05第5章+边界层理论

上式即为简化后的冯～卡门方程，可以用于不同的流 态，只要是不可压缩流体就可。
二、 层流边界层积分方程的解
波尔豪森是最早解出冯～卡门方程的人，他分析了方 程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三 次方函数关系，即
υx=a+by+cy2+dy3
式中的四个待定常数a、b、c、d 可由以下边界条件确定：
第一节 边界层理论的基本概念
当Re< Recr时，流动为层流；Re > Recr 时，流动为湍流。 对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来
判别，不过此时的雷诺数用 Rex=xν0ρ/η 计算。
其中：x 为流体进入平板的长度，又称进流深度；
ν0 为主流区流体速度。 对于光滑平板而言：Rex<2×10 5 时为层流；Rex>3×10 6 时为湍流；2×10 5 <Rex <3×10 6为层流到湍流的过渡区。
于是， x方向动量传输方程可简化为
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度δ很
小，第三式中的Vy对x和y的各项偏导数与x轴方向上的
动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三
式可以简化为
p 0 y
p dp x dx
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0
0.225
0
2
0
将它和
x
0
y
1
7
代入积分方程
d dx
0
0
x
x
dy
0
可得到 积分后得
14
7 72
d
dx
0.0225
0
14
5 4
0.289
0
xC
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
由边界条件 0，C 0 x0
梯度较大的流体薄层。 边界层的厚度：流速相当于主流区速度的99%处，到固
体壁面的距离称为边界层厚度。
二、边界层的形成与特点
为什么会形成边界层？因为流体内部存在粘附力或粘性 力。
我们已经知道：流体流过管道时，其流动形态是通过雷 诺数来判别的。Re=dυρ/η
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（3）湍流区：随着流进尺寸的进一步增加，使得Rex > 3×106，这时边界层内的流动形态已进入湍 流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而 迅速增加。
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第一节 边界层理论的基本概念
应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最 靠近壁面的一层始终都是作层流运动， 此即所谓的层流底层。
第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体 （单元体），断面为ABCD，垂直于图面方向（z 轴方 向）取单位长度。
1）从AB面单位时间流入的质量记为mx、动量记为Mx
l
m x
dy
0
x
M x
l
x
x
dy
l
x
2
dy
0
0
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厚度δ
4.64 x 4.64 1 x
Re
0
x
上式给出了边界层厚度δ与进流距离和速度的关系。
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
三、湍流边界层内积分方程的解
在湍流情况下，冯-卡门积分方程中的τ0为一般的应力 项，要想解上述方程也必须补充一个υx与δ之间的关系 式，它不能由波尔豪森的三次方函数给出，此时要借助
式中：Cn为二项式的系数；A2为系数，可由边界条 件确定。
边界层厚度δ与流进距离x 和流速υ0 的关系为
5.0 x 5.0 1 x
Re
0
x
式中Re 0 x x
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
一、 边界层积分方程的建立
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第一节 边界层理论的基本概念
（1）层流区： x<xc （xc为对应于Rex=2×105的流进深度。）
（2）过渡区：随着流进深度的增长，当x>xc ，使得 Rex>2×105，且Rex<3×106时。在这一区 域内，边界层的厚度随着流进尺寸的增加 而迅速增加。
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
对主流区中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可写为
p 02 C 2g
由于ρ与υ0皆为常数，故p为常数，即 dp/dx=0
因此
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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x
x
x
y
x
y
1
p x
2x
x2
2x
y 2
x
y
x
y
y
y
1
p
y
2 y
x2
2 y
y 2
x方向动量传输方程 y方向动量传输方程
因为 x 是一个无穷小量，所以 x
x
x
x
2 x
x 2
是一个高价无穷小，可以略去不计。
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
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边界层理论
意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究
理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非 常重要的作用。
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第一节 边界层的基本概念
一、边界层的定义 边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度
第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
2）从CD面单位时间流出的动量记为M x+Δx，流出的质量 记为m x+Δx
m x x
l
dy
0
x
d dx
l
dy x
0
x
M x x
l
x
2dy
0
d dx
l
x
2
dy
0
x
3）从BC面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量
在x方向的分量记为Ml ；而AD面没有流体的流入、 流出。
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
f ( ) A2 2 1 A22 5 11 A23 8 375 A24 11 L
2! 2 5! 4 8!
