2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程

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人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)

直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上

选修2-1课件2.1.1曲线与方程

R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2

x a y b r 2 .这就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2

r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径的圆上圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.

2014年人教A版选修2-1课件第二章小结(圆锥曲线与方程)

4. 当 a 从 0º到 180º变化时, 曲线 x2 y2cosa 1 表示的曲线的形状怎样变化? 2 y 1. 解: 原方程变为 x 2 1 cosa (1) 当a0º 时, 方程为 x2y21, 曲线是个圆. 1 1, (2) 当 0º <a<90º 时, cosa 曲线是焦点在 y 轴上的椭圆. (3) 当 a90º 时, 方程为 x±1, 曲线是两条直线. 1 0, 曲线是焦点在 (4) 当 90º <a<180º 时, cosa x 轴上的双曲线. (5) 当 a180º 时, 方程为 x2-y21, 曲线是等轴双曲线. (看下面的动感变化图)
y l
p
oF
·
x
四、三种圆锥曲线的光学性质
椭圆: 光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.
四、三种圆锥曲线的光学性质
双曲线: 光源从双曲线的一个焦点发出, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 好象是从另一个焦点发出的光线.
四、三种圆锥曲线的光学性质抛物线: 光源从抛物线的焦点发出, 经过抛物线反射后, 形成一束平行光线.
2384
y
439
o F F1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
2. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆. 设地球半径为 R, 卫星近地点, 远地点离地面的距离分别为 r1, r2, 求卫星轨道的离心率. y 解: 以椭圆的长轴所在直 r1 线为 x 轴, 短轴所在直线为 y 轴, 建立直角坐标系, r2 R 2a r22Rr1, x F1 o F2 c a-R-r1 1 (r2 2R r1 ) - R - r1 a 2 1 (r2 - r1 ), 2 1 (r - r ) 2 1 r2 - r1 c 2 . e a 1 (r 2 R r ) 2R r2 r1 1 2 2

高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)

证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解，即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习第37页练习第1、2题课堂作业第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:

人教A版高中数学选修2-1课件：第二章2-1-2-1-1曲线与方程

C．曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线 D．不是方程 f(x，y)＝0 的解，一定不是曲线 C 上的点解析：因为题设命题只说明“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解”，并未指出“以方程 f(x，y) ＝0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点”，
所以 A，B，C 都是假命题，如曲线 C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程 f(x，y)＝x2－y2 ＝0，满足题设条件，但却不满足选项 A，B，C 的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D 是正确的．答案：D
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
温馨提示 1．定义中的关系(1)说明曲线上所有点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是曲线的“纯粹性”． 2．定义中的关系(2)说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是曲线的“完备性”．
类型 2 由方程判断曲线(迁移探究) [典例 2] 方程 x2＋y2＝1(xy＜0)的以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而约束条件 xy＜0 则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．答案：C
[迁移探究 1] (变换条件)方程 y＝ 1－x2的曲线是什么图形？解：方程可化为 x2＋y2＝1(y≥0)，故原方程表示以原点为圆心，1 为半径的圆的上半部分，且包括端点．如图所示．
1 1 B.5，5
D．(4，4)
解析：利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断．点(4，4)的坐标满足方程．答案：D
3． “点 M 在曲线 y2＝4x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y＝－2 x”的( )

人教A版高中数学选修曲线与方程课件

练习2:x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
新课导入
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与圆锥轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线．那么它们的方程又该如何表示呢？下面进一步研究一般曲线(包括直线)和方程的关系．
新课感知
1．初中所学的圆是如何定义的？ 2．求过点(1,0)和(0,1)的直线方程，并判断点(－1,2)是否在直线上？ 3. 直线（圆）的方程与方程的直线（圆）又有什么关系？
x
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
解:(1)不正确，不具备完备性.
(2)不正确, 不具备纯粹性.
(3)正确.
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程课件
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常y 数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)

