1关于实数集完备性的基本定理

它也含有 a n 中几乎所有的项，且满足
1,1 2,2 及 221 2.
继续依次令
1 23
,L
,
1 2n
,L
照以上方法得一闭区间列 n , n ,
其中每个区间都含 a n 中几乎所有的项，且满足
n , n n 1 , n 1 ,n 1 ,2 ,L ,
nn2n 11 0n ,
所有的项”表示“ a n 中除有限项外的所项”).
据此，令
1, 2
则存在
N
1
，在区间
aN1
1 2 ,aN1
1 2
内含有
an
中几乎所有的项，记这个区间为1 , 1 .
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再令
1 22
,
则存在 在区间 N2( N1)
aN2
1 22
,aN2
1 22
内含有
an
中
几乎所有的项.
记
2,2 aN 22 1 2,aN 22 1 2 I 1,1 ,
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即 n,n 是区间套. 由区间套定理，存在唯一的一个数 n,n (n1,2,L).
现在证明数 就是数列 a n 的极限.事实上，由定理7.1的推论，
对任给的 0 ，存在N 0,使得当 n>N 时有
n,nU(;).
因此在 U ( ; ) 内含有 a n 中除有限项外的所有项.
这就证得
数列 a n 收敛的充要条件是：对任给的 0 ,存在 N 0 ,
使得对 m,n N ,
有 am an .
分析 由数列极限定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充 分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列
的极限.我们将对柯西列 a n 构造区间套n,n, 使得在每个
n,n, 外只有数列 a n 中有限项.
第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理 §2 闭区间上连续函数性质的证明
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§1 关于实数集完备性的基本定理
一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
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一、区间套定理与柯西收敛准则
定义1 设闭区间列 an,bn 具有如下性质
证明整个区间 [ a , b ] 上所具有某性质的问题归结为 点邻域
U ( , ) 的性质，实现完满整体向局部的转化.
由（4）容易推的如下很有用的区间套性质 .
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推论
若 [a n,b n] (n1 ,2 ,L )是区间套所确定的点则对任给
的 0 ，存在 N 0 ,使得当 n N 时有
an,bnU(;) 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）. 即
lim
n
an
.
注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数 列的极限. 注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到
在处理具体问题时构造区间套的思想方法.
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S为数轴上的点集 为定点 (它可以属于 S也可
以不属于S) 若 的临域内都含有 S中无穷多个点则称 为集 S
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证
[必要性]
设
lim
n
an
A.
由数列极限定义, 对任给的
0,
存在 N
0
,当
m,n N
时有
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因而
a m anam am A A a n2,A an 2A 2 2, .
[充分性] 按假设,对任给的 0 , 存在 N 0 ，使得对
一切 n N 有 an aN , 即在区间 aN,aN 内含有 a n 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ a n 中几乎
（i）[a n ,b n ] [a n 1 ,b n 1 ] ,n 1 ,2 ,L ; (ii) lni m(bnan)0
则称 an,bn 为闭区间套，或简称区间套．
这里的性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个 套者后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式
a 1 a 2 L a n L b n L b 2 b 1 (1)
定理的结论成立．对于开区间列，有可能不成立,如
0,
1 n
,
虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 lim(1 0) 0 ，
n n
但不存在属于所有开区间的公共点．
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注2 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰 当地构造区间套. 一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，
即闭区间列 an,bn .
的一个聚点.
点集
S
(1)n
1 n
有两个聚点 1
1
和2
1;
点集
S
1
n
只有一个聚点 0; 又若 S为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端
点a、b都是S的聚点；而正整数集 N 没有聚点，任何有限数集也
没有聚点.
注1 点集的 S 聚点可以属于S ，也可以不属于 S ；
且
bn,n1,2,L.
（4） （5）
联合（3）、（5）即得（2）式. 最后证明满足（2）的
是唯一的．设数 也满足 a nb n,n1 ,2 ,L .
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则由（２）式有
b n a n ,n 1 ,2 ,L .由区间套的条件（ii）得
故有 .
lim bnan0 , n
注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证
定理7.1（区间套定理） 若an,bn 是一个区间套，则在实数
系中存在唯一的一点 , 使得 anb n,n1 ,2,L.
即
a nb n ,n 1 ,2 ,L . (2)
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分析 即要证明闭区间列 [an,bn],n1,2,L 有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）
式和单调有界定理可以知道数列 a n 和 b n 都存在极限，我们
满足（i） [a n ,b n ] [a n 1 ,b n 1 ],n 1 ,2 ,L ; (ii) lni m(bnan)0.
另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中，前者是区间套定理本身条件的要求
保证诸区间[an,bn] (n1,2,L)存在唯一公共点 , 后者则把
只要证明这两个数列极限相等且属于所有的 [an,bn],n1,2,L 则找到一个公共点; 然后证明唯一性.
证 由（１）式， a n 为递增有界数列，依单调有界定理，
a n 有极限 ,且有 an,n1,2,L.
（3）
同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有
lni m bnlni m an