空间立体几何建立直角坐标系
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧建立空间直角坐标系在解决立体几何问题中起着重要作用。
向量法是建系的一种常用方法，它引入了空间向量坐标运算，使解题过程更加简便。
建立适当的坐标系是向量解题的关键步骤之一，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一种建系的方法是利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.要证明点C1在平面AEF内，并求二面角A-EF-A1的正弦值。
另一种建系的方法是利用线面垂直关系构建直角坐标系。
例如，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H。
将△XXX沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.要证明D'H⊥平面ABCD，并求二面角B-D'A-C的正弦值。
还有一种建系的方法是利用面面垂直关系构建直角坐标系。
例如，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，AB=BC=1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。
要证明直线CE//平面PAB，求二面角M-AB-D的余弦值。
有些图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系，例如正三棱柱、正四棱柱等，利用自身对称性可建立空间直角坐标系。
例如，在圆锥D-O-ABC中，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6DO。
要证明PA⊥平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。
另外，利用正棱锥的中心与高所在直线也可构建直角坐标系。
建立空间直角坐标系的方法及技巧有多种，根据不同的图形特点选择合适的方法，能够更加高效地解决立体几何问题。
1.中，给定正四棱锥P-ABCD，其所有棱长均为6.底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD、BC平行于x轴，棱AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上。
空间几何中的坐标系与空间直角坐标
空间几何中的坐标系与空间直角坐标在空间几何学中，坐标系是用来描述和表示点、线、面等几何对象的系统。
坐标系将空间划分为不同的区域，并给出了每个点在这个区域内的位置。
而空间直角坐标则是其中一种常见的坐标系，它使用三个相互垂直的轴来确定一个点的位置。
本文将介绍空间几何中的坐标系及空间直角坐标的应用。
一、坐标系的概念与常见类型坐标系是一种将几何空间划分为不同区域，并用数值（坐标）来描述点在空间中的位置的系统。
常见的坐标系类型有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。
其中，直角坐标系是应用最广泛的一种坐标系。
二、直角坐标系的定义与构建直角坐标系是在空间中以三条相互垂直的坐标轴为基准，来确定一个点的位置。
三条坐标轴互相垂直且两两相交于一个点，称为坐标原点。
这三条坐标轴分别用X、Y、Z表示，并与数轴的正方向一致。
通过在三轴上的长度单位（通常为1），可以确定一个点的坐标。
三、空间直角坐标的表示与转换在空间直角坐标系中，一个点的坐标用一个有序三元组(x,y,z)来表示，其中x表示点在X轴上的投影长度，y表示点在Y轴上的投影长度，z表示点在Z轴上的投影长度。
当需要进行坐标系转换时，可以通过旋转和平移等操作，将一个点在一个坐标系中的坐标表示为在另一个坐标系中的坐标。
四、空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学中有着广泛的应用，特别是在计算几何、解析几何以及物理学等领域。
它可以用于描述物体的位置、方向和运动等。
五、坐标系的研究进展与应用前景随着科学技术的发展，空间几何学中的坐标系也在不断发展与改进。
研究人员不断提出新的坐标系，并将其运用到实际问题中，为各个学科的发展做出了重要贡献。
结论空间几何中的坐标系与空间直角坐标在数学、物理学、计算机图形学等领域中扮演着重要的角色。
熟悉不同的坐标系及其应用，对于解决空间几何问题具有重要意义。
希望本文能为读者提供有关空间几何坐标系与空间直角坐标的基本概念与应用的初步了解，并对进一步学习和研究产生兴趣。
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理、空间向量基本定理如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++u r r r r,,a b c r r r称为基向量。
称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量k j i ρρρ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴，y 轴和z 轴。
则轴。
则a xi y j zk =++r r r r（x,y,z ）称为空间直角坐标。
）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。
建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示(1)若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±r r()111,,a x y z λλλλ=r 121212a b x x y y z z ⋅=++r r 错误!未找到引用源。
121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r222111a a a x y z =⋅=++r r r ．a b ⋅r r =a rcos ,b a b 〈〉r r r ．cos ,a b a b a b ⋅〈〉=r r r r r r121212222222111222cos ,x x y y z za b a b ab x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r r r (2)(2)设设()()111222,,,,,A x y z B x y z ==则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---u u u r r r(3)()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z zAB =AB =-+-+-u u u r二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n =（x ，y ，z ）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a =（a1，a2, a3） b =（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a =0 ②n*b =05、解方程组，取其中一组解即可。
高中数学讲义：立体几何中的建系设点问题
