1关于实数集完备性的基本定理
实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个)
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
《数学分析》第七章 实数基本定理
第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。
实数的完备性
不存在 S,
使 1 . n
例：②设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1
则开区间集S覆盖区间I，
x (0,1), 只要自然数m充分大，有
1 x m 1
即x ( 1 ,1) m1
定理7.3 （海涅—博雷尔（Heine-Borel)有限覆盖定理） 闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必可从H中选 出有限个开区间覆盖[a, b]。
它是区间(a, b)的一个无限开覆盖。
又如：（0，2），（1，3）， ，（n 1, n 1）,
3
24
n n2
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
例：①设
I （0，1），S （ { 1 ，1）n 1,2,3 }. n1 n
则开区间集S没有覆盖区间I，
1 (0,1), n
取 n min{ 1/ n,| xn1 |},则xn U ( ; n ) S，
且xn与x1，x2， xn1互异，
无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 { xn },
且满足：|
xn
|
n
1， n
从而
lim
n
xn
.
证毕。
定理7.2 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理）
n 即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. {(1 1 )n }也是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e.
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定 理、聚点定理和有限覆盖定理，
还将证明这六个基本定理的等价性。
一、 区间套定理与柯西收敛准则
(数学分析教案)第七章
第七章 实数的完备性(9学时)§1 关于实数完备性的基本定理教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下:一、区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= （2）lim ()0n n n b a →∞-=则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=证: 先证存在性{[,]}nn ab 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤∴可设lim n n a ξ→∞=且由条件2有lim lim ()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞→∞→∞=-+==由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 再证唯一性设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤= 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-= 由区间套的条件2得lim ()0n n n b a ξξ→∞'-≤-=故有ξξ'=推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈= 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n a b U ξε⊂柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 ||m n a a ε-<.证 [必要性] 略.[充分性] 已知条件可改为：对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N ≥有||m n a a ε-≤.取m N =，有对任给的0ε>,存在0N >,使得对n N ≥有||m n a a ε-≤，即 在区间[,]N N a a εε-+内含有{}n a 中几乎所有的项（指的是{}n a 中除有限项的所有项）∴令12ε=则存在1N ，在区间1111[,]22N N a a -+内含有{}n a 中几乎所有的项，记该区间为11[,]αβ. 再令212ε=则存在21()N N >，在区间112211[,]22N N a a -+内含有{}n a 中几乎所有的项，记该区间为1122112211[,][,][,]22N N a a αβαβ=-+也含有{}n a 中几乎所有的项,且满足1122[,][,]αβαβ⊃及221.2βα-≤依次继续令311,,,,22nε=得一区间列{[,]}n n αβ,其中每个区间中都含有{}n a 中几乎所有的项,且满足11[,][,],1,2,;n n n n n αβαβ++⊃=110(),2n n n n βα--≤→→∞即时{[,]}n n αβ是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[,],1,2,n n n ξαβ∈= . 再证lim n n a ξ→∞=.由定理7.1的推论对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n U αβξε⊂即在(,)U ξε内含{}n a 中除有限项的所有项,由定义1'lim n n a ξ→∞=. 二、聚点定理与有限覆盖定理定义 2 设S 为数轴上产的点集，ξ为定点，若ξ的任何邻域内都有含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.例如:1{(1)}nn -+有两聚点1,1ξξ==-.1{}n 有一个聚点0ξ=.(,)a b 内的点都是它的聚点,所以开区间集(,)a b 有无穷多个聚点. 聚点的等价定义;定义2'对于点集S ,若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点,即(;)U S ξε≠∅ ,则称ξ为S 的一个聚点.定义2''若存在各项互异的数列{}n x S ⊂,则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.三个定义等价性的证明: 证明思路为:2222'''⇒⇒⇒.定义22'''⇒的证明:由定义2'设ξ为S 的一个聚点,则对任给的0ε>,存在0(,)x U S ξε∈ .令11ε=,则存在01(,)x U S ξε∈ ;令211m in(,||)2x εξ=-,则存在022(;)x U S ξε∈ ,且显然21x x ≠;令11m in(,||)2n n x εξ-=-,则存在0(;)n n x U S ξε∈ ,且显然n x 与11,,n x x - 互异;得S 中各项互异的数列{}n x ,且由1||n n n x n ξε-<≤,知lim n n x ξ→∞=.由闭区间套定理可证聚点定理.定理7.2 (Weierstrass 聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集S 致少有一个聚点. 证 S 有界, ∴存在0M >,使得[,]S M M ⊂-,记11[,][,]a b M M =-,将11[,]a b 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点,记此子区间为22[,]a b ,则1122[,][,]a b a b ⊃且122112()b a b a M -=-=.再将22[,]a b 等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S 中无穷多个点,取出这样一个子区间记为33[,]a b ,则2233[,][,]a b a b ⊃,且133222()2M b a b a -=-=依次继续得一区间列{[,]}n n a b ,它满足:11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= 20(),2n n n M b a n --=→→∞即{[,]}n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理, 存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= .由定理1的推论, 对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n a b U ξε⊂.从而(;)U ξε含有S 中无穷多个点按定义2ξ为S 的一个聚点.推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.证: 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项,显然成立.若数列{}n x 中不含有无限多个相等的项,则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{}n x 至少有一个聚点,记为ξ.由定义2'',存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 ||m n a a ε-<.证: [充分性] 先证{}n a 有界,由忆知条件取1ε=,则存在正整数N, 则1m N =+及n N >时有1||1n N a a +-<由此得111||||1||n n N N N a a a a a +++=-+<+.取121m ax{||,||,,||,1||}N N M a a a a +=+ 则对一切的正整数n 均有||n a M ≤. 再证{}n a 收敛,由致密性定理,数列{}n a 有收敛子列{}k n a ,设lim k n k a A→∞=由条件及数列极限的定义, 对任给的0ε>,存在0K >,使得对,,m n k N >有||m n a a ε-<，||k n a A ε-<取()k m n k K =≥>时得到 ||||||2kkn n n n a A a a a A ε-≤-+-<所以lim k n k a A→∞=定义3 设S 为数思轴上的点集,H 为开区间集合(即H 的每一个元素都是形如(,)αβ的开区间).若S 中的任何一个点都有含在H 中至少一个开区间内,则称H 为S 的一个开覆盖,( H 覆盖S ).若H 中开区间的个数是无限的(有限)的,则称H 为S 的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如(,),S a b ={(,)|(,)},x x H x x x a b δδ=-+∈H 为S 的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b .证 用反证法 设定理的结论不成立,即不能用H 中有限个开区间来覆盖[,]a b . 将[,]a b 等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为11[,]a b ,则11[,][,]a b a b ⊂,且111()2b a b a -=-.再将11[,]a b 等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为22[,]a b ,则2211[,][,]a b a b ⊂,且2221()2b a b a -=-.依次继续得一区间列{[,]}n n a b ,它满足:11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= 1()0(),2n n nb a b a n -=-→→∞即{[,]}n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖 由闭区间套定理, 存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,由于H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖,故存在(,),H αβ∈使得(,)ξαβ∈.于是,由定理7.1的推论,当n 充分大时有[,](,)n n a b αβ⊂.即用H 中一个开区间就能覆盖[,]n n a b 矛盾.课后记:这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1 如何理解记忆定理内容.2 如何掌握定理的证明方法.3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等.教材中P 16322[,]αβ中包含{}n a 的几乎所有项,是因为它中包含{}n a 的第2N 项以后的所有项,这里应强掉,容易被忽略.在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点.三、 实数基本定理等价性的证明（未讲）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy 收敛准则确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理Heine –Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理7.4 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 7.5 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.推论1 若是区间套确定的公共点, 则对,当时, 总有.推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗,↘,. 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:定理 7.6数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列. ( 证 )定理 7.6 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：定理7.7非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二. “Ⅱ”的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:定理7.8 (Weierstrass )任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）定理7.9每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：定理7.10数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“Ⅲ”的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:§2 闭区间上连续函数性质的证明教学目的要求：掌握定理的证明方法.教学重点、难点：重点是定理的证明方法,难点是什么情况下用哪一个定理.学时安排: 2学时教学方法: 讲授法.教学过程:一. 有界性:命题1 , 在上.证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性:命题2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.命题3 ( 零点定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证, ( 为此证明且). 取>且.由在点连续和, ,. 于是. 由在点连续和,. 因此只能有.证法三 ( 用有限复盖定理 ).四.一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用列紧性 ).五.实数基本定理应用举例：例1 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合. 则, 不空 ; ,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设, 则.下证.ⅰ）若, 有; 又, 得.由递增和, 有, 可见. 由,. 于是 , 只能有.ⅱ）若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列, ↘,. 由递增, 以及, 就有式对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对任何,有.现证.事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有.令, 得于是有.例2 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程在区间内有实根 .证构造区间套,使.由区间套定理,, 使对,有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗和↘,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有,, . 为方程在区间内的实根.例3 试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理,, 使对, 有. 当然有. 但对有而, . 矛盾.习题课（ 3学时）一．实数基本定理互证举例：例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证设数列递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例5 用“确界原理”证明“区间套定理”.证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .设, .易见有和.由，.例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .例7 用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界中大于的点有无穷多个; 由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .课后记强掉应先构造闭区间套、构造开覆盖、构造数列等的方法.通过大量的例子让同学们体会在什么时候用哪一个定理.。
第七章 实数完备性
