一元线性回归中的假设检验和预测
5第五章 一元线性回归的假设检验
（OLS)估计量有最小方差。这使得OLS估计 量有着优良的性质可以进行统计推断
完全满足这些假定的方程在现实中是不存 在的，但这些假定为我们提供了一个比较 的基准，本课其他部分主要是围绕假定不 被满足时，分析后果，提出解决办法。返 回
第二节 OLS估计量的性质：高斯-马 尔可夫定理 p127
一、高斯-马尔可夫定理
当X是非随机的时，该假定自动满足 X是抽样时候人为设定的：比如前例中把家庭收入分
组
假定5：正态性假定：随机误差项服从正态分布
i ~ N (0, )
2
假定6：样本容量N>待估参数个数 假定7：解释变量 X值有变异性
即X有一个相对较大的取值范围 如果X只在一个狭窄的范围内变动，则无法充分估计X
若
|t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；返回
4、例题：葡萄酒拍卖价格的回归分 析
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
b
i
(n 2) Sb2i
b2
i
~ 2 (n 2)
ˆ bi bi 则t ~ t (n 2), 可以利用该信息进行统计检验 Sbi
返回
第三节 一元线性回归模型的假设检验 p130
一、检验 二、参数的显著性检验 三、回归的拟合优度检验 四、回归分析结果的报告 五、综合实例：美国商业部门工资和生产 率的关系 返回
《应用回归分析》实验指导书
《应用回归分析》实验指导书倪伟才编二00四年十一月《应用回归分析》实验指导书一、实验教学简介《应用回归分析》是统计专业的必修课程，同时也是核心课程。
该课程教学是以数学分析、线性代数、概率统计为预备知识，同时为计量经济学课程的教学奠定基础。
本课程在系统介绍回归分析基本理论和方法的同时，结合社会、经济、医学等领域的实际例子，把回归分析方法和实际应用相结合，注意定性分析和定量分析的紧密结合。
实验教学是该课程必不可少的、重要的组成部分。
本实验课程的案例中的数据处理主要运用我国已较流行的SPSS统计软件来实现,再结合SAS与Excel。
通过本课程的学习，使学生能够熟练地运用SPSS 统计软件进行回归分析，利用回归的方法解决一些实际问题，同时介绍SPSS使用中的一些小技巧。
实验教学的主要内容有：一元线性回归模型的估计、回归系数的检验、回归方程的检验、预测；多元线性回归模型的估计、回归系数的检验、回归方程的检验、预测；异方差的检验（多种检验方法）；加权最小二乘估计；自相关性的诊断及差分法；逐步回归法；多重共线性的诊断；岭回归；多项式回归；曲线回归等。
二、实验教学目的与任务通过对本课程的实验教学，不仅使学生掌握回归分析的基本概念、基本原理、基本方法，而且能够熟练地运用SPSS统计软件进行回归分析，利用回归的方法解决一些实际问题，同时掌握SPSS使用中的一些小技巧。
强调定性分析与定量分析的有机结合，注重理论水平和实际操作的有机结合。
三、实验教学数据的存放本实验指导书涉及到的数据均以SPSS格式或Excel格式给出，并放在班级的服务器上，学生完全可以共享。
为了保持实验指导书的完整性，所有的数据也附在每一个实验的题目后面。
四、实验内容实验一：一元线性回归模型的估计、回归系数和回归方程的检验、预测(验证性实验2课时)实验题目：一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。
经过10周时间，收集了每周加班工作时间的数据及签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目，y为每周加班工作时间（小时），数据如下：1：画散点图；3：用最小二乘法估计回归方程；4：求回归标准误；5：求回归系数的置信度为95％的区间估计；6：计算x与y的决定系数；7：对回归方程做方差分析；8：做回归系数β1的显著性检验；9：做相关系数的显著性检验；10：该公司预测下一周签发新保单x0=1000,需要的加班时间是多少？11：分别给出置信水平为95％的均值与个体预测区间；12：请在散点图的基础上画出回归线，均值的预测区间图，个体的预测区间图。
一元线性回归模型的参数估计
斜率（β1）
表示 x 每变化一个单位，y 平均变化的数量。
一元线性回归模型的假设
线性关系
因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系。
误差项独立
误差项 ε 之间相互独 立，且与 x 独立。
误差项的正态性
误差项 ε 的分布是正 态的。
误差项的无偏性
误差项 ε 的期望值为 0，即 E(ε) = 0。
有限的方差
回归分析的分类
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
线性回归模型
线性回归模型是一种常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，即可以用一条 直线来描述它们之间的关系。
在一元线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以表示为一条直线，即 y = ax + b，其中 a 是斜 率，b 是截距。
确定样本数据
收集用于估计参数的样本数据。
构建估计量
根据模型和样本数据构建用于估计参数的统计量。
计算估计值
通过计算统计量的值得到参数的估计值。
评估估计质量
通过统计检验和图形方法评估估计的质量和可靠性。
05 模型的评估与检验
模型的拟合度评估
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接 近1表示模型拟合度越好。
数据整理
将数据整理成适合进行统计分析 的格式，如表格或图形，以便后 续分析。
建立一元线性回归模型
确定自变量和因变量
根据研究问题选择合适的自变量和因变量，确 保它们之间存在一定的关联性。
散点图分析
绘制散点图，观察自变量和因变量之间的关系， 初步判断是否适合建立一元线性回归模型。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元回归及检验实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除一元回归及检验实验报告篇一：一元线性回归模型的参数估计实验报告山西大学实验报告实验报告题目：计量经济学实验报告学院：专业：课程名称：计量经济学学号：学生姓名：教师名称：崔海燕上课时间：一、实验目的：掌握一元线性回归模型的参数估计方法以及对模型的检验和预测的方法。
