高等数学练习题及答案

一、单项选择题1.0

lim

()x x f x A →=，则必有（ ）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界.

(C)

()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界.

2.函数⎩⎨⎧≥+<=0

)(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1.

3.若()()F x f x '=

,则()dF x =⎰（ ）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C +

4.方程 4

10x

x --=至少有一根的区间是（ ）.（A ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （B ）1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

. （C ）(2,3). （D ）(1,2).

二、填空题1. 设

()f x 在0x x =处可导,则0

lim x x y →∆= ．

2． 某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为 ．

3． 曲线3267y

x x =+-在0x =处的法线方程为 ．4．

2

sin 2x t d e dt dx

⎰＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x

→∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x x

x →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x

=， 求dy . (2)求由方程l n2xy

y e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx .

五、求下列积分（1）

2

21(sec )1x dx x

++⎰

.（2

）20

⎰ . （3）

sin ⎰. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值.

七、

求由直线2y

x =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积．

八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x

++>.

九、某种商品的成本函数2

3()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元）

，求生产100件产品时的平均成本和边际成本.

一、 A ． B ． D ． D ． 二、（1）0． （2）-1． （3）0x

=． （4）] 2

sin cos x e x ⋅．

三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12lim

lim (21)(1)213

x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111

222220011lim[(1)][lim(1)]22x x

x x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22

lim

lim2(1)cos 221

1

x x x x x x →→⋅=+=+

四、求导数和微分（1）解：2

3l n3c os 3sin

(c os )x x

x x

y x +'=

,2

3ln3cos 3sin (cos )

x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xy

y e y xy ''=+, 1xy

xy

ye y xe '=

-

五、积分1．原式=2

21sec xdx dx +⎰⎰=tan arctan x x c ++ 2.原式

=2

20118(4)x --=-=⎰

3．

t =,2,2x t dx tdt ==原式=sin 22(cos )2cos 2cos t tdt td t t t tdt

⋅=-=-+⎰⎰⎰

2c o s 2s in 2

in

t t t C C

=-++=-

六、解： 函数定义域为

(),-∞+∞,()(1)x x x f x e xe e x ---'=-=- 1x =是驻点 可列表讨论：

单调增区间(,1)-∞单调减区间(1,)

+∞极大值

1

(1)f e

=

. 七、解：解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩

得交点坐标（0，0） （2，4） 2

322

2004(2)33x A x x dx x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 八、 证明：设 ()(1)ln(1)f x x x x =++- 当0>x 时，()l n (1)11l n (1)0f x x x '=++-=+>

故原函数是增函数，0>x ,

即

()(0)0f x f >= 即(1)ln(1)0x x x ++-> 故 当0x >时，(1)l n (1)x x x

++>.

九、解：23

200030.010.0002()x x x c x x

+++=， 23200031000.011000.0002100(100)100c +⨯+⨯+⨯==26

2'()30.020.0006c x x x =++ 2'(100)30.021000.000610011

c =+⨯+⨯=

一、单项选择题

1. 无穷小量是（ ）． （A ）比零稍大一点的一个数． （B ）一个很小很小的数．（C ）以零为极限的一个变量． （D ）数零．

2.下列函数中当0x +

→时为无穷大的函数是（ ）. (A) 21x

--. (B) sin 1sec x x

+. (C) x

e -. (D) 1x e .

3.

()f x x =在点0x =处的导数（ ）． (A)1 ． (B) 0． (C) －1．. (D) 不存

在．

4. x 0为驻点是可导函数f x ()在x 0处取得极值的（ ）. (A) 充要条件. (B) 充分条件. (C) 必要条件. (D) 即非充分又非必要.

二、填空题1.0x =是函数1,10(),01

x x f x x ⎧--≤<⎪=≤<的第 类间断点．

2．设某种商品的需求函数为2

20Q P =-，则5P =时的边际

需求为 ． 3．已知曲线3223x y x =

-+,则其上切线平行于x 轴的点的坐标为 .4．1-=⎰ ． 三、求下列极限1．1lim x →2

3321

x x x +++． 2．23lim(1)x x x →∞-.3．0

0lim sin x

t

x e dt x -→⎰. 四、求下列导数和微分1．已知ta n c o s2y x x =⋅， 求dy .2．求由参数方程2

3

3cos 2sin x t

y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y f x =的导数 dy dx .