一定积分计算的基本公式

x
2
1 x2
原 式 0x 2 d x1 xd 2 x x 2 dx 11 .
2
0
1
2
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§4. 定积分的计算
例7 求 1 1dx .
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x

ln |
F
(a).
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t)dt也是
f ( x)的一个原函数,
F (x ) (x ) C x[a,b]
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§4. 定积分的计算
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
例 3 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
2x

x
0
f
(t )dt

1在[0,1]上只有一个解.
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x)1, F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0 ) 10 ,
§4. 定积分的计算
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a a
f
( x)dx

2 a 0
f
( x)dx ；
②
f
( x)为奇函数，则
a a
f
( x)dx

0.
证
a
0
a
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f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)

2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
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0(t)f(sti)n d,t
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§4. 定积分的计算



0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt0 tf(sint)dt


0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t 0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
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§4. 定积分的计算
基本公式 如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间
[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dtxf(x),
dx
dx0
f
(t)dtf(x),
x
x
F(x)x(fx)0
f(t)d tf(x)0tf(t)dt 0xf(t)d2 t
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§4. 定积分的计算
x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
F (x)a xf(t)d tC ,
x
af(t)d tF (x )F (a ), 令 xba bf(x )d x F (b )F (a ).
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§4. 定积分的计算
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F

② f ( x)为奇函数，则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )d0x .
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§4. 定积分的计算
例12 计算
1 2x2xcoxsdx. 1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a

b
时，
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a)仍成立.
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§4. 定积分的计算
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
f()x, 在 x与 x o x之 a间 . x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
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必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
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§4. 定积分的计算

例9 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,s d tsix nd, x
x t0, x0t1,
§4. 定积分的计算
补充 如果 f (t)连续，a( x)、b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F( x)为 a( x)
F(x) d b(x) dx a(x)
f(t)dt
fb (x )b (x ) fa (x )a (x )
证:
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0

b(x)
f(t)dt
a(x)
f(t)d,t
0
0
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
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x
记 (x) f(t)dt. 积分上限函数 a
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§4. 定积分的计算
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)

x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)

d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
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§4. 定积分的计算
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
af(x)d xF (b)F (a),
令 (t)F [(t)],
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
xf (sin x)dx f (sin x)dx . 由 此 计 算
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证
x t d xd,t
x0 t, xt0,

0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t

例4 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式

2sinxcosxx02
3

2
.
例5
设
f(x)52x
0x1
,
1x2
求
2
0
f
(x)dx.
解 0 2f(x )d x 0 1f(x )d x 1 2f(x )dx y
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5,
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
oa
x xxb x
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§4. 定积分的计算
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
0 f(t)dt
f( x ) 0 ,( x 0 )
x
0
f(t)dt0,
(x t)f(t) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
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§4. 定积分的计算
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
(x)dxax
f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
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§4. 定积分的计算
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x

1. 2e
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§4. 定积分的计算
例 2 设 f ( x)在(,)内连续，且 f ( x) 0.
x
证明函数F ( x)

0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
2

2 co5sxsinxdx 0

0t5dt 1

t6 1

6
1. 6
0
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§4. 定积分的计算
例10 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2

f
( x)dx中令 x

t ,
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§4. 定积分的计算
0
a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f
(t)dt,
① f ( x)为偶函数，则 f(t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx
a
20 f(t)d;t
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
则有
b
a
f ( x)dx



f [ (t)] (t)dt .
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
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§4. 定积分的计算
( ) a、 ( ) b,
() () F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
abf(x)dxF(b)F(a) () ()
f[(t)](t)d.t
注意 当 时，换元公式仍成立.
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§4. 定积分的计算
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
x | 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A

sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
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§4. 定积分的计算
二 定积分的换元公式 定理 假设
原 式 12xdx2 5dx 6.
0
1
o 1 2x
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§4. 定积分的计算
例6
求
2
m
axx,x{2}dx.
2
y
解 由图形可知
y x2
f(x)max,xx2{}
yx
x2 2 x 0
2
o 1 2x


x
0 x1 ,

§4. 定积分的计算
例1
1 e t 2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是 0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt