2020_2021学年新教材高中数学第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本

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2021-2022学年新教材高中数学全书要点速记学案(含解析)苏教版必修第二册

全书要点速记(教师用书独具)第9章平面向量要点1 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．要点2 向量的运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a ＋b＝b＋a；结合律：(a ＋b)＋c＝a ＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算几何意义a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a ＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b向量a与向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c要点3 两个重要定理(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．要点4 平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12．(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0．要点5 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22第10章三角恒等变换要点1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))．要点2 二倍角公式(1)基本公式：①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝2tan α1－tan 2α．(2)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2．第11章解三角形要点1 正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab要点2 三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．第12章复数要点1 复数的有关概念 (1)复数的概念及分类：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)模：向量OZ →的模叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．要点2 复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．要点3 复数的运算(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ．(2)z ·z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n ．要点4 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质设对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，则z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z nm ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．(2)虚数单位i n (n ∈N *)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． *要点5 复数的三角形式 (1)复数的三角形式：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模为r ，辐角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，其中r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝br．则r (cos θ＋isin θ)称为复数z 的三角形式．(2)复数的三角形式的运算设复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)． ①z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]；②z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z 2≠0)．第13章立体几何初步要点1 多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形要点2 旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三全等的等腰梯圆角形形侧面展开图矩形扇形扇环要点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l要点4 柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝1 3 Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3要点5 用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz＝90°．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．要点6 四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．要点7 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线(3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角或夹角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(4)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．要点8 线面平行的判定定理和性质定理判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b要点9 面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b要点10 线面垂直的判定定理与性质定理判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b要点11 直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°角．(2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．要点12 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α第14章统计要点1 简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念：一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．(2)分层抽样的概念：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样．要点2 频率直方图(1)频率直方图的定义把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此线段为底作矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率直方图．(2)频率折线图：如果将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图．(3)频率直方图的相关计算：①频率组距×组距＝频率．②频数样本容量＝频率． ③平均数：在频率直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．④中位数：在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ⑤众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．要点3 用样本估计总体的集中趋势参数名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感要点4 用样本估计总体的离散程度参数(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差刻画了一组数据的离散程度，一组数据的极差越小，说明这组数据相对集中． (2)方差和标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则称s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n∑i ＝1nx i －x －2为样本的标准差，分别简称为样本方差、样本标准差．样本方差(标准差)越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．(3)样本方差的其它计算公式①s 2＝1n(∑i ＝1n x 2i －n x －2)；②若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ．则其方差为s 2＝∑i ＝1np i (x i－x －)2＝p 1(x 1－x －)2＋p 2(x 2－x －)2＋…＋p n (x n －x －)2．(4)分层抽样的方差如果总体分为k 层，第j 层抽取的样本为x j 1，x j 2，…，jjn j ，第j 层的样本量为n j ，样本平均数为x －j ，样本方差为s 2j ，j ＝1，2，3…，k ，记∑j ＝1kn j ＝n ，那么所有数据的样本方差为．要点5 百分位数(1)一组数据的k 百分位数的含义一般地，一组数据的k 百分位数是这样一个值p k ，它使得这些数据至少有k %的数据小于或等于p k ．(2)计算有n 个数据的大样本的k 百分位数的步骤第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列．第2步，计算k ·n100；第3步，如果结果为整数，那么k 百分位数位于第k ·n100位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k 百分位数；第4步，如果k ·n100不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k 百分位数．(3)四分位数：我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．第15章概率要点1 样本空间、随机事件等概念(1)试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验． (2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件等概念 ①把随机试验的每一个可能的结果称为样本点； ②所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω； ③样本空间的子集称为随机事件，简称事件．④当一个事件仅包含一个样本点时，该事件为基本事件．Ω(全集)是必然事件，∅(空集)为不可能事件．要点2 事件的构成、事件的并与交①事件A 、B 的并(和)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∪B ，因此“事件A 与B 至少有一个发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的并，也称C 是A 与B 的和，记作C ＝A ＋B ．②事件A 、B 的交(积)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∩B ，因此“事件A 与B 同时发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的交，也称C 是A 与B 的积，记作C ＝AB ．要点3 随机事件的概率 (1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n 次试验，如果某一随机事件A 出现了m 次，则事件A出现的频数是m ，称事件A 出现的次数与试验总次数的比mn为随机事件A 出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A ，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A 发生的概率，记作P (A )．因此，若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，可以用事件A 发生的频率m n 来估计随机事件的概率，即P (A )≈mn．(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件Ω和不可能事件∅当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则P (Ω)＝1，P (∅)＝0．所以对任何一个事件A ，都有0≤P (A )≤1．要点4 古典概型(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }的一次试验中，每个基本事件{ωk }(k ＝1，2，3，…，n )发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(2)具有以下两个特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点； ②每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }(其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk }(k ＝1，2，…，n )发生的概率都是1n．如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成，即A 中包含m 个样本点，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n．要点5 互斥事件 (1)互斥事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，B ⊆Ω，满足AB ＝∅，即事件A 、B 不可能同时发生，称A ，B 为互斥事件，如果事件A 和事件B 互斥，是指事件A 和事件B 在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A 和事件B 同时发生的交(和)概率为0，即P (AB )＝0．(2)对立事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，C ⊆Ω，满足AC＝∅且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝A－或A＝C－．(3)概率加法公式①如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这就是概率满足的第三个基本性质．②一般地，如果事件A1，A2，…，A n中任意两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．(4)对立事件的一个重要公式对立事件A与A－必有一个发生，故A＋A－是必然事件，从而P(A)＋P(A－)＝P(A＋A－)＝1．由此，我们可以得到一个重要公式：P(A－)＝1－P(A)．要点6 相互独立事件(1)相互独立事件的概念一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A、B为相互独立事件．(2)相互独立事件的概率计算①两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．。

