选项不符合题意； -2a-1-2b-1>成立，则D 选项不符合题意．故答案为B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式左右两边同时加（减）一个数（式）不等式符号不变；②给不等式左右两边同时乘（除）一个不为零的数（式），当该数（式）大于零时不等式符号不变，反之改变．二、填空题11．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是_________．【分析】先求出每个不等式的解集然后得到不等式组的解集再求出整数解即可【详解】解：解不等式①得；解不等式②得；∴不等式组的解集为：；∴不等式组的整数解是；故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组解析：4x =-【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再求出整数解即可．【详解】 解：3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②， 解不等式①，得4x ≤-；解不等式②，得5x >-；∴不等式组的解集为：54x -<≤-；∴不等式组的整数解是4x =-；故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行解题．12．关于x 的不等式组x 5x a≤⎧⎨>⎩无解，则a 的取值范围是________.【分析】根据不等式组确定解集的方法：大大小小无解了解答即可【详解】∵关于的不等式组无解∴故答案为：【点睛】此题考查一元一次不等式组的解集的确定方法：同大取大同小取小大小小大中间找大大小小无解了解析：a 5≥【分析】根据不等式组确定解集的方法：大大小小无解了解答即可.【详解】∵关于x 的不等式组x 5x a ≤⎧⎨>⎩无解， ∴a 5≥，故答案为：a 5≥.【点睛】此题考查一元一次不等式组的解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. 13．已知不等式组43103x x a -≤≤-⎧⎪⎨->⎪⎩有解，那么a 的取值范围是___________．【分析】先求出不等式组中第二个不等式的解再结合数轴根据不等式组有解即可得【详解】解得：在数轴上表示两个不等式的解如下：要使不等式组有解则解得故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解熟练掌握不解析：1a <-【分析】先求出不等式组中第二个不等式的解，再结合数轴，根据不等式组有解即可得．【详解】 解103x a ->得：3x a >， 在数轴上表示两个不等式的解如下：要使不等式组有解，则33a <-，解得1a <-，故答案为：1a <-．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．14．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．4x-13【分析】的4倍与1的差即4x-1不大于就是据此列不等式【详解】由题意得4x-13故答案为：4x-13【点睛】此题考查列不等式正确理解语句是解题的关键解析：4x-1≤3，【分析】x 的4倍与1的差即4x-1，不大于就是≤，据此列不等式．【详解】由题意得4x-1≤3，故答案为：4x-1≤3．【点睛】此题考查列不等式，正确理解语句是解题的关键．15．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可【详解】解：∵∴解得m=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成解析：-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可．【详解】解：∵||1(2)3m m x --= ∴2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得m=-2． 故答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成为解答本题的关键．16．关于x ，y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＞﹣1，则m 的取值范围是_____．【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得再代入可得一个关于m 的一元一次不等式然后解不等式即可得【详解】两个方程相加得：即由题意得：解得故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组一元一次不等式熟练掌解析：3m <【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得2x y m +=-+，再代入1x y +>-可得一个关于m 的一元一次不等式，然后解不等式即可得．【详解】23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩， 两个方程相加得：3336x y m +=-+，即2x y m +=-+，由题意得：21m -+>-，解得3m <，故答案为：3m <．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的特殊解法是解题关键．17．若不等式00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为23x <<，则a ，b 的值分别为_______________．【分析】由于不等式组有解则解不等式组得到-a ＜x ＜b 然后与2＜x ＜3进行对比即可确定a 和b 的值【详解】解：∵不等式组的解集为2＜x ＜3而解不等式组得-a ＜x ＜b ∴-a=2b=3即a=-2b=3故答案解析：2a =-、3b =【分析】由于不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩有解，则解不等式组得到-a ＜x ＜b ，然后与2＜x ＜3进行对比即可确定a 和b 的值．【详解】解：∵不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为2＜x ＜3， 而解不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩得-a ＜x ＜b ， ∴-a=2，b=3，即a=-2，b=3．故答案为：2a =-、3b =．【点睛】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．18．由ac bc >得到a b <的条件是：c ______0（填“>”“<”或“=”）．【分析】根据不等式的性质两边同时除以c （c<0）即可得到【详解】根据不等式的性质：由得到的条件是：c<0故答案为：<【点睛】此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)不等解析：<【分析】根据不等式的性质，两边同时除以c （c<0）即可得到．【详解】根据不等式的性质：由ac bc >得到a b <的条件是：c<0，故答案为：<．【点睛】此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘(或除)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．19．若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩恰有四个整数解，则a 的取值范围是_________.3≤a ＜4【分析】求出每个不等式的解集根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3求出不等式的解集即可得答案【详解】解不等式①得：x≥-a 解不等解析：3≤a ＜4【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有四个整数解得出不等式组-4＜-a≤-3，求出不等式的解集即可得答案．【详解】0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩①②解不等式①得：x≥-a ，解不等式②x ＜1，∴不等式组得解集为-a≤x ＜1，∵不等式组恰有四个整数解，∴-4＜-a≤-3，解得：3≤a ＜4，故答案为：3≤a ＜4【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解题关键．20．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________．a ＜-2【解析】试题解析：a ＜-2．【解析】试题32{34x y a x y a +=++=-①②由①-②×3，解得2138a x +=-； 由①×3-②，解得678a y +=； ∴由x+y ＞2，得2136788a a ++-+＞2， 解得，a ＜-2． 考点：1解一元一次不等式；2．解二元一次方程组．三、解答题21．某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．（2）如果甲、乙两种汽车每辆车的租车费用分别为2500元和2000元，请你选择最省钱的一种方案．解析：（1）共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆；（2）最省钱的租车方案为：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆．【分析】（1）可根据租用甲、乙两种型号的汽车座位总数不小于290，可载行李总数不小于100件列出不等式组，求出x 的取值，看在取值范围中x 可取的整数的个数即为方案数．（2）根据（1）中方案分别计算甲、乙所需要的费用，然后比较，花费较少的即为最省钱的租车方案．【详解】解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车()8x -辆．由题意得：()()4030829010208100x x x x ⎧+-≥⎪⎨+-≥⎪⎩解得：56x ≤≤．即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）租汽车的总费用为：()25002000850016000x x x +-=+（元）当x 取最小值时，总费用最省，因此当5x =时，总费用最省当5x =时，总费用为：50051600018500⨯+=元最省钱的租车方案为方案一：租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆．【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式组的应用，找出题目的不等关系是解题的关键． 22．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．（2）哪种方案更省钱？并说明理由．解析：（1）有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；（2）购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱【分析】（1）设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号（10﹣x ）台，由不等量关系购买A 型号的费用+购买B 型号的费用≤136；A 型号每月处理的污水总量+B 型号每月处理的污水总量≥2150，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．【详解】设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号（10﹣x ）台，根据题意，得1512(10)136250200(10)2150x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩， 解这个不等式组，得：1353x ≤≤．∵x 是整数，∴x=3或x=4或x=5．当x=3时，10﹣x=7；当x=4时，10﹣x=6；当x=5时，10-x=5．答：有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备； 第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；（2）当x=3时，购买资金为15×3+12×7=129（万元），当x=4时，购买资金为15×4+12×6=132（万元），当x=5时，购买资金为15×5+12×5=135（万元）．因为135＞132>129，所以应购污水处理设备A 型号3台，B 型号7台．答：购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱．【点睛】此题考查方案类不等式组的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意，根据题意列得不等式组是解题的关键．23．（1）解方程组：43220x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 解析：（1）12x y =-⎧⎨=⎩；（2）25x ≤<． 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；（2）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．【详解】（1）43220x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①2-⨯②得：322y y -=，解得2y =，将2y =代入②得：220x +=，解得1x =-，则方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩； （2）3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：5x <，解不等式②得：2x ≥，则不等式组的解为25x ≤<．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键．24．某物流公司在疫情期间，要将300吨防疫物资运往某地，现有A 、B 两种型号的汽车可供调用．已知A 型汽车每辆比B 型车可多装5吨．6辆A 型车与2辆B 型车刚好能装完150吨物资．要求在每辆车不超载的条件下，把300吨防疫物资装运完．（1）求A 型车、B 型车各能装多少吨物资？（2）若确定调用5辆A 型车，则至少还需调用B 型车多少辆？解析：（1）B 型车能装15吨，A 型车能装20吨；（2）14辆【分析】（1）设B 型车能装x 吨，根据题意列出方程，解之即可；（2）设还需调用y 辆B 型车，根据题意列出不等式，解之即可．【详解】解：（1）设B 型车能装x 吨，A 型车能装(5)x +吨，则有6(5)2150x x ++=，解得15x =，所以B 型车能装15吨，A 型车能装20吨；（2）设还需调用y 辆B 型车，则有20515300y ⨯+≥，解得1133y ≥，需要取整数，所以还需要调用14辆B 型车．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．25．某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．解析：（1）180，（2）租36座车1辆，48座3辆最省钱．【分析】（1）设租36座的车x 辆，则租48座的客车（x ﹣1）辆．根据不等关系：租48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，列不等式组即可．（2）根据（1）中求得的人数，进一步计算不同方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可．【详解】解：（1）设租36座的车x 辆．据题意得：3648(2)303648(2)48x x x x --⎧⎨--⎩＞＜， 解得：1124x x ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞．∴不等式组的解集为4112x ＜＜． ∵x 是整数，∴x ＝5．36×5＝180（人），答：该校初三年级共有师生180人参观黄石矿博园．（2）设租36座车m 辆，租48座车n 辆，根据题意得，36m+48n≥180，∵m 、n 为非负整数，方案①：租36座车5辆，费用为：5×400＝2000元；方案②：租36座车4辆，48座至少1辆，最低费用为：4×400+480＝2080元； 方案③：租36座车3辆，48座至少2辆，最低费用为：3×400+2×480＝2160元； 方案④：租36座车2辆，48座至少3辆，最低费用为：2×400+3×480＝2240元； 方案⑤：租36座车1辆，48座至少3辆，最低费用为：1×400+3×480＝1840元； 方案⑥：租48座车4辆，费用为：4×480＝1920元；∴选择方案⑤：租36座车1辆，48座3辆最省钱．【点睛】本题考查了不等式组的应用和方案选择问题，正确设未知数，准确把握不等关系，列出不等式或不等式组，是解决问题的关键．26．疫情期间，某学校为了能每天及时对教室、校园进行消毒，准备购买甲、乙两种型号的喷雾消毒器，通过市场调研得知：购买2个甲型消毒器和3个乙型消毒器共需1020元，购买1个甲型消毒器比购买2个乙型消毒器少用120元．（1）甲、乙两种型号的消毒器的单价各是多少元？（2）若学校准备购买两种型号的消毒器共10个，所用资金不超过2000元？请你设计几种购买方案供学校选择（两种型号的消毒器都必须购买）．解析：（1）甲、乙两种型号的消毒器的单价各是240元，180元；（2）方案一：购买甲种型号的消毒器1个，则购买乙种型号的消毒器9个，方案二：购买甲种型号的消毒器2个，则购买乙种型号的消毒器8个，方案三：购买甲种型号的消毒器3个，则购买乙种型号的消毒器7个．【分析】（1）设甲、乙两种型号的消毒器的单价各是x元，y元，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；（2）设购买甲种型号得消毒器m个，则购买乙种型号得消毒器（10-m）个，根据不等量关系，列出一元一次不等式，进而求解．【详解】（1）设甲、乙两种型号的消毒器的单价各是x元，y元，由题意得：2310202120x yy x+=⎧⎨-=⎩，解得：240180xy=⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种型号的消毒器的单价各是240元，180元；（2）设购买甲种型号得消毒器m个，则购买乙种型号得消毒器（10-m）个，由题意得：240m+180（10-m）≤2000，解得：m≤133，∵m为正整数，∴m=1，2，3∴有三种方案：方案一：购买甲种型号的消毒器1个，则购买乙种型号的消毒器9个，方案二：购买甲种型号的消毒器2个，则购买乙种型号的消毒器8个方案三：购买甲种型号的消毒器3个，则购买乙种型号的消毒器7个．【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的实际应用，找出题目中的数量关系，是解题的关键．27．11月份，是猕猴桃上市的季节，猕猴桃酸甜，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．万州某水果超市的红心猕猴桃与黄心猕猴桃这两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价12元/千克，黄心猕猴桃售价9元/千克．（1）若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心猕猴桃多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心猕猴桃和黄心猕猴桃的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心猕猴桃售价不变，销量比第一周增加了43a%，黄心猕猴桃的售价保持不变，销量比第一周增加了13a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a%的基础上还多了280元，求a的值．解析：（1）第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）a的值为10．【分析】（1）设第一周销售红心猕猴桃x千克．则黄心猕猴桃（x﹣200）千克，根据总价=单价×数量结合总销售额不低于6600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，结合两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a%的基础上还多了280元，即可得出关于a的一元一次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设第一周销售红心猕猴桃x千克．则黄心猕猴桃（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9(x﹣200)≥6600，解得：x≥400，答：第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）根据题意得：12×400(1+43a%)+9×200(1+13a%)＝6600(1+711a%)+280，解得：a=10．答：a的值为10．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．28．某企业在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”的思想．计划购买300瓶消毒液，已知甲种消毒液每瓶30元，乙种消毒液每瓶18元．（1）若该企业购买两种消毒液共花费7500元，则购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？（2）若计划购买两种消毒液的总费用不超过9600元，则最多购买甲种消毒液多少瓶？解析：（1）175，125；（2）350【分析】（1）设购买甲种消毒液x瓶，购买乙种消毒液y瓶，根据题意列出方程组求解；（2）设购买甲种消毒液a瓶，根据总费用不超过9600元，列不等式求解．【详解】解：（1）设购买甲种消毒液x瓶，购买乙种消毒液y瓶，依题意得：30030187500x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得175125xy=⎧⎨=⎩，答：购买甲种消毒液175瓶，购买乙种消毒液125瓶；（2）设购买甲种消毒液a瓶，依题意得：30a+18（300-a）≤9600 ，解得a≤350 ，答：最多购买甲种消毒液350瓶．【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式进行求解．。
七年级数学下《不等式与不等式组》专项精讲含解析
