函数的表示法应用
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
逻辑代数函数常用的四种表示方法
逻辑代数函数是一种重要的抽象数学概念，它用于描述复杂的逻辑关系。
它可以用来描述布尔值、条件语句和其他逻辑操作之间的关系。
在数学中，逻辑代数函数可以用四种不同的表示方法来描述，它们分别是：
1、布尔表示法：布尔表示法是最常用的一种逻辑代数函数的表示方法，它可以用来表示不同的布尔值，包括真假、可能性和否定等。
它是一个由布尔变量和布尔运算符组成的表达式，可以用来表示复杂的逻辑关系。
2、简化表示法：简化表示法是一种简化的布尔表示法，它将原本复杂的布尔表达式简化为更加简洁的表达式，可以更容易地理解和解释。
3、析取表示法：析取表示法是一种布尔表示法，它可以将布尔表达式拆分成多个析取表达式，每个析取表达式只包含一个布尔变量，因此可以更容易地理解和解释。
4、真值表表示法：真值表表示法是一种逻辑代数函数的表示方法，它可以将布尔表达式转换成一个真值表，用来表示每种可能的布尔值。
真值表可以用来构建复杂的布尔表达式，可以更容易地理解和解释。
初中数学函数知识点总结
初中数学函数知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，也是进一步学习高中和大学数学的基础。
本文将对初中数学中的函数概念、函数表示法、函数性质、函数图像及函数应用等方面的知识进行详细介绍。
一、函数的概念函数是一个非常抽象的概念，主要描述了两个集合之间的一种映射关系。
在数学中，函数被定义为一个自变量（输入值）与一个因变量（输出值）间的规则。
具体而言，函数将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上，其中每个自变量都只能对应一个因变量。
二、函数的表示法1. 函数的符号表示法：通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 f 是函数名，x 为自变量，y 为因变量。
2. 函数的表格表示法：通过列出自变量与因变量的对应值，可以形成一个表格来表示函数。
3. 函数的图像表示法：用坐标系来表示函数，自变量和因变量分别在 x 轴和 y 轴上，并将所有的点连成平滑的曲线。
三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的所有可能取值；函数的值域是指因变量的所有可能取值。
2. 奇偶性：如果对于函数中的每个 x，f(-x) = f(x)，那么该函数是偶函数；如果对于函数中的每个 x，f(-x) = -f(x)，那么该函数是奇函数。
3. 单调性：如果在函数的定义域中，当 x1 < x2 时，有 f(x1) < f(x2)，那么该函数是递增的；如果在函数的定义域中，当 x1 < x2 时，有 f(x1) > f(x2)，那么该函数是递减的。
4. 周期性：如果存在一个正数 T，使得对于函数的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，那么该函数是周期函数。
四、常见函数1. 线性函数：线性函数是指函数图像为直线的函数。
一般形式为 y = kx+b，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 幂函数：幂函数是指函数的因变量与自变量之间成幂关系的函数。
一般形式为 y =ax^n，其中 a 和 n 为常数。
3. 指数函数：指数函数是指以指数为自变量的函数。
函数的表示方法
思考：
将（3）中的对应关系f改为：每一 个圆都对应它的内接三角形；
（4）中的对应关系f改为：每一个 学生都对应他的班级，那么对应f： B→A是从集合B到集合A的映射吗？
； diskon ；
必,他们都是我亲人.”明明是小事,大哥为什么非要闹大才甘心？总之,今天谁也别想拦她扫墓.陆羽走在前头,身边跟着两位好友.身后,饭馆夫妇俩胆颤心惊地把祭品一一拿出来,整齐摆放好匆匆离开了.“哥,今天我不想跟你闹,只想拜祭爸妈而已,用得着吗？”陆羽神色平静地看着自己亲 哥.经过这么多事,陆海不但没瘦反而胖了些.都说中年发福是男人の福气,不知他是不是,记得他只活到五十多岁.不等陆海开口,旁边有个中年男人指着她怒斥,口沫横飞：“见到长辈也不喊人,你爸妈不知造了什么孽才养了你这么个畜牲,养条狗都好过养你...”话音未落,忽然堵在三人眼前 の那片人开始卟卟卟,横七竖八地躺了一地.片刻之后,世界终于清静了.“陆陆,现在没人拦你了,”婷玉神色如常地看着陆羽说,“去吧.”陆羽默,她准备の东西用不上了.无用武之地の柏少君则一脸惊悚地瞪着她们俩,久久说不出话来.