第七章实数的完备性§1 关于实数完备性的基本定理一、问题提出定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类二、回顾确界原理的证明我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能.1 非空有上界的数集E 必存在上确界.证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈∀,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界；（2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划.ο1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈∀,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ；ο2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出；ο3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈∃,使得x a <,而E 内每一元素属于A ,所以b x a <<.ο4 由ο3的证明可见A 无最大数.所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c .E x ∈∀,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =.推论 非空的有下界的集合必有下确界.事实上,设集合}{x E =有下界b ,则非空集合}|{'E x x E ∈-=有上界b -,利用集合'E 上确界的存在性,即可得出集合E 的下确界存在.定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性.若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.例1 证明实数空间满足阿基米德原理.证明 0>>∀a b ,要证存在自然数n 使b na >.假设结论不成立,即b na ≤, ），，Λ21(=n ,则数集}{na E =有上界b ,因此有上确界c ,使c na ≤），，Λ21(=n ,也就有c a n ≤+)1(），，Λ21(=n ,或 a c na -≤ ），，Λ21(=n .这表明a c -是集合E 的上界,与c 是上确界矛盾.所以总存在自然数n ,使b na >. 三、等价命题证明下面来完成(1)～(7)的证明． (一) 用确界定理证明单调有界定理设}{n x 单调上升,即ΛΛ≤≤≤≤≤n x x x x 321,有上界,即M ∃,使得M x n ≤.考虑集合}|{N n x E n ∈=,它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为nN n x a ∈=sup .我们验证 nn x a ∞→=lim .0>∀ε,由上确界的性质,N ∃,使得N x a <-ε,当N n >时,由序列单调上升得n N x x a ≤<-ε,再由上确界定义,ε+<≤a a x n ,有 εε+<<-a x a n ,即ε<-a x n ,也就是说 nN n n n x a x ∈∞→==sup lim . 同理可证若}{n x 单调下降,有下界,也存在极限,且nN n n n x x ∈∞→=inf lim .若集合E 无上界,记作+∞=E sup ；若集合E 无下界,记作+∞=E inf ,这样一来,定理2证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列}{n x ,必有极限)inf (sup n N x n N x x x ∈∈的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列}{n x ,总有)inf (sup lim n Nx n Nx n n x x x ∈∈+∞→=.(二) 用单调有界定理证明区间套定理由假设（1）知,序列}{n a 单调上升,有上界1b ；序列}{n b 单调下降,有下界1a .因而有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→. n n b c c a ≤≤≤21.再由假设（2）知0)(lim 12=-=-+∞→c c a b n n n ,记c c c ==21. 从而有nn n n b c a +∞→+∞→==lim lim .若还有*c 满足n n b c a ≤≤*,令+∞→n ,得c c =*.故c 是一切],[n n b a 的唯一公共点.证毕.这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1） 要求],[n n b a 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如)1,0(),(n b a n n =.显然有 )1,0()11,0(n n ⊂+, 但 φ=+∞=)1,0(1n n I .如果开区间套是严格包含： n n n n b b a a <<<++11,这时定理的结论还是成立的.(2)若],[],[11n n n n b a b a ⊂++），，Λ21(=n ,但0)(lim ≠-+∞→n n n a b ,此时仍有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→,但21c c <,于是对任意的c ,21c c c ≤≤,都有],[1n n n b a c +∞=∈I . 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.推论 设为一区间套,．则当时,恒有．用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．例2 序列}{n x 由下列各式a x =1,b x =2,221--+=n n n x x x ），，Λ43(=n所确定（见下图）.证明极限n n x+∞→lim 存在,并求此极限.1x 3x 5x 4x 2x x证明 当b a =时,a x n =,故ax n n =+∞→lim .当b a ≠时,若取),min(1n n n x x a +=,),m ax (1n n n x x b +=,），，Λ21(=n .则由条件,显然可得一串区间套：],[],[11n n n n b a b a ⊂++ ），，Λ21(=n .由已知条件)(212111--+--=-+=-n n n n n n n x x x x x x x ,于是，)(0||21||21||21||21||112121211+∞→→-=-==-=-=-=------+n a b x x x x x x x x a b n n n n n n n n n n Λ由区间套定理,存在c 满足： n n n n b c a +∞→+∞→==lim lim .注意到],[n n n b a x ∈,所以 c x n n =+∞→lim . 下面来求c .由)(2111-+--=-n n n n x x x x ,令132-=k n ，，，Λ得一串等式： )(211223x x x x --=-； )(212334x x x x --=-；ΛΛΛΛΛΛ)(21211-----=-k k k k x x x x .将它们相加,得 )(21112x x x x k k --=--,令+∞→k ,得)(2112x c x c --=-所以)2(31323121b a x x c +=+=.(三) 用区间套定理证明确界原理证明思想：构造一个区间套,使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；,再令如此无限进行下去,得一区间套．可证：因恒为的上界,且,故,必有,这说明是的上界；又因,故,而都不是的上界,因此更不是的上界．所以成立．［证毕］*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套,的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理,．导出矛盾：使记由［推论］,当足够大时,这表示用中一个开区间就能覆盖,与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．说明当改为时,或者不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论不一定成立.例如：1) ．是开区间的一个无限开覆盖,但不能由此产生的有限覆盖．2) ．是的一个无限覆盖,但不是开覆盖,由此也无法产生的有限覆盖．* (五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集,并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点,则．现反设中任一点都不是的聚点,即在内至多只有．这样,就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9,存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设,内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以,有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．即若为有界数列,则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点,或称聚点注数列的聚点与一般点集的聚点,含义稍有不同．数列的聚点定义为：“,在内含有中无限多个项,则为的一个聚点．”在此意义下,对于数列它有两个收敛子列:和,．它们的极限和就是的两个聚点．证}{n a 有界,则存在数11,y x 使得11y a x n ≤≤对n ∀成立.将],[11y x 二等分为]2,[111y x x +、],2[111y y x +,则其中必有一个含有数列}{n a 的无穷多项,记为],[22y x ；再将],[22y x 二等分为]2,[222y x x +、],2[222y y x +,同样其中至少有一个含有数列}{n a 的无穷多项,把它记为],[33y x ,……一直进行这样的步骤,得到一闭区间套]},{[n n y x ,其中每一个],[n n y x 中都含有数列}{n a 的无穷多项,且满足：⑴ ],[11y x ⊃],[22y x ⊃⊃Λ],[n n y x ⊃…⑵111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==则由闭区间套定理,ξ∃使得 =∞→n n a lim =∞→n n b lim ξ 下证}{n a 中必有一子列收敛于实数ξ先在],[11y x 中选取}{n a 的某一项,记为1n a ,因],[22y x 中含有}{n a 中的无穷多项,可选取位于1n a 后的某一项,记为2n a ,12n n >.继续上述步骤,选取k n a ],[k k y x ∈后,因为],[11++k k y x 中含有无穷多项,可选取位于kn a 后的某一项,记为1k n a +且kk n n >+1,这样我们就得到}{n a 的一个子列}{k n a 满足k n k y a x k ≤≤,Λ,2,1=k由两边夹定理即得 =∞→k n n a lim ξ.证明 设b x a n ≤≤,用中点21ba c +=将[]b a ,一分为二,则两个子区间[]1,c a 和[]b c ,1中至少有一个含有}{n x 中无穷多项,选出来记为[]11,b a ,在其中选一项1n x .用中点2112b a c +=将[]11,b a 一分为二,则两个子区间[]21,c a 和[]12,b c 中至少有一个含有}{n x 中无穷多项,选出来记为[]22,b a ,在其中选一项2n x ,使得Λ,12n n >.最后得一区间套[]k k b a ,,满足[][]k k k k b a b a ,,11⊂++,k k k a b a b 2-=-,[]kk k k n n n b a x k >∈+1,,.由区间套定理,c b a k k k k ==∞→∞→lim lim ,又由于kn k b x a k ≤≤,有c x k n k =∞→lim .*(六) 用聚点定理证明柯西准则必要性: 已知收敛,设．由定义,,当时,有．从而有．充分性: 已知条件： 当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时,有令,则有．．由致密性定理,存在收敛子列,设．．最后证,由条件,当时,有．于是当（同时有）时,就有．证 “⇒” }{n a 收敛,则存在极限,设a a n n =∞→lim ,则0>∀ε,N ∃,当N n >时有2/||ε<-a a n ⇒当N m n >,时有ε<-+-≤-||||||a a a a a a n m m n“⇐”先证有界性,取1=ε,则N ∃,N m n >,⇒1||<-m n a a特别地,N n >时 1||1<-+N n a a ⇒1||||1+<+N n a a设}1|||,|,|,||,m ax {|121+=+N N a a a a M Λ,则n ∀,Ma n ≤||再由致密性定理知,}{n a 有收敛子列}{k n a ,设aa k n k =∞→lim0>∀ε,1N ∃,1,N m n >⇒||/2n m a a ε-<K ∃,K k >⇒2/||ε<-a a k n取),m ax (1N K N =,当N n >时有11N n N N +≥+>⇒ εεε=+<-+-≤-++2/2/||||||11a a a a a a N N n n n n故aa n k =∞→lim .Cauchy 列、基本列（满足Cauchy 收敛准则的数列）*(七) 用柯西准则证明单调有界原理 设为一递增且有上界M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限,则可找到一个子列以为广义极限,从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列,柯西条件可改述为：“ 当 时,满足”．这是因为它同时保证了对一切,恒有 ．倘若不收敛,由上述柯西条件的否定陈述：,对一切,,使．依次取把它们相加,得到．故当时,可使,矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ] 例1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知：1 ）单调有界定理成立；2 ）设[]{}nnba,为一区间套．欲证：[],,2,1,,Λ=∈ξ∃nbann且惟一．证证明思想：构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的ξ．为此,可就近取数列{}na（或{}n b）．由于,1221bbbaaann≤≤≤≤≤≤≤≤ΛΛΛ因此{}na为递增数列,且有上界（例如1b）．由单调有界定理,存在ξ=∞→nnalim,且Λ,2,1,=ξ≤nan．又因nnnnaabb+-=)(,而0)(lim=-∞→nnnab,故ξ=ξ+=+-=∞→∞→∞→lim)(limlimnnnnnnnaabb；且因{}nb递减,必使ξ≥nb．这就证得[]Λ,2,1,,=∈ξnbann．最后,用反证法证明如此的ξ惟一．事实上,倘若另有一个[]Λ,2,1,,=∈ξ'nbann,则由)()(∞→→-≤ξ'-ξnabnn,导致与>ξ'-ξ相矛盾．例 2 （10）用区间套定理证明单调有界定理．即已知：1 ）区间套定理成立．2 ）设{}n x为一递增且有上界M的数列．欲证：{}n x存在极限nnx∞→=ξlim．证证明思想：设法构造一个区间套[]{}nnba,,使其公共点ξ即为{}n x的极限．为此令[][]Mxba,,111=.记2111bac+=,并取[][]{}[]{}⎩⎨⎧=.,,;,,,11111122的上界为不若的上界为若nnxcbcxccaba再记222 2ba c +=, 同理取[][]{}[]{}⎩⎨⎧=.,,;,,,22222233的上界不为若的上界为若n n x c b c x c c a b a如此无限进行下去,得一区间套[]{}n n b a ,．根据区间套定理,[]∞→∞→=ξ==∈ξ∃n n n n n n b a n b a )lim lim (,2,1,,Λ．下面用数列极限定义证明ξ=∞→n n x lim ：0>ε∀,一方面,由于)(N ∈k b k 恒为{}n x 的上界,因此ε+ξ<ξ=≤⇒≤∈∀∞→k k n k n b x b x ,k n lim ,N ；另一方面,由ε-ξ>⇒ε<-ξ=ξ-≥∈∃⇔ξ=∞→K k k k k a a a K k ,K a ,lim 时当N ；而由区间套的构造,任何k a 不是{}n x 的上界,故ε-ξ>>∃K N a x ；再由{}n x 为递增数列,当N n >时,必有ε-ξ>≥N n x x ．这样,当 N n > 时,就有ε+ξ<<ε-ξn x , 即 ξ=∞→n n x lim ．例 3 （9） 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）；2 ） 设{}],[n n b a 为一区间套．欲证：存在惟一的点[]Λ,2,1,,=∈ξn b a n n ．证 证明思想：给出某一数集S ,有上界,使得S 的上确界即为所求的ξ． 为此,取{}n a S =,其上界存在（例如 1b ）．由确界定理,存在 {}n a sup =ξ．首先,由ξ为{}n a 的一个上界,故Λ,2,1,=ξ≤n a n ．再由ξ是{}n a 的最小上界,倘有某个ξ<m b ,则m b 不会是{}n a 的上界,即m k b a >∃,这与[]{}nn b a ,为区间套相矛盾（ji b a <）.所以任何ξ≥n b ．这就证得Λ,2,1,=≤ξ≤n b a n n ．关于ξ的惟一性,与例1中的证明相同．注 本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚．在以上六个等价命题中,最便于推广至中点集的,当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识,下例所讨论的问题是很有意义的．例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ,时,使．证 (i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii）,取,；再取；……一般取；……由的取法,保证,,．(iii)(i)时,必有,且因各项互不相同,故内含有中无限多个点．[证毕]四、实数系的完备性实数所组成的基本数列{}nx比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性,如1(1)nn⎧⎫+⎨⎬⎩⎭：1lim(1)nnen→∞+=（无理数）.五、压缩映射原理（不动点原理）1、函数f(x)的不动点指什么？设y＝f(x)是定义在[a,b]上的一个函数,方程x＝f(x)的解称为f(x)的不动点.2、在什么样的条件下不动点一定存在呢？存在时唯一吗？如何求出不动点？压缩映射：如果存在常数k,满足0≤k<1,使得对一切,[,]x y a b∈成立不等式()()||f x f y k x y -≤-,则称f 是[a,b]上的一个压缩映射. 压缩映射必连续.压缩映射原理（不动点原理） 设()x ϕ是[a,b]上压缩映射,且([,])[,]a b a b ϕ⊂,则()x ϕ在[a,b]上存在唯一的不动点.例3 证明Kapler 方程sin x x b ε=+在||1ε<时,存在唯一实数.§7.2 闭区间上连续函数性质的证明教学目标：证明闭区间上的连续函数性质．教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性． 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的基本性质.一、有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上有界证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107.