二倍角公式练习题含答案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
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评卷人得分二倍角公式一、选择题1.已知 2sin θ +3cosθ =0，则 tan2 θ =（）A ．B ．C ．D ．2.已知= ，则 sin2 α +cos （α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若 0＜α＜，﹣＜β＜ 0，cos （+α） = ，cos （﹣β），则 cos （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知 cos α=， cos （α +β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值： tan42 ° +tan78 °﹣tan42 ° ?tan78 ° =（）A．B．C．D．7.已知 sinx= ﹣，且 x 在第三象限，则tan2x= （）A．B．C．D．8.已知 tan α =4，= ，则则 tan （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算 log 2sin +log 2cos 的值为（）A．﹣ 4 B． 4 C． 2 D．﹣ 210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知 tan α=， tan β=，则 tan （α﹣β）等于（）12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 cos2 θ =（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知 sin θ +cos θ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设 tan α， tan β是方程 x 2﹣3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C． 1 D． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知 sin α +cos α =﹣，则 sin2 α =（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且 sin α=， cos β =﹣，则α +β的值为（）A．B．C．D．或19.若 tan （α﹣β） = ， tan β=，则 tan α等于（）A．﹣ 3 B．﹣C． 3 D．20. =（）A．B．C．D．21.若角 A为三角形 ABC的一个内角，且 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形第 II 卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若 tan （α +β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（ 1+tan 1°）（ 1+tan44 °）=．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜， cos （ +α） =﹣，则 sin α=．27.在△ ABC中，已知 tanA ，tanB 是方程 3x 2﹣ 7x+2=0 的两个实根，则 tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求 sin α的值；（2）求β的值．29.已知 cos α=， cos （α﹣β） =，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2 α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A 解答：解：由已知得：==sin α +cos α=，∴（ sin α+cosα）2=1+2sin αcosα=1+sin2 α=，∴ sin2α=﹣，又 sin α+cosα=sin （α+），∴ sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴ sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵ cos（+α） =，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin （+α） ==，∵ cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴ sin（﹣β）==，∵α +β=（+α）﹣（﹣β），∴ cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos （+α） cos （﹣β）+sin（+α） sin （﹣β）===．4.解答：由题意可得：tan α +tan β=； tan α tan β=，显然α，β﹣又 tan （α +β） ===1 且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.C解答：由 2α∈（ 0，π），及 cos α=2﹣，且，得到 cos2 α =2cos α﹣ 1=sin2 α==，由α+β∈（ 0，π），及cos （α +β） =﹣，得到sin（α +β）==，则 cos （α﹣β） =cos[2 α﹣（α +β）] =cos2αcos（α +β） +sin2 αsin （α +β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到 tan78 °+tan42 °=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78 °+tan42 °﹣tan18 °?tan42 °=﹣．故选： C．．7.A8.B解答：由得tanβ=3，又 tan α=4，所以tan （α +β） ===，故选：B．解答：α，β 为锐角，则cosα===；则 cos （α +β） =﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α +β﹣α）=cos （α +β） cosα+sin （α +β） sin α==．11.D12.B13.C14.A15.A16.D17.C18.C解答：∵α﹑β 为钝角，且sin α=，cosβ=﹣，∴ cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α +β） =cosαco sβ﹣ sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α +β∈（π， 2π），∴α +β=．故选：C．19.C 解答：∵ tan （α﹣β） = = = ，∴可解得：tan α =3．故选：C．20.D 21.B 解答：角 A 为三角形ABC的一个内角， sinA+cosA= sin （ A+ ），如果 A∈（ 0，] ， A+ ∈，sin （ A+ ）∈．A∈（，π）， A+ ∈，sin （ A+ ）∈（﹣ 1， 1）．∵sinA+cosA= ，∴A 是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22. 解答：∵tan （α+） =tan[ （α +β）﹣（β﹣） ] ，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24. 解答：∵∴∵，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α 为第三象限的角，所以2α∈（ 2（ 2k+1）π，π +2（ 2k+1）π）（ k∈ Z），又＜ 0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，? 4kπ+2π＜ 2α＜4kπ+3π ? 2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α） =﹣，∴sin （+α） ==，∴sin α=sin[ （α+）﹣]=sin （+α） cos﹣cos（+α） sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7 解答：∵ tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan= ﹣ tan （A+B） =﹣=﹣ 728.解答：（1）∵，∴tan α==．∵ tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα= ，cosα= ．（ 2）∵，，∴ sin（α﹣β）=﹣，∴tan （α﹣β）==﹣ 7==，∴ tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得： cosβ=cos=cosαcos（α﹣β） +sin αsin （α﹣β）=所以．。
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二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
倍角公式(二)(含答案)
倍角公式（二）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设向量与垂直，则( )
