高等代数 第6章线性空间 6.4 线性空间的子空间
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.5
,
n1 (1,0, ,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1, x2 , , xn ), ( y1, y2 , , yn ) 则 ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
例6 设V为数域P上的线性空间，1,2 , ,r V
令W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 , ,r 的一切线性
组合所成集合.
2023/9/3§6.5 线性子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2, ,r V，
无关组，则
L(1,2 , ,s ) L(i1 ,i2 , ,ir )
3、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则 L(1, 2 , , s )的维数＝秩(A).
2023/9/3§6.5 线性子空间
既然 1,2 , ,m 还不是V的一组基，它又是线
性无关的，那么在V中必定有一个向量
不能被
m1
1,2, ,m 线性表出，把它添加进去，则
1,2 , ,m ,m1 必定是线性无关的．
由定理3，子空间 L(1,2 , ,m1 ) 是m＋1维的．
因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，
由归纳假设，L(1,2 , ,m1 )的基1,2 , ,m ,m1
线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
高等代数北大版线性空间
引 入 我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ，令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应，就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设 ：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积 是 V到V 旳1－1相应. 任取 ， V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
,?
n
)
? ? ??
bbMn2 ????
?
? a1 ? ? b1 ?
? ? ??
aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
? b1 ?
? a1 ? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaMn2 ????
?
(?
1
,?
2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
高等代数考研复习[线性空间]
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1.2 常用线性空间
n P (1)n维向量空间： {(a1, a2,
, an ) | ai , P}
Pn 空间的基 1, 2 , , n 其中 i (0
n dim P n. 空间维数 P
1
i
0)
n
nm P (2)矩阵空间： Anm | A (aij ), aij P.
3 1 1 3 3 0 1 1 F1 , F2 , F3 , F4 . 1 1 1 1 2 1 0 2
(1)求由 F1, F2 , F3 , F4到 E11, E12 , E21, E22 的过渡矩阵.
1 线性空间概念、基维数与坐标
1.1
线性空间的定义： 设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元 素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且 两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上 的线性空间. 简单地说：带有线性运算的集合，同时运算 满足8条性质的集合称为线性空间. 线性空间中的元素称为向量，线性空间也称 为向量空间.
y1 y 2 A . yn
(1 , 2 ,
y1 y , n ) 2 , yn
那么，
x1 x 2 xn
题型分析：1)确定空间的基与维数
nn V { A | A A , A P }, 求V的基与维数. 例1 设
过渡矩阵都是可逆的！并且由 1, 2 , , n 到
1 坐标变换：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是
n维空间V的基，对V中任一向量，有
x1 x , n ) 2 ( 1 , 2 , xn
高等代数知识点总结大一
高等代数知识点总结大一高等代数知识点总结在大一学习高等代数时，我们会接触到一系列的知识点，它们是我们理解和掌握高等代数的基础。
本文将对这些知识点进行总结，并给出一些例子来帮助读者更好地理解。
1. 向量和矩阵高等代数的基础是向量和矩阵。
向量是具有大小和方向的量，用于表示物理量或数学对象。
它可以进行加法、标量乘法和内积等运算。
矩阵是由一组排列成矩阵形式的数所构成的矩形阵列，可以进行加法、标量乘法和矩阵乘法等运算。
2. 行列式行列式是一个方块矩阵的标量值，用于确定矩阵的某些性质。
行列式可以用来解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等。
3. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合，其未知数以线性的方式出现。
解线性方程组意味着找到满足所有方程的解。
可以使用矩阵和行列式的方法来解线性方程组。
4. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中非常重要的概念。
特征值表示矩阵的重要特性，特征向量是对应于特征值的向量。
5. 基变换和相似矩阵基变换是指改变向量的基准从而表示同一个向量的不同坐标。
相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一个基变换相互转化。
6. 线性空间和子空间线性空间是指满足线性运算法则的向量空间。
子空间是指线性空间中的一个子集，它同样满足线性运算法则。
7. 线性变换线性变换是指保持向量空间运算法则不变的变换。