证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明 如若不然,)(x f 在],[b a 上无界,∈∀n N ,],[b a x n ∈∃,使得n x f n >|)(|,对于序列}{n x ,它有上下界b x a n ≤≤,致密性定理告诉我们k n x∃使得],[0b a x x k n ∈→,由)(x f 在0x 连续,及kn n x f k >|)(|有+∞==∞→|)(|lim |)(|0k n k x f x f ,矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅[1]P168—169证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点[]b a x ,'∈都存在邻域()x x '',δο⋃及正数'x M使()()[]b a x x M x f x x ,,'''⋂⋃∈≤δ 考虑开区间集()(){}b a x x H x ,,'''∈⋃=δ虽然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在H 的一个有限点集()[]{}k i b a x x H i i i ,,2,1,,Λ=∈⋃=*δ覆盖了[]b a ,,且存在正整数,,,21k M M M Λ使对一切()[]b a x x i i ,,⋂⋃∈δ有()k i M x f i ,,2,1,Λ=≤,令ki iM M ≤≤=1m ax则对[]b a x ,∈∀,x 必属于某()()M M x f x i i i ≤≤⇒δ,Y ,即证f 在[]b a ,上有上界． 二、最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 令)}({sup x f M bx a ≤≤=,+∞<M , 如果)(x f 达不到M ,则恒有M x f <)(.考虑函数)(1)(x f M x -=ϕ,则],[)(b a C x ∈ϕ,因而有界,即)0()(>≤μμϕx , 从而MM x f <-≤μ1)(,这与M 是上确界矛盾,因此],[b a x ∈∃,使得M x f =)(.类似地可以证明达到下确界.三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续即]),([)(b a C x f ∈且)(a f 与)(b f 异号（)(a f 0)(<b f ）,则在),(b a 内存在一点0x 使得 0)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.证法 一 ( 用区间套定理 ) .设0)(<a f ,0)(>b f .将],[b a 二等分为],[c a 、],[b c ,若0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ,当0)(>c f 时取],[c a 否则取],[b c 为],[11b a ,有0)(1<a f ，0)(1>b f .如此继续,如某一次中点i c 有0)(=i c f 终止（i c 即为所求）；否则得]},{[n n b a 满足：⑴ΛΛ⊃⊃⊃⊃],[],[],[11n n b a b a b a ；⑵ 02lim)(lim =-=-∞→∞→nn n n n ab a b ；⑶)(,0)(><n n b f a f由闭区间套定理知,∃唯一的],[10n n n b a x ∞=∈I ,且=∞→n n a lim 0lim x b n n =∞→由)(x f 在0x处的连续性及极限的保号性得)()(lim 0≤=∞→x f a f n n 、0lim ()()0n n f b f x →∞=≥0)(0=⇒x f #证二( 用确界原理 ) 不妨假设0)(<a f （从图1看,0x是使得0)(>x f 的x 的下确界）,令]},[,0)(|{b a x x f x E ∈>=,要证E x inf 0=（E inf 存在否？）.因为Φ≠⇒∈E E b ,],[b a E ⊂E ⇒有界,故E inf 存在.令 Ex inf 0=,下面证0)(0=x f如若不然,)(0≠x f 则)(0>x f （或)(0<x f ）（从图形上可清楚看出,此时必存在1x x <使0)(1>x f ）.首先ax ≠0,即],(0b a x ∈；f 在0x连续,由连续函数的局部保号性],[),(0b a x U ⊂∃⇒δ使得),(0δx U x ∈∀有0)(>x f ,特别应有0)2(0>-δx f 即 E x ∈-20δ,这与E x inf 0=矛盾,故必有0)(0=x f .证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf .证法 三 ( 用有限复盖定理 ).介值性定理 设f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()()()b f a f b f a f 与为介于若μ≠之间的任何实数()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ,则存在()b a x ,∈ο使()μ=οx f ．证明 (应用确界定理) 不妨设()()()()μμ-=<<x f x g b f a f 令 则g 也是[]b a ,上连续函数,()()0,0>>b g a g ,于是定理的结论转为:()()0,,=∈∃οοx g b a x 使这个简化的情形称为根的存在性定理(th4.7的推论)记()[]{}b a x x g x E ,,0∈>=显然E 为非空有界数集[]()E b b a E ∈⊂且,故有确界定理, E 有下确界,记()()0,0inf ><=b g a g E x 因ο有连续函数的局部保号性, 0>∃δ,使在),[δ+a a 内0)(<x g ,在),(δ-b b 内0)(>x g ．由此易见a x ≠ο,b x ≠ο,即()b a x ,∈ο．下证()0=οx g ．倘若()0≠οx g ,不妨设()0>οx g ,则又由局部保号性,存在()()()b a x ,,⊂ηοY 使在其内)0(>x g ,特别有Ex x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-202ηηοο=0,但此与E x inf =ο矛盾,则必有0)(0=x g ．几何解释 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =,则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？① 从几何上,c y y x x -='=',启示我们作c x f x F -=)()(； ② 从结果cx f =)(0着手.利用零点定理证：令c x f x F -=)()(,则]),([)(b a C x F ∈,往下即转化为零点存在问题. # 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法,以后会经常用到.推论 如f 为区间I 上的连续函数,则值域)(I f J =也是一个区间（可以退化为一点）. 证 f 为常量函数,则)(I f J =退化为一点.f 非常量函数,则J 当然不是单点集.在J 中任取两点21y y <（只要证J y y ⊂],[21）,则在I 中必有两点1x ,2x 使得11)(y x f =,22)(y x f =.于是对21y y y <<∀,必存在x ,x 介于1x 与2x 之间,使y x f =)(,即J y ∈因而J y y ⊂],[21⇒J 是一个区间.二、一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 ) ],[)(b a C x f ∈, 则)(x f 在],[b a 上一致连续.证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅[1]P171[ 证法一 ]证明 (用有限覆盖定理) 由f 在闭区间[]b a ,上连续性,0>∀ε,对每一点[]b a x ,∈,都存在0>x δ,使当()x x x δ,'Y ∈时,有()()2'ε<-x f x f考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x H x ,2,δY 显然H 是[]b a ,的一个开覆盖,由有限覆盖定理H ∃的一个有限子集[]02min ,,,2,12,>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*i i i b a k i x H δδδ记覆盖了ΛY对[]δ<-∈∀"'"',,x x b a x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,'i i x x δY ,即2'ii x x δ<-,此时有iiiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-+-≤-222''""故有（2）式同时有 ()()()()22"'εε<-<-i i x f x f x f x f 和由此得()()[]上一致连续在b a f x f x f i ,'∴<-ε.证法 二 ( 用致密性定理). 参阅[1]P171—172 [ 证法二 ]证明 如果不然,)(x f 在],[b a 上不一致连续,00>∃ε,0>∀δ,],[,b a x x ∈'''∃,δ<''-'||x x ,而0|)()(|ε≥''-'x f x f .取n 1=δ,],[,b a x x n n∈'''∃,n x x n n 1||<''-',而0|)()(|ε≥''-'n n x f x f ,由致密性定理,存在子序列],[0b a x x k n∈→',而由k n nn x x k k 1||<''-',也有0x x k n→''. 再由)(x f 在0x 连续,在0|)()(|ε≥''-'k k n n x f x f 中令∞→k ,得000|)()(|lim |)()(|0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f ,矛盾.所以)(x f 在],[b a 上一致连续.推广 ),()(b a C x f ∈,()f a +,()f b -∃⇒)(x f 在),(b a 上一致连续. 作业 [1]P172 1,2 3,4, 5*；P176 1,2,4.§7.3 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列,我们最关心的是其收敛性；如果不收敛,我们希望它有收敛的子列,这个愿望往往可以实现.例如：{}(1)n -.一般地,数列{}n x ,若{}k n x ：k n x a →（k →∞）,则称a 是数列{}n x 的一个极限点.如点例{}(1)n -有2个极限点.数列{}n x 的最大（最小）极限点如果存在,则称为该数列的上（下）极限,并记为lim n n x →∞（lim n n x →∞）.如lim(1)1n n →∞-=,lim(1)1n n →∞-=-.例1 求数列sin 3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的上、下极限.例2 [1(1)]n n x n =+-,求上、下极限. 二、上（下）极限的存在性下面定理指出,对任何数列{}n x ,它的上（下）极限必定存在. 定理1 每个数列{}n x 的上极限和下极限必定唯一,且lim n n x →∞＝1sup{,,}limsup n n k n k nx x x +→∞≥=L ,lim n n x →∞＝1inf{,,}liminf n n k n k nx x x +→∞≥=L .三、上下极限和极限的关系lim n n x →∞≥lim n n x →∞.定理2 {}n x 存在极限则{}n x 的上极限和下极限相等,即lim n n x →∞＝lim n n x →∞＝lim n n x →∞.四、上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.例如：11lim[(1)(1)]0lim(1)lim(1)2n n n n n n n ++→∞→∞→∞-+-=<-+-=u u u r . 一般地有：lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,当{}n x 收敛时,等号成立.实数完备性的等价命题一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2(单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3(区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4(有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(一) 用确界定理证明单调有界定理.(二) 用单调有界定理证明区间套定理设区间套．若另有使，则因．推论设为一区间套，．则当时，恒有．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(三) 用区间套定理证明确界原理证明思想构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理，．导出矛盾：使.记由［推论］，当足够大时，这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖.说明当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立.例如：1) ．是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖．2) ．是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖．*(五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集，并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点.数列的聚点与一般点集的聚点，含义稍有不同．数列的聚点定义为：“，在内含有中无限多个项，则为的一个聚点．”在此意义下，对于数列它有两个收敛子列:和，．它们的极限和就是的两个聚点．*(六) 用聚点定理证明柯西准则柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得.（已知收敛，设．由定义，，当时，有．从而有．）这里只证其充分性．已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有令，则有．．由致密性定理，存在收敛子列，设．．最后证，由条件，当时，有．于是当（同时有）时，就有．*(七) 用柯西准则证明单调有界原理设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有．倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ] 在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使．证 (i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii），取，；。
实数的完备性
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理(练习)
第七章 实数的完备性1 关于实数集完备性的基本定理(练习题)1、验证：数集{(-1)n +n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1. 证：∵(-1)2k +2k 1; (-1)2k+1+12k 1+∈{(-1)n +n 1}, 且 ∞→k lim [(-1)2k +2k 1]=1; ∞→k lim [(-1)2k+1+12k 1+]=-1，∴±1是{(-1)n +n1}的聚点. 设x 0是不同于±1的聚点，则取ε0=21min{|x 0-1|,|x 0+1|}，存在N=ε1， 当n=2k>N 时，(-1)n +n1>1-ε0>-1-ε0，当n=2k+1>N 时，(-1)n +n1<-1+ε0<1+ε0，又当x 0<-1时，ε0=21(-x 0-1)，2ε0=-x 0-1，即x 0+ε0=-1-ε0，当-1<x 0≤0时，ε0=21(x 0+1)，2ε0=x 0+1，即x 0-ε0=-1+ε0，当0≤x 0<1时，ε0=21(1-x 0)，2ε0=1-x 0，即x 0+ε0=1-ε0，当x 0>1时，ε0=21(x 0-1)，2ε0=x 0-1，即x 0-ε0=1+ε0，∴(-1)n +n 1>x 0+ε0或(-1)n +n 1<x 0-ε0，即(-1)n +n1落在U(x 0,ε0)外部，∴落在U(x 0,ε0)至多只有有限个点，与聚点概念矛盾. ∴{(-1)n +n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.2、证明：任何有限集都没有聚点.证：设S 为有限集，x 0是它的聚点，由聚点定义存在互异{x n }⊂S 且∞→n lim x n =x 0，数列{x n }有无限项，与S 为有限集矛盾. 原命题得证.3、设{(a n ,b n )}是一个严格开区间套，即a 1<a 2<…<a n <…<b n <…b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0. 证明：存在唯一一点ξ，有a n <ξ<b n , n=1,2,…证：作闭区间列{[x n ,y n ]}，其中x n =2a a 1n n ++, y n =2bb 1n n ++, n=1,2,… ∵a n <x n <a n+1, b n <y n <b n+1, ∴有(a n+1,b n+1)⊂[x n ,y n ]⊂(a n ,b n )，从而有 [x n+1,y n+1]⊂[x n ,y n ], n=1,2,… 又b n+1-a n+1<y n -x n <b n -a n ，由∞→n lim (b n -a n )=0得∞→n lim (y n -x n )=0. ∴{[x n ,y n ]}为闭区间套，由区间套定理，存在唯一一点ξ，使得ξ∈[x n ,y n ]⊂(a n ,b n ), n=1,2,…设数ξ’∈(a n ,b n ), n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则 |ξ-ξ’|≤∞→n lim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.4、试举例证明：在有理数集内，确界原理、单调有界原理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 实数的完备性)【圣才出品】
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则 有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明实数完备性基本定理是数学分析课程中的重要定理之一，它刻画了实数的重要性质。
本文将从两个角度介绍实数完备性基本定理的证明，即从实数的有序性和上确界性质出发进行证明，相互补充，帮助读者更好地理解该定理。
一、从实数的有序性进行证明实数完备性基本定理可以通过比较序列与实数性质的关系来证明。
首先引入柯西序列的概念。
柯西序列是指一列实数序列，其满足对于任意正实数ε，存在正整数N，当n，m≥N时，|an-am|<ε。
柯西序列的定义即表明了序列中的元素越来越接近，它与实数的有序性相对应。
接下来，我们需要证明实数集合所有的柯西序列都是收敛的。
假设{an}是一个柯西序列，为了证明该序列的收敛性，我们需要构造出一个实数α，使得该序列收敛于α。
为此，我们可以构造一个新的序列{bn}，其中bn=sup{am: m≥n}。
首先，根据实数的上确界性质，该集合非空且有上界，因此sup存在。
其次，易知bn递增且有界（因为其满足an≤bn），所以该序列收敛于某一个实数α。
接下来，我们证明an收敛于α。