A. B.
C.0
D.-1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
2.已知，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
3.设，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
4.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切公式
5.已知为第二象限角，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：同角三角函数的基本关系
6.若，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
7.设，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切公式
8.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
9.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦公式
10.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：同角三角函数的基本关系。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
三角函数系列二倍角公式测试题含答案
二倍角公式一、选择题，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．13.已知sin θ+cos θ=，则tan2θ值为（ ）A ．B ．C ．D ．14.设tan α，tan β是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1C ． 1D ． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（ ）A ．B ．C ．D ．16.已知sin α+cos α=﹣，则sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.已知，那么cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．18.设α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或19.若tan （α﹣β）=，tan β=，则tan α等于（ ）A ． ﹣3B ． ﹣C ． 3D ．20.=（ ）A ．B ．C ．D ．21.若角A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等腰三角形第II卷（非选择题）二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα= ．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例之阿布丰王创作知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝； 2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β==. 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝()2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”暗示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步调：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
二倍角公式练习题--有答案
精品文档二倍角正弦、余弦与正切公式练习题一 选择题3*41.已知sin ,cos 则〉终边所在的象限是（） 2 52 5A 第一象限B第二象限 C 第三象限 D第四象限2.已知 sin xtanx ：0则,1 cos2x =( )A 、2COSX Bf?2cosx C■, 2 sin xD2 sin x1 …sin2：£ 亠3.右 tan -Z则二（) 24cos2： -4sin2：A 1o155ABCD-1414224. log 2 sin15 0log 2cos15 的值是()A 1B -1C 2D -2pZ -TT_____________________ _______________________________5.若〔三(—-,)化简1 sin 21 -sin 2二的结果是()4 2A2sin rB2cosr C-2si nrD-2cos )- n36. 已知sin（： -x) ,sin 2x 的值为（)A 714 16 19BCD25252525 -二填空题7. tan22.50 -1 _n —1tan 22.H + 0=tan2 25ta n22.508.已知 sin x =_1贝U sin 2(x —巴)=249. 计算 sin6°sin42°sin66°sin 78° = _____________________ 10. 已知 f(cos ；) =3cosx 2 则 三 解答题CL CL(1 sin 二"cos ： )(sincos —)11. 化简 --------------2 2〈2 +2cosaf (sin§)二（二：:：：：::2 二）00hoII*3n H «口再x m(0-2)应sin(2— X)J2 x• 、2cos ——S 5x '-M 2孚血7585'(：十)cos2xcos千 口再 32=2 0+22=20"严32= 2Q —2sin 20“0皿0-0骥池溢>〉泪肖0选择题DBDDCA填空题 题-2; 2、2 解答题 11.解 二：:：:-:::2 二, 2 CL<~ 2 参考答案10题4 一3\2 2原式= acos 0 2… … 2 a …… (1 2sin cos 2cos 1)(s in cos — ) 2 2 2 2 2CL CL 2(1 - 2cos 2 £ -1)a … aa aa2cos (sincos —)(s incos —)a a a a a2cos —(s in cos —)(s in cos —)2 2 2 2 2_a -2cos —2a= (cos? sin 列2« .