高等代数 第6章线性空间 6.4 线性空间的子空间
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a b 0 ( 2 ) W 2 a b c 0, a , b , c R . 0 0 c
23
解 (1)不构成子空间. 因为对 1 0 0 A B W1 0 0 0 2 0 0 有 A B W1 , 0 0 0
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 , B W2 A 0 0 c1 0 0 c2 有
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
Biblioteka Baidu
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
一、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间，L 是 V 的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭．
例8
R 的下列子集是否构成子 空间?为什么? 1 b 0 (1) W1 b, c , d R ; 0 c d
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解 (1)不构成子空间. 因为对 1 0 0 A B W1 0 0 0 2 0 0 有 A B W1 , 0 0 0
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 , B W2 A 0 0 c1 0 0 c2 有
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
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ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
一、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间，L 是 V 的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭．
例8
R 的下列子集是否构成子 空间?为什么? 1 b 0 (1) W1 b, c , d R ; 0 c d