随机变量的方差

一、离散型随机变量的均值(数学期望)
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、离散型随机变量均值的线性性质
E(aX b) aEX b
三、两点分布与二项分布的均值
X X服从两点分布 X ~ B(n，p) X ~ H (n，M，N)
E(X)
p
np
n M
N
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1 、X2 、
的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
(其中q 1 p)
小结：
1、随机变量的方差： D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi
E( E )2
( xn E )2 pn
2、随机变量的标准差： D
3、方差的性质： (1) D(a b) a2D (2) 若服从两点分布，则D p(1 p) (3) 若 ~ B(n，p)，则D np(1 p)
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数
为 x ，则这组数据的方差为：
S2
1 n [( x1
x
)2
( x2
x
)2
( xn x )2]
4、甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为 ，其分
布列为
0 1 2 3
0 1 2
P 0.3 0.3 0.2 0.2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
5、有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400
获得相应职位的概率P1
0.4 0.3
试比较两名射手的射击水平.
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
6.若随机变量服从二项分布，且E=6， D =4,求此二项分布 7、随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝ ，求D(X)的值。
8、已知 3 1，且D 13, 则D
8
7、随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
0.5
1-Fra Baidu bibliotekq
q2
,求D(X)的值。
9、编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位， 每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X。 (1)求随机变量X的概率分布列； (2)求随机变量X的期望与方差.
E( E )2 为随机变量的方差.
称 D 为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量， 它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
1. 已知随机变量的分布列
0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ. 解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
10、设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3 次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. (1)求X的分布列； (2)求X的均值E(X)和方差D(X).
11、一盒中装有零件5个，其中有3个正品，2个次品，从中任取 一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得 正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差．
D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
2、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1、 X2的分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
1.已知随机变量X的分布列为: X 1 2
求EX与DX的值。
P 0.3 0.7
2.已知 X ~ B(100，0.5)，则EX=___,DX=___, σX=__.E(2X-1)=_, D(2X-1)=____，σ(2X-1)=_____
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连 续取出200件商品，设其次品数为X，求 EX 和 DX。
12、袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随 机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时 即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求EX和DX.
8、如图所示的直角边长为4的三角形地块的每个格点(横、纵 直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物， 一株作物的年收获量Y(单位：kg)与它“相近”作物株数X之间 的关系如下：
方差反映了这组数据的 波动情况
类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3
1800 0.2
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX1 1400, EX 2 1400 DX 1 40000, DX 2 112000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力 很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位.