(完整版)高中平面向量公式及知识点默写

平面向量知识点及公式默写一，基本概念1，向量的概念：。

2，向量的表示：。

3，向量的大小：（或称模）4，零向量：，记为，零向量方向是。

5，单位向量：长度为的向量称为单位向量，一般用e 、i 1=1=6，平行向量（也称共线向量）：方向向量称为平行向量，规定零向量与任意向量。

若a 平行于b ，则表示为a ∥b 。

7，相等向量：称为相等向量。

若a 与b 相等，记为a =b8，相反向量：称为相反向量。

若a 与b 是相反向量，则表示为a =b -；向量BA AB -=二，几何运算1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， =+BC AB（3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：= << = 2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=-AC AB（2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，DB AD AB =- （2=，则四边形ABCD 为矩形 4，实数与向量的积：（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： BAaCB A•aba babba +当0>λ时，a λ与a 方向；当0<λ时，a λ与a 方向；当0=λ时，=a λ当0=a 时，0=a λ；=（2）实数与向量相乘满足：=)(a μλ =+a )(μλ=+)(b a λ5，向量共线：（1）向量b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个实数λ（2）如图，平面内C BA ,,使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。

人教版高中数学必修二第9章向量平行的坐标表示精品课程及练习讲解(大全必学!)

则x32y＋－y42x＝＝10，，
∴x＝35， y＝54
或x＝－35， y＝－45.
12345
16 4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝____5____. 解析 A→B＝(5,4)，A→C＝(4，a)，因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，故 5a－16＝0，所以 a＝156.
5.若A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，则下列式子一定正
确的是
√A.2m－n＝3
B.n－m＝1
C.m＝3，n＝5 D.m－2n＝3
解析因为A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上， A→B＝(1，m－3)，A→C＝(2，n－3)，又A→B∥A→C，所以 n－3－2(m－3)＝0，即 2m－n＝3.
跟踪训练2 设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7) 平行，则λ＝___2___.
解析 λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)， ∵λa＋b与c平行， ∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.
三、三点共线问题
例 3 已知 A(1，－3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C 三点共线.
二、由向量平行(共线)求参数的值
例2 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b). 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4).
A.35

2020-2021学年高考数学(理)考点：平面向量基本定理及坐标表示

故答案为：2．
14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，，若向量与垂直，则 __________．
【答案】7
【解析】向量，，
，
向量与垂直，
，
解得．
故答案为：7．
15．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则 __________．
【答案】
【解析】向量，，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
10．（2018•北京）设向量，．若，则 __________．
【答案】
【解析】向量，．
．
，
，解得．
故答案为：．
11．（2017•北京）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为__________．
【答案】
A．0B．4C． D．
【答案】D
【解析】向量与向量共线，
则，解得，
，
．
故选D．
9．（2020•金安区校级模拟）已知向量，，若，且，则实数的值为（）
A．2B．4C．或2D．或4
【答案】C
【解析】向量，，，且，
，
，
解得．
故选C．
10．（2020•丹东模拟）AC为平行四边形ABCD的一条对角线，，，则（）
，，．
故选B．
29．（2020•山东模拟）设向量，，则（）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【解析】，错误；
，，，错误，正确；
，且，的夹角为，正确．