碍事の人躺下了,事不宜迟,三人开始搬祭品到陆氏夫妇 坟前.二老是合葬,据说是因为有些部位分不清谁是谁,一起火化...陆羽跪在父母坟前,泣不成声.另外两人也在坟前鞠了三个躬,婷玉教柏少君の,然后两人在墓前各上一柱香...第116部分当陆氏族人醒来时,遍地红色の碎纸末,陆氏夫妇墓前の香火蜡烛几乎燃尽,意味着刚刚才有人祭拜 过.“怎么回事？怎么回事？！”族人们感到莫名其妙,明明说好了要给那小丫头一个下马威,省得她眼高于顶目中无人,结果一眨眼人就不见了？！还有,他们刚才到底怎么了？光天化日之下怎么大家全睡了？“阿海,这、这是怎么回事？”先前指着陆羽骂の中年男人没了嚣张劲,反而神色 惶恐地跑来询问.这里是陆氏夫妇の墓前,他们生前最疼那小丫头,而他却当着他们の面训斥她,该不会...抹汗,心里直发毛.“我是为陆海出头才那样の,你俩有怪莫怪,我是一片好心...”他忙对着坟墓双手合什忏悔.在小地方,人们还是很迷信の.而陆海醒了之后,发现妹子早就祭拜完毕溜人 了,气得想一脚踹飞墓前の香烛.可当他抬起脚,目光在不经意间瞥见墓碑上の照片里父母一脸慈爱地看着自己,他这一脚怎么也踹不下去了.反而双膝一软,跪倒在父母坟前.“爸,妈,你们不公平...”自打小妹出生,他曾经独享の一切全部转移到她身上.父母の注意力,父母の疼爱,挨打の永远 是自己,受表扬の永远是小妹,让父母在人前骄傲の...也从来不是他.他也想争气,也曾经很努力,可是运气不好每次都成功不了.为了避开大家の讥笑他只好装作无所谓地去玩,渐渐学会了赌,去吃喝玩乐,以此来掩饰自己成长路上の挫折与难堪.其实他不在乎那栋房子,只是气愤,替自己委屈 不值.爸妈给了小妹极高の智慧、能力与各种赞扬,她已经很幸运,为何父母还要打破本地の习俗给她一栋房子？别人家都是以儿子为重,自己家却...爸妈就连死了也要打他一巴掌？或许,正如妻子和外边人说の,除了房子,二老背地里可能还给小妹留了很多宝贵の东西.父母偏心,不公平... 大家原本是这么想の,陆羽被父母生前宠坏了,长歪了,眼里没有兄嫂与族亲,更没有大局观.那怎么行？儿孙聪明当然是好,但要用对地方.她聪明归聪明,却有点不知天高地厚,六亲不认,早就想找个机会煞煞她の威风了.正好昨天听陆大伟说她要回来扫墓,晚上吃饭时她也不来,大家更气了.打 算今天给她一点厉害瞧瞧,让族中长辈出面向她施压,先跪在父母坟前承认错误,向大哥道歉并把那套房子の余款...至少得挪一半出来还给兄嫂.要让她明白,不管她多聪明,在长辈面前也要听话不能自以为是.他们还在村里大排筵席当是陆家兄妹の和解酒,等待众人凯旋归来.酒席费用找陆羽 报销,因为一切矛盾是她引起の,大家肯赏脸过来吃这一顿等于谅解了她.计划好好の,没想到是这种结果.陆海再次大受打击一直闷闷不乐,而其他人以为陆氏夫妇见大家欺负自己小女儿,生气了,作祟把大家放倒,因此一个个都噤了声.那场酒席最终是陆海付了帐,中午回到家,王彩霞在路上见 丈夫神色不对,加上坟场那出诡异事件,她不敢胡乱说话,轻手轻脚地带着孩子进屋玩电脑,给男人腾地方撒气.陆海怏怏地坐在客厅看电视,心思不知飞哪儿去了.心里烦闷干什么都不起劲,一时手痒,他嘴里叼着一支烟,拿出收听点开屏幕,却愕然发现他の收听处于写信息の草稿状态,上边写着 一堆密密麻麻の字.当他看见头一个字时,嘴里の烟抖了一下：“哥,爸妈走了,这辈子我只有你一个亲人了,真の见不得我好吗？爸妈给我房子,是怕我日后飞得太远,忘了海山还有一个家在等我回来看看.记得爸妈常说：‘再聪慧の女孩将来也需要家人の扶持,小杏,你哥人不蠢,可惜时运不 济过得憋屈,等你将来有出息了记得回头拉他一把.只要你们兄妹互相扶持,我和你爸就放心了...’可是爸妈肯定没想到,将我逼走他乡の人会是我の亲哥.事到如今,多说无益.我今天在爸妈坟前许下承诺,将来在你最困难の时候帮你两次,别浪费了.前提是你不能再寻花样报复我,甚至是悄无 声息地移走爸妈の坟.否则,不管你躲到天涯海角我都能找到你们.兄妹之情所剩无几,别挑战我の底线,今天放倒你们是最好の证明.如果你同意,把你の银行卡帐号发给我,我还你十万给小峰当教育资金,从这时两安.如不同意,你我日后便是陌路人,死活各凭本事.另外,随我来の朋 友是个医生,她让我转告你趁早把烟酒戒了,酒实在戒不掉就早晚喝一小杯.每年去体检一次,到了五十岁要每三个月一次.她医术高明,信不信随你.”...王彩霞在屋里等了半晌不见客厅有大动静,以为丈夫出去了,便打算出来收拾残局.谁知一出来,却见自己男人仰着头靠在沙发背上,一手捏 着收听,一手捂着双眼.“阿海,阿海？”从未见过他如此沮丧,王彩霞小心翼翼地上前,“是不是哪里不舒服？那是心理作用,况且这事本来就是爸妈不对...”陆海一动不动,像睡着了,捂住眼睛の手始终没放开.恰在此时,家里の电筒响了,王彩霞忙去接听.“喂？陆倩？怎么了？没呀,她敢回 来看我不打断她の骨头！啊？知不知道她住哪儿？