根据柯西序列的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m，n≥N时，有|am-an|<ε。
那么对于给定的ε>0，根据序列{bn}的收敛性，存在正整数M，使得当n≥M时，有|bn-α|<ε/2，同时根据序列{bn}的递增性质，有bn≥an。
于是可以得到：|an-α|=|an-bn+bn-α|≤|an-bn|+|bn-α|<ε/2+ε/2=ε这表明对于任意给定的ε>0，总存在正整数N=M，使得当n≥N 时，有|an-α|<ε。
因此，an收敛于α，柯西序列收敛于实数α。
这样，我们就证明了任意柯西序列都是收敛的，即实数集合中的柯西序列都有收敛性。
由此可得实数集合是完备的。
二、从实数的上确界性质进行证明实数完备性基本定理也可以通过实数的上确界性质进行证明。
实数的上确界性质是指，非空有上界的实数集合必有上确界。
07 1实数集的完备性的基本定理 闭区间上连续函数性质的证明
第七实数的完备1 关于实数集完备性的基本定)教学目的理解区间套定聚点定致密性定有限覆盖定理的条件和结理解这些定理的意及关了解各定理的证明思)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理)基本要求(1)掌握和运用区间套定理、致密性定理(2掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用)教学建议(1本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理(2)本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有覆盖定理—————————————————————————————区间套定理与柯西收敛准是一闭区间序.若满足条定1 区间: ,亦,,ⅰ后一个闭区间包含在前一个闭区间;时区间长度趋于.ⅱ .即则称该闭区间序列为闭区间, 简称为区间 .区间套还可表达:.,其我们要提请大家注意的,这里涉及两个数递.例都是区间. n都不 .区间套定,使.则在实数系中存在唯一的)Th7.1区间套定是一闭区间.简言,区间套必有唯一公共.聚点定理与有限覆盖定的无穷多个,若在的任何邻域内未必属定则是无穷点.的一个聚.; ,数有唯一聚;的全体聚点之集是闭区开区.,易的聚点集是闭区中全体有理数所成之Weierstrass.Th 7.2 ( 任一有界数列必有收敛子 )Weierstrass.2. 聚点原 :聚点原.每一个有界无穷点集必有聚Th 6实数完备性基本订立的等价证明若干个命题等价的一般方.本节证明七个实数基本定理等价性的路 : 证明按以下三条路线进:收敛准单调有界原 Cauch区间套定:确界原确界原 ;Cauch收敛准致密性定 ;: 区间套定区间套定有限复盖定区间套定 . HeinBorel:单调有界原理”已证明“确界原 ).. “Ⅰ的证: 1用“确界原理”证明“单调有界原理:Th 2 单调有界数列必收 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理:.是一闭区间.Th 3 则存在唯一的使则推1 , 是区间确定的公共,., 总2 推是区间则, 确定的公共n.,,Cauch收敛准则:3. 用“区间套定理”证明Cauch.收Th 4 数Cauch列是有界. ( )引Th 4的证: (只证充分 ) 教科P2121上的证明留作阅 . 现采用三等的方法证,该证法比较直. Cauch收敛准则证明“确界原理用Th 1 非空有上界数集必有上确；非空有下界数集必有下确 .为有限为非空有上界数（只证“非空有上界数集必有上确界”） .的上. , 对分区为无限, 不的上显然有上确 , 下的上,., ,依此得闭区间不的上收,Cauch收敛准..验;同收Cauch..su的上界性和最小用反证法验.下“Ⅱ的证:1用“区间套定理”证明“致密性定理:Weierstras ) 任一有界数列必有收敛子.Th 5 (突出子列抽取技Th 6 每一个有界无穷点集必有聚.Cauch收敛准则证明．用“致密性定理Cauch数Th 4 收.Cauch验证收敛子列的有收敛子列有只证充分）证明思的极限即.“Ⅲ的证:HeinBorel有限复盖定理1用“区间套定理”证明:HeinBorel有限复盖定理用证明“区间套定理:22 闭区间上连续函数性质的证( 4 )教学目的：证明闭区间上的连续函数性质)()教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最值理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性证明基本要求）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方掌握用有限覆盖定理或致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数最值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理2掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性)教学建议(1)本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质(2)本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题———————————————————————. 有界:., 命1 证 (用区间套定 ).反证.证 (用列紧 ).反证.证 (用有限复盖定 )..最值:上取得最大值和最小命2 , .(只证取得最大 )(用确界原 ) 参[1]P226[证 ]后半..介值: 证明与其等价的“零点定.命3 (零点定 )证 (用区间套定 ) ..(用确界原 ).不妨证su 非空有,有上确. ,. ). , (为此证现li,.连续在, n,在.. 于连续li.因此只能. 证 (用有限复盖定 )..一致连续:命4 ( Canto定 )证 (用区间套定 ) . 参[1]P22230 [证法 ]证 (用列紧 ). 参[1]P22230 [证法 ]习题 4一实数基本定理互证举例用“区间套定理”证明“单调有界原理.的上.取闭区设数不,,递增有上外仅内含有数的无穷多,的上.易见在闭区而的性使,的有限.对…于是得区间的无穷多项而在其外仅易见在有公共的任何邻域内有数. li., 的有限用“确界原理”证明“区间套定理.为数列的上为数.而每的下,为区间.先证每有下确,界原 , 数数 . 由有上确su in易见, ..用“有限复盖定理”证明“聚点原理.的每一 (用反证 ) 为有界无限点, .反内使则的聚都不, , 存在开区, 的有限个.… ..用“确界原理”证明“聚点原理例.中大构造数的点有无穷多为有界无限点. su, 由确界原,有上确. .易见数则非空有上中大的点有无穷多;不的上的上的一内的点仅有有限.于,大的无穷多个聚 .一确界存在定理：回顾确界概念Th 1 非空有上界数集必有上确；非空有下界数集必有下确 ..单调有界原: 回顾单调和有界概 .Th 2 单调有界数列必收 ..实数基本定理应用举例,. 是闭区如上的递增函, 但不必连. (山东大学研究生入学试, ), 证 (用确界技 . 参[3] P710 证1 ),;设集, 不.su.,由确界原有上确.有 ..下 . ⅰ;, ,)su,.递增, 可,.,只能.于;, 则存内的数,ⅱ也存在数,,就有递,,.以, . 对任成.于是[3] P7证法 (用区间套技,参10 证2 ).就是方以下总上的实 .对为.上的实就是方,倘. 设分点,区间．, ;文简练, 以下总设不会出现这种情 ) ., . 依此构造区间,如此得一级区,.由区间套定,使对任,..现递事实, 注意就以..,于是,设在闭区上函且, 递 , 连内有实 .在区: 方. 试证由区间套定,构造区间上的. 事实.,使现,,,,的构造以增性g.连续，Hein归并原,在注意)lili , 内, .在区为方实.上的全体实数是不可列 .试证: 区上的全体实数是可列反设区即 (用区间套技, 具体用反证 )排成一:，记该区间为一级区三等分，所得三个区间中至少有一个区间不把区，记该区间为.把区三等分，所得三个区间中至少有一个区间不不, 级区依此得区间其中区.…. ,使. ,. 但当然,由区间套定. , 矛 .。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案07
第七章 实数的完备性习题§1 关于实数集完备性的基本定理 1． 证数集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n11有且只有两个聚点11-=ξ和12=ξ. 2． 证明：任何有限数集都没有聚点. 3． 设(){}n n b a ,是一个严格开区间套，满足1221b b b a a a n n <<<<<<< ， 且()0lim =-∞→n n n a b .证明：存在唯一的一点ξ，使得,2,1,=<<n b a n n ξ4． 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立. 5． 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+= ,2,11,21n n n H .问：（1）H 能否覆盖()1,0？（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖()()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001,21,0ii i ？ 6． 证明：闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身.7． 设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界. 8． 试用有限覆盖定理证明聚点定理.9． 试用聚点定理证明柯西收敛准则. §2 闭区间上连续函数性质的证明1． 设f 为R 上连续的周期函数.证明：f 为R 上有最大值与最小值.2． 设I 为有限区间.证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界.举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立. 3． 证明：()xxx f sin =在()+∞,0上一致连续. 4． 试用有限覆盖定理证明根的存在定理.5． 证明：在()b a ,上的连续函数f 为一致连续的冲要条件是()()0,0-+b f a f 都存在. §3 上极限和下极限1． 求以下数列的上、下极限：（1）(){}n11-+； （2）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-121n n n； （3）{}12+n ； （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4sin 12πn n n ； （5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n πsin 12； （6）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 3cos π.2． 设{}{}n n b a ,为有界数列，证明：（1）()n n n n a a --=∞→∞→lim lim ；（2）()n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→lim lim lim(3)设() ,2,10,0=>>n b a n n ，则b n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a ∞→∞→∞→∞→∞→∞→≥≤lim lim lim ,lim lim lim ；（4）若0lim ,0>>∞→n n n a a ，则nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim.3． 证明：若{}n a 为递增数列，则n n n n a a ∞→∞→=lim lim .4． 证明：若() ,2,10=>n a n 且11limlim =∙∞→∞→nn n n a a ，则数列{}n a 收敛.5． 证明定理7.86． 证明定理7.9 总练习题1． 证明：{}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.2． 设f 在()b a ,内连续，且()()0lim lim ==-+→→x f x f bx ax .证明：f 在()b a ,内有最大值或最小值.3． 设f 在[]b a ,上连续，又{}[]b a x n ,⊂，使得()A x f n n =∞→lim .证明：存在[]b a x ,0∈，使得()A x f =0.4． 设f 和g 都在区间I 上一致连续.（1）若I 为有限区间，证明：g f ∙在I 上一致连续；（2）若I 为无限区间，举例说明g f ∙在I 上不一定一致连续.5．设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则f 在()b a ,上一致连续.6．函数f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线，即有数c b ,，使得()[]0lim =--∞→c bx x f x证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.习题答案§1 关于实数集完备性的基本定理 5．（1）能；（2）(i)不能，(ii)能. §3 上极限和下极限 1．（1）2，0；（2）21，21-；（3）+∞∞+,；（4）2，-2；（5）ππ,；（6）1，1. 典型习题解答1．（§1 第7题）设{}n x 为单调数列.证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界.证明：设{}n x 为递增数列，设ξ为{}n x 的聚点.下证{}n x sup =ξ1）ξ是{}n x 的上界.若不然，{}n N x x ∈∃，使N x <ξ，取ξε-=N x 0，由{}n x 的递增性，()0,εξ 内只含有{}n x 中的有限项121,,,-N x x x .这与ξ是{}n x 的聚点矛盾.从而ξ是{}n x 的上界.2）ξ<∀a ，取20a-=ξε，则(){}n N x x ⋂∈∃0,εξ ，使得N x a <.所以{}n x sup =ξ.由确界的唯一性，聚点是唯一的. 2．（§1 第8题）试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，则0>∃M ，使得[]M M S ,-⊂.假设[]M M ,-中的任意点都不是S 的聚点，则[]0,,>∃-∈∀x M M x δ，使得()x x δ; 中只有S 中的有限多个点.令()[]{}M M x x H x ,;-∈=δ ，它是闭区间[]M M ,-的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在[]M M ,-的一个有限开覆盖1H ，从而1H 覆盖S .所以S 是有限集，矛盾.3．（§2 第4题）试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证明：假设[]b a x ,∈∀，有()0≠x f .由连续函数的保号性，存在()x x δ; 使得()x f 在()[]b a x x ,;⋂δ 上同号.记()[]{}a a x x H x ,;∈=δ ，显然它覆盖[]b a ,，从而存在[]b a ,的有限子覆盖：(){},2,1;1==i x H i x i δ.因为()x f 在()[]b a x i x i ,;⋂δ 上同号() ,2,1=i ，且1H 又覆盖[]b a ,，故()x f 在[]b a ,上同号.但()()0<b f a f ，矛盾.4.（§2 第5题）证明：在()b a ,上的连续函数f 为一致连续的冲要条件是()()0,0-+b f a f 都存在.证明：（必要性）设f 在()b a ,上一致连续，则()b a x x ,,,0,0///∈∀>∃>∀δε只要δ<-///x x ，就有()()ε<-///x f x f （1）取21δδ=，则()()b a a a x x ,,,1///⋂+∈∀δ，有（1）式成立.由柯西准则，()0+a f 存在.同理()0-b f 也存在.（充分性）令()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x F ,0,,,0，则()x F 在[]b a ,上连续.从而()x F 在[]b a ,上一致连续，所以f 在()b a ,上一致连续.5．（总练习题 第5题）设f 定义在()b a ,上.证明：若对()b a ,内任一收敛数列{}n x ，极限()n n x f ∞→lim 都存在，则f 在()b a ,上一致连续.证明：假设f 在()b a ,上不一致连续，则00>∃ε，对0>δ，总存在()b a x x ,,///∈，尽管δ<-///x x ，但有()()0///ε≥-x f x f .令n1=δ，与它相应的两点记为()b a x x n n ,,///∈，尽管δ<-///n nx x ，但有()()0///ε≥-n n x f x f （1）当n 取遍所有正整数时，得数列{}{}()b a x x n n ,,///⊂，由致密性定理，存在{}/n x 的收敛子列{}/k n x ，设0/lim x x k n k =∞→.又()∞→→-+-≤-⇒<-k x x x x x x n x x kk k k kk n n n n kn n 010////0///// 即0//lim x x k n k =∞→由（1）式有()()0///ε≥-k k n n x f x f ，令∞→k ，得()()0///lim lim 0ε≥-=∞→∞→k kn k n k x f x f 这与00>ε相矛盾.所以f 在()b a ,上一致连续.6．（总练习题 第6题）函数f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线，即有数c b ,，使得()[]0lim =--∞→c bx x f x证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.证明：令()()c bx x f x F --=，则F 在[)+∞,a 上连续.又因为()0lim =∞→x F x ，所以F 在[)+∞,a 上一致连续.又()c bx x G +=在[)+∞,a 上一致连续，因此f 在[)+∞,a 上一致连续.。
§7.1 关于实数集完备性的基本理