平面向量的基本定理和坐标表

04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速度可以用向量表示，从而描述物体在平面或空间中的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对物体转动效果的量度，可以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$，这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质

平面向量基本定理及坐标表

第二讲平面向量的基本定理及坐标表示一、基本知识点：1、平面向量的基本定理：2、平面向量的正交分解：3、平面向量的坐标表示：4、平面向量的坐标运算：5、两向量平行的充要条件：二、应用举例考点1、平面向量的基本定理例1、已知点P 在AB 上，O 是AB 外任意一点，求证：OP OA OB λμ=+，且1(,)R λμλμ+=∈. 变式1、已知向量12,e e 不共线，实数,x y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则2x y -的值是 9 .变式2、设12,e e 不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e =-=+.(1)求证：,a b 可作为一组基底； (2)用,a b 表示向量123c e e =-； (3)若1243e e a b λμ-=+，求,λμ的值.变式3、如图，E 为平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且14AE AD =，设 ,AB a BC b ==.若,,BF k BE AF hAC ==则h = 15 , k = 45.变式4、如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 2变式5、如图, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是_____(,0)-∞ _____;当21-=x 时, y 的取值范围是____ 13(,)22______变式6、设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上NMOCBAF ADB课标理数12.F2[2011·山东卷] D 【解析】若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C 选项错误；对于D ：若C 、D 同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．考点2 平面向量的坐标表示及坐标运算例2、已知点A （-2,4），B （3，-1）,C(-3,-4)，且3,2CM CA CN CB ==，试求,M N 和MN 的坐标. (答案：(0,20),(9,2),(9,18)M N MN =-)变式1、平面内给定3个向量(3,2),(1,2),(4,1),a b c ==-=回答下列问题：（1）求32a b c +-;(2)求满足：a mb nc =+的实数,m n ；（3）若()//(2)a kc b a +-，求实数k 的值. 变式2、已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（ B ） A. （－5，－10）B. （－4，－8）C. （－3，－6）D. （－2，－4）变式3、设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ 2 . 变式4、已知点A （2,3），B （5，4）,C(7,10)，若()AB AB AC R λλ=+∈，试问：（1）λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上；(12) （2）λ为何值时，点P 在第三象限. (1λ<-)考点3 共线、平行与垂直例3、变式5、已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、解：设点D 的坐标为(x ,y )，∵AD 是边BC 上的高， ∴AD⊥BC，∴AD ⊥BC 又∵C、B 、D 三点共线， ∴BC ∥BD又AD =(x －2,y －1), BC =(－6,－3)BD =(x －3,y －2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x解方程组，得x =59,y =57 ∴点D 的坐标为(59，57)，的坐标为(－51，52) 变式1、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==则与一定满足（ B ）A 与的夹角等于βα-B )(+⊥)(-C ∥D ⊥变式2、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.变式3、已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D. 变式4、设两个非零向量a b 与不共线.（1）若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b a kb ++和共线.变式5、已知向量13(3,1),(,),(3),,22a b x a t b y ka tb =-==+-=-+其中t 和k 为不同时为零的实数. （1）若x y ⊥，求此时k 和t 满足的函数关系式()k f t =；（2）若//x y ，求此时k 和t 满足的函数关系式()k g t =.考点4 综合应用例4、在平面直角坐标系中，已知三点A(-1，2)，B(0，x+2)，(0,2),(2tan 1,3)B x C x y θ++-+共线，其中(,)22ππθ∈-.（1）求函数表达式()y f x =；（2()2tan 1f x x x θ=+-）（2）若函数(),[y f x x =∈-是单调函数，求θ的取值范围；(,][,)242πππθ∈-- （3）若[,]33ππθ∈-时，函数(),[y f x x =∈-的最小值为()g θ，求()g θ的解析式.22tan ,[,]43()tan 1,[,)34g ππθθθππθθ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩变式1、设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，. 解：∵｜｜＝｜｜=1，∴可设=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), ∵+=(cos α+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，∴⎩⎨⎧=+=+)2(0βsin αsin )1(1βcos αcos由(1)得：cosα=1－cosβ......(3) 由(2)得：sinα=－sinβ (4)∴cosα=1－cosβ=21，∴sinα=±23,sinβ= 23.故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,2123,21a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,2123,21a 变式2、已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝【答案】A【解析】因为(1,) (1,1)a m b n n ==-+代入选项可得(){}1,1P Q ⋂=故选A.变式3、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线【答案】【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.变式4、已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1变式5、平面上的两个向量,OA OB 满足：22,,,4OA a OB b OA OB a b ==⊥+=，向量(,)OP xOA yOB x y R =+∈，且222211()()122a xb y -+-=.（1）如果点M 为线段AB 的中点，求证：11()()22MP x OA y OB =-+-；（2）求||OP 的最大值，并求此时四边形OPAB 面积的最大值.变式6、如图，△ABC 的外接圆心为O ，2,3,AB AC BC ===AO BC ⋅=（）A.35. . .2 .322A B C D变式7、在四边形ABCD 中，(1,1),3||||||BA BC BDAB DC BA BC BD ==+=，则四边形ABCD（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

_新教材高中数学第9章平面向量3

方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以A→B ＝D→C ，即O→B －O→A ＝O→C －O→D ，所以O→D ＝O→A ＋O→C －O→B ＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2). 答案：(0，－2)
三、解答题 6.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量A→B ，A→C ，B→C ，B→D 的坐标．
4．在下列各题中，已知向量a，b的坐标，分别求b＋a，b－a的坐标： (1)a＝(3，5)，b＝(－2，1)； (2)a＝(1，－6)，b＝(－6，5). 【解析】(1)b＋a＝(－2，1)＋(3，5)＝(－2＋3，1＋5)＝(1，6).b－a＝(－2，1)－ (3，5)＝(－2－3，1－5)＝(－5，－4). (2)b＋a＝(－6，5)＋(1，－6)＝(－6＋1，5－6)＝(－5, －1).b－a＝(－6，5)－(1，－6)＝(－6－1，5－(－6))＝(－7，11).
2．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为
()
A．(－2，11)
B．43，3
C．32，3
D．(－2，12)
【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以M→P ＝2N→P ，
则O→P －O→M ＝2(O→P －O→N )，
所以O→P ＝2O→N －O→M ＝2(0，5)－(2，－1)，
特例 i＝__1_，__0___，j＝__0_，__1___，0＝__(0_，__0_)___
2.向量线性运算的坐标表示
条件结论
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a＋b＝(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_)； a－b＝(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2_)；λa＝(λx1，λy1)

高中数学第二节平面向量的基本定理及坐标表示

结束
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2． 2 m＝3， m－n＝1，由平面向量基本定理，得所以 2m＋n＝1， n＝－1. 3 2 答案： 3 1 － 3
课堂·考点突课后·三维演
λ1e1＋λ2e2 λ1，λ2，使a＝___________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
课前·双基落实课堂·考点突课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
2．平面向量的坐标运算
结束
(x1＋x2，y1＋y2) 2 (λx1，λy1) x2 ＋ y 1 1
结束
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ 1 1 解：∵ BA ＝ OA － OB ＝a－b， BM ＝ BA ＝ a－ b， 6 6 6 ―→ ―→ ―→ 1 5 ∴ OM ＝ OB ＋ BM ＝ a＋ b． 6 6 ―→ ―→ ―→ 1―→ ∵ OD ＝a＋b， ∴ ON ＝ OC ＋ CD 3 1―→ 1―→ 2―→ 2 2 ＝ OD ＋ OD ＝ OD ＝ a＋ b， 2 6 3 3 3 ―→ ―→ ―→ 2 2 1 5 1 1 ∴ MN ＝ ON － OM ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b． 3 3 6 6 2 6 ―→ 1 ―→ 1 5 ―→ 2 2 1 综上， OM ＝ a＋ b， ON ＝ a＋ b， MN ＝ a－ b． 6 6 3 3 2 6
课前·双基落实课堂·考点突课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
结束
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．

(完整word版)平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 解析由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43 C ．－3 D ．0解析 ∵CD→＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 解析如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析 ∵AB→＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB→＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP→＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)解析如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA→＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB→，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标．解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 解析由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， ∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC→＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM→＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

平面向量的基本定理及坐标表示重难点解析版

突破6.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、学情分析二、学法指导与考点梳理知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.三、重难点题型突破重难点题型突破1 平面向量的实际背景与概念(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·江西高一期末）设12,e e 是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（） A ．21e e -与12e e - B ．1223e e +与1246e e -- C ．12e e +与12e e - D ．121128e e -+与1214e e - 【答案】C 【解析】由12,e e 是平面内的一组基底，所以1e 和2e 不共线，对应选项A ：21e e -()12e e =--，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：1223e e +()121462e e =---，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D ：121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：12e e +与12e e -不共线，能作为基底. 故选：C ．（2）.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．21318BA BC -+B ．21318BA BC +C ．41318BA BC +D ．21318BA BC -【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解. 【详解】由题可得：FE FC CE =+ 1232BC CD =+ ()1223BC CB BA AD =+++ 121233BC BC BA BC ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭21318BA BC =+．故选：B ．【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（） A ．12e e -，21e e - B ．12e e -，12e e + C ．212e e -，212e e -+ D ．122e e +，124e 2e +【答案】B 【解析】【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可. 【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ；因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ，故选：B【变式训练1-2】、（2022·江西上饶·一模（理））如图，在ABM 中，3BM CM =，27AN AM =，若AN AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．17-B ．17C ．27-D ．27【答案】D 【解析】【分析】由向量的线性运算把AN 用,AB AC 表示出来后可得结论．【详解】 ()22227777AN AM AB BM AB BM ==+=+ 2232313()7727777AB BC AB BA AC AB AC =+⨯=++=-+，所以13,77λμ=-=，132777λμ+=-+=，故选：D(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)． (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )． (4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知平面向量()()2,3,24,5a a b =--=，则a b =___________.【答案】3 【解析】【分析】设(),=b x y ，利用()24,5-=a b ，求得b ，再利用数量积公式可得多大啊. 【详解】设(),=b x y ，由已知得224325x y --=⎧⎨-=⎩，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，即()3,1b =--，所以()()2,33,1633⋅=-⋅--=-=a b . 故答案为：3.（2）.（2022·全国·高一专题练习）已知A (1，2)，B (3，－1)，C (3，4)，则AB AC ⋅等于（） A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2【答案】D 【解析】【分析】直接利用向量数量积的坐标运算即可解决【详解】∵()2,3AB =-,()2,2AC = ∴()22322AC AB ⋅=⨯+-⨯=- 故选: D .（3）.（2022·山东济南·二模）若平面向量a 与b 同向，(2,1)a =，||25b =，则b =（） A ．(4,2)B ．(2,4)C ．(6,3)D ．(4,2)或(2,4)【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设()0b a λλ→→=>，进而根据||25b →=b →. 【详解】因为,a b →→同向，所以设()0b a λλ→→=>，则22||215252b λλλ→=+==，于是，()4,2b →=. 故选：A.【变式训练2-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,6,1,a b λ==-，若//a b ，则a b λ+=______. 【答案】(5,15) 【解析】【分析】由向量平行得3λ=-，再进行向量的坐标运算即可得答案. 【详解】解：因为()()2,6,1,a b λ==-，//a b ，所以62λ-=，解得3λ=-，所以()()()2,631,35,15a b λ+=---=. 故答案为：()5,15【变式训练2-2】、（2022·青海西宁·高一期末）设()3,1OM =，()5,1ON =--，则MN =（）. A ．()8,2-- B ．()8,2C ．()8,2-D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的减法运算可得答案. 【详解】因为()3,1OM =，()5,1ON =--，所以()()()5,13,18,2=-=---=--MN ON OM . 故选：A.(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|. 特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a . (3)cos θ＝a·b |a||b|. (4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）．（2022·陕西·高三期末（文））已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A 【解析】【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.因为(1,7a =-，所以22||1(7)22a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ，所以||||cos 36a b θ=，即23cos 36θ⨯=，解得3cos θ=，故6πθ= ，故选：A.（2）．（2021·重庆一中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =--，则下列命题中正确的有（） A ．a b > B ．