七年级数学下《不等式与不等式组》专项精讲含解析第九章不等式与不等式组（专项精讲）章末整合归纳常考专题整合常考专题一不等式的性质主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主．例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .A.6个B.5个C.4个D.3个解析：③中不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B.例2：若，则下列不等式不一定成立的是( )A． B．C． D．解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A．根据不等式的基本性质1，可知一定成立；B．根据不等式的基本性质2，∵ ，∴ 一定成立；C．根据不等式的基本性质3，∵ ，∴ 一定成立；D．根据不等式的基本性质3，，若都为负数，则不成立．思维点拨本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除．常考专题二一元一次不等式(组)的解法解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行．例3：解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：(1) ；(2)分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)解不等式得，在数轴上表示如下：(2)解不等式①，得，解不等式②，得，在数轴上表示如下：故不等式组的解集为．思维点拨一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解．常考专题三一元一次不等式(组)的特殊解例4：若是不等式组的最大整数解．求的值．分析：先求出不等式组的解集，在解集中找出最大整数解，即是的值，再把的值代入所求代数式求值即可．解：由不等式①，得．由不等式②，得．所以不等式组的解集为．解集中最大的整数为，所以．把代入中，得原式．思路归纳求不等式(组)的特殊解时，先求出解集，再找满足条件的解，一般是求最大(小)整数解，非负(正)整数解，正(负)整数解．常考专题四求解不等式(组)中的字母参数问题当不等式(组)与方程(组)、字母参数这些知识综合时，要认真理解题意，寻求解决的方法．类型1 已知不等式的一个解，求字母的取值例5：已知是关于的不等式的解，求的取值范围．分析：先根据不等式的解的定义，将代入不等式，得到，解此不等式，即可求出的取值范围．解：∵ 是关于的不等式的解，∴ ，解得．思维点拨本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出是解题的关键．例6：已知关于的不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．分析：先求出不等式的解集，用含有的代数式表示出来，再根据整数解的个数，确定的取值范围．解：由不等式①，得．由不等式②，得．因为不等式组有解，所以该不等式组的解集为．又因为只有3个整数解，即为2，3，4．所以的取值范围为，则．思维点拨解此类问题时应特别注意不等式中等号的取舍．类型2 根据二元一次方程组和解不等式求字母取值例7：关于，的二元一次方程组的解是正整数，则整数的值为____．解析：把看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于的不等式组，求解即可．解方程组得∵ ，是正整数，∴ 解得，∵ 为整数，∴ 或6或7，又∵ ，是正整数，∴ 时，，不是整数，不合题意舍去，∴或7．答案：5或7解题方法本题运用了常量法，常量法是将题中的某一未知字母视为常数，用这个字母表示未知数，再根据未知数的取值范围来确定未知字母的取值．在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到常量法，将方程(组)的问题转化为解不等式(组)，求字母取值的问题．例8：已知关于、的的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围．分析：先解方程组，求得、的值，再根据，解不等式即可．解：由可得∵ ，∴ ，∴ ．思维点拨本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用分别表示出，，再解不等式是解题的关键．类型3 已知不等式组解集的情况求字母的取值例9：已知关于的不等式组无解，求的取值范围．分析：把看成常数，解不等式组，再根据原不等式组无解，求出的取值范围．解：解不等式①，得，解不等式②，得，因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示：所以．当时，代入不等式组，解得，且，此时，不等式组无解，满足题意．所以的取值范围为．思维点拨“ ”这种特殊情况易被忽视，检验等号是否满足题意在解题时必不可少．常考专题五列一元一次不等式(组)解应用题一元一次不等式(组)的应用是中考考查的重点之一，题型丰富多变，内容多与社会热点相联系，既可单独考查，也可与其他知识综合考查．例10：某校住校生宿舍有大小两种寝室若干部．据统计，该校高一年级男生740人，使用了大寝室55间和小寝室50间，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大小寝室每间分别住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？分析：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，根据题意列出方程组，再解方程组即可；(2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意可得，再根据“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可列出关于的不等式组，解不等式组即可．解：(1)设该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人，由题意，得解得答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人． (2)设这些女生入住大寝室间，则小寝室间，由题意，得解得．∴ 可取75或76或77或78或79或80．答：共有六种安排住宿的方案．思维点拨本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，分别找出等量关系与不等关系．思想方法归纳思想方法一数形结合思想求不等式解集的过程是代数内容，用数轴表示不等式解集的过程，是将代数问题几何化的过程．本章中数形结合思想主要应用于：①将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，或在解不等式组的过程中，在数轴上分别表示各个不等式的解集，并找出公共部分；②利用数轴判断不等式(组)的解集情况，进而求字母取值．例11：已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为( )A．0B． C．1D．2解析：根据数轴可知不等式的解集为，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．答案：C思想方法本题运用了数形结合思想．有关不等式的问题中，有些问题需要我们借助图形反馈的信息来解决．思想方法二方程思想不等式中的方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换和解决问题．例12：若不等式组的解集为，那么的值等于____．解析：先用字母，表示出不等式组的解集：，然后根据已知解集是，对应得到关于、的方程，，解得，．所以．答案：思想方法本题运用了方程思想，根据不等式组的解集构造方程，进而求解，是解决此类问题的基本思路．思想方法三建模思想本章在解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润问题时，会用到建模思想，由实际问题构造不等式(组)，从而解决问题．例13：在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一个班不足3幅，但不少于1幅，可列出不等式组，求出其整数解即可．解：(1)该校原有的班数是 (个)(2)设新学期所增加的班数是个．由题意得：解得．∵ 为整数，∴ 或3．答：新学期所增加的班数是2个或3个．思想方法本题运用了建模思想．解这类题的关键是从问题中找出不等关系，建立不等式(组)的模型，求出不等式(组)的解集后，再根据题目的实际情况确定出未知数的具体值．综合压轴探究综合探究一元一次不等式(组)的综合应用例14：在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．分析：(1)先设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出，的值即可；(2)先设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出购买方案，然后根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出每种方案的总费用，进行比较，即可得出最省钱的方案．解：(1)设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意，得解得答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．(2)设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据题意，得解得，∵ 只能取整数，∴ ，16，17．∴有三种购买方案：方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用为 (万元)；方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用为 (万元)．方案3：购进电脑17台，购进电子白板13台，所需费用为 (万元)．答：有3种购买方案，购买17台电脑和13台电子白板时费用最低．思维点拨本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量之间的关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意只能取整数．关于方案设计问题，一般需分情况讨论，另外要检验方案的可操作性．。
部编数学七年级下册专题10《不等式与不等式组》解答题重点题型分类(解析版)含答案
专题10 《不等式与不等式组》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的情况”、“利用一元一次不等式（组）解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：求一元一次不等式组中待定字母的值的情况方法点拨：1．已知关于x 的不等式组21321x m x m ->ìí-<-î（1）如果不等式组的解集为67x <<，求m 的值；（2）如果不等式组无解，求m 的取值范围；【答案】（1）11；（2）5m £【分析】（1）解两个不等式得出12m x +>且213m x -<，根据不等式组的解集为67x <<得1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解之可得答案；（2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得12123m m +-…，解之可得答案．【详解】解：（1）由21x m ->，得：12m x +>，解不等式321x m -<-，得：213m x -<，Q 不等式组的解集为67x <<，∴1622173m m +ì=ïïí-ï=ïî，解得11m =；（2）Q 不等式组无解，\12123m m +-…，解得5m …．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：a #b =a ﹣3b +7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x >0解集；（2）若3m <2#x ＜7有解，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x 的解集中恰有3个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）x ＜4；（2）233x m <<-；（3）-1≤m ＜0【分析】（1）根据新定义得出关于x 的不等式，解之即可；（2）根据新定义列出关于x 的不等式组，再分别求解即可得出其解集；（3）由不等式组整数解的个数得出关于m 的不等式组，再进一步求解即可．【详解】解：（1）由题意得5-3x +7＞0，解得x ＜4；（2）由题意，得：32373727x m x î-+>-+<ìí①②，解不等式①，得：23x >，解不等式②，得：x ＜3-m ，则不等式组的解集为233x m <<-；（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m ≤4，解得-1≤m ＜0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．已知不等式()132x m m ->-．()1若其解集为3x >，求m 的值；()2若满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，求m 的取值范围．【答案】（1） 1.5m =；（2） 1.5m ³【分析】（1）根据已知等式求出m 的范围即可；（2）根据题意确定出m 的范围即可．【详解】解:（1）不等式整理得:63x m m ->-，解得:62,x m >-由不等式的解集为3,x >得到623,m -=解得: 1.5m =;（2）由满足3x >的每一个数都能使已知不等式成立，得到623m -£，解得: 1.5m ³【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．4．若不等式组0122x a x x +³ìí->-î有3个整数解，则a 的取值范围是多少．【答案】2≤a ＜3【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确定a 的取值范围即可．【详解】解：0122x a x x +³ìí->-î①②解不等式①得：x ≥-a ，解不等式②x ＜1，∴不等式组的解集为-a ≤x ＜1，∵不等式组恰有3个整数解，∴-3＜-a ≤-2，解得：2≤a ＜3．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集得出关于a 的不等式组是解答本题的关键．5．不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，求a 的取值范围．【答案】113a -<£【分析】先求出不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集为13x -<£，然后分别讨论当0a >时，当0a <时，当0a =时，不等式1ax >-的解集，然后根据不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分进行求解即可．【详解】解：2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î①②解不等式①得：1x >-，解不等式②得：23x -££，∴不等式的解集为13x -<£，∵1ax >-，∴当0a >时，1x a>-∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴11a-£-，∴01a <£；同理当0a <时，1x a<-，∵不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴13a->，∴103-<<a ；当0a =时，01>-恒成立，即关于x 的一元一次不等式1ax >-的解集为一切实数，∴此时也满足不等式组2153136215x x x +-ì-<ïíï-£î的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，∴综上所述，113a -<£．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的方法．6．已知关于x 的不等式4（x ＋2）﹣2＞5＋3a 的解都能使不等式(31)(23)32a x a x ++>成立，求a 的取值范围．【答案】115a -…【分析】先求出不等式4（x +2）-2＞5+3a 的解集，再根据不等式(31)(23)32a x a x ++>用a 表示出x 的取值范围，最后解不等式组即可求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式4(2)253x a +->+得：314a x ->，Q (31)(23)32a x a x ++>，解得：92ax >\31942a a -…解得：115a -…．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键．7．已知关于x 的不等式组()42127,6 1.7x x x a x ì-+>ïí-<+ïî（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a 的取值范围；（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，求a 的取值范围．【答案】（1）12a £<；（2）25a £<【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a 的不等式组，从而求解；（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x ≥5的范围内，得出关于a 的不等式组，从而求解．【详解】解：（1）解不等式()42127x x -+>，得2x >．解不等式617x a x -<+，得7x a <-，∵该不等式组有且只有三个整数解，∴这三个整数解为3，4，5．∴576a <-£．∴12a £<．（2）∵该不等式组有解，由（1）知72a ->．∴该不等式组的解集为27x a <<-．又它的解集中的任何一个值均不在5x ≥的范围内，∴75a -£．解不等式组7275a a ->ìí-£î得符合题意的a 的取值范围为25a £<．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．若一个不等式（组）A 有解且解集为()a x b a b <<<，则称2a b +为A 的解集中点值，若A 的解集中点值是不等式（组）B 的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B 对于不等式（组）A 中点包含．（1）已知关于x 的不等式组A ：23560x x ->ìí->î，以及不等式B ：15x -<£，请判断不等式B 对于不等式组A 是否中点包含，并写出判断过程；（2）已知关于x 的不等式组C ：272131691x m x m +>+ìí-<-î和不等式D ：43135x m x m >-ìí-<î，若D 对于不等式组C 中点包含，求m 的取值范围．（3）关于x 的不等式组E ：22x n x m >ìí<î（n m <）和不等式组F ：523x n x m n -<ìí->î，若不等式组F 对于不等式组E 中点包含，且所有符合要求的整数m 之和为9，求n 的取值范围．【答案】（1）不等式B 对于不等式组A 是中点包含，见解析；（2）316m -<<；（3）12n £<【分析】（1）先解不等式组A ，再按照要求求中点，再判断中点是否在B 不等式中即可．（2）先解不等式组C 、D ，再根据C 组的中点在D 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围．（3）先解不等式组E 、F ，再根据E 组的中点在F 不等式组中建立不等式，再解出m 取值范围，再根据符合要求的整数m 之和为9，缩小m 取值范围从而确定n 取值范围．【详解】（1）解不等式组A ：23560x x ->ìí->î得46x <<，∴中点值为5x =又∵5x =在不等式B ：15x -<£范围内，∴不等式B 对于不等式组A 是中点包含（2）解不等式C 得：33+5m x m -<<∴不等式组C 中点为：3+3+5=2+12m m m -解不等式D 得：51343m m x +-<<∵2m -1位于4m -和5133m +之间∴5134213m m m +-<-<解得：316m -<<（3）解不等式组E 得：2n <x <2m ，则中点值为n +m解不等式组F 得：32n m +<x <5+n ∵32n m +<n +m <5+n ∴5m n m <ìí<î∵所有符合要求的整数m 之和为9∴m 可取4，3，2∴12n £<【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。
部编数学七年级下册第9章不等式与不等式组(解析版)含答案
第9章 不等式与不等式组一、单选题1．如图在数轴上表示是哪一个不等式的解（ ）A ．1x ³-B ．1x £-C ． 2.5x ³-D ． 2.5x £-【答案】A 【分析】直接根据数轴写出不等式的解集，判断即可．【详解】解：根据数轴可得：1x ³-，故选：A ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法是“,>³”向右画，“,<£”向左画，注意在表示解集时，“,³£”要用实心圆点表示；“,<>”要用空心圆点表示．2．“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（ ）A ．230x +³B ．230x +>C ．230x +£D ．230x +<【答案】A【分析】非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.【详解】解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：230,x +³故选：.A 【点睛】本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.3．某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是17胜13负（其中有1场以4分之差负于月亮队），后面还要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1场）；月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场．如果火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜（ ）场就一定能出线？A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，则火炬队胜场数不低于月亮队列出不等式即可得出答案．【详解】解设火炬队在后面的比赛中胜x 场就一定能出线．∵火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，那么火炬队目前的战绩是18胜13负，后面还要比赛5场；月亮队目前的战绩为15胜17负，后面还要比赛4场；月亮队在后面的比赛中至多胜4场，所以整个比赛它至多胜15419+=场．需有1819x +³．解得1³x ．因此火炬队在后面的比赛中至少胜1场就一定能出线,故选：A ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解题关键是设出未知数再根据题意列出不等式．4．已知方程组2420x ky x y +=ìí-=î有正数解，则k 的取值范围是（ ）A ．4k <B ．4k >C ．4k <-D ．4k >-【答案】D【分析】先将方程组标号，用含y 的代数式表示x ，利用代入消元法求出44+y k=，根据方程组2420x ky x y +=ìí-=î有正数解，可得不等式404+y k =＞，解不等式即可．【详解】解：2420x ky x y +=ìí-=î①②，由方程20x y -=变形得2x y =③，把③代入①得44y ky +=，解得44+y k=，方程组2420x ky x y +=ìí-=î有正数解，∴404+y k=，∴4+0k ＞，∴4k >-．故选择D ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法与不等式综合运用题，掌握二元一次方程组的解法与不等式的解法是解题关键．5．若()1a b x a +>+的解集是1x <，则a 必须满足是（ ）A ．0a <B ．1a >-C ．1a <-D ．1a £【答案】C【分析】由()1a b x a +>+的解集是1x <，可得0a b +<，再利用不等式的解集可得11a a b+=+，再利用两数相除，同号得正，可得10a +<，从而可得答案.【详解】解：Q ()1a b x a +>+的解集是1x <，\ 0a b +<，\ 不等式的解集为：x ＜1,a a b++ \ 11a a b +=+，∴10a +<，∴a ＜1,-故选：.C 【点睛】本题考查的是利用不等式的基本性质解不等式，以及利用不等式的解集确定字母系数的范围，掌握不等式的基本性质是解题的关键.6．不等式324x -<中，x 可取的最大整数值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大正整数即可．【详解】解：324x -<，342x <+36x <2x <，\最大整数解是1．故选为：B ．【点睛】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．7．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m （g ）的取值范围在数轴上可表示（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．【详解】解：由图示得1A >，2A <，故选：D ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，注意，不包括点1、2，用空心点表示．8．若数a 使关于x 的方程12ax +＝﹣73x ﹣1有非负数解，且关于y 的不等式组172222212y y y a y--ì-<ïíï+>-î恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣22B ．﹣18C ．11D ．12【答案】B【分析】依题意，表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a 的值，表示不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a 的值即可．【详解】由题知：原式：17123ax x +=-- ，去分母得：33146ax x +=--，得：9314x a =-+，又关于x 的方程17123ax x +=--有非负数解，∴ 3140a +<，∴ 143a <-；不等式组整理得：414y a y <ìïí->ïî，解得：144a y -<<，由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0；∴ 1204a --£<，可得71a -£<∴1473a -£<-，则满足题意a 的值有﹣7，﹣6，﹣5，则符合条件的所有整数a 的和是﹣18．故选：B ；【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解，难点在熟练掌握求解的运算过程．9．已知关于x ，y 的方程组343x y a x y a+=-ìí-=î，其中31a -££，下列结论：①当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；②51x y =ìí=-î是方程组的解；③当1a =-时，方程组的解也是方程1x y +=的解；④若14y ££，则30a -££．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】D【分析】将原方程求解，用a 表示x 和y ，然后根据a 的取值范围，求出x 和y 的取值范围，然后逐一判断每一项即可．【详解】由343x y a x y a +=-ìí-=î，解得121x a y a=+ìí=-î∵31a -££∴53x -££，04y ££①当2a =-时，解得33x y =-ìí=î，故①正确；②51x y =ìí=-î不是方程组的解，故②错误；③当1a =-时，解得12x y =-ìí=î，此时1x y +=，故③正确；④若14y ££，即114a £-£，解得30a -££，故④正确；故选D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键．10．如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（ ）A ．112B ．121C ．134D ．143【答案】C 【详解】分析：设妮娜需印x 张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论．详解：设妮娜需印x 张卡片，根据题意得：15x ﹣1000﹣5x ＞0.2（1000+5x ），解得：x ＞13313，∵x 为整数，∴x≥134．答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．故选C ．点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．二、填空题11．已知等腰三角形的周长为12cm ，则这个等腰三角形的腰长x 的范围是________．【答案】3cm 6cmx <<【分析】设等腰三角形的底边长为y cm ，根据三角形三边的不等关系及周长，可得关于x 的不等式，解不等式即可．