⽴体⼏何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC^（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I æöæöç÷ç÷èøèø2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角,AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1,以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2,4，０），∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，． 设1BC 与CD 所成的角为θ，则11317cos 17BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析:如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1,BB 1＝2，AB ＝2,∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B (０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０)、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，,31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ;(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：(1）取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2,则A （1,０，０）、D (－1，０,０）、B (1，2，０）、V (０，０，3），∴AB ＝（０,2，０），VA ＝（1，０，－3）．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,∴ AB ⊥平面VAD ;（2）设E 为DV 的中点，则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，．∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴21cos 7EA EBEA EB EA EB ==，． 故所求二面角的余弦值为217． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求∠DEB 的余弦值；（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析:（1)如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ,有B （a ，a ,０）、C (-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． ∴22226cos 10BE DEa h BE DE a h BE DE -+==+，, 即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠； （2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BE VC =,即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，， ∴22230222a h a --=,∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠． 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2,AB ＝4．(1)证明:PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角;（3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由(1)，PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP，，为x ，y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，,1cos 3AQ PBAQ PB AQ PB <>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，． 设n =(x ,y ，z )是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1,得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==nn ．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．。
立体几何建坐标系
立体几何建坐标系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何建坐标系是描述和研究立体图形的重要工具之一。
在三维空间中，我们通常使用三维直角坐标系来描述立体图形的位置和形状。
这种坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z 轴，它们分别对应三维空间中的长度、宽度和高度。
在这个坐标系中，每个点都可以通过三个坐标值来表示，分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。
用立体几何建坐标系描述一个物体时，首先需要确定一个原点，该原点是坐标轴的交点，通常我们取它为立体图形的重心或者其特定的某一个点。
然后，可以通过在坐标轴上确定一个单位长度来建立坐标系的比例尺。
接下来，可以通过测量物体在x、y、z三个方向上的长度、宽度和高度，来确定物体各个点的坐标值，从而描述整个物体的形状和位置。
利用立体几何建坐标系可以方便地计算立体图形的体积、表面积、中心质心等属性。
通过将三维立体图形分解成一系列的立方体、长方体或圆柱体等基本的几何图形，可以利用数学方法求解各部分的体积，并将它们相加得到整个立体图形的体积。
而对于复杂的立体图形，可以将其分解成多个简单的几何图形，再逐一计算其属性，最后综合得出结果。
这样的方法虽然有时会比较繁琐，但是却是一种较为准确和可靠的计算方式。
立体几何建坐标系不仅可以用于描述静态的立体图形，还可以用于描述立体图形的运动和变形。
通过不断变化物体各个点的坐标值，可以描述其在三维空间中的移动、旋转、缩放等动作。
通过改变一个立方体各个顶点的坐标值，可以实现它在空间中的旋转或者平移。
通过计算不同时间点上各个点的坐标值，可以还原出整个立体图形的运动轨迹，从而研究它的运动规律。
利用立体几何建坐标系还可以进行三维坐标系下的几何投影。
在三维空间中，物体的形状对应着它在每个坐标轴的投影，在三维坐标系下可以进行正投影、侧视投影等操作，将三维空间中的立体图形映射到二维平面上，便于我们观察和研究。
这种投影方法在建筑设计、工程制图等领域中有着广泛的应用。
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。
2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。
3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3， 以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE平面ABC ，AE平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535. (2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小．【答案】设AC与BD交与点G。
高中数学空间直角坐标系的构建策略知识点解析
达标检测
DABIAOJIANCE
1. 如 图 所 示 ， 已 知 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 ， E ， F 分 别 是 正 方 形 A1B1C1D1 和 ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为___4_5_°___.
123
2.在底面为直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为__3_6_.
第三章 空间向量与立体几何
专题突破三 空间直角坐标系的构建策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标 系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关 系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得 非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能 做到有的放矢，化解自如.
跟踪训练1 如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°， 且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成 角的余弦值.
二、利用线面垂直关系 例 2 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥平面 BB1C1C，E 为棱 C1C 的中点， 已知 AB＝ 2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求 出图中所有点的坐标.