线性变换是高等代数中的核心概念之一，它可以用矩阵表示。
8. 内积空间和正交性内积空间是指在向量空间中定义了一种内积运算的空间。
正交性是指两个向量的内积为零，表示它们之间的垂直关系。
9. 特征向量空间和对角化特征向量空间是指由一个矩阵的所有特征向量生成的向量空间。
对角化是指将一个矩阵相似化成一个对角矩阵的过程，可以简化计算。
10. 线性相关性和线性无关性线性相关性是指向量之间存在线性关系的情况。
线性无关性是指向量之间不存在非平凡的线性关系。
以上是大一学习高等代数中的一些重要知识点的总结。
第六章线性空间与线性变换
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
高等代数第6章线性空间
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
第六章_线性空间
第六章 线 性 空 间例6.1 设线性空间V 的两组基分别为12,,,n ααα；12,,,n βββ.(1) 证明：任给{}1,2,,i n ∈，则存在{}1,2,,i j n ∈使111,,,,,,i i j i n ββαββ-+为V 的一组基.(2) 若3n =，对于任意{}1,2,3i ∈，是否存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使,,i j k βαα为V 的一组基？说明理由.解 (1) 令()111,,,,,i i i n V L ββββ-+=，则dim 1i V n =-，因此12,,,n ααα中必存在向量不在i V 中，所以存在{}1,2,,i j n ∈使i j i V α∉，则111,,,,,,i i j i n ββαββ-+线性无关，构成V 的一组基.(2) 对于任意{}1,2,3i ∈，则存在{},1,2,3,j k j k ∈≠，使得,,i j k βαα为V 的一组基. 我们采用反证的方法说明：对于i β，假设123,,ααα中每两个向量与i β合并均不构成V 的一组基，则()12,i L βαα∈，()13,i L βαα∈，()23,i L βαα∈，那么()()(){}121323,,,0i L L L βαααααα∈=，所以0i β=，矛盾.例6.2 设V 是n 维线性空间，12,,W W W 均为V 的子空间，并且21W W ⊂，12W W W W =，21W W W W +=+.证明：21W W =.证 由题目假设，则必有21dim()dim()W W W W =,)dim()dim(12W W W W +=+；那么11dim()dim()W W W W ++22dim()dim()W W W W =++.由维数公式，则12dim()dim()dim()dim()W W W W +=+，因此)dim()dim(21W W =. 但21W W ⊂，则1W 的基也必然构成2W 的基，所以21W W =.例6.3 （s 个子空间的维数公式）设V 为线性空间，且12,,,s V V V 均是V 的有限维子空间. 证明：()11121dim dim dim ()s s si i i ik i i i k V V V V -====⎛⎫⎛⎫=-I ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑证 由维数公式，则有211212dim()dim()dim()dim()V V V V V V =+-+，()312312123dim ()dim()dim()dim()V V V V V V V V V +=++-++，22111111dim dim()dim dim s s s s k s k k k k k V V V V V -----===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 11111dim dim()dim dim s s s sk s k k k k k V V V V V --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 将上述各式左右两边分别相加，即得()12111dim dim dim si s s i k i i i k i i V V V V -====⎛⎫⎛⎫⋂=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 所以)(I 式成立.例6.4 设12,,,s V V V 为线性空间V 的有限维子空间，证明：下述结论等价：1）{}111()0,1,2,,ii i s V V V V V i s -++++++=∀=；2）1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.证 1)2)⇒ 对s 作归纳. 2s =时，由维数公式得到121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-12dim dim V V =+.假设1s -时成立(3)s ≥. 下证s 时也成立.12dim()s V V V +++[]121121dim dim()dim ()s s s s V V V V V V V V --=++++-+++121dim dim(),s s V V V V -=++++而当1,2,,1i s =-时，均有1111()i i i s V V V V V -+-+++++111(){0}i i i s V V V V V -+⊆+++++=；那么由归纳假设，则可以得到1212dim()dim dim dim s s V V V V V V +++=+++.2)1)⇒当1,2,,1i s =-时，均有[]111dim ()ii i s V V V V V -++++++1111dim()dim()dim 0si i i s i i V V V V V V -+==++++++-≤∑所以111(){0}ii i s V V V V V -++++++=.例6.5 设V 为n 维线性空间，1V 为其非平凡子空间. 证明：存在不只一个V 的子空间W ，使W V V ⊕=1.证 设s ααα,,,21 为1V 的一组基)(n s <，由基扩充定理，则可将其扩充为V 的一组基s ααα,,,21 n s s ααα,,,,21 ++. 令1W ),,(1n s L αα +=，由于1V ),,(1s L αα =，那么11W V V ⊕=.由于1V ,1W 均为V 的非平凡子空间，则存在V ∈1β，使得11V ∉β，11W ∉β，那么121,,,,βαααs 线性无关（否则1β可由s ααα,,,21 线性表出，矛盾），将此组扩充成V的一组基s ααα,,,21 s n -βββ,,,,21 ，取2W ),,,(21s n L -=βββ ，则21W V V ⊕=，由于11W ∉β,21W ∈β，所以有21W W ≠.