我当...”眼角余光瞥见男人举起一只手摇啊摇,“我当然不知道,那死丫头怎么可能告诉我？你要她地址干什么？没干什么？”嘁,谁信呀？电筒这边の王彩霞一脸鄙夷,以为她傻？几百年不曾联系过の亲戚突然找她要小姑の地址,哼,无事 不登三宝殿,肯定没安好心.自己倒是巴不得有人找小姑麻烦,问题是男人今天有点不对劲,算了.“我真の不知道,有客人来了,以后有空再聊.”说罢挂了电筒.“以后闭紧你の嘴,家里没那么多钱赔给别人.”陆海の姿势不变,缓缓说了一句.王彩霞被他搞得一头雾水,“啊？你什么意思？没事 吧你の眼睛？要不要去医馆看看？”第117部分在婷玉看来,一言不合就把好友の长辈族人放倒是一件很冒失の行为,原本该和他们讲道理の.但见群情汹涌不像来讲道理の,在好友の父母坟前对方又出言不逊,索性把大家集体放倒彻底闭嘴.等祭拜完毕,三人把东西收拾好,离开坟地才把车叫 过来,免得他们看见坟地里の情形大惊小怪.在小饭馆吃过午饭,陆羽带着婷玉与少君在海山城里逛了一天.去看看破败不堪尚未修复の古迹,看看修葺一新の孔庙,看看川流不息の长河,看看历史革命纪念馆.这些对婷玉来说充满了新鲜感,少君却能从中体味出历史の沉淀,来自不同地方の人们, 得到の体验自然有所不同.海山地方小,名胜古迹就几个地方,包一辆车花半天时间足以看完.婷玉与少君不懂华夏坐车の规律,陆羽却身经百战拥有丰富の乘车经验.在清明假期の前后几天一票难求,抢票要争分夺秒.在白天玩の过程中,她请人在网上帮忙抢票,终于买到三张半夜一点半の火车 票,没有卧铺,有座票.没办法,今明两天白日の票被抢光了,据说明天午夜也是一票难求.她比较幸运,遇到一些退票の被抢到三张.这回大家有所准备,吃过晚饭去超市逛了几圈,买了方便面和很多零食在车上吃,正好教婷玉实操收听付款.火车是从海山路过,午夜の火车站人并不多.长长の大门 口冷冷清清,几盏昏黄の灯光洒在路边,白天喧嚣の街头此刻万籁俱寂,连一只老鼠从路边草丛窜出の声音都听得一清二楚.“好安静,你确定是这里？”少君双手提着零食和一些本地特产,瞅了陆羽一眼,一脸の怀疑之色.午夜の灯光,将他照得身材高挑隐约有几分瘦削.婷玉则好奇地仰起脸打 量这个陷入沉睡之中の城市,完全不担心有露宿街头の隐忧,因为习惯了.“骗你干嘛？还有二十分钟,赶紧进去.”陆羽开了收听看看时间,忙催促两人进站别叽叽歪歪の.进入火车站,里边人多了起来,少君终于安心.午夜一点30分,火车轰隆隆地离开海山站.老样子,柏少君坐对面の靠窗位置, 旁边坐着一个很多行李の大叔,这回终于不受外人干扰得以安静休息.少君靠在窗边闭上眼睛听歌,婷玉坐姿端庄闭目养神.而陆羽看着收听信息,心境复杂.晚上八点时,大哥发来一个银行帐号.之所以给他留那一段话,是怕大哥一时气愤将父母移了坟.给他の两次机会绝对出于真心,今日重见 父母慈颜,她不希望兄妹俩の自相残叩害得父母在九泉之下不得安宁.现实与未来の梦境不一样了,不知大哥是接受她の提议,还是为了十万块.按她对大哥の了解,后一种の可能性较大.总之,她答应给の一定给,等回到云岭所在の省城,她会把钱转进他の帐号,希望从这时能互不干扰.日后他若 出尔反尔,该追究の她也会追究到底.一路平安,三人顺利在清早八点五十分回到云岭村所在の省城.吃过早餐,三人精神奕奕地去了银行,婷玉要开卡,陆羽要转帐,只有少君怡然自得地坐在大厅耐心等待.还好她们去得早,取纸叫号很快便到了.轮到陆羽时,收听响了,是个陌生来电.她正在柜台 前办理转帐,没法接,挂了电筒打算等会儿打回去.没想到の是,对方不甘心又打来了,中间隔了不到一分钟,连续两次如此.陆羽有些烦躁地接了电筒,“喂？”“小杏吗？是我,陆倩.”见电筒终于打通,对方欣喜万分.“哦,你找我什么事？”陆羽一边接听一边按柜台指示操作转帐手续.“你真 是の,那天晚上怎么不来？把四叔四婶气得...”“姐,说正事行吗？”一听到那些亲人の事,陆羽の心境马上晴转阴,“我在银行办事,没事我挂了.”“哎别别别,有事有事,你现在住哪儿？给我地址改天去看你.”“说重点.”“哎哎...”陆倩听出陆羽の不耐烦,忙说,“是这样,我儿子の外 语成绩很
浅谈函数三种表示方法的合理运用
浅谈函数三种表示方法的合理运用
表示函数的三种方法：图象法、列表法、解析法。
从直观、精准等方面归纳：
1.解析法的优点: 用函数关系式来表示，形如y=f(x),y=2x+5 或者是关于x和y的方
程例如5x+3y=7函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于研究函数的性质。
2.列表法的优点: 采用表格的形式。
列出相应的x值和对应的y值，列举出来就行，
缺点是有些方程不可能把所有的x都列举出来，所以不能完全表示一个函数。
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.
3.图象法的优点: 一条曲线（直线是特殊的曲线）与函数相一一对应，所以一条曲线
表示一个函数。
能直接形象的表示出函数的变化情况.。
函数的概念及其表示课件
复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数 的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再 将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关 系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示 函数输入输出之间的关系，方便查 找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重 要性质，它与函数的对称性有关 ，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加 或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相 除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过 函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态 保护提供科学依据。
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自 变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表 示函数关系的方法。
细说函数的三种表示方法
1、细说函数的三种表示方法2、一次函数漏（错）解例析3、求函数最值问题请注意取值范围4、画好实际问题中的一次函数图象5、运用一次函数图象解题6、一次函数与不等式（组）结合来解题1、细说函数的三种表示方法本章的学习，我们将遇到函数的三种表示方法，即解析式法、列表法、图象法。
下面与大家细说这三种方法的优缺点：一、解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫解析式法．如：y＝2x＋4，s＝－5t＋600等．例1、有一个水箱，它的容积为500L，水箱内原有水200L，现要将水箱注满，已知每分钟注入水10L．请你写出水箱内水量Q（L）与时间t（分）的函数关系式，并注明取值范围．【分析】本题是求实际问题的函数解析式，要求我们会用函数解析式表示变量之间的关系．解：所列函数关系式为：Q＝200＋10t（0≤t≤30）．解析式法的优点：简单明了，能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算；但有些函数，不一定能用解析式法表示或表示出来非常繁琐。
二、列表法列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法。
优点：直观，即对于表中自变量的每一个值，不通过计算，就可从表中找到与它对应的函数值。
缺点：有局限性，即在表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中也不易看不出变量间的对应规律。
如下表，就是邮局信件的一种邮资表：信件的质量m(克) 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 邮费y（元）0.8 1.2 1.6 2.4从表中可以直观地看出y与m的对应关系。
三、图象法在平面直角坐标系中，以自变量的每一个值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数的方法称为图象法。
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念图形化。
函数在实际生活中的运用
函数在实际生活中的运用数学是一切科学之母"、"数学是思维的体操"，它是一门研究数与形的科学，它不处不在。
要掌握技术，先要学好数学，想攀登科学的高峰，更要学好数学。
数学的三大特点严谨性、抽象性、广泛的应用性所谓数学的严谨性，指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性，一般以公理化体系来体。
函数有着渊远的历史，笛卡儿引入变量后，随之而来的便是函数的概念．他指出y和是变量（“未知量和未定的量”）的时候，也注意到y依赖于而变．这正是函数思想的萌芽．但是他没有使用“函数”这个词。
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。
莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。
对于可到函数可以讨论它的极限和导数。
此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发。
函数相关知识简介1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
注意：判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域4 确定函数定义域的方法5、函数的解析式用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
答：表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法．结合其意义、优点与不足，分别说明如下．
(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式，求自变量x＝a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂．
(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.
(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确．
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象．。
函数的概念及其表示应用
函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法3．函数值域的求法1．对函数概念的理解．(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为②④.(√)(2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(×)2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y＝x ln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)(4)(2014·杭州月考改编)函数f(x)＝11＋x2的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))＝139.(√)(6)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x＋34，x≥0，2x＋1，x＜0若f(a)＝12，则实数a的值为12或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)(8)已知f(x－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2.(×)考点一 求函数的定义域与值域【例1】 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．【训练1】 (1)函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．考点二 分段函数及其应用【例2】 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【训练2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤2 000，2x －2 008，x ＞2 000，则f [f (2 013)]＝( )．A. 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1考点三 求函数的解析式【例3】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式． (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【训练4】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1基础巩固题组一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －12．函数f (x )＝ln xx －1＋x21的定义域为( )．A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＜1，f (x －1)，x ≥1，则f (log 27)＝( )．A.716 B.78 C.74 D.725．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－3二、填空题6．函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x2，则f (x )的解析式为________． 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．能力提升题组一、选择题 1．设f (x )＝lg2＋x 2－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )．A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4) 2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x ，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝－1x ＋2二、填空题3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x 值为________．三、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．【例1】 (1)A (2){y |y ≠1}【训练1】 (1)(0,1] (2)(－∞，2)【例2】1)B (2)－34 【训练2】 D【例3】解 (1) f (x )＝lg2x －1(x ＞1)．(2) f (x )＝x 2－x ＋3.(3)f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． 【训练3】1)2x 2－4x ＋3 (2)－x (x ＋1)2 【训练4】D基础巩固题组CBBCB 6．{x |x ＞2，或x ＜－1} 7．2 8．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)9．解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.能力提升题组1． B 2． D 3． 3 4．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，② 又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.函数的单调性与最值知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．(√) (2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√)2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·汕头模拟)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋kx(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．考点二利用单调性求参数【例2】已知函数f(x)＝ax－1x＋1.(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3} B．(－∞，3) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)(2)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；【训练3】对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝⎩⎨⎧x1，x1≥x2，x2，x1＜x2，若f(x)＝x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________．易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)【训练4】已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1基础巩固题组一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．7．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．能力提升题组一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数2．已知函数f (x )＝|e x＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．[0,1] B ．[－1,0] C ．[－1,1] D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．【例1】 解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－k x 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0，有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－kx 2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－kx 2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 【训练1】解 法一 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1，∴x 1x 2＋1＞0，∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2当a ＞0时，f ′(x )＜0；当a ＜0时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数；当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 【例2】(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0，∴a ＋1<0，即a <－1. 故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1， 而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 【训练2】 (1)C (2)D【例3】解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0.又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax ＞0恒成立，则⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．【训练3】－1 【典例】B 【训练4】C基础巩固题组A D CBC 6． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7． 4 8． [3，＋∞)9．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．10．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，即1a －2＝12，1a －12＝2.解得a ＝25. 能力提升题组1． D 2． C 3．(0,4]4．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).。
函数的三种表示方式
函数的三种表示方式函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在计算机科学中，函数也是一种重要的概念，它可以帮助我们组织和管理程序中的代码。
函数有三种表示方式，分别是数学表示法、图形表示法和程序表示法。
一、数学表示法数学表示法是最基本的函数表示方式，它使用公式来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，y = f(x) 就是一个常见的函数表示方式，其中y 是函数的输出，x 是函数的输入，f(x) 是函数的表达式。
在数学中，我们可以使用各种符号和运算符来表示函数，例如加减乘除、指数、对数、三角函数等等。
二、图形表示法图形表示法是一种直观的函数表示方式，它使用图形来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，我们可以使用坐标系来绘制函数的图像，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，例如函数的单调性、极值、零点等等。
三、程序表示法程序表示法是一种计算机科学中常用的函数表示方式，它使用代码来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，在Python 中，我们可以使用 def 关键字来定义一个函数，例如：```def f(x):return x ** 2```这个函数的输入是x，输出是x 的平方。
通过调用函数，我们可以得到输入对应的输出，例如：```>>> f(2)4>>> f(3)9```程序表示法可以帮助我们组织和管理程序中的代码，使得程序更加模块化和可维护。
同时，程序表示法也可以帮助我们实现各种算法和数据结构，例如排序、搜索、图论等等。
函数有三种表示方式，分别是数学表示法、图形表示法和程序表示法。
每种表示方式都有其独特的优点和适用范围，我们可以根据具体的需求来选择合适的表示方式。
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)
函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。
解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。
2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。
题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。
官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。
为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。
根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。
2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。
设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。
3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。
设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。
根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。
4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。
根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。
5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。
根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。
6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。
根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。
7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。
函数初步知识和基本性质应用
函数初步知识和基本性质应用一、函数的定义与表示方法1.函数的定义：函数是两个非空数集A和B之间的一个对应关系，记作f: A → B，其中A称为定义域，B称为值域。
2.函数的表示方法：（1）解析法：用公式或方程表示函数的关系。
（2）列表法：用表格的形式表示函数的关系。
（3）图象法：用图像的形式表示函数的关系。
二、函数的性质1.单调性：（1）单调递增函数：对于定义域内的任意两个实数x1、x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)。
（2）单调递减函数：对于定义域内的任意两个实数x1、x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)。
2.奇偶性：（1）奇函数：对于定义域内的任意实数x，有f(-x) = -f(x)。
（2）偶函数：对于定义域内的任意实数x，有f(-x) = f(x)。
3.周期性：函数f(x)是周期函数，如果存在一个非零实数T，使得对于定义域内的任意实数x，都有f(x + T) = f(x)。
三、函数的图像1.直线函数：y = kx + b（k为斜率，b为截距）。
2.二次函数：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a ≠ 0）。
3.分段函数：根据不同的条件，函数的表达式可以为不同的形式。
四、函数的应用1.实际问题中的函数解析式：根据实际问题的特点，选择合适的函数模型，求出函数的解析式。
2.函数的图像分析：通过观察函数的图像，了解函数的性质，解决实际问题。
3.函数的性质应用：利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解决实际问题。
五、中考常见题型1.求函数的解析式：根据实际问题的条件，求出函数的表达式。
2.函数性质的应用：利用函数的性质解决实际问题。
3.函数图像的分析：根据函数的图像，判断函数的性质。
以上就是函数初步知识和基本性质应用的详细介绍，希望对你有所帮助。
在学习过程中，要注重理论联系实际，加强函数性质的理解和应用，提高解题能力。
习题及方法：一、求函数的解析式1.习题：小明的身高随年龄增长而增加，假设小明的身高h（单位：cm）与年龄x（单位：岁）之间的关系可以近似地用一条直线表示，已知当x=10时，h=140，求该直线的解析式。
函数的概念及表示法
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间 的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的 传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价 格与市场需求量之间的关 系，以及市场供求关系的 变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成 本与产量之间的关系，以 及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、 链表、树等）的基本操作和性能特点。
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感谢您的观看
描述
表格表示法通常将输入值和输出值按 照一定的顺序排列成表格，以便查看 和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可 能无法完全准确地表达，且需要大量 的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数 图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标 系中绘制曲线或曲面来表示 函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距 离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即 扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对 称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性 质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。
函数的表示法题型及解析
函数的表示法题型及解析1.某种笔记本的单价是5元，买x 本（x ∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数y=f （x ）分析：利用函数的三种表示方法，即可将y 表示成x 的函数解：（1）列表法： （2）图象法 （3）解析法：y=5x ，x ∈{1，2，3，4，5}2.一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元．小红买这种笔记本4本，买圆珠笔3支；小强买这种笔记本3本，买圆珠笔2支，①买这些笔记本和圆珠笔，两人一共花费多少钱？②请结合生活实际选取适当的x ，y 值，计算两人的总花费．分析：①分别求出小红和小强的花费，然后相加；②结合实际，笔记本的单价为3元，圆珠笔的单价为1元，代入求解．解：①小红的花费为：4x+3y ，小强的花费为：3x+2y ，总花费为：4x+3y+3x+2y=7x+5y ；②当x=3，y=1时，原式=7×3+5×1=26（元）．答：两人的总花费为26元．3.市内电话费是这样规定的，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，每次打电话x （0＜x ≤10）分钟应付话费y 元，写出函数解析式并画出函数图象 分析：这是一道分段函数的应用的数学题．由已知中，每打一次电话不超过3分钟付电话费0.18元，超过3分钟而不超过6分钟的付电话费0.36元，依此类推，即可得到0＜x ≤10时，应付话费y 元，进而根据分段函数图象分段法，即可得到答案．解：由题意可知：y=，其图象如图所示：4.已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图，不含端点），求f （f （））分析：由图象可得函数f （x ）=．即可得出解：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．5.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ）A ．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数平方；B ．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f ：A 中的数开方；C ．A=Z ，B=Q ，f ：A 中的数取倒数；D ．A=R ，B=R +，f ：A 中的数取绝对值分析：根据映射的概念，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，观察几个对应，得到B ，C ，D 三个选项都有元素在象的集合中没有对应．解：根据映射的概念，对于集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，对于B选项A集合中的1对应B集合中的两个元素，对于选项C，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故选A6.对应f：A→B是集合A到集合B的映射，若集合A={﹣1，0}，B={1，2}，则这样的映射有多少个？分析：按照映射定义，只需给A中每个元素找唯一的象，看有几种找法，即有几个映射．解：由映射定义知，对A中每个元素，在B中都有唯一确定的元素与之对应，建立A到B的映射，即给A中每个元素找象，先给A中元素﹣1找象，有两种方法；再给A中元素0找象，有两种方法，按照分步乘法原理，得共有2×2=4种方法，即有4个映射．7.对应f：x→2x﹣1是集合A到集合B的映射，若集合B={﹣3，﹣1，3}，求集合A分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x的对应值，即可得到集合A解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得 x=﹣1，0，2，从而得到集合A={﹣1，0，2}，8.已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），求A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素分析：由已知中集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），直接代入计算可得A中元素在B中的对应元素和B中元素（，）在A中的对应元素．解：∵集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射；f：x→（x+1，x2+1），当x=时，x+1=+1，x2+1=3，故A中元素在B中的对应元素为（+1，3），由x+1=，且x2+1=得x=，故B中元素（，）在A中的对应元素为9.若集合A={1，2，3，4，5}且对应关系f：x→y=x（x﹣4）是从A到B的映射，问集合B中至少有几个元素？分析：把A中的5个元素分别代入计算可得．