【详解】设等腰三角形的底边长为y cm ，由已知得2x y >，212x y +=，∴2122x x >-，解得：x >3，∵y =12-2x >0，∴x <6∴36x <<故答案为：36cm x cm<<【点睛】本题是一元一次不等式的简单应用，考查了三角形三边的不等关系、等腰三角形的定义，解一元一次不等式，关键是清楚三角形三边的不等关系及实际问题中三角形的边长为正这个隐含条件．12．商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是________．【答案】10件【分析】设购买该商品x 件，先判断购买件数在5件之上，再根据总价=3×5+3×0.8×超过5件的数量，结合总价不超过27元，即可得出关于x 的一元一次不等式，求出x 的解集即可得出结论．【详解】解：设购买该商品x 件，因为共有27元，所以最多购买的件数超过5件，依题意得：3×5+3×0.8(x -5)≤27，解得：x ≤10，故答案为：10件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．13．不等式23510x x -³-的正整数解________．【答案】1和2【分析】求出不等式的解集，然后在解集中找出正整数即可．【详解】解：23510x x -³-解得：73x £，∴符合条件的正整数为：1和2，故答案为：1和2．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．14．已知关于x 的不等式组0321x a x -³ìí->-î有9个整数解，则a 的取值范围是________．【答案】87a -<£-【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解：0321x a x -³ìí->-î解不等式组可得2a x £<，∴9个整数解为1，0，1-，2-，3-，4-，5-，6-，7-，∴87a -<£-．故答案为：87a -<£-【点睛】本题主要考查了学生对不等式组知识点的掌握，先求出不等式组范围，再根据具体解逆推出a 的取值范围．15．382x -的值不大于7x -的值，x 的取值范围是________．【答案】6x £【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】由题意，得：3872x x -£-解得：6x £故答案为：6x £【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解不大于即小于或等于．16．已知0a <，10b -<<，请将a ，ab ，2ab 从小到大依次排列________．【答案】2a ab ab<<【分析】根据不等式的性质和乘法法则进行判断即可．【详解】解：∵a ＜0， b ＜0，∴ab ＞0，∵﹣1＜b ＜0，∴0＜b 2＜1；两边同时乘a ，0＞ab 2＞a ，∴a ＜ab 2＜ab ．【点睛】本题考查了不等式的性质，明确（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．17．当m ________时，代数式342423m m +--的值是非负数．【答案】4³-【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可．【详解】依题意342423m m +--0³去分母得：()()3342240m m +--³去括号得：912480m m +-+³移项，合并同类项得：520m ³-化系数为1，得：4m ³-故答案为：4³-【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．18．定义一种法则“Ä”如下：()()a a b a b b a b >ìÄ=í£î，如：122Ä=，若(25)33m -Ä=，则m 的取值范围是_______．【答案】4m £【分析】根据题意可得2m ﹣5≤3，然后求解不等式即可．【详解】根据题意可得，∵(2m －5)⊕3＝3，∴2m ﹣5≤3，解得：m≤4故答案为4m £．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解此题的关键在于准确理解题中新定义法则的运算规律，得到一元一次不等式．三、解答题19．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1）3(27)23+>x ；（2）124(31)2(216)x x --£-；（3）325153x x +-<-；（4）213153212x x ---³．【答案】（1）13x >；（2）3x ³；（3）7x >；（4）310x £-，见解析【分析】（1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根据所求解集在数轴上表示即可；（2）去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根据所求解集在数轴上表示即可；（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根据所求解集在数轴上表示即可；（4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根据所求解集在数轴上表示即可；【详解】（1）去括号，得：62123x +>，移项、合并同类项，得：62x >，系数化为1，得：13x >，在数轴上表示不等式解集，如图：（2）去括号，得：1212+4432x x -£-，移项、合并同类项，得：1648x -£-，系数化为1，得：3x ³，在数轴上表示不等式解集，如图：；（3）去分母，得：()()3352515x x +<--，去括号，得：39102515x x +<--，移项、合并同类项，得：749x -<-，系数化为1，得：7x >，在数轴上表示不等式解集，如图：；（4）去分母，得：()()4216315x x ---³，去括号，得：841865x x --+³，移项、合并同类项，得：103x -³，系数化为1，得：310x £-，在数轴上表示不等式解集，如图：．【点睛】本题考查解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1．20．赵军说不等式2a a >永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a ，就会出现12>这样的错误结论．他的说法对吗？【答案】不对，见解析【分析】根据不等式的性质可知当0a <时，不等号方向发生改变即可求解．【详解】解：赵军的说法不对．理由如下：当0a <时，根据不等式的性质：“不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变”可知此时得到：12<．【点睛】本题考查一元一次不等式的基本性质：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向发生改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．21．解不等式组()262311x x x x ì-£ï>-íï-<+î①②③，请结合题意，完成本题的解答．(1)解不等式①，得 ，依据是： ．(2)解不等式③，得 ．(3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．【答案】（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x ＜2；（3）作图见解析；（4）﹣2＜x ＜2．【详解】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．试题解析：（1）解不等式①，得x ≥﹣3，依据是：不等式的性质3，故答案为x≥﹣3、不等式的性质3；（2）解不等式③，得x ＜2，故答案为x ＜2；（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来，如图所示：（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x ＜2，故答案为﹣2＜x ＜2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，关键是先求出每个不等式的解集，分别在数轴上表示每一个不等式的解集，然后再确定出不等式组的解集．22．一艘轮船从某江上游的A 地匀速行驶到下游的B 地用了10h ，从B 地匀速返回A 地用了不到12h ，这段江水流速为3km /h ，轮船在静水里的往返速度v 不变，v 满足什么条件？【答案】v 满足的条件是大于33千米每小时.【分析】直接利用总路程不变得出不等关系进而得出答案．【详解】解：由题意得，从A 到B 的速度为：()3v +千米/时，从B 到A 的速度为：()3v -千米/时∵从B 地匀速返回A 地用了不到12小时，∴()()123103v v ->+，解得：33v >.答：v 满足的条件是大于33千米每小时.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确得出不等关系是解题关键．23．每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息．根据此信息，解答下列问题：1．快餐的成分：蛋白质，脂肪、矿物质、碳水化合物；2．快餐总质量为400g ；3．脂肪所占的百分比为5%；4．所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍．（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．【答案】（1）20g ；（2）176g ；（3）180g【分析】（1）用总质量乘以5%即可；（2）设所含矿物质的质量为g x ，根据题意列方程42040040%400x x +++´=，求出解即可得到答案；（3）设所含矿物质的质量为g y ，则所含碳水化合物的质量为(3805)g -y ，根据题意列不等式解答．【详解】解：（1）这份快餐中所含脂肪质量为4005%=20´（g ）；（2）设所含矿物质的质量为g x ，由题意得42040040%400x x +++´=，解得44x =，故4176=x ．∴这份快餐所含蛋白质的质量为176g ；（3）设所含矿物质的质量为g y ，则所含碳水化合物的质量为(3805)g -y ，∴4(3805)40085%+-£´y y ，解得40y ³，故3805180-£y ．∴所含碳水化合物质量的最大值为180g ．【点睛】本题主要考查学生用不等式解决实际问题的能力，列一元一次方程解决实际问题，正确理解题意设定未知数列出方程及不等式是解题的关键．24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A 、B 两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售数量销售时段A 种型号B 种型号销售收入第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；（3）在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【分析】（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台，利用超市准备用不多于7500元，列不等式160a +120（50﹣a ）≤7500，解不等式可得答案；（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过1850元，列不等式（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850，结合（2）问，得到a 的范围，由a 为非负整数，从而可得答案．【详解】解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得：341200561900x y x y +=ìí+=î①②，①5´-②3´得：2300,y =150,y \=把150y =代入①得：200,x =解得：200150x y =ìí=î，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（50﹣a ）台．依题意得：160a +120（50﹣a ）≤7500，401500,a \£解得：a ≤1372．因为：a 为非负整数，所以：a 的最大整数值是37.答：超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）根据题意得：（200﹣160）a +（150﹣120）（50﹣a ）＞1850，10a \＞350，解得：a ＞35，∵a ≤1372，35\＜a 1372£,Q a 为非负整数，36a =或37.a =∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a ＝36时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当a ＝37时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题，掌握以上知识是解题的关键．25．对于三个数a ，b ，c ，M{a ，b ，c}表示a ，b ，c 这三个数的平均数，min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 这三个数中最小的数，如：1234{1,2,3}33M -++-==，min {﹣1，2，3}＝﹣1；121{1,2,}33a a M a -+++-==，min {﹣1，2，a }＝(1)11a a a £-ìí->-î；解决下列问题：（1）填空：min {﹣22，2﹣2，20130}＝ ；（2）若min {2，2x +2，4﹣2x }＝2，求x 的取值范围；（3）①若M {2，x +1，2x }＝min {2，x +1，2x }，那么x ＝ ；②根据①，你发现结论“若M {a ，b ，c }＝min {a ，b ，c }，则 ”（填a ，b ，c 的大小关系）；③运用②解决问题：若M {2x +y +2，x +2y ，2x ﹣y }＝min {2x +y +2，x +2y ，2x ﹣y }，求x +y 的值．【答案】（1）-4；（2）01x ££；（3）①1；②a ＝b ＝c ；③-4【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；（3）根据题中规定的M {a 、b 、c }表示这三个数的平均数，min {a 、b 、c }表示a 、b 、c 这三个数中的最小数，列出方程组即可求解．【详解】（1）∵﹣22＝﹣4，2﹣2＝14，20130＝1，∴min {﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）由题意得：222422x x +³ìí-³î，解得：0≤x ≤1，则x 的取值范围是0≤x ≤1；故答案为0≤x ≤1；（3）①M {2，x +1，2x }＝2123x x +++＝x +1＝min {2，x +1，2x }，∴1212x x x +£ìí+£î，∴11x x £ìí³î，∴x ＝1．②若M {a ，b ，c }＝min {a ，b ，c }，则a ＝b ＝c ；③根据②得：2x +y +2＝x +2y ＝2x ﹣y ，解得：x＝﹣3，y＝﹣1，则x+y＝﹣4．故答案为：①1；②a＝b＝c；③﹣4．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．。
七年级数学不等式组典型例题
七年级数学不等式组典型例题七年级数学不等式组典型例题通常涉及一元一次不等式组和二元一次不等式组。
以下是一些常见的例题:1. 某工厂生产甲、乙两种产品，每天总共生产 100 件，其中甲产品利润为每件 30 元，乙产品利润为每件 50 元，共获得 4500 元利润，如果每天生产的甲、乙产品数量比为 3:2，则甲、乙产品每件的成本分别为多少元？解：设甲、乙产品每件的成本分别为 x、y 元。
则 3x+2y=45001x+y=1002由 1 式可得 x=25，代入 2 式可得 y=75。
因此，甲、乙产品每件的成本分别为 25 元和 75 元。
2. 某班级举行课外活动，分成甲乙两个小组，甲组有 6 人，乙组有 4 人，共捐款 117 元，如果甲、乙两组各增加 2 人，则甲组比乙组多捐款 27 元，问甲、乙两组原来各有多少人？解：设甲组原来有 x 人，乙组原来有 y 人。
则 x+y=101x-y=272由 1 式可得 y=10-x，代入 2 式可得 x=8,y=2。
因此，甲组原来有 8 人，乙组原来有 2 人。
3. 不等式组 3x-2>5,4x+3<11 的解为 x<1.5，则不等式组3x+2>5,4x-3<11 的解为 x>0.5，则原不等式组的解为 x<0.5 或x>1.5。
解：由 3x-2>5,4x+3<11 可知 x<1.5 或 x>5.5。
因此，不等式组 3x+2>5,4x-3<11 的解为 x<0.5 或 x>1.5。
以上是一些常见的七年级数学不等式组典型例题，涉及到一元一次不等式组和二元一次不等式组，通过求解不等式组，可以求出不等式组的解，从而得到产品的成本、人数等数据。
七年级数学下册第九章【不等式与不等式组】经典题(含答案)
一、选择题1．若点A（a，b）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，准备打折销售，若要保证利润率不低于5%，则最多可打几折（）A．6 B．7 C．8 D．93．已知不等式组1113x ax-<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．不等式组3114xx+>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（）A．5 B．0 C．-1 D．-26．不等式组111xx-<⎧⎨≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．7．若关于x的不等式组255332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-B．116a2-<<-C．1162a-<-D．1162a--8．如果不等式组5x x m <⎧⎨>⎩有解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞5 B ．m≥5 C ．m ＜5 D ．m≤89．下列说法中不正确的是（ ）A ．若a b >，则a 1b 1->-B ．若3a 3b >，则a b >C ．若a b >，且c 0≠，则ac bc >D ．若a b >，则7a 7b -<-10．若关于x 的不等式组0722x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是（ ） A ．5＜m ＜6 B ．5＜m ≤6 C ．5≤m ≤6 D ．6＜m ≤7 11．下列不等式说法中，不正确的是（ ）A ．若,2x y y >>，则2x >B ．若x y >，则22x y -<-C ．若x y >，则22x y >D ．若x y >，则2222x y --<--二、填空题12．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =；③22()a b c =+ ④||||||||a b c abc a b c abc +++的值为0或2； ⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >． 其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．13．为了方便同学们进行丰富阅读，南开中学图书馆订购了A ，B ，C 三类新书，共900本，其中A 类数量是B 类数量的4倍，C 类数量不超过A 类数量的5528倍，且A 类数量不超过400本．新书开始借阅后，深受同学欢迎，图书管理员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同），方案一：按2:3:5的比例增订A ，B ，C 三类书；方案二：按4:1:5的比例增订A ，B ，C 三类书，经计算，若按方案一增订，则增订后A ，B 两类书总数量之比为7:2，那么按方案二增订时，增订后A ，C 两类书总数量之比为______．14．随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的56倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼_____盒．15．不等式组2173112x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩的解集是____． 16．已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________． 17．已知点()6,29P m m --关于x 轴对称的点在第三象限，则m 的整数解是______． 18．不等式12x -<的正整数解是_______________．19．定义[]x 表示不大于x 的最大整数、{}[]x x x =-，例如[]22=，[]2.83-=-，[]2.82=，{}20=，{}2.80.8=，{}2.80.2-=，则满足{}[]2x x =的非零实数x 值为_______．20．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．21．不等式组12153114x x -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩的所有正整数解为_____．三、解答题22．解不等式组253(2)13212x x x x +≤+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩， 并把不等式组的解集在数轴上表示出来，写出不等式组的非负整数解．23．解下列不等式组：（1）3(1)51124x x x x -<+⎧⎨-≥-⎩（2）3(2)421152x x x x --≥⎧⎪-+⎨>⎪⎩24．不等式组231,12(2)xx x-≥-⎧⎨-≥-+⎩．25．解不等式组：()324112x xx⎧+≥+⎪⎨-<⎪⎩．一、选择题1．若a b >，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．a c b c ->-B ．22ac ab >C ．c a c b -<-D ．a c b c +>+ 2．不等式()2533x x ->-的解集为（ ）A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >- 3．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，准备打折销售，若要保证利润率不低于5%，则最多可打几折（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个5．不等式组3213,23251223x x x x ++⎧≤+⎪⎨⎪->-⎩的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ）A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥ D ．56x ≤ 7．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ） A ．11a b -<- B ．33a b < C ．a b ->- D ．ac bc < 8．整数a 使得关于x ，y 的二元一次方程组931ax y x y -=⎧⎨-=⎩的解为正整数（x ，y 均为正整数），且使得关于x 的不等式组()1211931x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，则a 的值可以为（ ）A ．4B ．4或5或7C ．7D ．119．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <B ．23a >C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数 10．不等式组36030x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．11．不等式组32153x x ->⎧⎨-<-⎩的解集在数轴上的表示是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题12．若()a 1x a 1-<-的解集为x 1>，则a 的取值范围是________．13．对任意四个整数a 、b 、c 、d 定义新运算：a bc d ad bc =-，若1＜2 41x x -＜12，则x 的取值范围是____．14．若关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个，则a 的取值范围是________________．15．在平面直角坐标系 xOy 中，点(,)P a b 的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b 时，Q点坐标为(,)b a -；当a b <时，Q 点坐标为(,)a b -．（1）(2,3)-的变换点坐标是_____________．（2）若(,0.52)a a -+的变换点坐标是(,)m n ，则m 的最大值是_____________． 16．令a 、b 两个数中较大数记作{}max ,a b 如{}max 2,33=，已知k 为正整数且使不等式{}max 21,33k k +-+≤成立，则关于x 方程21136x k x ---=的解是_____________． 17．关于x 的不等式2x -a ≤-3的解集如图所示，则a 的值是______ ．18．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x -<■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是2x >，则被污染的数是__________．19．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．20．已知关于x 的不等式组0{321x a x -≥->-的整数解共有5个，则a 的取值范围为_________． 21．方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y <，k 的取值范围是：__________. 