提示 仍利用基扩充定理,则121(,,,)(,,)s s n V L L ααααα+=⊕.易知向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++与向量组121,,,,,,s s n ααααα+等价，则向量组12111,,,,,,s s n ααααααα+++也线性无关，所以也有12111(,,,)(,,)s s n V L L ααααααα+=⊕++.但是111(,,)s s n L αααα+++∉.问题 设V 为n 维线性空间，1V 是V 的非零子空间，若存在唯一的子空间2V ，使得21V V V ⊕=，证明：V V =1.补1 1)证明:在[]n P x 中，多项式)())(()(111n i i i a x a x a x a x f ----=+- ,n i ,,2,1 =是一组基,其中n a a a ,,,21 是互不相同的数;2)在1)中, 取n a a a ,,,21 是全体n 次单位根, 求由基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵.证 1)记)())(()(21n a x a x a x x F ---= ,则)()()(x f a x x F f i i i =-=.n x P x g ][)(∈∀,设0111)(b x b x b x g n n +++=-- ,记i i d a g =)(),2,1(n i =,则)()(')(')()()(11x f a F d a F a x x F d x g i iini i i i ni ∑∑===-=.设0)()()(2211=++x f k x f k x f k n n ,1a x =令代入,则0)()(112===a f a f n ,因此0)(111=a f k ,但0)(11≠a f ,则01=k ,同理02===n k k ,所以多项式组n f f f ,,,21 线性无关,则构成一组基.2)当n a a a ,,,121 =为全体n 次单位根时,1)(-=nx x F 则,由综合除法,则121111--++++=--=n n n x x x a x x f1221222221n n n n n x f a a x a x x x a -----==++++-12211----++++=--=n n n n n n n nn n x x a x a a a x x f则基1,,,1-n x x 到基n f f f ,,,21 的的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1111112222112 n n n n n nn a a a a a a . 说明 1)也可根据dim []n P x n =,且n f f f ,,,21 线性无关来证. 补2 设n ααα,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，A 是一s n ⨯矩阵，且()()1212,,,,,,s n A βββααα=.证明：()12dim ,,,()s L R A βββ=证1 设()12,,,s A A A A =，即A 由s 个n 维列向量构成，记r A R =)(，不妨设部分组12,,,r A A A 为组12,,,s A A A 的一极大无关组，那么()()()11111,,,,,,,,,,n r n r s n s A A A βααβααβαα===.设011=++r r k k ββ ，即()()1111,,,,0n r n r k A k A αααα++=，则有()()111,,0n r r k A k A αα++=，但n ααα,,,21 为V 的一组基，则011=++r r A k A k ，因此01===r k k ，所以r βββ,,,21 线性无关.当1,,j r s =+时，可设1rj i i i A c A ==∑，那么()()()111111,,,,,,r rrj n j n i i i n i i i i i i A c A c A c βααααααβ=====∑=∑=∑，说明部分组r βββ,,,21 是s βββ,,,21 的一个极大线性无关组，因此r βββ,,,21 为生成空间()12,,,s L βββ一组基，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证2 设r A R =)(，则存在n 阶可逆矩阵P 和s 阶可逆矩阵Q 使000r E A P Q ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，那么()()12120,,,,,,()00rs n E P Q βββααα⎛⎫=⋅⋅I⎪⎝⎭令()()1212,,,,,,n n P δδδααα=，由于矩阵P 可逆，则12,,,n δδδ也是V 的一组基.由()I ，则()()()121210,,,,,,,,,0,,000rs n r E Q Q βββδδδδδ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，因此向量组12,,,s βββ与1,,r δδ等价，从而r βββ,,,21 的秩为r ，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.证3 任给V β∈，则可设1122n n x x x βααα=+++，记()12,,,n X x x x '=，则有()12,,,n X βααα=，建立映射:,()n V P X ϕϕβ→=，则ϕ是V 到nP 的同构映射. 记()12,,,s A A A A =，由题设，则(),1,2,,i i A i s ϕβ==，由于同构映射保持对应向量组的线性相关性，因此()()1212,,,,,,s s R R A A A βββ=，所以()12dim ,,,()s L R A βββ=.补3 设),,,(21n x x x f 为一实二次型,秩n f =)(,符号差s f =)(,记()1||2t n s =-.证明：存在nR 的一个t 维子空间1V ，使0)~,,~,~(,)~,,~,~(21121=∈∀n n x x x f V x x x .证 对于实二次型),,,(21n x x x f ，存在非退化线性替换CY X =，其中C 为实可逆矩阵，使得),,,(21n x x x f 222222111(1)(1)t t nt s t s y y y y y y δδ++++=+++-++----. 其中1δ=或1-.