2a b +=C ．a b ⊥D ．4cos ,5a b =-【答案】BD 【解析】【分析】由向量的定义判断A ，由模的坐标表示求出模判断B ，根据垂直的坐标表示判断C ，由数量积求得向量的夹角余弦判断D ．【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，故A 错误；对于B ，∵()1,1a b =-+，∴()22112a b +=-+=B 正确；对于C ，∵()()122140a b ⋅=⨯-+⨯-=-≠，∴a b ⊥不成立，故C 错误；对于D ，∵(12214cos ,555a b a b a b⨯-+⨯-⋅===-⨯，故D 正确．故选：BD ．【变式训练3-1】．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（多选题）向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =，则2a b -的值可以是（） A ．2 B ．22C ．4D ．2【答案】ABC 【解析】【分析】利用公式表达出2a b -，利用三角函数恒等变换，求出2a b -的范围，进而求出结果.())()22cos ,2sin 3,12cos 3,2sin 1a b θθθθ-=-=-，所以()()22π22cos 32sin 1843cos 4sin 88sin 3a b θθθθθ⎛⎫-=-+----+ ⎪⎝⎭因为[]πsin 1,13θ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π88sin 0,163θ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，[]20,4a b -∈，显然ABC 均满足题意.故选：ABC【变式训练3-2】.（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】【分析】根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ；根据向量数量积的坐标表示即可判断B ；根据()cos ,a b a a b aa b a+⋅+=+即可判断C ；根据投影向量的定义即可判断D. 【详解】解：(2,23a b +=，则4124a b +=+，故A 错误；()2a b a +⋅=，故B 正确；()1cos ,2a b a a b aa b a+⋅+==+，又0,180a b a ︒≤+≤︒，所以向量a b +与a 的夹角为60°，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a b a a a a+⋅=，故D 正确. 故选：BD.(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)、（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（文））已知()1,2a m =+-，()2,3b m =+，若a b ⊥，则m =______. 【答案】1或4- 【解析】【分析】根据向量垂直得到等量关系，求出结果. 【详解】由题意得：()()1260m m ++-=，解得：1m =或4-，经检验，均符合要求. 故答案为：1或4-(2)、（2022·陕西宝鸡·一模（理））已知平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，若a b ∥，则m =___________. 【答案】3- 【解析】【分析】由a b ∥，列方程求解即可【详解】因为平面向量()1,a m =-，()2,3b m =-，且a b ∥，所以23m m =-，得3m =-，故答案为：3-（3）、（2022·辽宁·高一期末）已知向量()1,a m =-，()2,4b =，若a 与b 共线，则m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线坐标表示可得答案. 【详解】由题意得24m =-，即2m =-. 故选：C【变式训练4-1】、（2022·广东湛江·高二期末）已知向量()2,3a =-，()1,2b =-，且()a kb a +⊥，则k =___________.【答案】138【解析】【分析】求出向量a kb +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数k 的等式，即可解得k 的值. 【详解】由题意可得()2,32a kb k k +=--+，因为()a kb a +⊥，所以()()()223320a kb a k k +=---+=⋅，即1380k -=，解得138k =. 故答案为：138. 【变式训练4-2】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量()12a =,，()22b =-,，()1c λ=,.若()//2c a b +，则λ=________. 【答案】12 【解析】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可. 【详解】由题可得()24,2a b +=， ()//2c a b +，又()1,c λ=， 4λ20∴-=，1λ2∴=.故答案为：12.【变式训练4-3】．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()a b λ+∥()2a b -，则实数λ=（） A ．12B ．12-C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】由平面向量线性运算的坐标表示出a b λ+，2a b -，再由平面向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】由已知得()2,1a b =++-λλλ，()23,3a b -=-，又因为()a b λ+∥()2a b -，所以有()()3231+=--λλ，解得12λ=-.故选：B例5．（2022·重庆八中高一期末）已知3a =，4b =. (1)若a 与b 的夹角为60︒，求()2a b a +⋅；(2)若a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？【答案】(1)21 (2)34k =±【解析】【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；（2）根据()()0a kb a kb +-=解方程即可得答案. (1)解： ()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= (2)解：∵向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()0a kb a kb +-=，整理得2220a k b -=，又3a =，4b =，∴29160k -=，解得34k =±.∴当34k =±时，向量a kb +与a kb -互相垂直.【变式训练5-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].a x x b x ==-∈ (1)若a b ⊥，求x 的值；(2)记()f x a b =⋅，解不等式()3f x ≥【答案】(1)3π(2)[0,]6π 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，数量积为零得到关于x 的方程，即可得答案. （2）先根据数量积的坐标运算得到()f x a b =⋅的表达式，确定π31cos()62x -+，再解不等式，结合6x π+的范围，求得结果. (1)因为(cos ,sin )a x x =，(3,3b =-，a b ⊥，所以3cos 30x x =, 所以tan 3x =因为[0,]x π∈，所以3x π=.(2)()(π()cos ,sin 3,33cos 323)6f x a b x x x x x =⋅=⋅-==+.