三、解答题22．解下列不等式组：（1）3(1)51124x x x x -<+⎧⎨-≥-⎩（2）3(2)421152x x x x --≥⎧⎪-+⎨>⎪⎩23．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A ，B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．（1）求A ，B 两种型号家用净水器各购进多少台；（2）为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，设每台A 型号家用净水器的售价为x 元，则每台A 型号家用净水器的毛利润是元．每台B 型号家用净水器的毛利润是 元，并请列式求出每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利率=售价-进价）24．已知方程组2523x y m x y m-=+⎧⎨+=⎩的解满足条件0x >，0y <，求m 的取值范围． 25．回答下列小题：（1）解不等式：211126x x -+-≤．（2）解不等式组：1132(1)4 xxx+⎧-≤⎪⎨⎪->-⎩．一、选择题1．已知关于x 的不等式组15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩的解集是3≤x ≤5，则+a b 的值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12 2．不等式组1322<4x x ->⎧⎨-⎩的解集是（ ） A ．4x > B ．1x >- C ．14x -<< D ．1x <- 3．不等式()31x -≤5x -的正整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列变形中，不正确的是（ ）A ．若a>b ，则a+3>b+3B ．若a>b ，则13a>13bC ．若a<b ，则-a<-bD ．若a<b ，则-2a>-2b. 6．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，且关于x 的不等式组155222228x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有且只有4个整数解，则不满足条件的整数k 为（ ）．A ．8-B ．8C ．10D ．267．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．11a b -<-B ．33a b <C ．a b ->-D ．ac bc < 8．若m n <，则下列各式中正确的是（ ）A ．33m n +>+B ．33m n ->-C ．33m n ->-D ．33m n > 9．如果a 、b 两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab <C ．0b a -<D ．0a b>10．在数轴上，点A 现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动4个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动8个单位到达点2A ，第三次将点2A 向左移动12个单位到达点3A ，第四次将点3A 向右移动16个单位长度到达点4A ，按照这种规律下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不少于18，那么n 的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1011．某班共有48人，人人都会下棋，会下象棋的人数是会下围棋人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的有（ ）A ．20人B ．19人C ．11人或13人D ．19人或20人二、填空题12．为了方便同学们进行丰富阅读，南开中学图书馆订购了A ，B ，C 三类新书，共900本，其中A 类数量是B 类数量的4倍，C 类数量不超过A 类数量的5528倍，且A 类数量不超过400本．新书开始借阅后，深受同学欢迎，图书管理员提供了两种方案来增订这三类书若干本（两种方案增订的图书总量相同），方案一：按2:3:5的比例增订A ，B ，C 三类书；方案二：按4:1:5的比例增订A ，B ，C 三类书，经计算，若按方案一增订，则增订后A ，B 两类书总数量之比为7:2，那么按方案二增订时，增订后A ，C 两类书总数量之比为______．13．若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则m 的取值范围为__． 14．不等式21302x --的非负整数解共有__个． 15．对任意四个整数a 、b 、c 、d 定义新运算：a bc d ad bc =-，若1＜2 41x x -＜12，则x 的取值范围是____．16．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______． 17．关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则a 的取值范围是________． 18．已知关于x 的不等式组0,10x a x +>⎧⎨->⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是___________．19．若关于x 、y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足32x y +>-，则满足条件的m 的取值范围是____________．20．若a b >0，c b<0，则ac________0. 21．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________． 三、解答题22．某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．23．解不等式组：365(2)543123x x x x +-⎧⎪--⎨-<⎪⎩，并求出最小整数解与最大整数解的和． 24．若关于x 的方程23244x m m x -=-+的解不小于7183m --，求m 的取值范围． 25．某电影院某日某场电影的票价是：成人票30元，学生票15元，满50人可以购团体票（不足50人可按50人计算，票价打9折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x 人．（1）若按个人票购买，该班师生买票共付费_________元（用含x 的代数式表示）；若按团体票购买，该班师生买票共付费___________（用含x 的代数式表示，且46x ≥） （2）①如果该班学生人数为36人，该班师生买票最少可付费多少元？②如果该班学生人数为42人，该班师生买票最少可付费多少元？（3）用含x 的代数式表示该班买票最少应付多少元？。
七年级下-专题 不等式与不等式组的含参问题(解析版)
七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》专题不等式与不等式组的含参问题【例题1】若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜2�−3，则a的取值范围是（）A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．2�−3，【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．【变式1-1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞1【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，∴a﹣1＞0，解得：a＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键．【变式1-2】（2022•南京模拟）如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，∴m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．【变式1-3】（2022春•南山区期末）关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞﹣2D．m＜﹣2【分析】根据不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，知m+2＜0，解之即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式1-4】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞2�−1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m≠1D．m≤1【分析】根据不等式的性质得m﹣1＜0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞2�−1，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【变式1-5】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞3【分析】根据已知解集，利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式1-6】（2023春•新城区校级月考）当m时，不等式（m+3）x≥2的解集是�≤2�+3．【分析】根据不等式的性质3（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出m+3＜0，求出即可．【解答】解：∵不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2�+3，∴m+3＜0，∴m ＜﹣3，故答案为：＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．【例题2】（2022秋•常德期末）关于x 的不等式组�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，则m＝．【分析】根据同大取大，可得出关于m 的方程，求出m 的值即可．【解答】解：由�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，得∵m +2＞m ﹣1，∴m +2＝﹣1，解得m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，利用同大取大是解题关键．【变式2-1】（2023春•北碚区校级月考）关于x 的一元一次不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，则m 的值是．【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：13(��−1)＞2−�13��−13＞2−�，13��＞73−�，mx ＞7﹣3m ，∵不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，∴�＜0，�＜7−3��，∴7−3��=−4，∴7﹣3m ＝﹣4m ，∴m ＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-2】（2022春•顺德区校级期中）关于x 的一元一次不等式�−2�3≤−2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．2【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：解不等式�−2�3≤−2得：x ≥�+62，∵不等式的解集为x ≥4，∴�+62=4，解得m ＝2，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-3】如图，是关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集，则a 的值为（）A ．a ＝﹣2B ．a ＝﹣1C ．a ≤﹣2D ．a ≤﹣1【分析】解不等式得出x ≤�−12，结合数轴知x ≤﹣1，据此可得关于a 的方程，解之可得答案．【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x ≤﹣1，解不等式2x ﹣a ≤﹣1得，x ≤�−12，即�−12=−1，解得a ＝﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-4】（2022春•西峡县期中）若关于x 的不等式2�+9＞6�+1�−�＜1的解集为x ＜2，则a 取值范围是．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②，得�＜2�＜�+1．∵不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②的解集为x＜2，∴a+1≥2，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．【变式2-5】（2023•永定区一模）不等式组3�−9＞0�＞�的解集为x＞3，则m的取值范围为．【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【解答】解：3�−9＞0①�＞�②，解不等式①得：x＞3，又因为不等式组的解集为：x＞3，x＞m，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•武汉期末）若不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x＜2x+a+1成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1.5B．a＞1.5C．a＜7D．1.5＜a＜7【分析】解不等式�+16−2�−54≥1得x≤54，解不等式4x＜2x+a+1得x＜�+12，根据题意得到关于a 的不等式，再解关于a 的不等式即可得出答案．【解答】解：解不等式�+16−2�−54≥1得x ≤54，解不等式4x ＜2x +a +1得x ＜�+12，∵不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x ＜2x +a +1成立，∴�+12＞54，∴a ＞1.5，故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．【变式2-7】（2022春•南关区校级期中）关于x 的不等式组3�−6＞0�−�＞−2的解集是2＜x＜5，则a 的值为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于a 的方程，解之即可．【解答】解：由3x ﹣6＞0得：x ＞2，由a ﹣x ＞﹣2得：x ＜a +2，∵不等式组的解集为2＜x ＜5，∴a +2＝5，解得a ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•西湖区期中）已知关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，则a +b ＝．【分析】先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是3≤x ＜5得出a +1＝3，3+�2=5，求出a 、b ，再求出a +b 即可．【解答】解：�−1≥�①2�−�＜3②，解不等式①，得x ≥a +1，解不等式②，得x ＜3+�2，所以不等式组的解集是a +1≤x ＜3+�2，∵关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，∴a +1＝3，3+�2=5，∴a ＝2，b ＝7，∴a +b ＝2+7＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出a +1＝3和3+�2=5是解此题的关键．【变式2-9】若不等式组：�−�＞2�−2�＞0的解集是﹣1＜x ＜1，则（a +b ）2022＝（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2023【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a 、b 的值，再代入计算即可．【解答】解：由x ﹣a ＞2，得x ＞a +2，由b ﹣2x ＞0，得x ＜�2，∵不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，∴a +2＝﹣1，�2=1，解得a ＝﹣3，b ＝2，∴（a +b ）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【例题3】（2022秋•零陵区期末）若关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3−12m ＜�4，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−6+�＜0①4�−�＞0②，解不等式①，得x ＜3−12m ，解不等式②，得x ＞�4，∵关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，∴3−12m ＞�4，解得：m ＜4，故选：B ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．【变式3-1】（2022春•漳州期末）若不等式组�−4＜0�≥�有解，则m 的值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组有解得出m ＜4，再逐个判断即可．【解答】解：�−4＜0①�≥�②，解不等式①，得x ＜4，∵不等式组�−4＜0�≥�有解，∴m ＜4，A ．∵3＜4，∴m 能为3，故本选项符合题意；B ．∵4＝4，∴m不能为4，故本选项不符合题意；C．∵5＞4，∴m不能为5，故本选项不符合题意；D．∵6＞4，∴m不能为6，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组有解得出m的取值范围是解此题的关键．【变式3-2】（2023春•中原区校级期中）若关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，则m的取值范围为．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出4m≥8，再求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式﹣x+8＜0，得x＞8，∵关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，∴4m＞8，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-3】（2023春•莘县期中）已知关于x的不等式组�−�≥05−2�＞1无解，则实数a的取值范围是．【分析】首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于a的不等式，从而求解．【解答】解：�−�≥0⋯①5−2�＞1⋯②，解①得x≥a，解②得x＜2．根据题意得：a≥2．故答案是：a≥2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【变式3-4】（2022春•兖州区期末）若不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．无法确定【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-5】（2022春•都江堰市校级期中）若关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，则a的取值范围．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−�＞0①2�−1+3�2＜1②，解不等式①，得x＞�2，解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，∴�2≥3，解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式�2≥3是解此题的关键．【变式3-6】（2022春•齐河县期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组�−2(�−1)≤32�+�3≥�有解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．4B．5C．2D．3【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥﹣1，解方程得出x＝﹣k+3，由方程的解为非负数知﹣k+3≥0，据此得k≤3，从而知﹣1≤k≤3，继而可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式2�+�3≥x，得：x≤k，∵不等式组有解，∴k ≥﹣1，解方程k ﹣2x ＝3（k ﹣2），得：x ＝﹣k +3，∵方程的解为非负数，∴﹣k +3≥0，解得k ≤3，则﹣1≤k ≤3，∴符合条件的整数k 的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和一元一次方程的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-7】（2022春•大渡口区校级期中）关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，且关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，则符合条件的整数k 的值的和为（）A ．5B ．2C ．4D ．6【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k 的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x ，得x =9−3�2，∵关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，∴9−3�2≥0，得k ≤3，�−2(�−1)≥3①2�+�3≤�②，由不等式①，得：x ≤﹣1，由不等式②，得：x ≥k ，∵关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，∴k ＞﹣1，由上可得，k 的取值范围是﹣1＜k ≤3，∴k 的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k 的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D ．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k 的取值范围．【变式3-8】（2022秋•北碚区校级期末）若整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，且使关于y 的不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．20B ．21C ．27D ．28【分析】先求出方程的解，根据方程的解为非负数得出7−�2≥0，求出a ≤7，求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为y ≤﹣2得出﹣2≤2a ，求出a ≥﹣1，得出﹣1≤a ≤7，求出整数a ，再求出和即可．【解答】解：解方程4�+12=4−�−2�2得：x =7−�2，∵整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，∴7−�2≥0，解得：a ≤7，2�−13＜−1+�3①2�−�4≥0②，解不等式①，得y ＜﹣2，解不等式②，得y ≤2a ，∵不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜−2，∴﹣2≤2a ，∴a ≥﹣1，即﹣1≤a ≤7，∵a 为整数，∴a 为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，和为﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7＝27，故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，能求出a 的取值范围是解此题的关键．【例题4】（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x 的不等式3x ﹣a ≥1只有两个负整数解，则a 的取值范围是（）A ．﹣10＜a ＜﹣7B ．﹣10＜a ≤﹣7C ．﹣10≤a ≤﹣7D ．﹣10≤a ＜﹣7【分析】先解不等式得出�≥�+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出−3＜�+13≤−2，解之可得答案．【解答】解：∵3x ﹣a ≥1，∴�≥�+13，∵不等式只有2个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2，则−3＜�+13≤−2，解得：﹣10＜a ≤﹣7．故选：B ．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．【变式4-2】（2023•大庆一模）若关于x 的不等式3x ﹣2m ＜x ﹣m 只有3个正整数解，则m 的取值范围是．【分析】首先解关于x 的不等式，然后根据x 只有3个正整数解，来确定关于m 的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【解答】解：由3x ﹣2m ＜x ﹣m 得：�＜�2，关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，∴3≤�2＜4，∴6≤m＜8，故答案为：6≤m＜8．