第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理教学目的与要求：1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备； 2）掌握区间套、聚点等重要概念；3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力．教学重点，难点：熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论， 准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，提高学生的分析论证能力教学内容：一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ） 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃=(后一个区间包含在前一个区间内)；(ii) 0)(lim =-∞→n n n a b （区间长度收敛于0）， 则称[]{},n n a b 为闭区间套，或简称区间套．注：由（i ）式知1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ ，即{}n a 递增有上界1b ，{}n b 递减有下界1a ．注： 闭区间套有三个条件：（1）后一个区间包含在前一个区间内（{}n a 递增，{}n b 递减），（2）区间长度收敛于0，（3）闭区间．例：11,n n ⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，10,n ⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭是闭区间套，()121,1nn n ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪++⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭不是闭区间套，因为()11nn-+不是递增，11,1n n ⎧⎫⎡⎤-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭不是闭区间套，因为区间长度不收敛于0，10,n ⎧⎫⎛⎤⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭不是闭区间套，因为不是闭区间．定理7．1（区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ即 ,1,2,n n a b n ξ≤≤=，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．证：（存在性）由（i ）式知，{}n a 递增有上界1b ，依单调有界定理（单调递增有上界的数列的极限是上确界）知，{}n a 有极限ξ，且有n a ξ≤．同理，递减有下界的数列{}n b 也有极限，并由区间套的条件（ii ）有()()lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n n n b b a a b a a a ξ→∞→∞→∞→∞→∞=-+=-+==，且由单调递减有下界的数列的极限是下确界知n b ξ≥．则n n a b ξ≤≤． （唯一性）设ξ'也满足n n a b ξ'≤≤， 且由n n a b ξ≤≤有，nnb a ξξ'-≤-． 再由区间套的条件（ii ）得(),0lim =-≤'-∞→n n n a b ξξ故有ξξ'=．推论 若[,]n n a b ξ∈是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对0ε∀>，0N ∃>，使得当N n >时有[]);(,εξU b a n n ⊂．证： lim n n a ξ→∞=0ε⇒∀>，N ∃，n N ∀>，n a ξε-≤0ε⇒∀>，N ∃，n N ∀>，n a ξε≥-lim n n b ξ→∞=0ε⇒∀>，N ∃，n N ∀>，n b ξε-≤0ε⇒∀>，N ∃，n N ∀>，n b ξε≤+则n n a b ξεξε-≤≤≤+，即[]);(,εξU b a n n ⊂．注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立．对于开区间列，有可能不成立，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个110,0,1n n ⎛⎫⎛⎫⊂ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，且0)01(l i m =-∞→n n ，但只有数01lim 0lim n n n ξ→∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭可以作为ξ，但0不属于该区间10,n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 注 对于开区间列有下列结果：设(){}n n b a ,是一个严格开区间套，即满足1221b b b a a a n n <<<<<< ,且0)(lim =-∞→n n n a b ．则存在唯一的一点ξ，使得.,2,1, =<<n b a n n ξ证 （存在性）由1221b b b a a a n n <<<<<< 知{}n a 严格递增有上界1b ，依单调有界定理知，{}n a 有极限1ξ，且有n a ξ≤，其中等号不能成立，不然，若有n a ξ=，因为{}n a 严格递增，必有1n n a a ξ+>=，矛盾，故n a ξ<，同理递减有下界的数列{}n b 也有极限，且()()lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n n n b b a a b a a a ξ→∞→∞→∞→∞→∞=-+=-+==，n n a b ξ<<．（唯一性）设ξ'也满足n n a b ξ'<<， 且由n n a b ξ<<有，nnb a ξξ'-<-． 再由区间套的条件（ii ）得(),0lim =-≤'-∞→n n n a b ξξ故有ξξ'=．注 区间套中的(ii)的作用是保证公共点唯一． 思考 若11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃=,但0)(lim ≠-∞→n n n a b ,此时应有什么结论呢？答 由11[,][,]n n n n a b a b ++⊃知{}n a 递增有上界1b ，依单调有界定理知，{}n a 有极限1ξ，且有1n a ξ≤．同理，递减有下界的数列{}n b 也有极限2ξ，且2n b ξ≤，又因为n n a b ≤，由极限保不等式性与0)(lim ≠-∞→n n n a b 知12ξξ<，则对任意的ξ，只要12ξξξ≤≤，就有ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ．注 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套．一方面，闭区间列[]{}n n b a ,满足（i ）;,2,1],,[],[11 =⊃++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞→n n n a b ，另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中．前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间[,](1,2,)n n a b n =唯一存在公共点ξ；后者则把证明整个区间[,]a b 上所具有某性质的问题归结为ξ点邻域(,)U ξδ的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化． 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的＂数列的柯西收敛准则＂（定理2．10），即数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．注：称对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a 这个条件为柯西条件，并称满足柯西条件的数列为柯西列．分析 由数列收敛定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限．首先要找出{}n a 收敛的本质属性：{}n a 收敛于a ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a a ε-<⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有n a a a εε-<<+ ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有();n a U a ε∈即从N 项向后的所有的();n a U a ε∈，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在();U a ε中，这就是本质属性．然后对柯西列{}n a 构造一个区间套[]{},n n αβ，套出公共点ξ，恰为{}n a 的极限，其中每个区间套[],n n αβ应包含{}n a 除有限项外的所有项．最后用推论：{}n a 除有限项外的所有项[],(,)n n U αβξε⊂⊂，即(,)U ξε包含{}n a 除有限项外的所有项，即ξ就是极限点．证： （必要性） 设.lim A a n n =∞→由数列极限定义， 对任给的0>ε，存在0>N ，当N n m >,时有,2,2εε<-<-A a A a n m因而εεε=+<-+-≤-22A a A a a a n m n m ．（充分性） 按假设，对任给的0>ε，存在()0N ε>，使得对一切N n ≥，（取m N =）有n N a a ε-<，即从N 项向后的所有的[],n N N a a a εε∈-+，也就是{}n a 中除了有限项（至多是的1a 到n a 这些项）外的所有项都含在[],N N a a εε-+中，即在区间[]εε+-N N a a ,内含有{}n a 中除有限项外的所有项．（构造区间套的方法：有一个ε，就存在一个与之相关的N 存在，这样取一个ε，就有一个对应区间）据此，令,21=ε则存在1N ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21,2111N N a a 内含有{}n a 中除有 限项外的所有项，记这个区间为[].,11βα 再令221=ε，则存在)(12N N >在区间内含有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2221,2122N N a a 内含有{}n a 除有限项外的所有项．记[][],,21,21,11222222βαβα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=N N a a它也含有{}n a 除有限项外的所有项，且满足[][].21,,222211≤-⊃αββαβα及继续依次令 ,21,,213n=ε，照以上方法得一闭区间列[]{},,n n βα其中每个区间都含有n a 中除有限项外的所有项，且满足[][],,2,1,,,11 =⊃++n n n n n βαβα(),0211∞→→≤--n n n n αβ即[]{}n n βα,是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数[]).,2,1(, =∈n n n βαξ．现在证明数ξ就是数列{}n a 的极限．事实上，由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在,0>N 使得当N n >时有[]).;(,εξβαU n n ⊂因此在);(εξU 内含有{}n a 中除有限项外的所有项，这就证得ξ=∞-n n a lim ．注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限．注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法．二 聚点定理定义2： 设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）．若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．例：1）点集1S n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭只有一个聚点0ξ=；因为1lim0n n →∞=⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有10nε-< ⇔0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有()10;U nε∈即从N 项向后的所有的项都含在()0;U ε，即()0;U ε含有S 的无穷多个点．当0ξ≠时，取{}1min 2εξ<，则在(),U ξε中至多只有数集S 的有限多项，于是ξ不是数集S 的聚点，这样点集1S n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭只有一个聚点0ξ=．2）点集1(1)n S n ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭只有两个聚点11ξ=-和21ξ=； 出现(1)n -就要分n 为奇数偶数讨论：当21n k =-时，1(1)n S n ⎧⎫=-+=⎨⎬⎩⎭1121k ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭是各项互异的数列，且1lim 1121k k →∞⎛⎫-+=- ⎪-⎝⎭，因此有聚点11ξ=-；当2n k =时，11(1)12n S n k ⎧⎫⎧⎫=-+=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭是各项互异的数列，且1lim 112k k →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此有聚点21ξ=．当1ξ≠±时，取{}1min 1,12εξξ<-+，则在(),U ξε中至多只有数集S 的有限多项，于是ξ不是数集S 的聚点，这样点集1(1)nS n ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭只有两个聚点11ξ=-和21ξ=．注 对于数列构成的集合找聚点就是找极限点．3）若S 为开区间(),a b ，则(),a b 内每一点以及端点,a b 都是S 的聚点（自证）； 4）正整数集+N 没有聚点（自证）； 5）任何有限数集也没有聚点（自证）；6）Q 是[]0,1中的有理数所成之集，则Q 的聚点集是[]0,1．由实数的稠密性知对[]0,1ξ∀∈，ξ的邻域内都有无数个有理数．因此[]0,1上每一点都是Q 的聚点．注：点集S 的聚点可以属于S ，也可以不属于S ；注 设S 是数集，η不是S 的聚点⇔存在00>ε，在);(0εηU 中至多包含S 中有限多个点．聚点概念的另两个等价定义如下：定义2' 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即∅≠S U );(εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2'' 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点．关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下． 1）定义2⇒定义2'是显然的， 2）定义2'⇒定义2''分析 证明的关键是需要找互异的收敛数列{}S x n ⊂．设ξ为S (按定义2')的聚点，则对任给的0>ε，存在S U x o );(εξ∈，即有一个ε，就有一个x ，只要依次取ε为12111,,2n nεεε===，这样相应存在12,,n x x x ，即构造出收敛数列{}S x n ⊂；取11=ε，则存在S U x o);(11εξ∈，为了保证数列互异，即保证12x x ≠，只需2x 到ξ的距离小于1x 到ξ的距离，即),21min(12x -=ξε证 设ξ为S (按定义2')的聚点，则对任给的0>ε，存在S U x o);(εξ∈．令11=ε，则存在;);(11S U x oεξ∈令),21min(12x -=ξε，则存在S U x o);(22εξ∈，且显然;12x x ≠()22121xx x x ξεξ-<≤-⇒≠……令),1min(1--=n n x nξε，则存在,);(S U x n on εξ∈且互异与11,,-n n x x x ．无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，且由nx n n 1≤<-εξ，易见ξ=∞→n n x lim ．3）定义2''⇒定义2；由ξ=∞→n n x lim ，则0ε∀>，存在0>N ，使得对n N >有(),n x U ξε∈，由{}n x 各项互异知(),U ξε含有S 中无限个点．注 本证明中取nn 1≤ε，为了保证数列收敛到ξ；而取||1--≤n n x ξε则是为了保证点列的各相互异性．注意这种技巧．思考 设S 是有界数集，则sup S ，inf S 是S 的聚点吗？ 一般情况下，当sup S S ∈时，它可能不是数集S 的聚点，例如1S n=，sup 1S =，但它不是聚点．当sup S S ∉时，由36页的结论存在严格递增数列{}n x S ⊂，使得lim sup n n x S →∞=，依据聚点的等价定义，可知sup S 是S 的聚点．应用区间套定理来证聚点定理．定理７．２(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．分析 聚点的本质特点是ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点．所构造的区间套应该含这本质特点．S 为有界点集，],[b a S ⊂，把区间],[b a 二等分，其中必有一子区间内包含S 中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为S 的聚点．证 因S 为有界点集，故存在,0>M 使得],[M M S -⊂，记],[],[11M M b a -=． 现将],[11b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个区间中至少有一个含有S 中 无穷多个点，记此子区间为],[22b a ，则],[],[2211b a b a ⊃，且M a b a b =-=-)(211122再将],[22b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样 的一个子区间，记为],[33b a ，则],[],[3322b a b a ⊃，且2)(212233M a b a b =-=-将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足),(022,,2,1],,[],[111∞→→=-=⊃-++n Ma b n b a b a n n n n n n n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区都含有S 中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点[].,2,1,, =∈n b a n n ξ于是由定理7．1的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当N n >时有);(],[∈⊂ξU b a n n ．从而);(∈ξU 内含有S 中无穷多个点，按定义２，ξ为S 的一个聚点．推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列．证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上的对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ．于是按定义2''，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）．作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性．证 设数列{}n a 满足柯西条件．先证明{}n a 是有界的．