三、利用面面垂直关系 例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°， E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC， BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直， 再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹 角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面 角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度 就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
空间直角坐标系 ——立体几何的“杀手”
在高中立体几何中，随着空间向量的引入，大大降低了空间思维的难度，避开了传统方法中对平行、垂直、角、距离等问题所进行的大量繁琐的“定性分析”，只需建立空间直角坐标系进行“定量分析”，就能使问题得到了很大的优化。
它作为解决立体几何的常规手段，已经被越来越多的师生认可和接受。
而用空间向量解决立体几何问题的关键一步就是建立空间直角坐标系，本文试图对如何建系做一些归纳总结：一、理论依据空间向量的基本定理设是空间中三个有公共起点并且两两互相垂直的单位向量，对于空间中的任一向量，有且仅有一组有序实数组，（x，y，z）使得，则把有序实数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系中的坐标。
二、建系方法⑴规则几何题的建系：1、正方体、长方体、正四棱柱（利用共顶点的互相垂直的三条棱建系）2、直三棱柱（利用侧棱所在的直线为Z轴建系）3、正三棱锥、正四棱锥（利用正棱锥的中心为空间原点高所在的直线为Z轴建系）⑵不规则几何体的建系：如果题中没有两两垂直的三条直线，那么我们应该先找到一个线面垂直关系，再在这个面中找经过垂足的两条互相垂直的直线。
虽然说只要两两垂直就可以建系，但是合理的建系能使坐标很容易找到且形式相对简单，从而减少计算量，这就要我们在建系时，尽量多使用题目中的直线而不是“无中生有”的做轴。
例一：如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。
（1）证明：平面平面。
（2）求与平面所成角的正弦值。
分析：由1问的结论面面垂直可以构造线面垂直，在平面PEF中过P做PH⊥EF，垂足为H，则以H为坐标原点，以HF，HP的方向为Y轴和Z轴建立空间直角坐标系即可。
此题还有一个关键之处就是要通过“以算代证”说明PE⊥PF。
例二：分析：以A为原点建立空间直角坐标系，难点是x轴，y轴的确定。
由AB=AC，取BC的中点E，则AE⊥BC，AE⊥AD，设的方向为x轴正方向，的方向为y轴的正方向，运用向量方法，可求得AN与PMN所成角是正弦值。
空间直角坐标系与空间几何体
目录
• 空间直角坐标系 • 空间几何体 • 空间几何体的位置关系 • 空间几何体的度量关系 • 空间几何体的应用
01
空间直角坐标系
定义与性质
定义
空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴组成的，通常记 作$x$轴、$y$轴、$z$轴。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正交性和单位性。其中，方向 性是指各坐标轴的正方向是确定的；正交性是指各坐标轴互 相垂直；单位性是指各坐标轴的单位长度是统一的。
转动惯量
表示物体在转动过程中保持其转动状态的 能力，其坐标可以通过几何体的质量分布 和形状计算得到。
05
空间几何体的应用
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间定位
空间直角坐标系为建筑设计提供了精 确的空间定位方法，使得建筑物的各 个部分能够被准确地放置在预定的位 置上。
建筑结构分析
建筑外观设计
利用空间几何体的形态和线条，可以 创造出独特的建筑外观和风格，满足 不同设计需求。
复杂几何体
复杂几何体是由多个简单 几何体组合而成的，如组 合体、镶嵌体等。
空间几何体的表示方法
解析法
通过代数方程来表示几何体的形状和大小，如多面体的顶点坐标、旋转体的半 径和角度等。
直观法
通过图形来表示几何体的形状和大小，如绘制多面体的三视图、旋转体的立体 图等。
03
空间几何体的位置关系
平行与垂直
向量在空间直角坐标系中的表示
一个向量在空间直角坐标系中可以用一个有序实数对来表示，称为向量的坐标。例如，向 量$overrightarrow{OP}(x,y,z)$表示向量$overrightarrow{OP}$在空间直角坐标系中的 坐标为$(x,y,z)$。
立体几何建系方法
立体几何建系方法立体几何是研究空间中图形的形状、大小、位置和相互关系的数学分支。
在立体几何中，建系是指确定和描述空间中图形的位置、方向和尺寸的方法。
建系方法有很多种，包括点线面建系、轴线建系、坐标建系等。
下面将详细介绍每种建系方法的原理和应用。
1.点线面建系点线面建系是最基本的建系方法之一，在立体几何的研究中有着广泛的应用。
点线面建系是通过确定一个点、一条线或一个平面来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