= cos sin2二 COS :aCL CLCOS3 - sin 3)12.解；0：：：x jr < — 4 JI Tt0 x — 4 4 即 cosx sin 12. 2x 二13 cos 2 x -sin 2 x原式 = — 72 (cosx—sinx) 2 =2(cos x sin x)24 13 2ta nx13.解 tan2x — 1 -ta n 2x= -2^2 ■■- 2 tan 2 x - tan x - . 2 = 0解得 tanx-2 或 tanx-t21 -ta nx=1 ta n x 2=32.21 一 ‘2214.证明：由 3s in 2 : =1-2s in 2： 得 3s in 2: = cos2 ：……① 由 3sin 2 = 2sin 2 -得 3sin cos ：•二 sin 2 一： ②：都是锐角3兀 即 cos （二亠 2F ） =0 又；0 ：： : 2卩2所以：£亠21-'=—2J； — ::: x :::■:2tan x 0tanx =_ cosx -sin xsin x cosxcosx = 0分子分母同时除以 cosx 得①十②得sin ： cos2 : cos _：＞ sin2cos ： cos 2 - - sin ： sin 2 ： = 0精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高二数学倍角公式试题答案及解析
高二数学倍角公式试题答案及解析1.若，则（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】.【考点】二倍角公式的应用.2.的内角，，的对边分别是，，，若，，，则= ( )A．B．2C．D．1【答案】B.【解析】利用正弦定理列出关系式，将，，代入，即，整理求出，再由，及的值，利用余弦定理即可求出的值．【考点】正弦定理；二倍角的正弦．3.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以在中，，因为，而函数在上是减函数，所以当最小时最大，因为为增函数则此时最大。
根据不等式表示的可行域可知当时。
综上可得最小时。
故C正确。
【考点】1二倍角公式；2直线与圆相切；3函数的单调性。
4.已知，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D.【考点】1.诱导公式；2.倍角公式.5. ________.【答案】【解析】由余弦的二倍角公式得：。
【考点】二倍角公式。
点评：本题直接考查二倍角公式。
二倍角公式考试中经常考到，我们一点要熟记并能做到灵活应用。
6.若的内角满足，则（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】.7.已知，则的值为_________.【答案】【解析】因为.8.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，因此，选D 9.已知，则的值为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】.10.算式的值是（）A B C D【答案】A【解析】本题考查二倍角公式由二倍角公式得故正确答案为A11.等于（）【答案】C【解析】略12.观察下列等式：K^S*5U.C#O①；②；③；④；⑤．可以推测，；．【答案】____962【解析】略13.已知 ;【答案】【解析】略14.（本小题满分12分）已知（1）求的值（2）求的值（2）（本小题满分12分）【答案】解（1）原式="0"(2)原式=-1【解析】略15.已知=" " （）A．B．C．D．【答案】D【解析】略16.本小题满分14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】方法（1）由，得；方法（2）由=展开即可求得．………………………………………………………………7分（1）方法（1）求出，，从而；方法（2）由【解析】略17.求值：= ．【答案】【解析】略18.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1)由同角三角函数基本关系式的商数关系求出，再利用二倍角公式求；（2）利用二倍角与两角和的余弦公式将所求的式子进行化简，得到关于的三角函数，再分子、分母同除以，得到关于的表达式进行求解．解题思路:进行三角函数的化简与求值时，一般思路是三统一：统一角，统一名称，统一形式．试题解析：（1）由得故（2）原式【考点】1．二倍角公式；2．两角和的余弦公式；3．同角三角函数基本关系式．19.若tanα＝2，则sinα·cosα的值为．【答案】【解析】，答案为．【考点】同角三角函数的平方关系与商数关系20.已知，且，则．【答案】【解析】，即【考点】1．同角间三角函数关系；2．二倍角公式，诱导公式。
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招(解析版)
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招【方法技巧与总结】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sin cos ααα=⋅2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-2、升幂公式：21cos22cos αα+=，21cos22sin αα-=3、降幂公式：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-= 【题型归纳目录】题型一：利用二倍角公式求值 题型二：利用二倍角化简、求值题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值 题型四：二倍角的综合运用 【典型例题】题型一：利用二倍角公式求值 例1．求下列各式的值： （1）sin15cos15︒︒； （2）22cos sin 88ππ-；（3）2tan 22.5122.5tan ︒-︒；（4）22cos 22.51︒-．