【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•海曙区期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣2＜m≤﹣1【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式4-4】（2022•贵阳模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【分析】解关于x的不等式求得x≤�3，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤�3，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤�3＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】（2023春•涡阳县期中）关于x5)＜3�−8的解集中仅有﹣1和0两个整数解，且10a＝2m+5，则m的取值范围是（）A．﹣2.5＜m≤2.5B．﹣2.5≤m≤2.5C．0＜m≤2.5D．2＜m≤2.5【分析】先根据不等式组的解集中仅有﹣1和0两个整数解，求出a的取值范围，再根据10a＝2m+5，得m的取值范围即可．【解答】解：解不等式组得�＜��＞−2，∵不等式组解集中仅有﹣1和0两个整数解，∴0＜a≤1，∵10a＝2m+5，∴m＝5a﹣2.5，∵﹣2.5＜5a﹣2.5≤2.5，∴m的范围是﹣2.5＜m≤2.5．故选：A ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-6】（2022秋•巴南区校级期中）若关于x≥2�4(�+1)有解，且最多有3个整数解，且关于y 的方程3y ﹣2=2�−3(8−�)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（）A ．23B ．26C ．29D ．39【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得2≤3�10＜5，再解一元一次方程，根据题意可得2�−203≥0且2�−20310≤m ＜503且2�−203为整数，然后进行计算即可解答．≥2�①4(�+1)②，解不等式①得：x ≤3�10，解不等式②得：x ≥32，∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴2≤3�10＜5，∴203≤m ＜503，3y ﹣2=2�−3(8−�)2，解得：y =2�−203，∵方程的解为非负整数，∴2�−203≥0且2�−203为整数，∴m ≥10且2�−203为整数，综上所述：10≤m ＜503且2�−203为整数，∴m ＝10，13，16，∴满足条件的所有整数m 的和，10+13+16＝39，故选：D ．【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-7】（2022春•兴文县期中）已知关于x 的不等式组2�+4＞03�−�＜6．（1）当k 为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2？（2）若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．【分析】（1）解不等式组得到其解集，结合已知的解集明确6+�3=2，即可求出k 的值；（2）根据（1）的结论和不等式组只有四个正整数解，可得关于k 的不等式组，再解不等式组即可．【解答】解：（1）不等式组2�+4＞03�−�＜6，解不等式2x +4＞0得：x ＞﹣2，解不等式3x ﹣k ＜6得：�＜6+�3，∴该不等式组的解集为−2＜�＜6+�3．∵﹣2＜x ＜2，∴6+�3=2，∴k ＝0，即k ＝0时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2．（2）由（1）知，不等式组2�+4＞03�−�＜6的解集为−2＜�＜6+�3，∵该不等式组只有4个正整数解，∴x ＝1，2，3，4，∴4＜6+�3≤5，∴6＜k ≤9．【点评】本题考查解一元一次不等式组，属于常考题型，第2问有一定难度，根据原不等式组解集的情况得出关于k 的不等式组是解题的关键．【变式4-8】（2022春•淮北月考）已知关于x 的不等式组�＞−1�≤1−�（1）当k ＝﹣2时，求不等式组的解集；（2）若不等式组的解集是﹣1＜x ≤4，求k 的值；（3）若不等式组有三个整数解，则k 的取值范围是．【分析】（1）将k ＝﹣2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围；（3）根据不等式组中x ＞﹣1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围．【解答】解：（1）当k ＝﹣2时，1﹣k ＝1﹣（﹣2）＝3，∴原不等式组解得：x＞−1x≤3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3；（2）当不等式组的解集是﹣1＜x≤4时，1﹣k＝4，解得k＝﹣3；（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为0、1、2，又∵x≤2且x≤1﹣k，∴2≤1﹣k＜3，1≤﹣k＜2，解得﹣2＜k≤﹣1．故答案为：﹣2＜k≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-9】（2022•南京模拟）已知关于x的不等式组5�+1＞3(�−1)12�≤8−32�+2�恰有三个整数解．（1）求a的取值范围．（2）化简|a+3|﹣2|a+2|．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可；（2）根据（1）所求可得a+3≥0，a+2＜0，由此化简绝对值即可．【解答】解：（1）5�+1＞3(�−1)①12�≤8−32�+2�②，解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ≤4+a ，∴不等式组的解集为﹣2＜x ≤4+a ，∵不等式组前有三个整数解，∴1≤4+a ＜2，∴﹣3≤a ＜﹣2；（2）∵﹣3≤a ＜﹣2，∴a +3≥0，a +2＜0，∴|a +3|﹣2|a +2|＝a +3+2（a +2）＝a +3+2a +4＝3a +7．【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键．【例题5】（2022秋•西湖区校级期中）关于x 的方程组�−�=�−2�+2�=2�+1的解满足2x +y＞2，则m 的取值范围是．【分析】两方程相加得到2x +y ＝3m ﹣1，结合2x +y ＞2列出关于m 的不等式，解之可得【解答】解：�−�=�−2①�+2�=2�+1②，①+②得：2x +y ＝3m ﹣1，∵2x+y＞2，∴3m﹣1＞2，∴m＞1，故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变5-1】（2022春•长泰县期中）已知方程组2�+�=3+��+2�=1−�的解满足x﹣y＜0，则（）A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=1−�②，①﹣②得：x﹣y＝2m+2，代入x﹣y＜0得：2m+2＜0，解得：m＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变5-2】（2022春•建邺区校级期末）若方程组2�+�=3+��+2�=−1−�的解满足x＜y，则a 的取值范围是（）A．a＜﹣2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＞2【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=−1−�②，①﹣②得：x ﹣y ＝4+2a ，∵x ＜y ，∴x ﹣y ＜0，∴4+2a ＜0，∴a ＜﹣2．故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x ﹣y 是解本题的关键．【变5-3】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5�2−1＜6的负整数解是方程2x ﹣3＝ax 的解．求关于x 的一元一次不等式组7(�−�)−3�＞−1115�+2＜�的解集及其所有整数解的和．【分析】先求出不等式4−5�2−1＜6的负整数解，再解方程求出a 的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可得答案．【解答】解：∵4−5�2−1＜6，4﹣5x ﹣2＜12，﹣5x ＜10，x ＞﹣2，∴不等式的负整数解是﹣1，把x ＝﹣1代入2x ﹣3＝ax 得：﹣2﹣3＝﹣a ，解得：a ＝5，把a＝5代入不等式组得7(�−5)−3�＞−11 15�+2＜5，解不等式组得：6＜x＜15．∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．【变5-4】（2022春•雁江区校级期中）已知a是不等式组5�−1＞3(�+1)12�−1＜7−32�的整数解，x，y满足方程组��−2�=8�+2�=0，求（x﹣y）（x2+xy+y2）的值．【分析】先解不等式组确定a的整数值，再将a值代入关于x、y的二元一次方程组中求解，最后求得（x+y）（x2﹣xy+y2）的值．【解答】解：解不等式①得：a＞2，解不等式②得：a＜4，∴不等式组的解集是：2＜a＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为3�−2�=8�+2�=0，解得�=2�=−1，∴（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（﹣1+2）（4+2+1）＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．【变5-5】（2022春•南关区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组5�+2�=5�7�+4�=4�的解满足不等式组2�+�＜5�−�＞−9，求出整数a的所有值．【分析】解方程组5�+2�=5�7�+4�=4�得出�=2��=−52�，代入不等式组2�+�＜5�−�＞−9得到关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：5�+2�=5�①7�+4�=4�②，①×2﹣②，得：3x＝6a，解得：x＝2a，将x＝2a代入①，得：10a+2y＝5a，解得：y=−52a，∴方程组的解为�=2��=−5 2�．将�=2��=−52�代入不等式组组2�+�＜5�−�＞−9，得：4�−52�＜5 2�+52�＞−9，解得：﹣2＜a＜10 3，∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．�+4�=2+�的解满足﹣1＜x+y≤3．【变5-6】（2023春•河南期中）已知方程组2�−�=1+2�（1）求a的取值范围；（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．【解答】解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，则x+y＝a+1，根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，解得﹣2＜a≤2，即a的取值范围是﹣2＜a≤2；（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，又∵﹣2＜a≤2且a为整数，∴a＝﹣1，0，即a的值是﹣1或0．【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．【变5-7】（2022春•威远县校级期中）已知方程组�+�=−7−��−�=1+3�的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【分析】（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，根据x 为非正数，y 为负数得�−3≤0①−2�−4＜0②，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m ＜−12，再从﹣2＜m ≤3中找到符合此条件的整数m 的值即可．【解答】解：（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，∵x 为非正数，y 为负数，∴�−3≤0①−2�−4＜0②，解不等式①，得：m ≤3，解不等式②，得：m ＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜m ≤3；（2）∵不等式2mx +x ＜4m +2，即（2m +1）x ＜4m +2的解集为x ＞2，∴2m +1＜0，解得m ＜−12，在﹣2＜m ≤3中符合m ＜−12的整数为﹣1．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变5-8】（2022春•定远县校级期末）已知不等式组3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②．（1）求此不等式组的解集，并写出它的整数解；（2）若上述整数解满足不等式ax+6≤x﹣2a，化简|a+1|﹣|a﹣1|．【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出它的整数解即可；（2）将（1）中的结果代入不等式ax+6≤x﹣2a，然后求出a的取值范围，再判断a+1和a ﹣1的正负情况，然后将所求式子去掉绝对值，再化简即可．【解答】解：（1）3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②，由①得：�＜11 4，由②得：�＞7 5，∴不等式组的解集为75＜�＜114，∴不等式组的整数解为x＝2；（2）将x＝2代入不等式ax+6≤x﹣2a，得：2a+6≤2﹣2a，解得a≤﹣1，∴a+1≤0，a﹣1≤﹣2，∴|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣（a+1）﹣（1﹣a）＝﹣a﹣1﹣1+a＝﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变5-9】（2022春•乐安县期中）若关于x�−13�≤4−�恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组��+�=43�−�=0也有整数解，求出所有符合条件的整数m 的值．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m 的范围，再由方程组有整数解，确定出符合题意整数m 的值即可．【解答】解：不等式组整理得：�＞−2�≤�+45，∵不等式组恰有2个整数解，∴﹣2＜x ≤�+45，即整数解为﹣1，0，∴0≤�+45＜1，解得：﹣4≤m ＜1，即整数m ＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，方程组��+�=4①3�−�=0②，①+②得：（m +3）x ＝4，解得：x =4�+3，把x =4�+3代入②得：y =12�+3，∵方程组的解为整数，∴m ＝﹣4，﹣2，﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。
江苏无锡市七年级数学下册第九章【不等式与不等式组】经典练习题(答案解析)
一、选择题1．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．24x <≤B ．24x ≤<C ．24x <<D ．24x ≤≤ 2．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL 的水装进一个容量为300 mL 的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm 3)( ).A ．10 cm 3以上，20 cm 3以下B ．20 cm 3以上，30 cm 3以下C ．30 cm 3以上，40 cm 3以下D ．40 cm 3以上，50 cm 3以下3．关于x 的方程3a x -=的解是非负数，那么a 满足的条件是（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．3a <D ．3a ≥ 4．不等式组43x x <⎧⎨≥⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ．C ．D ．5．若a b <，则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．11a b -<-B ．33a b <C ．a b ->-D ．ac bc < 6．若a b <，则下列不等式中不正确的是（ ）A ．11+<+a bB ．a b ->-C ．22a b --<--D ．44a b < 7．如果点P(m ，1m -)在第四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．0m >B ．01m <<C ．1m <D ．1m 8．不等式组36030x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．9．不等式组32153x x ->⎧⎨-<-⎩的解集在数轴上的表示是（ ） A ． B ．C ．D ．10．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）A ．1x >-B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．1x >-或2x ≤ 11．若关于x 的不等式组132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤≤ B ．12a ≤<C ．12a <≤D ．12a << 二、填空题12．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3x m y m =⎧⎨=+⎩（m 为常数），方程组111222(2)2(2)2(2)2(2)2a x y b x y c a x y b x y c +++=⎧⎨+++=⎩的解x 、y 满足3x y +>，则m 的取值范围为______． 13．若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；②关于x 的方程0ax b c ++=的解为1x =；③22()a b c =+ ④||||||||a b c abc a b c abc +++的值为0或2；⑤在数轴上点A ．B ．C 表示数a 、b 、c ，若0b <，则线段AB 与线段BC 的大小关系是AB BC >． 其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）．14．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______． 15．若不等式00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为23x <<，则a ，b 的值分别为_______________． 16．当前我国的新冠疫情虽然有所控制，但防控仍不可掉以轻心，为做好秋季防疫工作，王老师带现金6820元为年级采购了额温枪和消毒酒精两种防疫物品，额温枪每个125元，消毒酒精每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于消毒酒精的数量）.若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买消毒酒精的数量为__________________瓶．17．在平面直角坐标系 xOy 中，点(,)P a b 的“变换点”Q 的坐标定义如下：当a b 时，Q点坐标为(,)b a -；当a b <时，Q 点坐标为(,)a b -．（1）(2,3)-的变换点坐标是_____________．（2）若(,0.52)a a -+的变换点坐标是(,)m n ，则m 的最大值是_____________． 18．若关于x 的不等式组0521x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解有且只有4个，则m 的取值范围是：__________．19．令a 、b 两个数中较大数记作{}max ,a b 如{}max 2,33=，已知k 为正整数且使不等式{}max 21,33k k +-+≤成立，则关于x 方程21136x k x ---=的解是_____________． 20．不等式组()2x 15x 742x 31x 33⎧+>-⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______ 21．若关于x 的一元一次不等式组21122x a x x ->⎧⎨->-⎩的解集是21x -<<，则a 的取值是__________． 三、解答题22．（1）解方程组：43220x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 23．解下列不等式：（1）()()212531x x -+<-+（2）解不等式组 ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+<⎪⎩24．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．25．某电影院某日某场电影的票价是：成人票30元，学生票15元，满50人可以购团体票（不足50人可按50人计算，票价打9折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x 人．（1）若按个人票购买，该班师生买票共付费_________元（用含x 的代数式表示）；若按团体票购买，该班师生买票共付费___________（用含x 的代数式表示，且46x ≥） （2）①如果该班学生人数为36人，该班师生买票最少可付费多少元？②如果该班学生人数为42人，该班师生买票最少可付费多少元？（3）用含x的代数式表示该班买票最少应付多少元？一、选择题1．下列各式中正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b -<-B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，且0c ≠，则ac bc >D ．若||||a b c c >，则a b > 2．已知点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂,A B 两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排,A B 两种货厢的节数，有几种运输方案（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种4．若a ＋b ＞0，且b ＜0，则a 、b 、-a 、-b 的大小关系为( )A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-a ＜b ＜-b ＜aD ．b ＜-a ＜-b ＜a 5．下列变形中，不正确的是（ ）A ．若a>b ，则a+3>b+3B ．若a>b ，则13a>13bC ．若a<b ，则-a<-bD ．若a<b ，则-2a>-2b. 6．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个 7．已知01m <<，则m 、2m 、1m（ ） A ．21m m m >> B ．21m m m >> C ．21m m m>> D ．21m m m >> 8．若a b <，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．11+<+a b B ．a b ->- C ．22a b --<-- D ．44a b < 9．下列命题是假命题的是（ ）．A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行B ．在实数7.5-，15，327-，π-，()22中，有3个有理数，2个无理数 C ．在平面直角坐标系中，点(21,7)P a a -+在x 轴上，则点P 的坐标为(7,0)-D ．不等式组513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和为7 10．不等式1322x x -+>的解在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．下列不等式说法中，不正确的是（ ）A ．若,2x y y >>，则2x >B ．若x y >，则22x y -<-C ．若x y >，则22x y >D ．若x y >，则2222x y --<--二、填空题12．若()a 1x a 1-<-的解集为x 1>，则a 的取值范围是________．13．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．14．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______． 15．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．16．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x -<■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是2x >，则被污染的数是__________．17．点()1,2P x x -+不可能在第__________象限．18．已知点N 的坐标为()8a a -，，则点N 一定不在第____象限19．若关于x 、y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足32x y +>-，则满足条件的m 的取值范围是____________．20．已知a＞b，则15a+c_____15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）．