(1)点建系：通过确定一个点作为参考点，然后确定其他点相对于该参考点的位置和方向。
例如，在三维空间中，可以选择一个空间中的一些点作为原点，然后以该点为参考点确定其他点的位置和方向。
(2)线建系：通过确定两个点来确定一条线，然后确定其他点相对于该线的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择两个不共线的点确定一条线，然后以该线为基准确定其他点的位置和方向。
(3)面建系：通过确定三个不共线的点来确定一个平面，然后确定其他点相对于该平面的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择三个不共线的点确定一个平面，然后以该平面为基准确定其他点的位置和方向。
点线面建系在立体几何的分析中具有重要的作用，可以通过确定一些点、线或平面来确定其他点、线或平面的位置和方向关系。
例如，在计算机图形学中，点线面建系可以用于描述和操作三维模型的位置和姿态。
2.轴线建系轴线建系是一种常用的建系方法，通过确定一个或多个轴线来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
轴线建系常用于工程制图和机械设计中。
(1)单轴建系：通过确定一个轴线来建立坐标系。
例如，在机械设计中，常用水平轴或垂直轴作为参考轴线，然后确定其他点、线或面相对于该轴线的位置和方向。
(2)双轴建系：通过确定两个相互垂直的轴线来建立坐标系。
例如，在平面图形的制图中，常用水平轴和垂直轴来确定二维平面中点、线或面的位置和方向。
(3)多轴建系：通过确定多个轴线来建立坐标系。
立体几何建系方法
立体几何建系方法
立体几何建系方法是指在解决立体几何问题时，建立相应的坐标系或者辅助图形来辅助计算。
以下是一些常用的立体几何建系方法：
1. 建立坐标系：可以通过建立平面直角坐标系或者空间直角坐标系，将三维问题转化为二维平面上的问题。
通过引入坐标系，可以方便地表示点、向量、直线、平面等几何元素，并可以利用坐标系的性质来进行计算。
2. 投影建系：投影建系是指通过将立体图形进行投影，将三维问题转化为二维平面上的问题。
常见的投影建系方法有平面投影、轴测投影、透视投影等。
3. 建立辅助图形：在解决立体几何问题时，可以通过建立一些辅助图形来辅助计算。
常见的辅助图形有平行四边形、三角形、圆等。
通过建立辅助图形，可以改变原问题的形式，从而更容易进行计算。
4. 应用剖分方法：剖分方法是指将复杂的立体图形剖分为简单的几何元素，从而简化计算过程。
常见的剖分方法有平分法、中分法、垂分法等。
5. 利用对称性：利用图形的对称性可以简化计算过程。
通过找出图形的对称中心、对称轴等，可以将问题降低到简化的情况，减少计算难度。
这些建系方法可以根据具体问题的需要进行灵活运用，对于不同类型的立体几何问题，选择合适的建系方法可以极大地简化计算过程，提高计算效率。
空间几何体建立空间直角坐标系技巧
空间几何体建立空间直角坐标系技巧建立空间直角坐标系是空间几何体研究和分析的基础工作。
通过建立空间直角坐标系，可以方便地描述和计算三维空间中的几何体的位置、形态和运动等属性。
下面将介绍一些建立空间直角坐标系的技巧。
1.选择坐标原点：首先需要选择直角坐标系的原点。
原点一般选取在空间中一些具有特殊意义或易于确定的点上，如几何体的重心、交点或者与几何体相关的特殊点等。
选取原点后，可以确定其他点的坐标。
2.确定坐标轴：确定坐标轴的方向及正负方向。
一般情况下，选择坐标轴与几何体的对称轴、对称面等相关。
确定坐标轴后，可以根据坐标轴的方向及正负方向确定其他点的坐标。
3.量取坐标轴长度：确定坐标轴的长度。
对于三维空间来说，坐标轴的长度是可变的。
可以通过测量或估算的方式确定坐标轴的长度。
为了方便计算和描述，通常将坐标轴的长度确定为单位长度，如1单位长度。
4.描点定位：确定其他点的坐标。
在坐标轴上选择一点A，通过在坐标轴上量取点A的坐标，即可确定点A的坐标。
对于其他点，可以通过描点、测量或计算的方式确定其坐标。
5.确定坐标顺序：确定坐标的顺序。
在三维直角坐标系中，一般采用右手法则确定坐标的顺序。
右手法则是指将右手的拇指指向x轴的正方向，其余四指弯曲成曲线，曲线的方向即为y轴、z轴的正方向。
确定坐标的顺序后，可以依次确定其他点的坐标。
6.坐标精度控制：确定坐标的精度。
在建立坐标系时，需要确定坐标的精度，即小数点后的位数。
一般情况下，坐标的精度取决于实际应用需要，可以根据实际需要进行调整。
在实际应用中，根据几何体所在的具体位置、形态和运动等属性，可以灵活选择建立空间直角坐标系的技巧。
通过合理选择和确定坐标原点、坐标轴及坐标精度等参数，可以方便地描述和计算三维空间中几何体的属性。
如何建立恰当的空间直角坐标系
二、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 但有一定对称关系 （如正三棱柱、 正四棱柱等） ，
利用自身对称性可建立空间直角坐标系，再写出空间点的坐标。
例 3、 已知两个正四棱锥 P－ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2，AB ＝ 4, 两个正四棱锥底
面重合，试建立适当的直角坐标系，并写出各点坐标．
为零 , 则 C（ 0， 1，0）， M 点在面 xOy 的射影是 A1，因此 M 同 A1 的横坐标和竖坐标相同，
又 M为 A1B1 的中点，故其纵坐标值为
1 ，故 M （ 1， 1 ， 1），同理可得 N （ 1， 1， 1 ） .