解：由题意把A中的5个元素分别代入计算可得：当x=1时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=2时，y=x（x﹣4）=﹣4；当x=3时，y=x（x﹣4）=﹣3；当x=4时，y=x（x﹣4）=0；当x=5时，y=x（x﹣4）=5；∴集合B中至少有4个元素﹣3，﹣4，0，510.已知2f（﹣x）+f（x）=x，求f（x）．分析：以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x为②式，已知为①式；由①②组成方程组，求出f（x）即可解：∵2f（﹣x）+f（x）=x，①；令以﹣x代替x，得2f（x）+f（﹣x）=﹣x，②；再由①﹣②×2，得：﹣3f （x）=3x；∴f（x）=﹣x11.已知函数f（x）=x2+1，求f（2x+1）解：∵f（x）=x2+1，∴f（2x+1）=（2x+1）2+1=4x2+4x+212.已知f（）=2x，求f（x）分析：本题考察函数解析式求解及方法，可以用如下方法，令=t，求出x=，代入函数的表达式即可解：令=t，∴x=，∴f（t）=2（），∴f（x）=．（x∈R，x≠﹣1）13.已知f（x﹣2）=4x+3，求f（x）解析式．分析：本题为典型的换元法，引入新的变量进行替换原来的变量，从而实现形式的转化，令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数替换x，化简即可解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得f（t）=4（t+2）+3=4t+11则函数f（x）的解析式为f（x）=4x+1114.设函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，求不等式g（f（x））＞22的解集解：∵函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x-5，∴g（f（x））=3[f（x）]-5=3（2x+3）-5=6x+9-5=6x+4，则不等式g（f（x））＞22可化为6x+4＞22．即6x＞18．解得x＞3．∴不等式g（f（x））＞22的解集为（3，+∞）。
人教版小学四年级数学上册教案学习函数的表示和应用
人教版小学四年级数学上册教案学习函数的表示和应用教案：学习函数的表示和应用一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.了解函数的定义和特征；2.掌握函数的表示方法；3.理解函数在实际生活中的应用。
二、教学准备1.教材：人教版小学四年级数学上册；2.教具：黑板、粉笔、教学图片。
三、教学过程【导入】1.教师出示一些实际生活中常见的函数图像，如温度随时间变化的折线图等，让学生观察并思考：这些图像中有什么规律？2.引导学生回忆一下前几节课学过的内容，复习有关图形和数据的知识。
【讲解】1.教师向学生介绍函数的定义：函数是一种特殊的关系，其中每一个输入值都有唯一对应的输出值。
2.教师通过一些具体例子和图片，向学生展示函数的表示方法，包括函数图表、函数图像等。
3.教师引导学生观察函数图像的特点，如增减性、奇偶性等，并解释其含义。
【练习】1.学生根据教师给出的函数图表，完成相应的函数图像绘制。
2.学生通过观察函数图像，判断函数的增减性和奇偶性。
【拓展应用】1.教师引导学生思考函数在实际生活中的应用，如温度随时间变化的函数、距离与时间的关系等。
2.学生自主设计并绘制一幅函数图像，描述自己喜欢的活动或事物的变化过程。
【总结】1.教师带领学生总结本节课学习的内容，包括函数的定义、表示方法和应用。
2.教师提醒学生在实际生活中多观察、思考函数的存在和应用。
四、课后作业1.完成课堂练习的剩余部分；2.设计并绘制一幅函数图像，描述自己喜欢的活动或事物的变化过程；3.找出两种不同的函数图像，分别解释它们的增减性和奇偶性。
五、教学反思本节课通过引导学生观察实际生活中的函数图像，让他们能够理解函数的定义和特征，并掌握函数的表示方法。
同时，通过拓展应用的环节，培养了学生运用函数进行问题解决的能力。
整堂课氛围活跃，学生参与积极，达到了预期的教学效果。
但在评价函数图像的增减性和奇偶性时，部分学生还存在一定的困惑，需要在后续的教学中进行进一步的讲解和巩固。
表示函数的三种方法
表示函数的三种方法
表示函数的三种方法
函数是数学中重要的概念之一，广泛应用在各个领域，描述事物间的映射关系。
在表示函数时，常用三种方法，其中分别是方程式、图像和抽象描述法。
首先，方程式法是表示函数最常见的方法，使用一个或几个未知量的函数，可
以表示一定的关系，从而将概念形象化。
在描述函数关系时，方程式法能够更加准确简洁。
例如通常有y=f(x)，其中，y是函数f(x)的值，x是函数f(x)的自变量，当x为特定值时，函数f(x)取得对应值y。
其次，图像法是表示函数的一种可视化表示方法，直观地描述函数关系。
在描
述图形关系时，图像可以用曲线的形式来描述，并且通常可以很容易地理解函数关系。
最后，抽象描述法也是表示函数的一种常用方法，通过表达函数之间的简单映
射关系，可以简要描述函数关系。
在描述函数空间关系时，抽象描述法可以让事情变得更容易理解。
总而言之，三种方法都可以表示函数，具体使用哪种方法，取决于需求和场景
的不同。
故而，我们可以根据自身的需求来选择最合适的表示方法，从而更好地描述数据之间的关系。
函数的表示法
函数的定义通常包括函数名、输入参数 和返回值。
函数名应具有描述性，以便于理解和记 忆。
函数的性质
1 2
确定性
对于给定的输入值，函数只能有一个唯一的输 出值。
封闭性
函数本身是一个封闭的结构，其行为不受外界 环境的影响。
3
可重复性
函数可以多次执行，每次输入相同的参数将得 到相同的输出。
值域
确定输出值的范围，以便在图像上标ห้องสมุดไป่ตู้每个输出 值的坐标。
函数的极值求解
01
确定函数的单调性
通过导数或函数图像来判断函数的单调性，找出极值点。
02
求导数
利用导数求解函数的一阶导数，再求解导数为零的点，这些点可能是
极值点。
03
判断极值
通过函数单调性和导数零点，确定极值点，并判断极值的正负。
函数的最值求解
理运动等。
指数函数的应用
利用指数函数解决实际问题， 如增长、衰减等问题。
一次函数的应用
利用一次函数解决实际问题， 如线性增长、线性衰减等问题
。
THANKS
语言程序表示法
• 变量和数据类型：定义函数的输入和输出变量以及其数据类型。 • 算法流程：描述实现函数功能的算法流程，包括条件判断、循环等控制结构。 • 函数调用：通过函数名和输入参数来调用函数，并返回计算结果。 • 例如，使用Python语言实现求两个数的和的函数如下 • 变量和数据类型：定义输入参数a和b为整数类型，定义输出变量result为整数类型。 • 算法流程：判断a和b是否为正整数，如果不是则返回错误信息；否则计算a和b的和并将结果赋值给result
函数的类别
函数的表示方法
姓名 班级 笔记就是书写解题思路和方法1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法编写者 审核【导学目标】1、掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.【教学重点】准确画出函数图象是学习函数的必备基本功． 【教学难点】解析法表示函数是本课时常考内容. 【基础梳理】1．解析法：用 表示两个变量之间的关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．2．图象法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数值y 为 ，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y ＝f (x )的图象，这种用 表示两个变量之间 关系的方法叫做图象法． 3．列表法：列一个两行多列的表格，第一行是 取的值，第二行是对应的 ，这种用表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法．【预习检测】1．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (x ＋1)所表示的是 ( ) A ．同一函数 B ．定义域相同的两个函数 C ．值域相同的两个函数 D ．图象相同的两个函数 2．可作为函数y ＝f (x )的图象的是 ( )3．函数y ＝|x |－2的图象是( )4．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (2)＝________.【典例探讨】类型一 解析法及应用【例1】 (1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋21x，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．类型二 列表法及应用【例2】 某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示：则零售量是否为月份的函数？为什么？类型三 图象法及应用【例3】 作出下列函数的图象：(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x x 22- (x ∈[0,3))． 【我的小结】1．解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质，但是，一些实际问题很难找到它的解析式；图象法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等；列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．【课后作业】(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，求f (x )． (2)已知f (x ＋1)＝12-+x x ，求f (2)和f (x )．（3）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 ( )。
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下列函数中，自变量的取值范围为x≥2的是( A. y = 2 - x B. y =
1 2- x
D
).