令t i Y i n i i ,,2,1,1 =+=+-εε,其中()0,,0,1,0,,0i ε'=（第i 分量为1的单位列向量），则t Y Y Y ,,,21 线性无关，令t i CY X i i ,,2,1, ==，那么组t X X X ,,,21 也线性无关. 取()112,,,t V L X X X '''=(行向量组所生成)，则t V =1dim .1V α∀∈，设1122t t k X k X k X α'=+++，则()1122t t C k Y k Y k Y α'=+++，但是()11221221,,,,0,,0,,,,t t t t k Y k Y k Y k k k k k k '+++=，所以有2222221221()0t t f k k k k k k α=+++----=.补4 设21,V V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：存在V ∈α使1V α∉，2V α∉同时成立.证 由于1V 为V 的非平凡子空间，则存在1V ∉α，若2V ∉α，则结论成立，可设2V ∈α；同理存在2V ∉β，且1V ∈β，那么必有21,V V ∉+∉+βαβα.其实,若1V ∈+βα,则1)()(V ∈-++ββα,即1V ∈α,矛盾;另一关系也同理可得.补5 设s V V V ,,,21 是线性空间V 的s 个非平凡子空间. 证明：V 中至少有一向量不属于s V V V ,,,21 中任何一个.证 对s 作归纳.1=s 时,结论显然成立.假定k s =时成立.下证1+=k s 时也成立.设1+k 个非平凡子空间为121,,,,+k k V V V V ,对于k V V V ,,,21 ,由归纳假设,则存在V ∈α使得α不属于k V V V ,,,21 中任何一个.若1+∉k V α,则结论成立.下设1+∈k V α,由于1+k V 为V 的非平凡子空间，则存在1,+∉∈k V V ββ,考虑如下1+k 个向量:)()1(,,,2,I +++++ βαβαβαβαk k .若有某两个向量属于同一个i V )1(k i ≤≤,则必有m V m i (∈α为自然数),那么)1(k i V i ≤≤∈α,矛盾.所以)(I 中必有一个向量不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.设向量βα+l 不属于k V V V ,,,21 中的任何一个.若1+∈+k V l βα, 则有1)(+∈-+=k V l l αβαβ,此与β的取法矛盾.所以121,,,,+∉+k k V V V V l βα.得证. 问题1 设12,,,s W W W 是向量空间n P 的s 个线性子空间，12s W W W W =. 证明：W 为nP 的线性子空间的充分必要条件是，存在(1)i i s ≤≤，使i W W =.证 充分性显然. 下证必要性. 对s 作归纳. 当1=s 时，结论显然成立. 假定1s -时成立，考察12s W W W W =. 如果s W W ≠，则存在\s W W β∈. 任给s W α∈，则必有\s k W W αβ+∈. 当1,2,,k s =时，s 个向量中必有两个向量属于同一个i W (11)i s ≤≤-. 此两个向量相减后可得i W α∈，因此11s s W W W -⊂，于是11s W W W -=. 利用归纳假设，则可得一个,11i i s ≤≤-使得i W W =. 结论成立.问题2 设dim V n =，证明：任给正整数m n ≥，V 中必有m 个向量12,,,m ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基.证 我们对正整数m 作归纳，当m n =时，结论显然成立. 假设()m k k n =≥时结论成立，即V 中存在向量组12,,,k ααα使得其中任意n 个向量均构成V 的一组基，则其中任意1n -个向量均线性无关，令其中每1n -个向量生成子空间记为()11,2,,n i k V i C -=，并记1n k C t -=. 由于子空间12,,,t V V V 均非平凡，由补充题5知，必存在()11,1,2,,k k i V V i t αα++∈∉=，那么121,,,,k k αααα+中每n 个向量均线性无关，可构成V 的一组基. 这说明1m k =+时结论也成立.。
高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间
第六章 线性空间第一节 映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节 线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节 基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节 基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0． 因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节 线性子空间1. (1),(2)是nF 的 子空间，(3)不是nF 的 子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节 子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性 假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性 由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节 线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解 设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证 对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证 设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证 任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证 例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证 必要性 显然； 充分性 设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
第六章 线性空间
第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。
两种运算要封闭，八条公理要齐备。