21．不等式组()2x15x742x31x33⎧+>-⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______三、解答题22．解关于x的不等式组：2311 23x xx x<+⎧⎪⎨<+⎪⎩23．解下列不等式（组）：（1）2132x x-≤；（2）把它的解集表示在数轴上．3(2)4 1213x xxx--≤⎧⎪+⎨>-⎪⎩24．解方程组和不等式(组)：（1）解方程组45 3212x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：() ()()263 52141x xx x ⎧->+⎪⎨--≤+⎪⎩25．11月份，是猕猴桃上市的季节，猕猴桃酸甜，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．万州某水果超市的红心猕猴桃与黄心猕猴桃这两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价12元/千克，黄心猕猴桃售价9元/千克．（1）若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心猕猴桃多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心猕猴桃和黄心猕猴桃的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心猕猴桃售价不变，销量比第一周增加了4 3a%，黄心猕猴桃的售价保持不变，销量比第一周增加了13a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a%的基础上还多了280元，求a的值．一、选择题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3 B ．a ≥3C ．a ＞3D ．a ≤3 2．不等式()2533x x ->-的解集为（ ）A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >- 3．不等式32x x -≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．若a ＋b ＞0，且b ＜0，则a 、b 、-a 、-b 的大小关系为( )A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜a ＜-bC ．-a ＜b ＜-b ＜aD ．b ＜-a ＜-b ＜a 6．不等式组23x x ≥-⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个 7．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（ ） A ．5 B ．0 C ．-1 D ．-28．下列说法中不正确的是（ ）A ．若a b >，则a 1b 1->-B ．若3a 3b >，则a b >C ．若a b >，且c 0≠，则ac bc >D ．若a b >，则7a 7b -<- 9．整数a 使得关于x ，y 的二元一次方程组931ax y x y -=⎧⎨-=⎩的解为正整数（x ，y 均为正整数），且使得关于x 的不等式组()1211931x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，则a 的值可以为（ ）A ．4B ．4或5或7C ．7D ．1110．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）A ．1x >-B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．1x >-或2x ≤ 11．已知a<b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ） A ．a+2<b+2 B ．22ac bc < C ．1122a b < D ．-2a-1-2b-1>二、填空题12．关于x 的不等式组x 5x a≤⎧⎨>⎩无解，则a 的取值范围是________. 13．已知不等式组43103x x a -≤≤-⎧⎪⎨->⎪⎩有解，那么a 的取值范围是___________． 14．若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解，则a 的取值范围是______. 15．若关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个，则a 的取值范围是________________． 16．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______． 17．已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数，求a 的取值范围是_______． 18．若不等式（2﹣a ）x ＞2的解集是x ＜22a-，则a 的取值范围是_____． 19．若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩恰有四个整数解，则a 的取值范围是_________. 20．已知关于x 的不等式组0{321x a x -≥->-的整数解共有5个，则a 的取值范围为_________． 21．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________．三、解答题22．解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）432136x x -+>-； （2）2(1)0210x x +<⎧⎨-⎩． 23．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入有理数x ”到“结果是否大于0”称为“一次操作”（1）下面命题是真命题有①当输入x ＝3后，程序操作仅进行一次就停止．②当输入x ＝﹣1后，程序操作仅进行一次就停止．③当输入x 为负数时，无论x 取何负数，输出的结果总比输入数大．④当输入x <3，程序操作仅进行一次就停止．（2）探究：是否存在正整数x ，使程序只能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所有符合条件的x 的值；若不存在，请说明理由．24．某校购买了A 型课桌椅100套和B 型课桌椅150套供学生使用，共付款53000元．已知每套A 型课桌椅比每套B 型课桌椅多花30元．（1）求该校购买每套A 型课桌椅和每套B 型课桌椅的钱数．（2）因学生人数增加，该校需再购买A 、B 型课桌椅共100套，只有资金22000元，求最多能购买A 型课桌椅的套数．25．解下列不等式或不等式组：（1）22x > （2）452(1)x x +>+（3）32123x x x +>⎧⎪⎨≤⎪⎩ （4）211841x x x x ->+⎧⎨+<-⎩。
七年级数学下册《一元一次不等式与不等式组》练习题及答案解析
七年级数学下册《一元一次不等式与不等式组》练习题及答案解析1. 不等式组{x>−1x≤1的解集是( )A. x<1B. x≥1C. −1<x≤1D. 1≤x<−12. 不等式组{x+2<0x+3<0的解集是( )A. x<−2B. x<−3C. −3<x<−2D. x>−23. 下列各式中一元一次不等式是( )A. x≥5xB. 2x>1−x2C. x+2y<1D. 2x+1≤3x4. 若代数式2a+7的值不大于3则a的取值范围是( )A. a≤4B. a≤−2C. a≥4D. a≥−25. 已知a>b>0则下列不等式不一定成立的是( )A. ab>b2B. a+c>b+cC. 1a <1bD. ac>bc6. 不等式4x−511<1的正整数解为( )A. 1个B. 3个C. 4个D. 5个7. 不等式组{x+1≤02x+3<5的解集是( )A. x≤−1或x>1B. −1≤x<1C. x≤−1D. x>18. 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机他现在已存有45元计划从现在起以后每个月节省30元直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )A. 30x−45≥300B. 30x+45≥300C. 30x−45≤300D. 30x+45≤3009. 关于x的不等式组{x+43>x2+1x+a<0的解集为x<2则a的取值范围是( )A. a≤−2B. a≥−2C. a≤2D. a≥210. 如果a<b<0下列不等式中错误的是( )A. ab>0B. a+b<0C. ab<1 D. a−b<011. 不等式12x>−3的解集是______.12. 不等式x+2>12x的负整数解______.13. 不等式组：{x−1<0x>0的解集是______.14. 不等式组{2x+1>x−1x+8>4x−1的正整数解是______.15. 某生物兴趣小组要在温箱里培养A B两种菌苗A种菌苗的生长温度x(℃)的范围是35≤x≤38 B种菌苗的生长温度y(℃)的范围是34≤y≤36.那么温箱里的温度t(℃)d的范围是______.16. 已知不等式3x −a ≤0的正整数解只有1 2 3 那么a 的取值范围是______.17. 若不等式组{x −a >2b −2x >0的解集是−1<x <1 则(a +b)2014等于______. 18. 已知关于x 的不等式组{5−2x ≥1x −a ≥0无解 则a 的取值范围是______. 19. 一位老师说 他班学生的一半在学数学 四分之一的学生在学音乐 七分之一的学生在学外语 还剩不足6名同学在操场上踢足球 则这个班的学生最多有______人．20. 几个小朋友分糖块 如果每人分4块糖 则多余8块糖 如果每人分8块糖 则有一人分到了糖块但不足8块 请你猜想 共有______位小朋友______块糖．21. 解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)−3(1−x)+6>1+4x(2)x −12+1≥x. 22. 解下列不等式组：(1){3x −1<52x +6>0(2){3(x +1)>5x +4x −12≤2x −13. 23. 已知关于x 的方程5x −2m =3x −6m +1的解为x 满足−3<x ≤2 求m 的整数值．24. 某软件公司开发一种图书软件 前期投入的开发、广告宣传费用共50000元 且每售出一套软件 软件公司还需支付安装调试费200元．如果每套定价700元 软件公司至少要售出多少套才能确保不亏本？25. 一本科普读物共98页 晓芬读了一周(七天)还没有读完 而小敏不到一周就读完了．已知小敏平均每天比晓芬多读3页 那么晓芬平均每天读多少页？(答案取整数)26. 扬州火车站有某公司待运的甲种货物1530吨 乙种货物1150吨 现计划用50节A 、B 两种型号的车厢将这批货物运至北京、已知每节A 型货厢的运费是0.5万元 每节B 型货厢的运费是0.8万元 甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢 甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢 按此要求安排A 、B 两种货厢的节数 共有几种方案？请你设计出来 并说明哪种方案的运费最少 最少运费是多少？参考答案与解析1.【答案】C【解析】解：把解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集是−1<x ≤1.故选：C.把两个解集表示在数轴上 再找公共部分即可．本题考查一元一次不等式组的解集 熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题关键．2.【答案】B【解析】解：{x +2<0①x +3<0②由①得：x <−2由②得：x <−3则不等式组的解集为x <−3.故选：B.分别求出不等式组中两不等式的解集 找出两解集的公共部分即可．此题考查了解一元一次不等式组 熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．3.【答案】D【解析】解：A 、不是整式 不符合题意B 、未知数的最高次数是2 不符合题意C 、含有2个未知数 不符合题意D 、是只含有1个未知数 并且未知数的最高次数是1 用不等号连接的整式 符合题意故选D.找到只含有1个未知数 并且未知数的最高次数是1 用不等号连接的整式即可．考查一元一次不等式的定义：只含有1个未知数 并且未知数的最高次数是1 用不等号连接的整式叫做一元一次不等式．4.【答案】B【解析】解：依题意得2a +7≤32a ≤−4a≤−2.故选：B.根据题意列出不等式利用不等式的性质来求a的取值范围．本题考查了解一元一次不等式．解不等式要依据不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5.【答案】D【解析】解：A、ab>b2成立B、a+c>b+c成立C、1a <1b成立D、ac<bc不一定成立．故选：D.根据不等式的性质分析判断．不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时一定要注意不等号的方向是否改变．6.【答案】B【解析】解：解不等式得x<4则不等式4x−511<1的正整数解为123共3个．故选：B.首先利用不等式的基本性质解不等式然后找出符合题意的正整数解．本题考查了一元一次不等式的整数解正确解不等式求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．7.【答案】C【解析】解：解不等式x+1≤0得：x≤−1解不等式2x+3<5得：x<1则不等式组的解集为x≤−1故选C.分别求出每一个不等式的解集根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组正确求出每一个不等式解集是基础熟知“同大取大同小取小大小小大中间找大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8.【答案】B【解析】解：x个月可以节省30x元根据题意得30x+45≥300.故选：B.此题中的不等关系：现在已存有45元计划从现在起以后每个月节省30元直到他至少有300元．至少即大于或等于．本题主要考查简单的不等式的应用解题时要注意题目中的“至少”这类的词．9.【答案】A【解析】解：根据题意得：x<2x+a<0∴x<−a∴a=−2或a<−2∴a≤−2故选A.根据题意知道不等式组的解集为x<2再由x+a<0直接求出a的取值范围．本题考查了不等式的解集解题的关键是根据题意及不等式的解集直接求出a的取值范围．10.【答案】C【解析】解：A、如果a<b<0则a、b同是负数因而ab>0故A正确B、因为a、b同是负数所以a+b<0故B正确C、a<b<0则|a|>|b|则ab >1也可以设a=−2b=−1代入检验得到ab<1是错误的．故C错误D、因为a<b所以a−b<0故D正确故选：C.根据不等式的性质分析判断．利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法．11.【答案】x>−6【解析】解：去分母得故答案为：x>−6.直接把不等式的两边同时乘以2即可得出结论．本题考查的是解一元一次不等式熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．12.【答案】−3−2−1【解析】解：不等式x +2>12xx −12x >−2 12x >−2 解得x >−4故不等式x +2>12x 的负整数解有−3、−2、−1.故答案为：−3、−2、−1.首先利用不等式的基本性质解不等式 再从不等式的解集中找出非负整数解即可．本题考查了一元一次不等式的整数解 正确解不等式 求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．13.【答案】0<x <1【解析】解集：由(1)得 x <1由(2)得 x >0所以不等式组{x −1<0x >0的解集是0<x <1. 分别求出两个不等式的解集 求其公共解集．求不等式的公共解集 要遵循以下原则：同大取较大 同小取较小 小大大小中间找 大大小小解不了．14.【答案】1 2【解析】解：{2x +1>x −1①x +8>4x −1②解不等式①得：x >−2解不等式②得：x <3∴原不等式组的解集为：−2<x <3∴该不等式组的正整数解为：1 2故答案为：1按照解一元一次不等式组的步骤 进行计算可得−2<x <3 然后再找出此范围内的正整数即可． 本题考查了一元一次不等式组的整数解 准确熟练地进行计算是解题的关键．15.【答案】35≤t ≤36【解析】解：由题意可得不等式组{35≤x ≤3834≤y ≤36根据求不等式解集的方法可知温箱里的温度t ℃应该设定在35≤t ≤36故答案为：35≤t ≤36.温箱里的温度T ℃应该设定在能使A B 两种菌苗同时满足的温度 即35≤x ≤38与34≤y ≤36的公共部分．此题考查的是不等式的解集．求不等式组的解集 应注意：同大取较大 同小取较小 小大大小中间找 大大小小解不了．16.【答案】9≤x <12【解析】解：不等式的解集是：x ≤a 3∵不等式的正整数解恰是1 2 3∴3≤a 3<4 ∴a 的取值范围是9≤a <12.故答案为：9≤a <12.首先确定不等式组的解集 利用含a 的式子表示 再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解 然后根据解的情况可以得到关于a 的不等式 从而求出a 的范围．本题考查了一元一次不等式的整数解 正确解出不等式的解集 正确确定a 3的范围 是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．17.【答案】1【解析】解：{x −a >2①b −2x >0②解不等式①得 x >2+a解不等式②得 x <b 2所以 不等式组的解集是2+a <x <b 2∵不等式组的解集是−1<x <1∴{2+a =−1b 2=1 解得{a =−3b =2所以故答案为：1.先去用a 、b 表示出不等式组的解集 然后根据不等式组的解集列出关于a 、b 的方程组并求出a 、b 最后代入代数式进行计算即可得解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法 难点在于用a 、b 表示出不等式组的解集再列出方程组．18.【答案】a>2【解析】解：解不等式5−2x≥1得：x≤2解不等式x−a≥0得：x≥a∵不等式组的无解∴a>2故答案为：a>2.分别求出每一个不等式的解集根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．本题考查的是解一元一次不等式组正确求出每一个不等式解集是基础熟知“同大取大同小取小大小小大中间找大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】28【解析】解：设这个班的学生共有x人依题意得：x−12x−14x−17x<6解之得：x<56又∵x为2、4、7的公倍数∴这个班的学生最多共有28人．本题考查一元一次不等式的应用将现实生活中的事件与数学思想联系起来读懂题列出不等关系式即可求解．解决问题的关键是读懂题意找到关键描述语找到所求的量的等量关系．20.【答案】3 20【解析】解：设x个小朋友y块糖由题意可知y−4x=81≤y−8(x−1)<8∴y=8+4x代入不等式可知2<x≤154∵x为整数所以x为3则y为20所以共有3位小朋友20块糖．故答案为3可以设x个小朋友y块糖列出不等式从而根据条件求解x和y的值．本题考查了一元一次不等式的应用解决问题的关键是读懂题意根据实际情况依题意列出不等式进行求解．21.【答案】解：(1)−3(1−x)+6>1+4x−3+3x+6>1+4x3x−4x>1+3−6−x >−2x <2将解集表示在数轴上如图所示：(2)x −12+1≥x x −1+2≥2xx −2x ≥1−2−x ≥−1x ≤1..【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得 然后在数轴上表示出解集即可．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力 严格遵循解不等式的基本步骤是关键 尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．22.【答案】解：(1){3x −1<5①2x +6>0②解不等式①得：x <2解不等式②得：x >−3则不等式组的解集为−3<x <2(2){3(x +1)>5x +4①x −12⩽2x −13② 解不等式①得：x <−12解不等式②得：x ≥−1则不等式组的解集为−1≤x <−12.【解析】分别求出每一个不等式的解集 根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组 正确求出每一个不等式解集是基础 熟知“同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23.【答案】解：解方程5x −2m =3x −6m +1 得x =12−2m.∵−3<x ≤2∴{12−2m ≤212−2m>−3解得−34≤m <134∴m 的整数值是0 1. 【解析】先用m 的式子表示x 再根据−3<x ≤2 列出不等式组 求出不等式组的解集 再从中找出m 的整数值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次方程的解 根据x 的取值范围 得出a 的整数解．24.【答案】解：设软件公司要售出x 套软件才能确保不亏本则有：700x ≥50000+200x解得：x ≥100.答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．【解析】要使公司不赔本 那么销售软件的收入≥投资的总费用 然后得出自变量的取值范围．本题考查一元一次不等式的应用 将现实生活中的事件与数学思想联系起来 读懂题列出不等式关系式即可求解．25.【答案】解：设晓芬平均每天读x 页 则小敏平均每天读(x +3)页依题意得：{7x <987(x +3)>98解得：11<x <14又∵x 为整数∴x =12或13.答：晓芬平均每天读12页或13页．【解析】设晓芬平均每天读x 页 则小敏平均每天读(x +3)页 根据“晓芬读了一周(七天)还没有读完 而小敏不到一周就读完了” 即可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再取其中的整数值即可得出结论．本题考查了一元一次不等式组的应用 根据各数量之间的关系 正确列出一元一次不等式组是解题的关键．26.【答案】解：设A 型货厢的节数为x 则B 型货厢的节数为(50−x)节．{35x +25(50−x)≥153015x +35(50−x)≥1150解得：28≤x ≤30.∵x 为正整数∴x 可为28 29∴方案为①A型货厢28节B型货厢22节②A型货厢29节B型货厢21节③A型货厢30节B型货厢20节总运费为：0.5x+0.8×(50−x)=−0.3x+40∵−0.3<0∴x越大总运费越小∴x=30最低运费为：−0.3×30+40=31万元．答：A型货厢30节B型货厢20节运费最少最少运费是31万元．【解析】关系式为：A型货厢装甲种货物吨数+B型货厢装甲种货物吨数≥1530A型货厢装乙种货物吨数+B型货厢装乙种货物吨数≥1150把相关数值代入可得一种货厢节数的范围进而求得总运费的等量关系根据函数的增减性可得最少运费方案及最少运费．考查一元一次不等式组的应用及方案的选择问题得到所运货物吨数的两个关系式及总运费的等量关系是解决本题的关键。
(必考题)初中七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》经典复习题(含答案解析)