【解析】解：（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）222cos sin cos8842πππ-==； （3）2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒； （4）222cos 22.51cos452︒-=︒=． 例2．求下列各式的值：（1）2sin75cos75︒︒； （2）22sin cos 1212ππ-；（3）22cos 18π-；（4）212sin 6730'-︒； （5）22tan 22.5122.5tan ︒-︒；（6）sin15sin75︒︒； （7）22cos 1501︒-；（8）252tan125112tan ππ-． 【解析】解：（1）12sin 75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=； （2）22223sin cos (cos sin )cos121212126πππππ-=--=-= （3）222cos 1cos842ππ-==； （4）2212sin 6730cos135cos45'-︒=︒=-︒= （5）22tan 22.5tan 451122.5tan ︒=︒=-︒； （6）111sin15sin 752sin15cos15sin30224︒︒=⨯︒︒=︒=；（7）212cos 1501cos300cos602︒-=︒=︒=； （8）252tan5312tan tan 566112tan ππππ==-=-． 例3．求下列各式的值： （1）5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+-22（3）111tan 1tan αα--+ （4）212cos cos2θθ+- 【解析】解：（1）5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ+- 2255sin cos 1212ππ=- 5cos6π=- cos6π=3=； （2）44cos sin 22αα-2222(cos sin )(cos sin )2222αααα=+-22cos sin 22αα=-cos α=；（3）111tan 1tan αα--+ (1tan )(1tan )(1tan )(1tan )αααα+--=-+22tan 1tan αα=-tan2α=；（4）212cos cos2θθ+-2212cos (2cos 1)θθ=+--2=．变式1．求下列各式的值： （1）2sin15cos15︒︒； （2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒； （3）212sin 15-︒； （4）22cos 301︒-；88（6）22tan 75175tan ︒-︒．【解析】解：（1）12sin15cos15sin302︒︒=︒=； （2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；2cos 45=︒= （3）2312sin 15cos30-︒=︒； （4）212cos 301cos602︒-=︒=； （5）22sin cossin884πππ==（6）22tan 753tan150tan30175tan ︒=︒=-︒=-︒． 变式2．求下列各式的值：（1）3sinsin88ππ； （2）22cos 15cos 75︒-︒； （3）252cos 112π-； （4）2tan 30130tan ︒-︒． 【解析】解：（1）312sinsinsin cos sin 888824πππππ===（2）22223cos 15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒=︒-︒=︒ （3）25532cos 1cos cos 1266πππ-==-=． （4）22tan3012tan3013tan 6013021tan 302tan ︒︒=⋅=︒=-︒-︒． 题型二：利用二倍角化简、求值例4．已知1sin()3cos 33παα+=，则sin(2)6πα-的值是( )A ．13B ．13-C ．79 D ．79-【解析】解：已知113sin()3sin 3sin()3323ππαααααα+==+=-，则222sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)12sin ()626333ππππππααααα-=--=-=-=--171299=-⨯=，故选：C ．例5．已知1sin()cos 63παα-=+，则cos(2)(3πα+= )A ．79-B ．43C 43D ．79【解析】解：1sin()cos 63παα-=+，整理得131cos 23αα+=-，即1sin()63πα+=-，故27cos(2)12sin ()369ππαα+=-+=．故选：D ．例6．已知3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+的值为( )A ．18-B ．18C ．316-D ．1532【解析】解：3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+21cos[90(642)]cos(262)2cos (13)18ααα=-︒+-︒+=-︒+=-︒++=-，故选：A ．变式3．已知3sin()45x π-=，则cos(2)2x π-的值为( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725【解析】解：因为3sin()45x π-=，所以2237cos(2)cos[2()]12()12()244525x x sin x πππ-=-=--=-⨯=．故选：D ．变式4．若[4πθ∈，]2π，1cos28θ=-则sin (θ= )A ．35B ．34C 7D ．45【解析】解：21cos212sin 8θθ=-=-，29sin 16θ∴=， [4πθ∈，]2π，93sin 164θ∴=， 故选：B ．变式5．已知tan 2α=，则cos(2)4πα+的值为 72 ．【解析】解：tan 2α=，则222222222cos sin 2sin cos cos(2)2()4cos sin cos sin πααααααααααα-+=-++22221tan 2tan 214472()()1tan 1tan 2141410αααα--=-=-=-++++， 故答案为：7210-． 