例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应
集合的观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5，是否在圆上 2）并判断 2 变式训练：变式训练：写出下列半圆的方程

人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

高中数学选修2-1人教A版：.1抛物线及其标准方程ppt课件

2 ． ———————————— y M
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的方程为： yx1 yy2x4x1x26x10

人教A版高中数学选修2-1课件2.1.2求曲线的方程(1)

√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
M
0Ax
11
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x2 y2 1.
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数 ( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y M
N
0
Q
x
12
例3、求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R) 的顶
点的轨迹方程。
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
复习引入:
y
f(x,y)=0
曲线的认识：
0
x
曲线可看作是满足某种条件的点的集合或轨迹.

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.1双曲线及其标准方程》课件

__________________
(0,-c),(0,c) _____________
a2+b2 2 c =_____
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) )
2 2 x y (2)在双曲线标准方程 2 2 1 中，a＞0，b＞0且a≠b.( a b
【变式训练】(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为
(- 2 ,0),( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为
.
【解题指南】利用双曲线的几何性质求出a,b,c,进而求出C
的方程.
【解析】由焦点坐标可得c= 2 且焦点在x轴上,由顶点坐标
(1,0)知a=1,
所以b2=c2-a2=2-1=1,
2.对双曲线标准方程的三点说明 (1)标准方程中两个参数a和b,是双曲线的定形条件,确定了其值,方程也即确定.并且有b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标
准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为
正,则焦点在y轴上.
(3)双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(m·n<0).
【知识拓展】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较
椭圆双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
a2-c2=b2
x 2 y2 2 1 2 a b y2 x 2 2 1 2 a b
|MF1|-|MF2|=〒2a
c2-a2=b2
因为a=4,c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9.
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 1. 16 9 2 2 x y ②若所求的双曲线标准方程为 2 2 1 (a＞0,b＞0), a b 2 2 x y 则将a=4代入得 2 1. 16 b

高中数学选修2-1第2章2-1曲线与方程课件

数学选修2-1
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)
的点的轨迹方程是xy=±k .
证明：（1）设 M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x0 ，
所以 x0 • y0 k ,
即( x0, y0 )是方程 xy k的解 .
数学
选修2-1
例2 方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 (
C
)
数学选修2-1
解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
故选C.
数学选修2-1
【变式练习】
方程x2＋xy＝x表示的曲线是( C )
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
数学选修2-1
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
数学选修2-1
数学
选修问2-1题1：解析几何与坐标法.
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 问题2：平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
点都是曲线上的点。
(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)

人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2

新课标人教A版选修2-1同课异构课件：2.1 曲线与方程

到角的两边距离相等.
思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？
x0＝y0
第三页，编辑于星期日：十三点八分。
思考3:x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x
－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？
y
Ox C
思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那
第十九页，编辑于星期日：十三点八分。
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 P={M||MA|=|MB|}
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 ∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
第十四页，编辑于星期日：十三点八分。
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象
y M
限的直线.Oຫໍສະໝຸດ C思考1:曲线C上的点有什么几何特征？
第十五页，编辑于星期日：十三点八分。
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程
第十六页，编辑于星期日：十三点八分。
曲线（包括直线）与其所对应的方程 f (x, y) 0 之间有哪些关系?
y C x－y＝0(x≥0)
O
x
第九页，编辑于星期日：十三点八分。
思考2:在直角坐标系中，若曲线C表示以点
（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x
－1)2＋(y－2)2＝9叫做曲线C的方程，同时曲线C叫做该方程的曲线，那么，方程
(x－1)2＋(y－2)2＝9（x≤0）的曲线是什

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.1.2曲线与方程》课件

∴(2x－3)2＋4y2＝1
10分
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12分
【题后反思】代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，
y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动
点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程．
题型二定义法求曲线方程
【例2】已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． [思路探索] 利用圆心与弦中点的连线垂直于弦，可知弦中点的轨迹是圆．解如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为其中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0. ∵∠OPC＝90°， ∴动点 P 在以点 M12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0<x≤1)．
2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对_(_x_，__y_)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝ {_M__|p_(_M__)}_； (3)用_坐__标__表示条件p(M)，列出方程__f_(x_，__y_)_＝__0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？提示可以．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．
【变式1】设两定点A，B距离为8，求到A，B两点距离的平方和是5点建立直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(8，0)．设曲线上的动点 P(x，y)．

人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时曲线与方程

议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.