V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。
V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。
满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。
常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。
（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。
（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。
[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。
（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。
当n m =时，记为()F M n m ⨯。
（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。
⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。
⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。
⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。
记为V dim 。
⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。
()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。
记为(n a a a ,,21 )。
⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。
高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。
又因,M N M ⊂ 故M N M =。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N ⊂所以MN N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。
反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。
若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。
在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数 讲义 第六章
3
2、映射的乘积
设映射σ : M → M ', τ : M ' → M ''，乘积 τ o σ
定义为：τ o σ(a)＝τ(σ(a)) ∀a ∈ M 即相继施行σ和τ的结果，τ o σ 是 M 到 M" 的一个
映射．
注：①对于任意映射σ : M → M '，有 IM′ oσ = σ o IM = σ
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, ∀n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z
（不是） （是）
§6.1 集合 映射
3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
§6.1 集合 映射
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应 的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A 的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集． M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,∀n∈ Z
力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组 解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定 义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向 量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完
满地阐明了线性方程组的解的理论．
引
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
言 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数
量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，
高等代数--第六章 线性空间
f3(x) x
是否线性相关
f4(x) 5
以上定义是大家过去已经熟悉的，不仅
如此，在第三章中，从这些定义出发对n元
数组所作的那些论证也完全可以搬到数域F
上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论。
1.单个向量 是线性相关的充分必要条件
是 。两个以上的向量
线性相
关的 充0分必要条件是其中有1一,个2 ,向,量r 是其余 向量的线性组合。
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
1
,
2
,,
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
,
线性相关，那么
可以被
, ,, 线性表出，而且表法是唯一的。
12
r
对于n元数组所成的向量空间，有n个线性无 关的向量，而任意n+1个向量都是线性相关 的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个 线性无关的向量，显然是线性空间的一个重 要属性。我们引入
我们来证01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02
于是 01=01 +02=02。 这就证明了零元素的唯一性。
2.负元素是唯一的。
这就是说，适合条件 0的元素 是被元素 唯一决定的。 假设 有两个负元素 与 ， 0, 0. 那么 0 ( ) ( ) 0 .
定义3 设 1,2 ,,r
(1)
1
,