因为[]0,πx ∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -+. 由()3f x ≥1cos()62x π+≥，所以1π3cos()262x +，所以663x πππ≤+≤，即06x π≤≤，故不等式()3f x ≥[0,]6π.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（） A ．1e 与12e e + B ．12e 2e -与21e 2e - C ．12e 2e -与214e 2e - D ．12e e +与12e e -【答案】C 【解析】【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底；对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解, 12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底；故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（） A 2B 2C 22D ．0【答案】C 【解析】【分析】应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】由//a b 知：1×2－m 2＝0，即2m 2-故选：C.3．（2022·江西·高三期末（文））已知平面向量()1,3a =，()2,1b =-，若()a ab λ⊥+，则实数λ的值为（） A ．10 B ．8C ．5D ．3【答案】A 【解析】【分析】由()a ab λ⊥+，得()0a a b λ⋅+=，将坐标代入化简计算可得答案【详解】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()12,3a b λλλ+=+-. 因为()a ab λ⊥+，所以()12330λλ++-=，解得10λ=. 故选：A.4．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）（多选题）已知平面向量()1,2a =，()2,1b =-，()2,c t =，下列说法正确的是（） A ．若()a b +//c ，则6t = B ．若()a b +⊥c ，则23t =C ．若1t =，则4cos ,5a c <>=D ．若向量a 与向量c 夹角为锐角，则1t >- 【答案】BC 【解析】【分析】若()()1122,,,a x y b x y ==，根据a ∥b 时1221x y x y =判断A 选项是否正确；根据a b ⊥时12120x x y y +=判断B 选项是否正确；根据121222221122cos ,x a b a b a bx y x y <>==++判断C 选项是否正确；根据向量a 与向量c 夹角为锐角时0a c >，且向量a 与向量c 不平行，判断C 选项是否正确. 【详解】()1,2a =，()2,1b =-，()=1,3a b ∴+-,()2,c t ==22a c t ∴+若()a b +//c ，()2,c t =123t ∴-⨯=⨯6t ∴=-，故A 不正确；若()a b +⊥c ，()2,c t =123=0t ∴-⨯+⨯23t ∴=，故B 正确；若1t =，则()2,1c =，=22=4a c t +，=5a ，5c =44cos ,555a c a c a c∴<>==⨯，故C 正确；若向量a 与向量c 夹角为锐角, 则0a c >()1,2a =(),2,c t ==1220a c t ∴⨯+⨯>1t∴>-若向量a 与向量c 平行，则1=22t ⨯⨯，=4t ，故向量a 与向量c 夹角为锐角时1t >-且4t ≠.故D 不正确；故选：BC5．（2021·广东·仲元中学高一期末）（多选题）已知向量()2,1a =，()3,1b =-，则（） A ．a 与a b -25B ．()//a b a +C ．向量a 在向量b 10D ．若525,5c ⎛= ⎝⎭，则a c ⊥【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：由已知得()50a b -=，，根据向量夹角的计算公式计算可判断；对于B ：由已知得()+a b a ⊥，由此可判断；对于C ：由已知得向量a 在向量b 上的投影，从而可判断；对于D ：由5252+105a c ⎛⋅=⨯⨯= ⎝⎭，可判断. 【详解】解：对于A ：因为向量()2,1a =，()3,1b =-，所以()50a b -=，，所以a 与a b -的夹角余弦值为2225215+⨯，故A 正确；对于B ：因为()+12a b =-，，所以()+12+120a b a ⋅=-⨯⨯=，所以()+a b a ⊥，故B 不正确；对于C ：向量a 在向量b 上的投影为(()2223+11101031a b b⨯-⨯===-+⋅，所以向量a 在向量b 上的投影向量10C 正确；对于D ：因为525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以5252+1055a c ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以a c ⊥，故D 正确，故选：ACD.6．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图，在平面四边形ACDE 中，点B 在边AC 上，ABE △是等腰直角三角形，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则AD CE ⋅=___________.【答案】-1 【解析】【分析】以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】如图示，以B 为原点，BC BE 、分别为x 、y 轴正方向建立直角坐标系.则()1,0A -、()1,0C 、()1,1D 、()0,1E ，所以()21AD =，，()11CE =-，，所以211AD CE ⋅=-+=-. 故答案为：-17．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知向量()2,1a =-，10a b ⋅=，52a b +=，则b =___________.【答案】5 【解析】【分析】由已知，利用向量数量积的运算律有22250a b a b ++⋅=，结合向量模的坐标计算求||a ，进而求b . 【详解】∵52a b +=，则250a b +=，即22250a b a b ++⋅=， ∴252050b ++=，可得5b =. 故答案为：58．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量(),0,0αβαβ≠≠，β与αβ-的夹角为23π，且()0t t t αββ-=>，则t 的最小值是____________．【答案】233- 【解析】【分析】作半径为2的圆O ，圆O 上取三点,,A B C ，(3,1)C --，(3,1)B -，A 在,B C 两点的优弧上，3BAC π∠=，这样CB α=，CA β=，满足β与αβ-的夹角为23π，然后把模式平方求得t ，可得最小值．【详解】如图，设圆O 半径为2，,,A B C 在圆O ，设(3,1)C --，(3,1)B -，3BAC π∠=，CB α=，CA β=，设(2cos ,2sin )A θθ，7(,)66ππθ∈-，(23,0)α=，(2cos 3,2sin 1)βθθ=++，由t t αββ-=得222()t t αββ-=，因为0t >，所以21233233243(2cos 3)2cos 323t ααβθθ===≥=-⋅+++，cos 1θ=时等号成立．故答案为：233-．【点睛】本题考查由模求平面向量的数量积，解题关键是用图形表示出向量α，β，确定点,,A B C 的关系，引入坐标后用坐标表示向量的数量积，从而得出最值．。