高中数学人教A版选修21PPT课件：2.曲线与方程

探究3.曲线C上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
O
C
x
高中数学人教A版选修21PPT课件：2. 曲线与方程
知识探究高中数学人教A版选修21PPT课件：2.曲线与方程
探设究曲1线.曲C表线示C上直的角点坐的标坐系标中都以是点方（程a，b）为圆心，ry为半径的C圆.
知识探究
探以究方3程.|曲x线 |＝C上 |y的|的点解的为坐坐标标都的是点方都程在|x曲|线＝|Cy上|吗的？解吗？y
探究4.曲线C上的点的坐标都是方程
Ox C
的解吗？以方程
的解为坐标的点都在曲线C上吗？
思考？你能得到什么结论？
(1)曲线C上点的坐标都是方程x-y=0的解.
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在曲线C上.
高中数学人教A版选修21PPT课件：2. 曲线与方程
例题分析
例1 证明：与两条坐标轴的距离的积为常数k(k＞0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
证明(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距
离为|y0|，与y轴的距离为|x0| ，所以|x0||y0|=k
即(x0,y0)是方程的解.
复习引入直线与圆的方程的一般形式分别是直线0. （D2＋E2－4F＞0）
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
知识探究
设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.
探究1.如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，点M的坐标是方程x－y＝0的解吗？
（2）设M1的坐标(x1,y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即 |x1||y1|=k. 而|x1|,|y1|正是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。

人教版高二数学选修21第二章第一节曲线与方程个课件教学课件 (共15张PPT)

注重总结，C层多整理，记忆。
合作探究2：
下列方程的曲线分别是什么？(作图)
(1)
(2)
(3)
巩固提升1：
到原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？并证明。
你的收获：
一、本节课我们通过实例的研究，进一步掌握
了“曲线”与“方程”的关系，在领会定义时，要牢记关系
⑴、曲线上的点坐标都是这个方程的解 ⑵、以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点两者缺一不可。
Y
·
·
O
X
为什么?
1、直线上的点的坐标都是方程的解；
2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应的关系
直线
Y
O
X
方程 xy0
类比：
抛物线
推广：
任意曲线C
? 方程：y = x2 ? 方程：F（x,y）ห้องสมุดไป่ตู้0
即：任意的曲线和二元方程是否能都建立这种对应关系呢？
排列有序；口头展示的同学要声音洪亮，言语简练，面向同学，自然大方；先评书写，再评对错，点出思路，点出注意点、易错点，
归纳要点。2、不展示的同学继续讨论，讨论完毕后B、C层同学
抓紧落实巩固知识，A层注意拓展，不浪费一分钟，点评时要认真倾听、积极思考, 记好笔记；有不明白或有补充的要大胆提出质疑
3、小组长要检查、落实，力争全部达标，A层多拓展、质疑,B层
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/252021/8/252021/8/252021/8/258/25/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月25日星期三2021/8/252021/8/252021/8/25 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/252021/8/252021/8/258/25/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/252021/8/25August 25, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/252021/8/252021/8/252021/8/25

人教新课标版数学高二A版选修2-1课件曲线与方程

解析答案
类型二曲线与方程关系的应用例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
反思与感悟解析答案
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12. ∴k≤12， ∴k 的取值范围是－∞，12.
解析答案
跟踪训练3 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上；解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，Q( 2，3)不在此曲线上.
答案
梳理曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. 曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y) 建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
1 2345
解析答案
规律与方法
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.