一、选择题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ≥3C ．a ＞3D ．a ≤3B解析：B 【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a 的范围． 【详解】 解：5210x x a -≥-⎧⎨->⎩①②解不等式①，得3x ≤； 解不等式②，得x a >； ∵不等式组无解， ∴3a ≥； 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2D解析：D 【分析】首先解不等式组，求得其解集，又由数轴知该不等式组有3个整数解即可得到关于a 的方程，解方程即可求得a 的值． 【详解】解：∵1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解不等式1x a -<-得：1x a <-， 解不等式113x-≤得：2x ≥-，∴不等式组的解集为：21x a -≤<-， 由数轴知该不等式组有3个整数解， 所以这3个整数解为-2、-1、0， 则11a -=， 解得：2a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x ≤C ．13x -≤≤D ．13x -<≤ D解析：D 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3， 故选D ． 【点睛】考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4．己知关于x ，y 的二元一次方程ax b y +=，下表列出了当x 分别取值时对应的y 值．则关于x 的不等式0ax b --<的解集为（ ）x… －2 －1 0 1 2 3 … y …321－1－2…A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜0D ．x ＞0A解析：A将x=0、y=1和x=1、y=0代入ax+b=y得到关于a、b的方程组，解之得出a、b的值，从而得到关于x的不等式，解之可得答案．【详解】解：根据题意，得：10 ba b=⎧⎨+=⎩，解得a=-1，b=1，则不等式-ax-b＜0为x-1＜0，解得x＜1，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于x的不等式，并熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据．5．不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ． C解析：C【解析】分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．详解：解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．点睛：本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．若关于x的不等式组255332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-B．116a2-<<-C．1162a-<-D．1162a-- A【分析】分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可． 【详解】255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20 解②得x ＞3-2a ，∵不等式组只有5个整数解， ∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20， ∴14≤3-2a ＜15，1162a ∴-<-故选A 【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键．7．如果不等式组5x x m <⎧⎨>⎩有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞5B ．m≥5C ．m ＜5D ．m≤8C解析：C 【解析】 ∵不等式组有解，∴m ＜5． 故选C ．【方法点睛】本题主要考查的是不等式的解集，依据口诀列出不等式是解题的关键． 8．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况参赛者答对题数 答错题数得分 A20 0 100 B18288A ．胜一场积5分，负一场扣1分B ．某参赛选手得了80分C ．某参赛选手得了76分D ．某参赛选手得分可能为负数B解析：B 【分析】由参赛者A 可得：胜一场得100÷20=5分，设负一场扣x 分，根据参赛者B 的得分列出方程，求出方程的解即可得出负一场扣多差分；设参赛选手胜y 场，则负（20-y ）场，根据胜场的得分＋负场的得分=选手得分，分别建立方程求出其解即可． 【详解】A ．由参赛者A 可得：胜一场得100÷20=5分，设负一场扣x 分，根据参赛者B 的得分：5181288x ⨯-⨯=，解得：1x =，所以负一场扣1分；故本选项正确；B ．设参赛选手胜y 场，则负（20-y ）场，则()512080y y ⨯-⨯-=，解得503y =，∵y 为整数，∴参数选手不可能得80分；故本选项错误；C ．设参赛选手胜y 场，则负（20-y ）场，()512076y y ⨯-⨯-=，解得16y =，所以参数选手胜了16场，负了4场；故本选项正确；D ．设参赛选手胜y 场，则负（20-y ）场，()51200y y ⨯-⨯-<，解得103y <，所以当参赛选手低于4场胜利时候，得分就可能是负数；故本选项正确； 故选：B 【点睛】本题考查了总数÷分数=每份数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键胜场的得分+负场得分=总得分是关键．9．若关于x 的不等式组0722x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是（ ）A ．5＜m ＜6B ．5＜m ≤6C ．5≤m ≤6D ．6＜m ≤7B解析：B 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m 的范围． 【详解】解不等式x ﹣m ＜0，得：x ＜m ，解不等式7﹣2x≤2，得：x≥52，因为不等式组有解，所以不等式组的解集为52≤x＜m，因为不等式组的整数解有3个，所以不等式组的整数解为3、4、5，所以5＜m≤6．故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．10．不等式325132x x++≤-的解集表示在数轴上是（）A．B．C．D． B解析：B【分析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．【详解】解：去分母，得，2（3x+2）≤3（x+5）﹣6，去括号，得6x+4≤3x+15﹣6，移项、合并同类项，得3x≤5，系数化为1，得，x≤53，在数轴上表示为：故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，＞向右画，＜向左画，≤与≥用实心圆点，＜与＞用空心圆圈．二、填空题11．不等式组2173112x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩的解集是____．1≤x ＜4【分析】分别求出每一个不等式的解集再找到公共部分即可得【详解】解：解不等式①得x ＜4解不等式②得x≥1所以不等式组的解集为：1≤x ＜4故答案为：1≤x ＜4【点睛】此题主要考查了求一元一次不解析：1≤x ＜4． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得． 【详解】解：217?311?2x x x -<⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①得，x ＜4， 解不等式②得，x≥1，所以，不等式组的解集为：1≤x ＜4． 故答案为：1≤x ＜4． 【点睛】此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．12．已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________．【分析】首先写出连续3小于6的整数然后即可判断m 的取值范围【详解】由题意得：符合题意的整数解为543∴m 不能取值3可以取值2∴故答案为【点睛】本题考查了解不等式难度较低主要考查学生对不等式组知识点的解析：23m ≤<【分析】首先写出连续3小于6的整数，然后即可判断m 的取值范围． 【详解】由题意得：符合题意的整数解为5,4,3 ∴m 不能取值3，可以取值2 ∴23m ≤< 故答案为23m ≤<． 【点睛】本题考查了解不等式，难度较低，主要考查学生对不等式组知识点的掌握．整理出x 的取值范围分析整数解情况为解题关键．13．若||2x =，||3y =，且0x y +<，则x y -值为______．1或5【分析】由已知可以得到x=2或-2y=3或-3然后对xy 的取值进行分类讨论找出使x+y<0的取值组合即可求得x-y 的值【详解】解：∵|x|=2|y|=3∴x=2或-2y=3或-3（1）当x=2解析：1或5 【分析】由已知可以得到x=2或-2，y=3或-3，然后对x 、y 的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的取值组合，即可求得x-y 的值． 【详解】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或-2，y=3或-3，（1）当x=2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=2-(-3)=2+3=5； （2）当x=-2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=-2-(-3)=-2+3=1； 故答案为1或5． 【点睛】本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、有理数加减法及分类讨论的思想是解题关键 ． 14．若关于x 的不等式组2()12153xm x 的解集为76x -<<-，则m 的值是______．【分析】先解不等式组得出其解集为结合可得关于的方程解之可得答案【详解】解：由①得：由②得：不等式的解集为：∵关于的不等式组的解集为【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数熟悉相关性质是解 解析：152【分析】先解不等式组得出其解集为1262m x，结合76x -<<-可得关于m 的方程，解之可得答案． 【详解】 解：2()102153xm x ①②由①得：2210x m +->，221x m >-+， 12x m >-+ 由②得：212x <-，6x <-，∴不等式的解集为：162m x -+<<- ∵关于x 的不等式组的解集为76x -<<-，172m ∴-+=-152m ∴=【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数，熟悉相关性质是解题的关键． 15．不等式组2021x x x -≥⎧⎨>-⎩的最小整数解是________．0【分析】求出不等式组的解集确定出最小整数解即可【详解】不等式组整理得：不等式组的解集为：－1＜x≤2最小的整数解为0故答案为：0【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解掌握一元一次不等式组的求解析：0 【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可． 【详解】不等式组整理得：21x x ≤⎧⎨>-⎩，∴不等式组的解集为：－1＜x ≤2，∴最小的整数解为0．故答案为：0． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的求解是解题关键． 16．若不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，则m 的取值范围是__________．【分析】首先通过解不等式得出的解集和的解集然后根据题意建立一个关于m 的不等式从而确定m 的范围即可【详解】解得解得∵不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立解得【点睛】本题主要考查不等式的解集掌解析：35m <-【分析】首先通过解不等式得出25123x x +-≤-的解集和3(1)552()x x m x -+>++的解集，然后根据题意建立一个关于m 的不等式，从而确定m 的范围即可． 【详解】25123x x +-≤-， 解得45x ≤． 3(1)552()x x m x -+>++，解得12mx -<． ∵不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，1425m -∴>， 解得35m <-．【点睛】本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键．17．若关于x 的不等式2310a x -->的最大整数解为2-，则实数a 的取值范围是_________．【分析】先求出不等式的解再根据不等式的最大整数解确定a 的取值范围即可【详解】解：解得∵不等式的最大整数解为∴解得：；故答案为：【点睛】本题考查的是不等式的解正确的解不等式是解题的关键 解析：512a -<≤- 【分析】先求出不等式的解，再根据不等式的最大整数解确定a 的取值范围即可． 【详解】解：解2310a x -->，得213＜-a x ， ∵不等式2310a x -->的最大整数解为2-，∴21-2-13＜-≤a ， 解得：512a -<≤-； 故答案为：512a -<≤-．【点睛】本题考查的是不等式的解，正确的解不等式是解题的关键．18．已知a 、b 的和，a 、b 的积及b 的相反数均为负，则a ，b ，a -，+a b ，b a -的大小关系是________．（用“<”把它们连接起来）【分析】根据相反数正负数和有理数加减运算的性质分析即可得到答案【详解】∵∴∴∴∵∴∴∵∴∴即故答案为：【点睛】本题考查了相反数正负数有理数大小比较有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握相反数正负 解析：a a b b a b a <+<<-<-【分析】根据相反数、正负数和有理数加减运算的性质分析，即可得到答案．【详解】∵0b -<∴0b >∴0b a a -+>∴b a a ->-，b a a +>∵0a b ⨯<∴0a <∴0a ->∵0a b +<∴b a <-∴0a a b b a b a <+<<<-<-即a a b b a b a <+<<-<-故答案为：a a b b a b a <+<<-<-．【点睛】本题考查了相反数、正负数、有理数大小比较、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、正负数和有理数加减运算的性质，从而完成求解．19．如果不等式组324x a x a +⎧⎨-⎩＜＜的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是_______.a≥﹣3【分析】根据口诀同小取小可知不等式组的解集解这个不等式即可【详解】解这个不等式组为x ＜a ﹣4则3a+2≥a ﹣4解这个不等式得a≥﹣3故答案a≥﹣3【点睛】此题考查解一元一次不等式组掌握运算法解析：a ≥﹣3.【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组32{4x a x a +-＜＜的解集，解这个不等式即可． 【详解】解这个不等式组为x ＜a ﹣4，则3a +2≥a ﹣4，解这个不等式得a ≥﹣3故答案a ≥﹣3.【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键 20．若关于x 的一元一次不等式组21122x a x x ->⎧⎨->-⎩的解集是21x -<<，则a 的取值是__________．【分析】表示出不等式组中两不等式的解集根据x 的范围确定出a 的值即可【详解】解不等式得解不等式得∵不等式组的解集为解得：故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组能根据不等式的解集和已知得出关于的解析：5a =-【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据x 的范围确定出a 的值即可．【详解】解不等式21x a ->得12a x +>， 解不等式122x x ->-得1x <，∵不等式组的解集为21x -<<，122a +=-， 解得：5a =-．故答案为：5a =-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出关于a 的方程是解此题的关键．三、解答题21．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”……在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．定义：对于四位自然数n ，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数n 为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为347+=，257+=，所以3254是“七巧数”； 1456不是“七巧数”，因为167+=，但457+≠，所以1456不是“七巧数”．（1）若一个“七巧数”的千位数字为a ，则其个位数字可表示为______（用含a 的代数式表示）；（2）最大的“七巧数”是______，最小的“七巧数”是______；（3）若m 是一个“七巧数”，且m 的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请求出满足条件的所有“七巧数”m ．解析：（1）7-a ；（2）7700，1076；（3）6431，4523，2615【分析】（1）根据七巧数的定义，即可得到答案；（2）根据七巧数的定义，即可得到答案；（3）设m 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，根据题意得到a ，b ，c ，d 之间的数量关系，进而求出b 的范围，即可求解．【详解】（1）∵一个“七巧数”的千位数字为a ，∴其个位数字可表示为：7-a ，故答案是：7-a ；（2）由题意可得：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，故答案是：7700，1076；（3）设m 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则3()77a c b d a d c b +=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩①②③，把②③代入①，可得：7-d+7-b=3b-3d ，既：4b-2d=14，∴d=2b-7，∴百位数字为b ，个位数字为2b-7，十位数字为7-b ，∵2b-7≥0且7-b≥0，∴3.5≤b≤7，当b=4时，则d=1，a=6，c=3，m=6431，当b=5时，则d=3，a=4，c=2，m=4523，当b=6时，则d=5，a=2，c=1，m=2615，当b=7时，则d=7，a=0，c=0，不符合题意，∴ 满足条件的所有“七巧数”m 为：6431，4523，2615．【点睛】本题主要考查新定义问题，理解题意，列出方程和不等式，掌握分类讨论的思想方法，是解题的关键．22．（1）解方程组：43220x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩ 解析：（1）12x y =-⎧⎨=⎩；（2）25x ≤<． 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；（2）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．【详解】（1）43220x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， 由①2-⨯②得：322y y -=，解得2y =，将2y =代入②得：220x +=，解得1x =-，则方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩； （2）3(2)211124x x x x -<-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②， 解不等式①得：5x <，解不等式②得：2x ≥，则不等式组的解为25x ≤<．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键．23．解不等式组32,121.25x x x x <+⎧⎪⎨++≥⎪⎩①②并把解集在数轴上表示出来． 解析：解集为：31x -<．在数轴上表示见解析．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：32,12125x x x x <+⎧⎪⎨++≥⎪⎩①②，由①得：1x <；由②得：3x ≥-，∴不等式组的解集为31x -≤<，表示在数轴上，如图所示：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．24．解下列方程（方程组）或不等式（组）．（1）[]{}3213(21)35x x ---+=（2）2(53)3(12)x x x +≤--（3）解方程214163x x --=-（4）解方程组2538x y x y +=⎧⎨-=⎩（代入法解） （5）372(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩ （6）0.35340.532m n m n m n m n +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩ 解析：（1）23x =-；（2）3x ≤-；（3）34x =；（4）31x y =⎧⎨=⎩；（5）15x -≤<；（6）71012m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【分析】（1）先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，即可得到答案；（2）先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，即可得到答案；（3）先去分母，去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，即可得到答案； （4）由代入消元法解方程组，即可得到答案；（5）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；（6）先把方程组去分母，然后进行整理，再利用加减消元法解方程组，即可得到答案．【详解】解：（1）[]{}3213(21)35x x ---+=，∴[]{}3216335x x ---+=，∴{}32165x x --=，∴{}3145x --=，∴3125x --=， ∴23x =-； （2）2(53)3(12)x x x +≤--， ∴10636x x x +≤-+，∴10736x x -≤--，∴39x ≤-，∴3x ≤-；（3）214163x x --=-，∴212(4)6x x -=--，∴21826x x -=--，∴43x =， ∴34x =； （4）2538x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， 由①得：52x y =-③，把③代入②得：3(52)8y y --=，解得：1y =，把1y =代入①，得3x =，∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩； （5）372(1)423133x x x x -<-⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①② 解不等式①，得5x <；解不等式②，得1x ≥-；∴不等式组的解集为：15x -≤<；（6）0.35340.532m n m n m n m n +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩， 方程组整理得：5352153m n m n +=⎧⎨-=⎩①②， 由①-②，得：3618n =， ∴12n =， 把12n =代入②，得710m =， ∴方程组的解为：71012m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．25．解不等式（组）：（1）24123x x ---≤；（2）63(4) 23253x xx x-≥-⎧⎪⎨++>⎪⎩①②．解析：（1）x≤4；（2）1＜x≤3．【分析】（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1得到解集；（2）分别解不等式即可得到不等式组的解集.【详解】解：（1）去分母，得：3（x﹣2）﹣6≤2（4﹣x），去括号，得：3x﹣6﹣6≤8﹣2x，移项，得：3x+2x≤8+6+6，合并同类项，得：5x≤20，系数化为1，得：x≤4；（2）解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤3.【点睛】此题考查解不等式及不等式组，掌握解不等式的方法是解题的关键.26．解不等式组：23332x xxx>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②，并把它们的解集表示在数轴上．解析：（1）1＜x≤3，图见解析【分析】求出不等式组中两个不等式的解集后，再求出两个解集的公共部分并在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式①得：x>1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为：1＜x≤3，并可在数轴上表示如下：【点睛】本题考查不等式组的求解，熟练掌握求不等式解集公共部分的方法是解题关键． 27．解不等式，并把解表示在数轴上． 417366x x +≥- 解析：3x ≤，见解析【分析】先去分母，然后移项、合并同类项，系数化为1，即可得到答案．【详解】解：去分母，得2417x x ≥+-移项，得4271x x -≤-合并同类项，得26x ≤系数化为1，得3x ≤；把解表示在数轴上如图：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的方法进行解题．28．计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务：若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？ 解析：（1）甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；（2）乙工程队至少施工50天【分析】（1）设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；（2）设乙工程队施工a 天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．【详解】（1）设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米，根据题意得：3555024420x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5080x y =⎧⎨=⎩， 答：甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米； （2）设乙工程队施工a 天，根据题意得：80a+50（90-a ）≥6000，解得：a≥50，答：乙工程队至少施工50天【点睛】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．。
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.2.2再探实际问题与一元一次不等式的应用(图文详解)
并,系数化为1。
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并，得
2(2x+1) ≤6+9(x-1)
4x+2 ≤6+9x49x-9x ≤6-9-2
-5x ≤-5
系数化为1，得 x ≥1
七年级数学第9章不等式与不等式组 将不等式的解集在轴上表示为:
01
x
归纳:
解一元一次不等式的一般步骤: 去分母
去括号 移项 合并
当Y1 > Y2 即100+0.9(X-100) > 50+0.95(X-50) 时，X ＜ 150
议一
故宫博议物院门票是每位10元,20人以上(含20人)的
团体票8折优惠.现有18位同学结伴去博物院,当领队小 华准备好了零钱到售票处买18张票时,李明喊住了他: “买20张吧!”小华困惑了:18人买20张不是浪费吗? 你认为呢?为什么? 此外,不足20人时,多少人买20张的团体票比普通票便宜?