为此，取1=ε，则存在正整数N ，当N n N m >+=及1时有.11<-+N n a a 由此得.1|||||||||11111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a 令 {},1,,,,max 121+=+N N a a a a M 则对一切正整数.M a n n ≤均有于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}.lim ,A a a k k n k n =→∞设对任给的同时有时当存在,,,,0,0K k n m K >>>ε),(2由柯西条件ε<-m n a a ).lim (2||A a A a k k n k n =<-∞→由ε因而当取)(K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim ．定义3 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）．若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ．若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数f 在),(b a 内连续，则给定0>ε，对每一点),(b a x ∈，都可确定正数x δ（它依赖于ε与x ），使得当);(x x U x δ∈'时有ε<-')()(x f x f ，这样就得到一个开区间集 (){}),(,b a x x x H x x ∈+-=δδ 它是区间),(b a 的一个无限开覆盖．注 设[],I a b =，()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ是[],a b 的一个无限开覆盖．事实上[],x a b ∀∈，S 中都存在一个区间(),x x x x δδ-+，由(),x x x x x δδ∈-+．定理７．３（海涅—博雷尔（Heine —Borel ）有限覆盖定理） 设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,．分析 用反证法，若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾．证 用反证法，假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,． 将[]b a ,等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂，且)(2111a b a b -=-． 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且)(21222a b a b -=-． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{}n n b a ,，它满足[]{}[]),(0)(21,,2,1,,,11∞→→-=-=⊃++n a b a b n b a b a n n n n n n n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖． 由区间套定理，存在唯一的一点[].,2,1,, =∈n b a n n ξ由于H 是],[n n b a 的一个开覆盖，故存在开区间,),(H ∈βα使),(βαξ∈．于是，由定理７．１推论，当n 充分大时有 ()βα,],[⊂n n b a这表明],[n n b a 只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，这与挑选],[n n b a 时的假设＂不能用H 中有限个区间来覆盖＂相矛盾．从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖],[b a ．注 定理７．３的结论只对闭区间[,]a b 成立，而对开区间则不一定成立．例如，开区间集合),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 构成了开区间)1,0(的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住)1,0(．1）分析 ()0,1x ∀∈，要使1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，只要11x n >+，即需要11n x >-，当n 充分大时是成立．证明 ()0,1x ∀∈，当n 充分大时（11n x >-时），就有11x n >+，即1,11x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭． 2）反证法，设),2,1(1,11 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 中能选出有限个开区间（对应有限个n ）盖住)1,0(，在这有限个n 中选取最大的为N ，这些有限区间都含在1,11N ⎛⎫ ⎪+⎝⎭中，则1,11N ⎛⎫⎪+⎝⎭中能覆盖)1,0(，矛盾．注 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，把局部性质推广成整体性质，它的好处在以后的应用中我们会看到．三 实数完备性基本定理的等价性至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即 1．确界原理(定理1．1)；设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 推论 有界数集必有上下确界．2．单调有界定理(定理2．9)；在实数系中，有界的单调数列必有极限．注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界．3．区间套定理(定理7．1)； 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ4．有限覆盖定理(定理7．3)；设H 闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,． 5．聚点定理(定理7．2)；实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点．6．柯西收敛准则(定理2．10)．数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在0>N ，使得对N n m >,有ε<-n m a a ．在本书中，我们首先证明了确界原理，由它证明单调有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理．事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题．对此，我们可按下列顺序给予证明：1654321⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 其中32,21⇒⇒与43⇒分别见定理2．9，7．1，与7．3；54⇒ 用有限覆盖定理证明聚点定理．反证法①设S 为实数轴上任一有界无限点集，则存在0M >使[],S M M ⊂-，假设[],M M -中任何一点都不是S 的聚点，则[],x M M ∀∈-，因为x 不是S 的聚点，所以存在x 的一个邻域(),(,)U x x x δδδ=-+，使(),U x δ中只含有S 的有限多个点．②()[]{}M M x x x H x x ,,-∈+-=δδ是[],M M -的一个无限开覆盖． ③根据有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间(){}ni x x i ix i x i2,1,=+-δδ覆盖了[],M M -，由于在每一个邻域(),iii x i x x x δδ-+上只含有S 的有限多个点，故S 为有限点，矛盾．65⇒ 用聚点定理证柯西收敛准则（类似于用致密性定理证柯西收敛准则） 16⇒ 用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证 设S 为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数a ，存在整数a K ，使得a k a a a )1(-=-λ不是S 的上界，即存在S a ∈'，使得a k a a )1(->' 分别取,,2,1,1==n na 则对每一个正整数n 存在相应的n λ，使得n λ为S 的上界，而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S a ∈'，使得 na n 1->'λ （６）又对正整数m m λ,是S 的上界，故有a m '≥λ．结合（６）式得nm n 1<-λλ；同理有mn m 1<-λλ．从而得)1,1max(nm n m <-λλ于是，对任给的0>ε存在0>N ，使得当N n m >,时有 ελλ<-n m 由柯西收敛准则，数列{}m λ收敛．记λλ=∞→n n lim （７）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由（７）式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界，对任何0>δ，由于)(01∞→→n n及（７）式，对充分大的n 同时有 2,21δλλδ-><n n 又因n n 1-λ不是S 的上界，故存在S a ∈'，使得na n 1->'λ．结合上式得 δλδδλ-=-->'22a这说明λ为S 的上确界．同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界． 注 实数完备性命题如何用？1 单调有界定理与柯西收敛准则通常用于判断数列的收敛性．2 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点．在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界）,要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理． 3 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质．在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质P 的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来．怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质P 的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P ，然后继续使用二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P 的闭区间列．根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P 的点．（注：此性质P 是所找点的本质属性）4 有限覆盖定理主要用于把局部性质扩展为整体性质．在什么情况应用有限覆盖定理呢？一般来说，如果我们已知在闭区间[],a b 的每一点的某个邻域内都具有性质P ，任一点的邻域所成之集()[]{}b a x x x S x x ,,∈+-=δδ覆盖[],a b ，为了将性质P 扩充到整个闭区间[],a b ，这时用有限覆盖定理能将覆盖[],a b 的无限个邻域转化为有限个邻域．总之，要想将闭区间每一点的局部性质扩充到整个闭区间，常常要用有限覆盖定理．5 聚点定理（致密性定理）一般是将数列过渡到子列．首先需要构造有界数列，然后由致密性定理，存在收敛的子列． 作业题：1，2，3，5，8。
实数完备性的六大基本定理的相互证明共个
实数完备性的六大基本定理的相互证明共个实数完备性的六大基本定理是实分析中的重要结果，其中包括单调有界原理、上确界原理、下确界原理、戴德金（Dedekind）分割原理、稳定原理和柯西（Cauchy）收敛准则。
这些定理互相独立，但可以相互推导和证明。
下面我将按照给定的字数要求，大致叙述这些定理之间的证明关系。
1.单调有界原理→上确界原理首先我们证明单调有界原理蕴含上确界原理。
假设存在一个非空有上界的实数集合A，我们可以定义一个从A到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数f：N→A，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令An={a∈A，a≤f(n)}；2.由于A有上界，所以An也有上界；3.根据单调有界原理，An存在上确界。
令f(n)为An的上确界。
现在我们可以看出，这个序列f(n)是一个单调递增的序列，并且对于任意a∈A，存在一个自然数n使得a≤f(n)。
因此f(n)就是A的上确界。
2.上确界原理→下确界原理接下来我们证明上确界原理蕴含下确界原理。
假设存在一个非空有下界的实数集合B，我们可以定义一个从B到R （实数集）的单调递减序列。
考虑一个函数g：N→B，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Bn={b∈B，g(n)≤b}；2.由于B有下界，所以Bn也有下界；3.根据上确界原理，Bn存在下确界。
令g(n)为Bn的下确界。
现在我们可以看出，这个序列g(n)是一个单调递减的序列，并且对于任意b∈B，存在一个自然数n使得g(n)≤b。
因此g(n)就是B的下确界。
3.戴德金分割原理→单调有界原理接下来我们证明戴德金分割原理蕴含单调有界原理。
假设存在一个非空无上界的实数集合C，我们可以定义一个从C到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数h：N→C，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Cn={c∈C，h(n)≤c}；2.C没有上界，因此Cn也没有上界；3.根据戴德金分割原理，Cn的上确界不存在。
华东师范大学《数学分析(第四)》7-1
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定理7.3 (海涅－博雷尔有限覆盖定理) 设 H是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖, 则从 H 中可选 出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖.
证明：本定理证明方 法
多种，这里采用 区间套定理。
博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国 )
海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国 )
S [ M , M ] ,且 记 [ a 1 , b 1 ] [ M , M ] . 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 其 中 c 1 a 1 2 b 1.那 么 [a 1 ,c 1 ],[c 1 ,b 1 ]中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
b3a31 2(b2a2)M 2.
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无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间{[an, bn]}, 满足 ( i ) [ a n , b n ] [ a n 1 , b n 1 ] , n 1 , 2 ,;
M (ii) bnan2n10; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
例2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的 有界性定理。
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三、实数完备性定理的等价性
我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它 们是:
确界定理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理（致密性定理） 有限覆盖定理 柯西收敛准则
下面证明这六个定理是等价的.
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确界定理 1
单调有界定理 2
这就证明了 是 S 的一个聚点.
定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该 定理在整个数学分析中,显得十分活跃.
§1关于实数集完备性的基本定理
§1关于实数集完备性的基本定理授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时 教学目的与要求：理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。
教学重点与难点：正确理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。