2
2
2
z
D1
C1
A1
M
B1
D O A
x
N Cy
B
点评：对于正方体和长方体， 可以直接建立右手直角坐标系， 再根据棱长写出各点坐标。
由已知，容易得 A （0， 0， 0）， B（0，a， 0）， A 1（0， 0， 2 a），下面重点谈谈如何
计算点 C 的坐标，在平面 ABC 中，过点 C 作直线 AB 的垂线 CD 交 AB 于点 D，过点 C 作
xA 的垂线于点 E,则在等边三角形 ABC 中， AD
1 AB
1 a ，AE
AC cos
如何建立恰当的空间直角坐标系
引入空间向量坐标运算， 使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，
只需
建立空间直角坐标系进行向量运算， 而如何建立恰当的坐标系， 成为用向量解题的关键步骤
之一．下面通过举例分析建立空间直角坐标系的三个方法．
一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系
高二新学案立体几何如何建系找坐标
B 1C 1BCDAD 1A 1EFEADBCP空间立体，寻求建系的方法，学会找坐标 一、标准化的正方体，长方体，四棱锥问题1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，建立适当的坐标系，并表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AA 1所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则ABCD是直角梯形，90=∠=∠BAD ABC ，2.如图，四边形ABCD SA 平面⊥，1===BC AB SA ，21=AD ，SC 中点是P ，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AS 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则3.在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 21AD=1，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AF 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则4：如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA ⊥底面ABCD，6,3PA AB AD ===，点E 为棱PB 的中点。
建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AB ，AD ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则5..如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M 为PB 的中点. 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则6.多面体EDABC 中,AD ⊥平面ABC , AC ⊥ＢＣ，,ＡＤ＝21ＣＥ＝１，ＡＣ＝１.BC=2，M 为BE 中点.，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。
(整理)直角坐标系解决立体几何问题
在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。
而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。
重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。
难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。
Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。
(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若与非零向量 cos θ=222222212121212121x z z y y x x zy x z y ++⋅++++2． 向量的数量积的几何性质:⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。
D 1xy o. Mxyo. M平面直角坐标系空间直角坐标系z用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=。
注意,由于两向量的夹角范围为[]︒︒180,0,而异面直线所成角的范围为()︒<<︒900α，若两向量夹角α为钝角,转化到异面直线夹角时为180°α-例1：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6, 求异面直线DA 1与AC 1的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。
空间向量之立体几何建系和求点坐标(共24张PPT)
xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
基础知识：
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果 A' x1, y1, z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么x1 x2, y1 y2
（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点坐标时，可看一下在底面的
建系方法2练习2 练2.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，对角线AC, BD交于点O, OA 4,OB 3,OP 4,且OP 平面ABCD,点M为PC的三等分点（靠近P）, 建立适当的直角坐标系并求各点坐标。
找“墙角”
14
建系方法2练习3
练3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD, AD DC CB 1, ABC 60,CF 平面ABCD,且CF 1,建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。
找“墙角”
建系方法2练习5
真题（辽宁卷）如图,AB 是圆的直径,PA 垂 直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 AB＝2，AC＝1，PA＝1，求证：二面
角 C－PB－A 的余弦值.