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按 原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
(3) 如果累计购物超过100元,那么在甲店花费一定少吗?
解:设累计购物X元(X>100)
在甲店购物花费：Y1 ＝ 100+0.9(X-100) 在乙店购物花费：Y2 ＝ 50+0.95(X-50)
购物花费小;累计购物150元时,在两店购物花费一样; 累计购物超过150元时,在甲店购物花费小.
甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品，并且 又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费； 在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费， 顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
七年级数学下册不等式与不等式组高频考点例题解析
七年级数学下册不等式与不等式组高频考点例题解析单选题1、为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．A ．55B ．72C ．83D ．89答案：C解析：设该村共有x 户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得．设该村共有x 户，则母羊共有(5x +17)只，由题意知，{5x +17−7(x −1)>05x +17−7(x −1)<3解得：212<x <12，∵x 为整数，∴x =11，则这批种羊共有11+5×11+17=83（只），故选C ．小提示：本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．2、下列说法中错误的是（ ）A．若a<b，则a+1<b+1B．若−2a>−2b，则a<bC．若a<b，则ac<bc D．若a(c2+1)<b(c2+1)，则a<b答案：C解析：根据不等式的性质进行分析判断．解：A、若a<b，则a+1<b+1，故选项正确，不合题意；B、若−2a>−2b，则a<b，故选项正确，不合题意；C、若a<b，若c=0，则ac=bc，故选项错误，符合题意；D、若a(c2+1)<b(c2+1)，则a<b，故选项正确，不合题意；故选C．小提示：本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3、已知4＜m＜5，则关于x的不等式组{x−m<04−2x<0的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据m的取值范围即可判定整数解．不等式组{x−m<0①4−2x<0②由①得x＜m；由②得x ＞2；∵m 的取值范围是4＜m ＜5，∴不等式组{x −m <04−2x <0的整数解有：3，4两个． 故选B ．小提示：本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键．4、若不等式组{2x −a <1x −2b >3的解 为−3<x <1，则(a +1)(b −1)值为（ ） A ．−6B ．7C ．−8D ．9答案：C解析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集3+2b <x <a+12，根据不等式组的解集得出3+2b =−3，且a+12=1，求出a =1，b =−3，即可解答． 解：{2x −a <1①x −2b >3②， ∵解不等式①得：x <a+12，解不等式②得：x >3+2b ，∴不等式组的解集为3+2b <x <a+12，∵若不等式组{2x −a <1x −2b >3解为−3<x <1， ∴3+2b =−3，且a+12=1，解得：a =1，b =−3，∴(a +1)(b −1)=(1+1)×(−3−1)=−8，故选：C ．小提示：本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组)，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于a 和b 的方程，题目比较好，综合性比较强．5、若关于x 的不等式mx - n ＞0的解集是x <15，则关于x 的不等式(m +n)x >n −m 的解集是（ ） A ．x >−23B ．x <−23C ．x <23D ．x >23答案：B解析：先解不等式mx - n ＞0，根据解集x <15可判断m 、n 都是负数，且可得到m 、n 之间的数量关系，再解不等式(m +n)x >n −m 可求得解不等式：mx - n ＞0mx ＞n∵不等式的解集为：x <15∴m ＜0解得：x ＜n m ∴n m =15， ∴n ＜0，m =5n∴m +n ＜0解不等式：(m +n)x >n −mx ＜n−m m+n将m =5n 代入n−m m+n 得：n −m m +n =n −5n 5n +n =−4n 6n =−23∴x ＜−23故选：B小提示：本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.6、为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．A ．55B ．72C ．83D ．89答案：C解析：设该村共有x 户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值，再进一步计算可得．设该村共有x 户，则母羊共有(5x +17)只，由题意知，{5x +17−7(x −1)>05x +17−7(x −1)<3解得：212<x <12，∵x 为整数，∴x =11，则这批种羊共有11+5×11+17=83（只），故选C．小提示：本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．7、不等式3x−2<4中，x可取的最大整数值是（）A．0B．1C．2D．3答案：B解析：首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大正整数即可．解：3x−2<4，3x<4+23x<6x<2，∴最大整数解是1．故选为：B．小提示：本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．8、若x=−3是关于x的方x=m+1的解，则关于y的不等式2(1−2y)≥−6+m的最大整数解为（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：把x=-3代入方程x=m+1，即可求得m的值，然后把m的值代入2（1-2x）≥-6+m求解即可．把x=−3代入方程x=m+1得：m+1=−3，解得：m=−4.则2(1−2x)⩾−6+m即2−4x⩾−10，解得：x⩽3.所以最大整数解为3，故选C.小提示：此题考查不等式的整数解，解题关键在于求得m的值. 填空题9、不等式组{x+1⩾12(x+3)−3>3x的解集是_____．答案：0≤x＜3解析：{x+1≥1①2(x+3)−3>3x②，解①得x≥0；解②得x<3；∴不等式组的解集是0≤x<3．故答案为0≤x<3．10、如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是_____．答案：−12<x<0解析：根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围．解：根据题意得：1<1−2x<2，解得：−12<x<0，则x的范围是−12<x<0，所以答案是：−12<x<0.小提示：考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11、不等式组{x+2>12−x≥−1的解集为__________.答案：−1<x≤3解析：分别求出不等式的解，再求解集即可.x＋2＞1，解得x＞﹣1，由2－x≥﹣1，解得x≤3，则不等式组的解集为﹣1＜x≤3.故答案是﹣1＜x≤3.小提示：本题主要考查不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的方法是解答本题的关键.12、某校六年级的80名同学与2名老师共82人去公园春游，学校只准备了180瓶汽水．总务主任向老师交待，每人供应3瓶汽水(包括老师)，不足部分可到公园里购买，回校后报销．到了公园，商店贴有告示：每5个空瓶可换一瓶汽水．于是要求大家喝完汽水后空瓶由老师统一退瓶．那么用最佳的方法筹划，至少还要购买______瓶汽水回学校报销．答案：17解析：设还要购买x瓶，根据题意列出不等式，即可解出x的取值范围，再根据实际情况得出瓶数.设还要购买x 瓶，则180＋x ＋180+x 4≥82×3，解得x ≥16.8，∵x 必须是整数，∴x ≥17， ∴至少还要购买17瓶汽水回学校报销．故答案为17.小提示：此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式.13、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__． 答案：a ⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a 的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x >1x <a −1无解， ∴a −1⩽1，解得：a ⩽2，所以答案是：a ⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a 的不等式，题目比较好，难度适中． 解答题14、求下列不等式组{3x >2(x −1)+3x+42≥x 的整数解． 答案：2，3，4．解析：首先解不等式组，然后确定不等式组的解集中的整数解即可．解：{3x >2(x −1)+3①x+42≥x② ， 解不等式①得：x >1，解不等式②得：x ≤4，所以不等式组的解集为1<x ≤4，所以不等式组的整数解为2，3，4．小提示：本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．15、求不等式(2x −1)(x +3)>0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①{2x −1>0x +3>0 或②{2x −1<0x +3<0解①得x >12，解②得x <−3．∴不等式的解集为x >1或x <−3．请你仿照上述方法求不等式(2x −3)(x +1)<0的解集．答案：−1<x <1.5．解析：根据“异号两数相乘，积为负”可得两个关于x 的不等式组，解之即可.解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①{2x −3>0x +1<0 或②{2x −3<0x +1>0解①得其无解，解②得−1<x <1.5．∴不等式的解集为−1<x <1.5小提示：本题考查了不等式组的解法，属于模仿题型，正确理解题意是解题的关键.11。
最新七年级数学下册《不等式与不等式组》经典例题分析
七年级数学下册《不等式与不等式组》经典例题分析------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx不等式与不等式组经典例题分析【例1】满足的ｘ的值中，绝对值不超过1１的那些整数之和等于。
【例2】如果关于x的一元一次方程3(x＋４)=２a+5的解大于关于x的方程的解,那么( ）.【例3】如果,2+c＞2，那么( )．Ａ。
ａ—c>a+c B。
ｃ－a>c+aC．aｃ>-ac D。
3a〉2a【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于。
由于绝对值的定义,含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.【例５】解不等式 |x-5｜—｜2x＋3｜＜1．【例6】关于x的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+bxaabx23223的解集为25≤≤-x,求a、b的值。
【例7】若不等式⎩⎨⎧>+<1-2mx1mx无解，则m的取值范围是 .【例８】若不等式组⎩⎨⎧<<+<<-5321xaxa的解集为23+<<ax,求a的取值范围。
【例９】不等式组⎩⎨⎧+>+<+1159mxxx的解集是x〉2，则m的取值范围是【例11】不等式组ｘ +9﹤５x＋1x﹤m＋1 的解集是x〉2,则m的取值范围是解:解原不等式组得：x>２x﹤ｍ+１由不等式组解集为x〉2所以m的范围为空集,无解。
注意：一个不等式组中有解的情况下,两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小时,取值范围为空集（如例1１形式）.【例１２】如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、ｂ的有序数对（ａ,b）共有多少个？请说明理由。
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不等式与不等式组经典例题分析
【例1】满足的x 的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于 。
【例2】 如果关于x 的一元一次方程3（x ＋4）＝2a ＋5的解大于关于x 的方程
的解，那么（ ）.
【例3】 如果，2+c>2，那么（ ）.
A. a-c>a+c
B. c-a>c+a
C. ac>-ac
D. 3a>2a
【例4】 四个连续整数的和为S ，S 满足不等式
，这四个数中最大数与最小数
的平方差等于 . 由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．
【例5】解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
【例6】关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+b x a a b x 23
223的解集为25≤≤-x ，求a 、b 的值。
【例7】若不等式⎩
⎨⎧>+<1-2m x 1m x 无解，则m 的取值范围是 . 【例8】若不等式组⎩⎨⎧<<+<<-5
321x a x a 的解集为23+<<a x ，求a 的取值范围。
【例9】不等式组⎩
⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是x >2，则m 的取值范围是
【例11】不等式组x +9﹤5x+1
x﹤m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是
解：解原不等式组得：x>2
x﹤m+1
由不等式组解集为x>2所以m的范围为空集，无解。
注意：一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小时，取值范围为空集（如例11形式）。
【例12】如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有多少个？请说明理由。
分析解答：把原不等式组化为最简形式，得
由于不等式组有解，解集必为
又由于它的整数解仅为1，2，3，所以
从而
于是，整数a取1～9共9个整数，整数b取25～32共8个整数。
故有序数对（a，b）共有9×8即72对。
【例13】若不等式组有五个整数解，则a＝_________ 分析解答：把原不等式化为最简形式，得
由于不等式组有解，解集必有
又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－2，－1，0，1
故a的取值范围是
【例14】若不等式组的解集为，则的值为_______。
分析解答：把原不等式组化为最简形式，得
由于，所以
于是
解得a＝1，b＝－2
故
【例15】已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为。
解：第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k，
根据﹣1＜x﹣y＜0得到：﹣1＜1﹣2k＜0
即解得＜k＜1
k的取值范围为＜k＜1．
【例16】如果不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是。
解：由x+7＜3x+7移项整理得，2x＞0，∴x＞0，
∵不等式组的解集是x＞4，
∴n=4，
【例17】若不等式组有解，则m的取值范围是。
解：原不等式组可化为和，
（1）始终有解集，
则由（2）有解可得m＜2．由（1）、（2）知m＜2
【例18】若关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则n的值为。
解：①2n+1＞n+2时，2n+1=﹣1
n=﹣1．将n=﹣1代入不等式2n+1＞n+2中不成立，因此n=﹣1不符合题意．
②2n+1＜n+2时，n+2=﹣1
n=﹣3，经检验符合题意，所以n的值为﹣3
【例19】已知，x满足，化简|x﹣2|+|x+5|．
解：由（1）得，x＜2
由（2）得，x＞﹣5
则：|x﹣2|=2﹣x，|x+5|=x+5；
所以|x﹣2|+|x+5|=2﹣x+x+5=7．
分析：解此类题时，先求出不等式组的解集，然后根据x的取值范围来去绝对值．
【例20】北京故宫博物馆内门票是每位60元，20人以上（含20人）的团体票可8折优惠.现在有18名游客买20人的团体票，问比买普通票共便宜多少钱？此外，不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
解：18位游客买普通票费用为1080元，买20人的团体票费用为960元.
1080-960＝120元，所以便宜120元.
设不足20人时，x人买20人的团体票比买普通票便宜.由题意可列不等式60×0.8×20＜60x.
解得x＞16，而x＜20，所以x＝17，18，19.。