教学过程：前面我们由确界存在定理证明了单调有界定理.下面由单调有界定理证明闭区间套定理、再证明聚点定理、柯西收敛准则和有限覆盖定理,最后证明确界存在定理.这样就证明了这些定理的等价性.它们都是刻画实数集完备性(连续性)的基本定理,它们使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上.一 区间套定理定义9.1.1 设闭区间列[]{},n n a b 具有如下性质: (ⅰ)[][]11,,(1,2,)n n n n a b a b n ++⊃=:(ⅱ)()lim 0n n n b a →∞-=,则称[]{},n n a b 为闭区间套,或简称区间套.这里性质(ⅰ)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式:1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤.定理9.1.1(区间套定理)若[]{},nna b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得[],(1,2,)n n a b n ξ∈=,即 ,1,2,n n a b n ξ≤≤=.证 由闭区间套的定义知,{}n a 为单调递增有上界的数列,{}n b 为单调递减有下界的数列,依单调有界定理,{}n a 与{}n b 都收敛,设lim ,lim n n n n a b ξη→∞→∞==,则有(1,2,)n n a b n ξη≤≤≤=.由区间套定义的条件(ⅱ)可得lim lim lim()0n n n n n n n b a b a ηξ→∞→∞→∞-=-=-=,所以ξη=.再证ξ是唯一的.设数ξ'也满足n n a b ξ'≤≤,则我们有(1,2,)n n b a n ξξ'-≤-=.由区间套的条件(ⅱ)得()lim 0n n n b a ξξξξ→∞''-≤-=⇒=.▋推论 若[](),1,2,n n a b n ξ∈=是区间套[]{},n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在N +∈,使得当n N >时有[](),;n n a b U ξε⊂.需要指出的是:区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.对于开区间列,如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0,虽然其中的各个开区间也是前一个包含后一个,且001lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→n n ,但不存在属于所有开区间的公共点.二 聚点定理与致密性定理定义9.1.2 设S 为数轴上的点集,ξ为定点(它可以属于S ,也可以不属于S ).若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称ξ为点集S 的一个聚点.例如,点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=n S n11有两个聚点11-=ξ和12=ξ:点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n S 1sin 只有一个聚点0=ξ:区间⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1内的一切点及点34,121==ξξ都是⎪⎭⎫⎝⎛34,1的聚点.而正整数集+没有聚点:任何有限集也无聚点.聚点的另外两个等价定义如下:定义9.1.2′对于点集S ,若点ξ的任何邻域内都含有S 中异于ξ的点,即()0;US ξε⋂≠∅,则称ξ为S 的一个聚点.定义9.1.2″若存在各项相异的收敛数列{}n x S ⊂,则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.关于以上三个定义的等价性证明,我们简述如下.定义9.1.2⇒定义9.1.2′是显然的,定义9.1.2″⇒定义9.1.2也不难得到:现证定义9.1.2′⇒定义9.1.2″.设ξ为S (按定义9.1.2′)的聚点,则对任给的0ε>,存在()0;x U S ξε∈⋂.令11ε=,则存在()011;x US ξε∈⋂:令211min ,2x εξ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,则存在()022;x U S ξε∈⋂,且显然12x x ≠:……令11min ,n n x n εξ-⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,则存在()0;n n x U S ξε∈⋂,且显然n x 与121,,,n x x x -互异.无限地重复以上步骤,得到S 中各项互异的数列{}n x ,且由1lim n n n n x x nξεξ→∞-<≤⇒= 下面我们用区间套定理来证明聚点定理.定理9.1.2(魏尔斯特拉斯聚点定理)实数轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 证 因为S 为有界点集,故0M ∃>,使得[],S M M ⊂-,记[][]11,,a b M M =-.现将[]11,a b 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点,记此子区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且()221112b a b a M -=-=. 再将[]22,a b 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点,记此子区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=. 将此等分子区间的过程无限地进行下去,得到一个区间列[]{},n n a b ,它满足 [][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃=,()102n n n Mb a n --=→→∞, 即[]{},nna b 是区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一点[] ,2,1,,=∈n b a n n ξ,于是由定理9.1.1的推论,对任给的0>ε,存在正整数0>N ,当N n >时,有[]()εξ;,U b a n n ⊂.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点,按定义9.1.2,ξ为S 的一个聚点.▋推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若数列{}n x 不含有无限多个相等的项,则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由魏尔斯特拉斯聚点定理,点集{}n x 至少有一个聚点,记为ξ,于是按定义9.1.2",存在{}n x 的一个收敛子列{}kn x ,使得lim kn k xξ→∞=. ▋三 柯西收敛准则在定理2.3.3中,我们用单调有界原理证明了柯西收敛准则的充分性.下面,我们用致密性定理再次给出柯西收敛准则的充分性.证 设数列{}n a 满足柯西条件,先证明{}n a 是有界的.为此,取1=ε,则存在正整数N ,当1+=N m 及N n >时有11<-+N n a a .由此得111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a令{}1,,,,max 121+=+N N a a a a M ,则对一切正整数n ,均有M a n ≤.于是,由致密性定理,有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ,设A a k n k =∞→lim .对任给的0>ε,存在0>K ,当K k n m >,,时,同时有2ε<-m n a a (由柯西条件),2ε<-A a k n (由A a k n k =∞→lim ),因而当取)(K k n m k >≥=时,得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim . ▋下面,我们用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界的数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在正整数αk ,使得αλααk =为S 的上界,而()ααλαα1-=-k 不是S 的上界,即存在S ∈'α,使得()ααα1->'k .分别取 ,2,1,1==n n α,则对每一个正整数n ,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界而nn 1-λ不是S 的上界,故存在S ∈'α,使得nn 1->'λα. (9-1-1)又对正整数m ,m λ是S 的上界,故有αλ'≥m ,结合(9-1-1)得nm n 1<-λλ (9-1-2)同理有mn m 1<-λλ.从而得 11max ,m m n λλ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭.于是,对任给的0>ε,存在0>N ,当N m n >,时,有ελλ<-m n .由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记λλ=∞→n n lim . (9-1-3)现在证明λ是S 的上确界.首先,对任何的S α∈和正整数n 有n αλ≤,由(9-1-3)式得αλ≤,即λ是S 的上界.其次,对任何0δ>,由()10n n→→∞及(9-1-2)式,对充分大的n 同时有 1,22n n δδλλ<>-. 又因1n n λ-不是S 的上界,故存在S α'∈使得1n nαλ'>-,结合上式得22δδαλλδ'>--=-.即λ是S 的上确界.同理可证:若S 为非空有下界的数集,则必有下确界.▋至此,我们由确界存在定理证明了单调有界定理,用单调有界定理证明闭区间套定理,用闭区间套定理证明了聚点定理,而用聚点定理证明了柯西收敛准则,最后用柯西收敛准则证明了确界存在定理.这样就完成了这些定理的等价性证明.四、有限覆盖定理前面讨论的确界存在原理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理和柯西收敛准则的关注重点都是一个点的存在性,也就是说,它们关注的重点都是局部问题.在本小段,我们介绍一个关注整体性的结论——有限覆盖定理.为此,我们首先给出定义9.1.3 设S 为数轴上的点集,H 为开区间的集合(即H 的每一个元素都是形如()βα,的开区间).若S 中任何一个点都含在H 中至少一个开区间内,则称H 为S 的一个开覆盖,或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数是无限(有限)的,则称H 为S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).例如,11,2H n n n +⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭是区间()0,1的一个开覆盖.事实上,对()0,1x ∀∈,取11k x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,从而11k k x ⎡⎤<+=⎢⎥⎣⎦;又11112k k x x x ⎡⎤⎡⎤<≤<+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以12k k x <<+,从而有112x k k <<+,即11,2x H k k ⎛⎫∈∈ ⎪+⎝⎭.但若111,1H n n n +⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭,则1H 就不是开区间()0,1的开覆盖.事实上,对任意大于1的正整数n ,当然有()10,1n ∈,但1n不属于1H 中的任何开区间. 再如,()[]{},,,0xxx H x x x a b δδδ=-+∈>显然是闭区间[],a b 的一个开覆盖.在具体问题中,一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定.例如,若函数f 在区间()b a ,内连续,则任给0>ε对每一点()b a x ,∈,都可确定正数x δ,使得当()x x U x δ,∈'时有()()ε<-'x f x f .这样就得到一个开区间集()(){},,xxH x x x a b δδ=-+∈.它是开区间()b a ,的一个无限开覆盖.定理9.1.3 (海涅-博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[]b a ,的一个(无限)开覆盖,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.证 用反证法 假设定理的结论不成立,即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.将[]b a ,等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H 中的有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[]11,b a ,则[][]b a b a ,,11⊂,且()a b a b -=-2111. 再将[]11,b a 等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H 中的有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[]22,b a ,则[][]1122,,b a b a ⊂,且()a b a b -=-22221. 重复上述步骤并将这一过程无限地进行下去,我们可得一个闭区间列[]{}n n b a ,,它满足[][] ,2,1,,,11=⊂++n b a b a n n n n ,且()()∞→→-=-n a b a b n n n 021. 即[]{}n n b a ,是区间套,且其中的每一个闭区间都不能用H 中的有限个开区间来覆盖.由闭区间套定理,存在唯一的一点[] ,2,1,,=∈n b a n n ξ,由于H 为闭区间[]b a ,的一个开覆盖,故存在一个开区间()H ∈βα,,使得()βαξ,∈.于是,由定9.1.1的推论,当n 充分大时有[]()βα,,⊂n n b a .而此与“[]{}n n b a ,中的每一个闭区间都不能有H 中的有限个开区间来覆盖”的结论相矛盾.所以结论成立.▋上面我们是用闭区间套定理证明的有限覆盖定理,为了进一步说明实数连续性定理之间的关系,我们用确界定理再次证明有限覆盖定理.证 设[]{,B x a x =具有有限覆盖,}a x b <<.由定理的条件,必然存在开区间(),H λμ∈,使得(),a λη∈,由实数的稠密性得,存在x a >,使得(),x λη∈故B ≠∅.显然b 是数集B 的上界,由确界原理,B 有上确界,设sup B c b =≤.由定理条件,存在开区间(),H αβ∈,使得(),c αβ∈.由上确界的定义,存在1x B ∈,使得1x c α<≤.由B 的定义知[]1,a x 有有限覆盖.再加上一个开区间(),H αβ∈,因而得[],a c 也有有限覆盖,即c B ∈.若c b <,则由实数的稠密性可得,存在()2,x c b ∈,从而2x B ∈.此与c 是上确界矛盾.因而c b =.即[],a b 具有有限覆盖.▋注:定理9.1.3的结论只对闭区间[]b a ,成立,而对开区则不一定成立.例如,开区间集合() ,2,11,11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+n n 构成了开区间()1,0的一个开覆盖,但不能从中选出有限个开区间来盖住()1,0. 下面我们用有限覆盖定理证明致密性定理,以进一步说明实数连续性定理之间的等价关系. 设数列{}n x 有界,则存在闭区间[],a b ,使得{}[],n x a b ⊂.若{}n x 无收敛(于[],a b 中任何一点的)子数列.于是,由定义2.1.2′可得,对[],,0x x a b δ∀∈∃>,使(),x x I U x δ=中只含有{}n x 的有限多项.于是,有开区间集{[],,x x H I x a b I =∈中只含有{}n x 的有限多项}覆盖[],a b .由有限覆盖定理知.可从H 中选出有限个开区间覆盖[],a b ,从而{}n x 只有有限项.此为矛盾.习 题 9-11.验证数集()11nn ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭有且只有两个聚点11ξ=-和21ξ=. 2.证明:任何有限数集都没有聚点. 3.设(){},nna b 是一个严格开区间套,即满足1221n n a a a b b b <<<<<<<,且()lim 0n n n b a →∞-=.证明:存在唯一的一点ξ,使得,1,2,n n a b n ξ<<=.4.试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.5. 证明:闭区间[],a b 的全体聚点的集合是[],a b 本身.6. 设{}n x 为单调数列.证明:若{}n x 存在聚点,则必是唯一的,且为{}n x 的确界.7. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.。
数学分析(上)课程7-1 关于实数完备性的基本定理
1在第章与第二章中§1 关于实数集完备性的基本定理在第一章与第二章中,我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了中单并柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的.在本章中,将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.返回一、区间套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性一区间套定理与柯西收敛定理]}:一、区间套定理与柯西收敛定理定义1n n a b {[,设闭区间列满足如下条件111.[,][,],1,2,,n n n n a b a b n ++⊃= 2.lim()0,n n n b a →∞-={[,]},.n n a b 则称为闭区间套简称区间套11定义1 中的条件1 实际上等价于条件1221.n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤71]}定理7.1(区间套定理){[,,n n a b 若是一个区间套则存在唯一的实数使,ξ[,],1,2,,n n a b n ξ∈= ⎡⎡⎤或者.],[}{ ∞=n n b a ξ[]⎤⎤⎡⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1=n [][]⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x+n n a a a a 121+n n b b b b 121ξ证由定义1 的条件1 可知, 数列{a n }递增, 有上界,}lim a =设b 1.所以由单调有界定理, 可知{a n } 的极限存在.从而由定义1 的条件2 可得,n n ∞→ξ.lim )(lim lim ξ=+-=∞→∞→∞→n n n n n n n a a b b }{}因为{a n } 递增, {b n } 递减, 所以,n n b a ≤≤ξ这样就证明了下面来证明唯一性. 设ξ1 也满足,1n n b a ≤≤ξ的存在性.ξ1,.ξξ=即惟一性得证10.n n b a ξξ-≤-→那么注区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结套改,论不一定成立例如对于开区间列1⎧⎫⎛⎫10012论不定成立. , 显然0n ⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，111.0,0,,1,2,,1n n n ⎛⎫⎛⎫⊃= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭12.lim 00.n n →∞⎛⎫-= ⎪但是定理1中的ξ是不存在的, 这是因为⎝⎭10,.n ∞⎛⎫=∅⎪ 1n =⎝⎭b ]}是个区间套]>0,1,2,.n = n 推论设{[a n ,b n ]} 是一个区间套,[,],n n a b ξ∈[,](;).n n a b U ξε⊂则任给ε> 0, 存在N ,,,当n ≥N 时,证由区间套定理的证明可得:lim lim .n n n n a b ξ→∞→∞==由极限的保号性, 对于任意正数ε, 存在N ,n N ,≥当时有,.n n a b ξεξε-<<+-n n a b [,](,).ξεξε⊂-+n n a b ,ξεξε<≤<+即这就是说作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准}:则,即证明数列{a n } 收敛的充要条件是: 对任意的,,.n m m n N a a ε>-<当时有存在N ,ε> 0,证(必要性)lim ,,n n a A →∞=设由数列极限的定义,0,,,N m n N ε>>对于任意正数存在时有.2,2εε<-<-A a A a m n n m n m a a a A a A .ε-<-+-<因而有0.).a a n N a a a εεε-<>∈-+N n N ,0,,,ε>≥由题设对于任意存在时()充分性,(,)n N n N N 即当时(:lim .)n N n a a →∞=注意这并不能说明11N a ε-N a ε+N a x11111,,(,),222n N N N n N a a a ε=≥∈-+令存在时,11112111[,][,].,222N N a b a a ε=-+=取令存在212(),,N N n N ≥≥时1n N N a a a 22221[,],22∈-+2222112211[,][,],.22N N a b a b a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎦ 取显然有a b a b b a 1⊃-≤⎣112222[,][,],,2n N a a b ].