C. y = 4 - x2 D. y = x +2 · x - 2
解 要使函数有意义，则 y = 2- x 中应有2-x≥0，即x≤2； 1 x - 2 中应有x-2>0，即x>2；
2 中应有 4 x ≥0,即-2≤x≤2； 2- x x +2 · x - 2 中应有x+2≥0且x-2≥0,即x≥2.
说一说
观察图2-1，你能不能看出这一天中哪一段时 间里气温在下降，哪一段时间里气温在上升？
从夜里 0 点到凌晨 4点，气 从下午 从凌晨 2 4点到下午 点到夜里 2 12 点，气 点，气 下降 温在 ； 上升 下降 温在 温在 ； .
图2-1
练习
1. 一个正方形的顶点分别标上号码1，2，3，4，如图 2-4所示，直线l经过第2、4号顶点.作关于直线l的轴 反射，这个正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？ 填在下表中：
2
故，应选择D.
中考 试题
例3
1 有意义，那么，直角坐标系中点 如果代数式 -m + mn P(m，n)的位置在( ). C
A.第一象限
解
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
由-m≥0 且 mn>0， 可知 m<0，n<0. 因此，P(m，n)的位置在第三象限.
故，应选择 C .
结
束
3. 汽车在一段公路上以50km/h的速度行驶，用公 式法表示汽车行驶的路程s(km)与行驶时间t(h) 的函数关系；当t=2，t=3.5时，函数值分别是多 少？
答： s=50 t； 当 t=2 时， s=100 km； 当 t=3.5 时，s=175 km.
4. 已知正方形的边长为3，若边长增加x则面积增 加y，求y随x变化的函数解析式，并以表格形式 表示当x等于1，2，3，4时y的值.
例题解答
• 例、求下列函数中自变量的取值范围：
• （1）y = 2x+1 • （2） • （3）
x y= x+1 y= x -1 + 2- x
(3) 你能用图象法表示这个函数关系吗？
n y 1 2 3 4 5 6 7 8 …
3
4
5
67ຫໍສະໝຸດ 8910 …
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
小提示
图2-3描出的点是y=n+2的图象的一部分，不 难看出，y=n+2的图象是在一条直线上等距离地 排列着的一串点，它的自变量的取值范围是正整 数集. y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
图2-3
例：某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障， 修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图反映 了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：
答： y= x2+6x .
x y 1 2 3 4
7
16
27
40
中考 试题
例1
函数 y = x +1 中自变量x的取值范围是 x-3
解
x≥1 且 x≠3
.
x + 1 ≥0 , x +1 要使函数 y = 有意义，必需 x-3 x - 3 ≠0 .
∴ x≥1 且 x≠3 .
中考 试题
x y
1
3
2
2
3
1
4
4
这个表给出了y是x的函数.画出它的图象，它 的图象由几个点组成？ x 1 2 3 4
y
答：图象由4个点组成.
3
y 4 3
2
1
4
2
1 O 1 2 3 4 x
2. 用公式法与图象法表示等边三角形的周长l与边 长a的函数关系.
答：公式法表示：l = 3a ； 图象法表示：
l 4 3 2 1 O 1 2 3 4 a
边长 1
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
6 8
7 9
8
…
10 …
n个
周长 y
• （2）你能用公式法（解析法）表示这个函数吗？ • y = n+2 • 问题：拼成第21个图形，周长是多少？ • 当 n = 21时，y = 21+2 = 23 • 故拼成第21个图形，周长为23.
探索新知
• 思考：函数y = n+2中 n 可以取任意实数吗？ • 因为 n 是图形的序号，所以只能为正整数 . • 故，此函数应表示为： • y = n+2（n为正整数） • 注意：用解析法表示函数时，一般要加上自变量 的取值范围. • 一般地，对自变量的取值范围的确定，主要从两 个方面去考虑： • 1、自变量的取值要使函数解析式有意义； • 2、自变量的取值要使实际问题有意义.
探究
用边长为1的等边三角形拼成图形，如图2-2 所示，用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中 等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n 的函数.
边长 1 周长 y
图2-2
n个
边长 1
n个
周长 y
(1) 填写下表：
n y 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 … …
n y
（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
答：从横坐标看出，自行车发生故的时间是7：05，从纵坐标看 出，此时离家1000m。
例：某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障， 修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图反映 了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间 到学校？
答：从横坐标看出，小时修车花了15min;小明修好车后又花了10min 到达学校
例：某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障， 修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图反映 了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
答：从纵坐标看出，小明家离学校2100m；从横坐标看出，他在路上 共花了30min，因此，他从家到学校的平均速度是： 2100÷30=70(m/min)