变式6．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4ααα-=112． 【解析】解：tan 2α=，22tan 4sin 215tan ααα∴==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，24sin 42sin 2cos225ααα==-， ∴222243()2()sin 22cos 215524sin 41225ααα-⨯--==-． 故答案为：112． 变式7．已知θ为锐角，3cos(15)5θ+︒=，则cos(215)θ-︒= 17250 ．【解析】解：θ为锐角，32cos(15)5θ+︒=<，15(45,60)θ∴+︒∈︒︒，230120θ∴+︒<︒． 由二倍角公式可得27cos(230)2cos (15)125θθ+︒=+︒-=-， 224sin(230)1cos (230)25θθ∴+︒=-+︒=． cos(215)cos(23045)cos(230)cos45sin(230)sin 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒ 7224217225225250=-+=，172变式8．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan2α 【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =， cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值例7．21sin822cos8-+( ) A ．2sin44cos4- B ．2sin44cos4--C ．2sin 4-D ．4cos42sin4-【解析】解：544ππ<<，sin4cos40∴<<， 221sin82(sin4cos4)2|sin4cos4|2cos42sin4∴-=-=-=-，222cos84cos 42cos 4+=-， 21sin822cos82sin 4∴-+=-．故选：C ． 例8．若42ππθ<<1sin 21sin 2θθ+-( )A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ-【解析】解：若42ππθ<<，则sin cos 0θθ>>，∴221sin21sin2(sin cos )(sin cos )|sin cos ||sin cos |θθθθθθθθθθ+-+-+--(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ=+--=，故选：C ．例9．已知53[,]42ππθ∈1sin 21sin 2θθ-+( ) A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θ-D ．2cos θ【解析】解：因为53[,]42ππθ∈，sin cos θθ∴<，且sin cos 0θθ+<． 1sin 21sin 2|cos sin ||cos sin |2cos θθθθθθθ-+=--+=， 故选：D ．变式9．sin10sin30sin50sin70︒︒︒︒的值为( )A ．12B ．14 C ．18D ．116【解析】解：原式12sin10cos10cos20cos40sin80122cos1016cos1016︒︒︒︒︒===︒︒故选：D ．变式10．若270360a ︒<<︒1111cos 22222a ++= cos 2a- ． 【解析】解：270360a ︒<<︒，∴1351802a︒<<︒， 1111111cos 2(1cos 2)2222222a a ++++2111112cos 22222cos a a =+=+21(1cos )|cos |cos 2222a a a a cos =+===-． 故答案为：cos 2a -．变式111cos1001cos100(+︒-︒= ) A ．2sin5-︒B ．2sin5︒C ．2cos5-︒D ．2cos5︒1cos1001cos100+︒-︒2212501112sin 50cos =+︒--+︒22=︒-︒2cos(4550)=︒+︒ 2sin5=-︒．故选：A ．变式12．若2παπ-<<-1cos 1cos 22αα-+得( ) A ．2)24απ-+ B 2sin()24απ+C ．2sin()24απ-- D 2)24απ-【解析】解：2παπ-<<-， 22αππ∴-<<-，∴1cos 1cos 22αα-+ sincos22αα=-+32sin()24απ=+32()]24αππ=-+2sin()24απ=--． 故选：C ． 变式13sin 401cos8012sin 20cos 20sin10︒+︒-︒︒+︒( )A ．12B 2C 2D ．2【解析】解：原式22sin 401(2401)sin 402cos402sin802cos10(sin10cos10)sin10cos ︒⨯+︒-︒⨯︒︒===︒︒-︒+︒． 故选：B ．变式14．sin6cos24sin78cos48︒⋅︒⋅︒⋅︒的值为( )A ．116B ．116-C ．132 D ．18【解析】解：sin6cos24sin78cos48︒⋅︒⋅︒⋅︒ sin6sin(9012)cos24cos48=︒⋅︒-︒⋅︒⋅︒ sin6cos12cos24cos48=︒︒︒︒442cos6sin 6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒=︒ 342sin12cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒=︒ 242sin 24cos24cos482cos6︒︒︒=︒442sin 48cos48sin96sin(906)cos612cos62cos616cos616cos616︒︒︒︒+︒︒=====︒︒︒︒． 故选：A ． 变式15．2212sin 20cos 202cos 101cos 1601-︒︒=︒--︒- 1 ．222(cos 20sin 20)12sin 20cos 20cos 20sin 201cos 20sin 202cos 101cos 1601︒-︒-︒︒︒-︒===︒-︒︒--︒-． 