2020_2021学年新教材高中数学第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.3向量平行的坐

课时素养评价八向量平行的坐标表示(20分钟35分)1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.(3,2)D.(1,3)【解析】选A.设点D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),故错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

即点D错误!未找到引用源。

.2.已知向量a=(1-sin θ,1),b=错误!未找到引用源。

,且a∥b,则锐角θ等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选B.由a∥b,可得(1-sin θ)(1+sin θ)-错误!未找到引用源。

=0,即cos θ=±错误!未找到引用源。

,而θ是锐角,故θ=45°.3.已知向量a=错误!未找到引用源。

与向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为( )A.-3B.-3或0C.3D.3或0【解析】选B.向量a=错误!未找到引用源。

与向量b=(x2,2x)共线,则2x错误!未找到引用源。

-x2=0,即x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以实数x的值为-3或0.4.已知A,B,C三点共线,且A(-3,6),B(-5,2),若C点的纵坐标为6,则C点的横坐标为( )A.-3B.9C.-9D.3【解析】选A.设C(x,6),因为A,B,C三点共线,所以∥,又=(-2,-4),=(x+3,0),所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.5.(2020·嘉定高一检测)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,-2),点P满足=-3,则点P的坐标为________.【解析】设P(x,y),因为=-3,所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),(x,y)=(-12+3x,6+3y),错误!未找到引用源。

解得错误!未找到引用源。

高中数学第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.3向量平行的坐标表示必修第二册

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向量平行(píngxíng)的判定
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【例 1】
已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断A→B
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小结
探
提
新知
与C→D是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？
作
探究
线．(重点)
释疑
3.掌握三点共线的判断方法．(难点)
的逻辑推理和数学运
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算核心素养.
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究
提醒：注意方程思想的应用．
分层
释

2020_2021学年新教材高中数学第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.2.1向量坐标

课时素养评价六向量坐标表示及线性运算坐标表示(15分钟30分)1.已知向量a=(1,2),a+b=(3,2),则b= ( )A.(1,-2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【解析】选D.b=a+b-a=(3,2)-(1,2)=(2,0).2.(2020·南充高一检测)已知A(1,1),B(-2,2),O是坐标原点,则+= ( )A.(-1,3)B.(3,-1)C.(1,1)D.(-2,2)【解析】选D.因为B(-2,2),O是坐标原点;所以+==(-2,2).3.(2020·沂水高一检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( ) A.(2,4) B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).4.如图,向量a,b,c的坐标分别是________,__________,________.【解析】将各向量分别向基底i,j所在直线分解,则a=-4i+0·j,所以a=(-4,0);b=0·i+6j,所以b=(0,6);c=-2i-5j,所以c=(-2,-5).答案:(-4,0) (0,6) (-2,-5)5.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.【解析】正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2c os 60°,2sin 60°),所以C(1,错误!未找到引用源。

),D错误!未找到引用源。

,所以=(2,0),=(1,错误!未找到引用源。

),=(1-2,错误!未找到引用源。

-0)=(-1,错误!未找到引用源。

),=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.【补偿训练】如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为基底,分别用i,j表示,,,并求出它们的坐标.【解析】由题图可知,=6i+2j,=2i+4j,=-4i+2j,它们的坐标表示为=(6,2),=(2,4),=(-4,2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)【解析】选A.=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以错误!未找到引用源。