8 11!
n1
1 2
n
An1 2
3n 2
!Cn 3n2
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
根据质量守恒定律，则有
m l
m x x
m x
d dx
l
dy x
0
x
BC面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于υ0，
故此由BC面流入的动量在x方向的分量Ml
M l
m l0
0
注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量
力对流动产生的影响较小，则有方程组
x
y 0
x y
连续性方程
注意：层流底层和边界层的区别与联系 层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是 根据有无速度梯度来划分。边界层内 的流体可以是层流流动，也可以是作 湍流流动。
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第一节 边界层理论的基本概念
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d
dx
0
0
x
xdy
0
dp
dx
上式就是边界层积分方程，也称为冯～卡门方程。
由前面的分析我们知道 dp 是一小量，可略去不计，这 时方程进一步简化为 dx
d
dx
0
0
x
x
dy
0
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
d dx
l
xdy x
0
4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，
其值为τ0，故此由AD面在单位时间内传给流体的粘 性动量为τ0Δx。
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
5）沿x方向一般情况下还存在着压力梯度。所以，由于
前面将连续性方程与纳维 尔～斯托克斯方程应用于边界层， 并通过合理的简化处理，使方程 的形式大为简化。但所得到的布 拉修斯解仍然是一个无穷级数， 使用时很不方便。而且还只能用 于平板表面层流边界层。现在我 们将直接从动量守恒定律出发， 建立边界层内的动量守恒方程。
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
一、 微分方程的建立 对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下 满足的控制方程为
x
y
0
x y
连续性方程
x
x
x
y
x
y
X
1
p
x
2x
x2
2x
y 2
x方向动量传输方程
x
y
x
y
y
y
Y
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
y方向动量传输方程
作用在AB面和CD面上的压力差而施加给控制体的作用
力为
Fp
l 0
pdy
l 0
pdy
d dx
l 0
pdy
Vx
d dx
l 0
pdy Vx
通过前面的推导我们已经知道
p 0 y
所以，上式变为
Fp
dp dx
lx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
第五章
边界层理论
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边界层理论 本章主要内容
1.介绍边界层的基本概念及特点； 2.平面层流边界层微分方程及其求解； 3.平面层流边界层积分方程及其求解； 4.平板绕流摩擦阻力的计算
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边界层理论
理论形成的背景：
实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人 们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即 靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远 离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可 以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的 边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问 题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层 内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题 或者说有一个边界层厚度的确定问题。
圆管内湍流速度分布的1/7次方定律
x
0
y R
1
7
用边界层厚度δ代替式中的R得到
x
0
y
1
7
用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍
流阻力的关系式，得出壁面切应力τ0为
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
1/ 4
从而得到湍流边界层厚度的分布
15
0.370 x
x
由此可见：湍流边界层厚度（δ∝x4/5），比层流边界 层厚度（δ ∝ x1/2）随进流距离增加而增厚要快得多。
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
这些边界条件是
1）y 0, 0 x
3）y
,
x
0
y
2）y ,
x
0
4）y
2
0, x
0
y 2
条件1），2），3）是显而易见的; 条件4）是由于y=0
时，υx= υy =0； 再结合前面推导的普朗特微分方程而 得到
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
所以，原方程组就简化为
x
y 0
x y
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
定解条件为
y 0， 0， 0
x
y
y ，
x
0
普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯
在1908年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，
得出边界层微分方程的解是一无穷级数。
建立动量守恒方程如下
l 0
2 x
dy
l 0
2 x
dy
d dx
l 0
2 x
dy
Vx
0
d dx
l 0
x
dy
Leabharlann Baidu
Vx
0
Vx
dp lVx dx
0
化简后得
d
dx
l
0
0
x
x
dy
0
dp l dx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
利用上述边界条件确定出：a=0，c=0， b 3 , d 1
2
2
因此，速度分布可表示为
x
0 2
3y
y3
2
或者
x 0
3 2
y
1 2
y
3
将上式联立冯-卡门方程，就可求出速度分布和边界层