故答案为：1． 题型四：二倍角的综合运用例10．设(0,)απ∈，1sin cos 3αα+=，则22cos sin αα-的值是( )A 17B ．22C ．17D 17或17【解析】解：1sin cos 3αα+=，112sin cos 9αα∴+=，82sin cos 9αα∴=-， (0,)απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，217cos sin (cos sin )12cos sin αααααα∴-=---= 2217117cos sin (cos sin )(cos sin )3αααααα∴-=-+==． 故选：C ．例11．若1sin cos 3αα+=，0απ<<，则sin 2cos2(αα+= )A 817+B 817-± C 817-+ D 817-- 【解析】解：因为1sin cos 3αα+=①，所以112sin cos 9αα+=，即82sin cos sin 29ααα==-， 所以21712sin cos (sin cos )9αααα-=-=， 因为sin cos 0αα<且0απ<<， 所以sin 0α>，cos 0α<， 故17sin cos αα-=②， ①⨯②可得，2217cos 2cos sin ααα-==所以817817sin 2cos29αα--+=-． 故选：D ．例12．函数2()sin 3cos f x x x x =+在区间[,]42ππ上的最大值是( )A ．1B 13+C ．32D ．13+【解析】解：由1cos231()2sin(2)226x f x x x π-==+-， 5242366xx πππππ⇒-，∴13()122max f x =+=． 故选：C ．变式16．已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解析】解：函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==， 故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12， 故选：B ．变式17．当x θ=时，函数2()2sin 4cos 2xf x x =+-取得最大值，则cos θ= 25 ．【解析】解：2()2sin 4cos sin 2cos 5sin()2xf x x x x x ϕ=+-=-=-， 且25sin ϕ5cos ϕ 又当x θ=时函数取得最大值， 则22k πθϕπ-=+，可得22k πθπϕ=++，则25cos cos(2)sin 2k πθπϕϕ=++=-= 故正确答案为：25．变式18．已知函数()cos (3cos )(0)f x x x x ωωωω=->的两条对称轴之间的最小距离为2π． （1）求函数()f x 的最大值； （2）若3()10f α=，(0,)3πα∈，求cos2α的值．【解析】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得2()3cos cos f x x x x ωωω=- 31cos212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--， 函数()f x 图象两条对称轴之间的最小距离为2π， ∴周期2222T ππω==⨯，解得1ω=， 1()sin(2)62f x x π∴=--，()f x ∴的最大值为11122-=； （2）因为314()sin(2)sin(2)106265f ππααα==--⇒-=， (0,)3πα∈，2(66ππα∴-∈-，)2π；3cos(2)65πα∴-=．cos2cos[(2)]66ππαα∴=-+cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=---3341552=⨯ 334-=变式19．已知tan α，tan β是一元二次方程的2420x x --=两根，且0βαπ<<<，求tan2αβ+的值．【解析】解：由已知得tan tan 4αβ+=，tan tan 2αβ=-， tan tan 44tan()1tan tan 123αβαβαβ++===-+，22tan42tan()312tan αβαβαβ++==+-，23tan22tan 22αβαβ++∴=-， 即22tan 3tan2022αβαβ+++-=，则1tan22αβ+=或2-， 0βαπ<<<，tan tan 40αβ+=>，tan tan 20αβ=-<，tan α∴与tan β异号，则tan 0α>，tan 0β<，且|tan ||tan |βα>， 02πβ∴<<，2παπ<<，则322ππαβ<+<，3424παβπ+<<， 则tan 22αβ+=-．【过关测试】1．已知3cos25θ=，则44sin cos θθ+的值为( )A ．925B ．1625C ．1725D ．4150【解析】解：3cos25θ=， 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+- 2211121(12)22sin cos θθ=-=--213171[1()]2525=--=． 故选：C ．2．已知3cos25α=，则44sin cos αα-的值为( )A ．35-B ．15-C ．15D ．35【解析】解：3cos25α=， 223cos2cos sin 5ααα∴=-=，442222223sin cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )5αααααααα∴-=-+-=--=-，故选：A ． 3．已知1tan 4tan θθ+=，则44sin cos (θθ+= ) A ．38B ．12C ．34D ．78【解析】解：由221sin cos sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===，得1sin cos 4θθ=， 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+- 1712168=-⨯=． 故选：D ．4．若[,]42ππθ∈，37sin 2θ=sin (θ )A ．23B 3C 7D ．