≥∈并且当n 222,[,]并当时......1)ε11⎛⎫k k k k N N n N 1,(),,2-=≥≥令存在当时,.22k k n N N k k a a a ∈-+ ⎪⎝⎭⎡1111[,][,],.22k k k k k k N N k k a b a b a a --⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 取......a b 这样就得到一列闭区间满足{[,]},k k 样得满11(i)[,][,],k k k k a b a b ++⊃1,2,;k = 11(ii)0,k k k b a --≤→k ;→∞2]a b ].∈存在惟一的+(iii)N ,,[,].k n k k k n N a a b ∀∈≥∈当时k k ,[,]ξ由区间套定理存在惟的由定理1的k 00,,ε>对于任意存在使推论，00[,](,),k k a b ξεξε⊂-+303,,k n N >由性质当时-+a .ε-<所以这就证明了00[,](,),n k k a a b ξεξε∈⊂n ξlim .n n a ξ→∞=二聚点定理与有限覆盖定理S ,二、聚点定理与有限覆盖定理定义2设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属于S ). 若对于任意正数ε,在(ξ-ε, ξ+ε) 中含有S 的无限个点, ⎧则称ξ是S 的一个聚点.U S (;),ξε= 无限集即10S n ⎫=⎨⎬⎩⎭比如:是的一个聚点;11,1(1).nS n ⎧⎫-=-+⎨⎬⎩⎭是的两个聚点若设S 是[0,1]中的无理数全体,则S 的聚点集合'S ),1].为了便于应用,下面介绍两个与定义2 等价的定义.S (称为S 的导集) 为闭区间[0, 1]. S R R ,.0,ξε∅≠⊂∈>设若对于任意定义2'(;),.U S S ξεξ≠∅那么称是的一个聚点定义2″若存在各项互异的收敛数列,}{S x n ⊂.lim 的一个聚点称为那么极限S x =n n ξ∞→下面简单叙述一下这三个定义的等价性.2定义2 →定义2'由定义直接得到.'"0,0,U S εε︒∀>≠定义2→定义2因为,(;),ξ 那么111,(;1);x U S εξ=∃∈取{}2122min 1/2,,(;);x x U S εξξε=-∃∈取;=-.{}1min 1/,,(;);n n n n n x x U S εξξε-∃∈ 取}{}{.,n n n x S x ε⊂这样就得到一列由的取法两两10,n n x ξε<-<≤互异,并且nlim .n n x ξ→∞=由此"→2定义2→定义2 由极限的定义可知这是显然的.定理7.2 聚点定理实数轴上的任意有界无限点()实数轴任集必有聚点.我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).证因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使要注意在区间套的构成中所建的性质()11[,],[,][,].S M M a b M M ⊂-=-且记现将[a 1, b 1] 等分为两个子区间[a 1, c 1], [c 1,b 1],1111111.[,],[,]2a b c a c c b +=其中那么中至少有一个区间含有S 的无限多个点. 记该区间为[a 2, b 2].]],,[],[2211b a b a ⊃显然有12211().2b a b a M -=-=再将[a 2, b 2]等分为两个子区间. 同样至少有一个子区间含有S 的无限多个点, 将这个区间记为[a 3, b 3].][]112233[,][,,],a b a b a b ⊃⊃显然又有1M.2)(22233a b a b =-=-]}无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间{[,]},n n a b n n n n a b a b n 11(i)[,][,],1,2,;++⊃= 满足Ma (ii)0;-=n n n b 1()2-→(iii)]S (iii) 每个闭区间[a n ,b n ] 均含S 的无限多个点.存在惟一的 =,[,],n n a b ξ∈由区间套定理存在惟的.,2,1n1:,,N ε由定理的推论对于任意的正数存在使[,](;),a b U ε⊂N N ξ所以由所建立的性质(iii)(;)[,]N N U S a b S ξε⊃= 无限集.这就证明了ξ是S 的一个聚点.72有个非常重要的推论(致密性定理)定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中显得十分活跃定理在整个数学分析中,显得十分活跃.证x , x } , 推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.设{n }为有界数列,若{n }中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛的.若数列{x n } 不含有无限多个相等的项, 则{x n }作为}的一个点集是有界的. 由聚点原理, 可设ξ是{x n } 的个聚点那么再由定义2"可知{}中有一个子列收敛于ξ.聚点, 那么再由定义2 ,可知{ x n } 中有个子列我们来看下面两个例题]{}[]上连续作为致密性定理的应用, 我们来看下面两个例题. ==例1()[,,].n f x a b x a b ⊂设在上连续，如果00lim (),[,],().n n f x A x a b f x A →∞∈那么存在使证.x a b x ⊂由致密性定理，{}[,],{}n n 因故有界由致密性定{}{}.lim .x x x x =存在一个收敛子列设0k k n n n k →∞,b x a n ≤≤又因由极限的不等式性质, 可得k.0b x a ≤≤连续根据归结原理f x x 0()由于在点连续,根据归结原理lim lim ).A x x x ===例2用致密性定理证明柯西收敛准则. 00()()()k n k x x f f f →∞→证0{}1n a ε=设是一个柯西列,那么对于，存在0,,||1,|||| 1.n N n N N n N a a a a ε>-<=<+时故|||||||1}N N M a a a a 121max{||,|,1},-=+ 令n a M a .≤那么对一切，n n ||,{}那么对切所以是有界数列{}{}.k n n a a 由致密性定理,存在的收敛子列}A a k n k =∞→lim 设.下面证明{a n } 以A 为极限.{},N ∃因为{ a n } 是柯西列, 所以对于任意正数1,,ε1,||.n m n m N a a ε≥-<当时，lim ,a A =又因为kn k →∞,k K ≥时有,,K ε所以对上述存在当||.k n a A ε-<1max{,},,K N N n n N =>令当时||||||2,K K n n n n a A a a a A εεε-≤-+-≤+=lim A =.n n a →∞所以S 为数轴上的一个点集定义3设S 为数轴上的一个点集,H 为一些开区间H ).α的集合即中的元素均为形如的开区间((,))β集中元素均如x S H x ,(,),(,),αβαβ∈∈∈若对于任意都存在使则称H 是S 的一个开覆盖.的个开覆盖开区间)若H 是S 的一个开覆盖, 并且H 中的元素(开区间) ,H S 的一个仅有有限个, 则称H 是S 的个有限开覆盖.111,2, 01)H n ⎧⎫⎛⎫==,,,(,)2n n ⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭例如是区间的一个开覆盖.个覆73海涅－博雷尔有限覆盖定理定理7.3 (海涅博雷尔有限覆盖定理)]的一个开覆盖H 设H 是闭区间[a , b ] 的个开覆盖, 则从H 中可选出有限个开区间,构成闭区间[a , b ] 的一个子覆盖.证证明该定理有多种方法.这里还是运用区间套定理来证明, 仍然海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国)博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国)要注意区间套的取法.H 若定理不成立, 也就是说[a , b ]不能被H 中任何有限个开区间所覆盖. 将区间a , b 等分成两个子[,]区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被H 中任意有限个开区间所覆盖, 设该区间为[a 1 , b 1]. 1][]()-=-显然有a ,b ] 等分成两个子区间, 其中至少有一个a b a b b a b a 1111[,,],).2⊂并且再将[1,1]等分成两个子间,其中少有个不能被H 中有限个开区间所覆盖.设该区间为b ]1-=-[a 2,b 2].同样有22112211[,][,],().2a b a b b a b a ⊂并且将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[,]a b 满足下列三个性质:n n 11(i)[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊂= 1(ii)()0,2n n n b a b a -=-→;n →∞(iii) 对每一个闭区间[a n ,b n ], 都不能被H中有限个由区间套定理存在惟一的开区间所覆盖= ,ξ 由区间套定理,存在惟一的使.11[,],[,],(,),a b H a b H ξαβ∈∈因覆盖了故存在[,],1,2,.n n a b n ξ∈0,.min{,},7.1ξαβεβξαξ∈=--使（）取由定理中的个开区间所覆盖0,,[,](;)(,).N N N a b U ξεαβ⊂⊂论存在使的推这就是说, [a N ,b N ] 被H 中的一个开区间所覆盖,矛盾矛盾.73中的闭区间不可以改为开区间1H ⎧⎫注定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.(1)12...1n n ==⎨⎬+⎩⎭比如开区间集，，，覆盖了(01)H 区间(0, 1). 很明显, H 中的任何有限个开区间均不(01)能覆盖(0, 1).三实数完备性定理的等价性我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它三、实数完备性定理的等价性,们是:确界定理单调有界定理区间套定理下面证明这六个定理是等价的聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则下面证明这六个定理是等价的.6柯西收敛准则确界定理51聚点定理单调有界定理432区间套定理有限覆盖定理尚未证明这里6在上图的等价性关系中, 仅和尚未证明.这里4给出的证明, 请大家自己阅读教材.46例3用有限覆盖定理证明聚点定理.给明,请大家自读教材证设S 是无限有界点集, 则存在M > 0, 使得[,].S M M ⊂-]M M ∅,,[,],S S x x'=∈-若的聚点集合那么任给x .0δδ>这就是说存在表示与有x x (都不是聚点就是说存在x x x x S ),(,).δδ-+= 关使得有限集{(,)|[,],0,x x x H x x x M M δδδ=-+∈->设开区间集H [](,)}.x x x x S δδ-+= 有限集很明显, H 覆盖了闭区间[ –M ,M ]. 根据有限覆盖定理存在H 0{(,)|1,2,,}.i i i i H x x i n δδ=-+= 定理, 存在H 中的有限子覆盖由H 的构造,有限集，=+-S x x i i i i ),(δδ所以有限集n有限集，=+-⊂-==S x x S M M S i i i i i ),(],[1δδ.矛盾。
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证 由（１）式， a n 为递增有界数列，依单调有界定理，
a n 有极限 ,且有 an,n1,2,L.
（3）
同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有
lni m bnlni m an
满足（i） [a n ,b n ] [a n 1 ,b n 1 ],n 1 ,2 ,L ; (ii) lni m(bnan)0.
另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中，前者是区间套定理本身条件的要求
保证诸区间[an,bn] (n1,2,L)存在唯一公共点 , 后者则把
证明整个区间 [ a , b ] 上所具有某性质的问题归结为 点邻域
U ( , ) 的性质，实现完满整体向局部的转化.
由（4）容易推的如下很有用的区间套性质 .
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推论
若 [a n,b n] (n1 ,2 ,L )是区间套所确定的点则对任给
的 0 ，存在 N 0 ,使得当 n N 时有
an,bnU(;) 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）. 即
定理7.1（区间套定理） 若an,bn 是一个区间套，则在实数
系中存在唯一的一点 , 使得 anb n,n1 ,2,L.
即
a nb n ,n 1 ,2 ,L . (2)
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分析 即要证明闭区间列 [an,bn],n1,2,L 有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）
式和单调有界定理可以知道数列 a n 和 b n 都存在极限，我们
数列 a n 收敛的充要条件是：对任给的 0 ,存在 N 0 ,
使得对 m,n N ,
有 am an .
分析 由数列极限定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充 分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列
的极限.我们将对柯西列 a n 构造区间套n,n, 使得在每个
n,n, 外只有数列 a n 中有限项.
它也含有 a n 中几乎所有的项，且满足
1,1 2,2 及 221 2.
继续依次令
1 23
,L
,
1 2n
,L
照以上方法得一闭区间列 n , n ,
其中每个区间都含 a n 中几乎所有的项，且满足
n , n n 1 , n 1 ,n 1 ,2 ,L ,
nn2n 11 0n ,
第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理 §2 闭区间上连续函数性质的证明
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§1 关于实数集完备性的基本定理
一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
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一、区间套定理与柯西收敛准则
定义1 设闭区间列 an,bn 具有如下性质
且
bn,n1,2,L.
（4） （5）
联合（3）、（5）即得（2）式. 最后证明满足（2）的
是唯一的．设数 也满足 a nb n,n1 ,2 ,L .
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则由（２）式有
b n a n ,n 1 ,2 ,L .由区间套的条件（ii）得
故有 .
lim bnan0 , n
注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证
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即 n,n 是区间套. 由区间套定理，存在唯一的一个数 n,n (n1,2,L).
现在证明数 就是数列 a n 的极限.事实上，由定理7.1的推论，
对任给的 0 ，存在N 0,使得当 n>N 时有
n,nU(;).
因此在 U ( ; ) 内含有 a n 中除有限项外的所有项.
这就证得
lim
n
an
.
注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数 列的极限. 注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到
在处理具体问题时构造区间套的思想方法.
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S为数轴上的点集 为定点 (它可以属于 S也可
以不属于S) 若 的临域内都含有 S中无穷多个点则称 为集 S
定理的结论成立．对于开区间列，有可能不成立,如
0,
1 n
,
虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 lim(1 0) 0 ，
n n
但不存在属于所有开区间的公共点．
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注2 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰 当地构造区间套. 一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，
即闭区间列 an,bn .
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证
[必要性]
设
lim
n
an
A.
由数列极限定义, 对任给的
0,
存在 N
0
,当
m,n N
时有
因而
a m anam am A A a n2,A an 2A 2 2, .
[充分性] 按假设,对任给的 0 , 存在 N 0 ，使得对
一切 n N 有 an aN , 即在区间 aN,aN 内含有 a n 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ a n 中几乎
的一个聚点.
点集
S
(1)n
1 n
有两个聚点 1
1
和2
1;
点集
S
1
n
只有一个聚点 0; 又若 S为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端
点a、b都是S的聚点；而正整数集 N 没有聚点，任何有限数集也
没有聚点.
注1 点集的 S 聚点可以属于S ，也可以不属于 S ；
所有的项”表示“ aБайду номын сангаасn 中除有限项外的所项”).
据此，令
1, 2
则存在
N
1
，在区间
aN1
1 2 ,aN1
1 2
内含有
an
中几乎所有的项，记这个区间为1 , 1 .
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再令
1 22
,
则存在 在区间 N2( N1)
aN2
1 22
,aN2
1 22
内含有
an
中
几乎所有的项.
记
2,2 aN 22 1 2,aN 22 1 2 I 1,1 ,
（i）[a n ,b n ] [a n 1 ,b n 1 ] ,n 1 ,2 ,L ; (ii) lni m(bnan)0
则称 an,bn 为闭区间套，或简称区间套．
这里的性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个 套者后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式
a 1 a 2 L a n L b n L b 2 b 1 (1)