造“墙角”
建系方法3例题
三、利用面面垂直关系构建空间直角坐标系（转化为墙角模型） 例3.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．点P、H分别是线段VC、AD的 中点．试建立空间直角坐标系并写出P、V、A、B、C、D的坐标.
互相垂直，EF // BD, ED BD, AD 2, EF ED 1, 试建立合适的 空间直角坐标系并确定各点的坐标
选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何1.3.1空间直角坐标系
(3,0,0) (3,4,0)
解： 以OA、OC、OD为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示
由已知有：D(0,0,2) C(0,4,0) A(3,0,2) B(3,4,2)
AB (0,4,0) BB (0,0,2) AC (3,4,0) AC (3,4,2)
②写出点的坐标：先写坐标轴上的点；再写坐标面上的点；空间上的点向坐 标面作投影；线上的点利用共线。
正三棱柱的所有棱长为2，建立恰当的空间直角坐标系，写出顶点坐标：
z A1 (0, 3 ,2)
B1(1,0,2)
C1 (-1,0,2)
(0, 3 ,0) A
C (-1,0,0) Oy x B (1,0,0)
在坐标轴、坐标面上的点的坐标有什么特点？
作业：习题1.3:1、2、3
正方体的棱长为2，以正方体的中心为顶点坐标 D1
z
C1
A(1,-1,-1)
A1
B1
B(1,1,-1)
C(-1,1,-1)
O
Dx
y
D(-1,-1,-1)
A1(1,-1,1)
C
B1(1,1,1)
A
C1(-1,1,1)
B
D1(-1,-1,1)
关于坐标轴、原点、坐标面对称的点的坐标有什么特点？
1.3空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1空间直角坐标系
1.空间直角坐标系的建立：
2.空间向量的坐标：
点A的坐标表示： A(x, y, z)
向量OA的坐标表示： OA (x, y, z)
向量a的坐标表示： a (x, y, z)
竖坐标z
纵坐标y
(0,4,2)
阅读18页课本解答
①建坐标系：找到或证明三线两两垂直(除了直观外 要让几何体更多的顶点在坐标轴上)、标明坐标轴
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空间立体几何建立直角坐标系
1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点。
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值。
解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E ⊥平面ABC，所以A1E⊥AE。
因为AB＝AC，所以AE⊥BC。
故AE⊥平面A1BC。
由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE ∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形。
故A1D∥AE。
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC。
(2)方法一：作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F。
由AE＝EB＝2，∠A1EA＝∠A1EB＝90°，
得A1B＝A1A＝4。
由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等。
由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，因此∠A1FB1为二面角A1－BD－B1的平面角。
由A 1D ＝2，
A 1
B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得
BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43，
由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－18。
方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。
由题意知各点坐标如下：
A 1(0,0，14)，
B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2， 2，14)。
因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)，DB 1→
＝(0，2，0)。
设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)。
由⎩⎨⎧
m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0， 可取m ＝(0，7，1)。
由⎩⎨⎧
n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0， 可取n ＝(7，0,1)。
于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝18。
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1－BD －B 1的平
面角的余弦值为－18。
2．[2016·兰州模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点。
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线P A 与平面EAC 所成角
的正弦值。
解析：(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，
∵底面ABCD 是直角梯形，
且AB ＝2AD ＝2CD ＝2，
∴AC ＝2，BC ＝2。
∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，
∵PC ∩BC ＝C ，
∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，
∴平面EAC ⊥平面PBC 。
(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz 。
设PC ＝a ，
则A (0,0,0)，C (1,1,0)，
E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，a 2，P (1,1，a )， B (0,2,0)。
∴AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32，a 2，AP →＝(1,1，a )，BC →＝(1，－1,0)。
设平面EAC 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
v ·AC →＝0，v ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x ＋3y ＋az ＝0， 令x ＝1，则v ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－1，2a ， ∵BC ⊥平面P AC ，
∴平面P AC 的一个法向量为u ＝BC →
＝(1，－1,0)， 设二面角P －AC －E 的大小θ，
则cos θ＝v ·u |v |·|u |＝1×1＋(－1)×(－1)＋0×2a 2× 2＋4a 2
＝63，解得a ＝2， ∴直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为
cos 〈v ，AP →〉＝v ·AP →|v |·|AP →|
＝1×1＋1×(－1)＋2×13×6
＝23。