34【解析】解：因为[,]42ππθ∈，所以2[,]2πθπ∈，所以cos20θ<，所以，21cos21sin 28θθ=--=-．又21cos212sin 8θθ=-=-，所以29sin 16θ=．再由[,]42ππθ∈，得sin 0θ>，所以3sin 4θ=．故选：D ．5．已知角α满足1sin()43πα+=，则sin cos αα+=2，sin 2α= ． 【解析】解：角α满足1sin()43πα+=，则21cos )23αα+=，则2sin cos 3αα+=． 所以22(sin cos )9αα+=，整理得27sin 2199α=-=-．279- 6．函数111cos24cos 22y x x =-+的值域为 [2，10] ．【解析】解：2111cos24cos (cos 2)122y x x x =-+=-+，设cos x t =，所以函数2()(2)1f t t =-+该函数在(,2)-∞上单调递减， 当cos 1x =-时函数取得最大值为10，当cos 1x =时，函数取得最小值为2． 故函数的值域为[2，10]． 故答案为：[2，10]．7．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++ （2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan2α 【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -， 则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =， cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-8．（1）已知445sin cos 9θθ+=．求sin 2θ的值； （2）已知3cos25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：已知445sin cos 9θθ+=．所以222225(sin cos )2sin cos 9θθθθ+-=，整理得2511(2sin cos )92θθ-=， 所以214(sin 2)29θ=，故：22sin 2θ=（2）已知3cos25θ=，所以4sin 25θ=±，44sin cos θθ+的2222211617(sin cos )2sin cos 122525θθθθ=+-=-⨯=． 9．（1）已知3cos 5θ=-，32ππθ<<，求2(sin cos )22θθ-的值；（2）已知1sincos225αα-=，求sin α的值； （3）已知445sin cos 9θθ+=，求sin 2θ的值； （4）已知3cos25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：（1）由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得24sin 1cos 5θθ=--=-，所以22249(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ-=-+=-=+=； （2）由1sin cos225αα-=， 所以2221(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα-=-+=-=， 解得24sin 25α=； （3）由445sin cos 9θθ+=， 得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=， 解得28sin 29θ=，则22sin 2θ=（4）由3cos25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+- 211sin 22θ=-211(1cos 2)2θ=--21131()225=-+⨯ 1725=． 10．已知324ππα<<，110tan tan 3αα+=-． （1）求3tan()4απ+的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822223sin()2ααααπα++--的值．【解析】解：由110tan tan 3αα+=-，得23tan 10tan 30αα++=， 解得：tan 3α=-或1tan 3α=-．324ππα<<，1tan 3α∴=-， （1）131tan tan 334tan()23141tan tan 1()(1)43απαπαπ--++===----⨯-； （2）225sin 8sincos11cos 822223sin()2ααααπα++--41cos 1cos 354sin 1184sin 3cos 4tan 353223cos 3cos 339αααααααα-+-+⋅++⋅-++=====-----．11．已知4tan 2,223θπθπ=<<（1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()cos θθπθθ---+的值． 【解析】解：（1）22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，∴122tan tan θθ=-=或， 2πθπ<<，∴2πθπ<<，tan 2θ∴=-．（2）22cos sin 1cos sin 1tan 23sin()cos sin cos tan 1θθθθθπθθθθθ----===--+++． 12．已知sin 3cos 022x x-=（1）求tan x 的值； （2）求cos 22cos()sin 4x x x π+的值．【解析】解：（1）由sin 3cos 022x x -=，可得tan 32x =，∴22tan632tan 1941tan 2xx x ===---． （2）原式22cos sin 111sin tan 3222(cos sin )sin 22x x x x x x x +===+=--．13．不用计算器，求值：tan10tan20tan30tan40tan50tan60tan70tan80︒︒︒︒︒︒︒︒．【解析】解：tan cot(90)αα=︒-．∴原式cot80cot70cot60cot50tan50tan60tan70tan80=︒︒︒︒︒︒︒︒1=．故答案为：1．。