二、实验原理：1、运用普通最小二乘法进行参数估计；2、对模型进行拟合优度的检验；3、对变量进行显著性检验；4、通过模型对数据进行预测。
三、实验步骤：（一）建立模型1、新建工作文件并保存打开eviews软件，在主菜单栏点击File\new\workfile，输入startdate1978和enddate20XX并点击确认，点击save 键，输入文件名进行保存。
2输入并编辑数据在主菜单栏点击Quick键，选择empty\group新建空数据栏，先输入被解释变量名称y，表示中国居民总量消费，后输入解释变量x，表示可支配收入，最后对应各年分别输入数据。
点击name键进行命名，选择默认名称group01,保存文件。
得到中国居民总量消费支出与收入资料：xY年份19786678.83806.719797551.64273.219807944.24605.5198 184385063.919829235.25482.4198310074.65983.21984115 656745.7198511601.77729.2198613036.58210.9198714627 .788401988157949560.5198915035.59085.5199016525.994 50.9199118939.610375.8199222056.511815.3199325897.3 13004.7199428783.413944.2199531175.415467.919963385 3.717092.5199735956.218080.6199838140.919364.119994 027720989.3200042964.622863.920XX20XX20XX20XX20XX20XX46385.45127457408.164623.17 4580.485623.124370.126243.22803530306.233214.436811 .2注：y表示中国居民总量消费x表示可支配收入3、画散点图，判断被解释变量与解释变量之间是否为线性关系在主菜单栏点击Quick\graph出现对话框，输入“xy”，点击确定。
3、计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】
ˆ Y i
(8) 651.8181 753.6363 855.4545 957.2727 1059.091 1160.909 1262.727 1364.546 1466.364 1568.182 11100
ˆ ei Yi Y i
(9)=(2)-(8) 48.18190 -103.6363 44.54550 -7.272700 40.90910 -10.90910 -62.72730 35.45450 83.63630 -68.18190
假设 5：随机误差项服从 0 均值，同方差的正态 分布，即
2 i ~ N (0, ), ,,,,,,,,, ,, i 1,2, n
以上这些假设称为线性回归模型的经典假
设，满足这些假设的线性回归模型，也称为 经典线性回归模型（classical linear regression model）。在回归分析的参数估计和统计检验 理论中，许多结论都是以这些假定作为基础 的。如果违背其中的某一项假定，模型的参 数估计就会存在问题，也就是说最小二乘法 （OLS）就不再适用，需对模型进行修正或 采用其他的方法来估计模型了。
二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机误差项
方差的估计
给出一元线性回归模型的一般形式：
Yi 0 1 X i i ,,,, , i 1, 2, ,n
其中 Yi ：被解释变量，X i ：解释变量，0 和 1 ：待估参 数； i ：随机误差项；
ei2
（10） 2321.495 10740.48 1984.302 52.89217 1673.554 119.0085 3934.714 1257.022 6995.031 4648.771 33727.27
第二章 一元线性回归模型 知识点
第二章一元线性回归模型一、知识点列表二、关键词1、回归分析基本概念关键词：回归分析在计量经济学中，回归分析方法是研究某一变量关于另一（些）变量间数量依赖关系的一种方法，即通过后者观测值或预设值来估计或预测前者的（总体）均值。
回归的主要作用是用来描述自变量与因变量之间的数量关系，还能够基于自变量的取值变化对因变量的取值变化进行预测，也能够用来揭示自变量与因变量之间的因果关系关键词：解释变量、被解释变量影响被解释变量的因素或因子记为解释变量，结果变量被称为被解释变量。
2、回归模型的设定关键词：随机误差项（随机干扰项）不包含在模型中的解释变量和其他一些随机因素对被解释变量的总影响称为随机误差项。
产生随机误差项的原因主要有：（1）变量选择上的误差；（2）模型设定上的误差；（3）样本数据误差；（4）其他原因造成的误差。
关键词：残差项（residual ）通过样本数据对回归模型中参数估计后，得到样本回归模型。
通过样本回归模型计算得到的样本估计值与样本实际值之差，称为残差项。
也可以认为残差项是随机误差项的估计值。
3、一元线性回归模型中对随机干扰项的假设 关键词：线性回归模型经典假设线性回归模型经典假设有5个，分别为：（1）回归模型的正确设立；（2）解释变量是确定性变量，并能够从样本中重复抽样取得；（3）解释变量的抽取随着样本容量的无限增加，其样本方差趋于非零有限常数；（4）给定被解释变量，随机误差项具有零均值，同方差和无序列相关性。
（5）随机误差项服从零均值、同方差的正态分布。
前四个假设也称为高斯马尔科夫假设。
4、最小二乘估计量的统计性质关键词：普通最小二乘法（Ordinary Least Squares ，OLS ）普通最小二乘法是通过构造合适的样本回归函数，从而使得样本回归线上的点与真实的样本观测值点的“总体误差”最小，即：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
ββ==---∑∑∑nn n222i i 01ii=111ˆˆmin =min ()=min ()i i i i u y y y x关键词：无偏性由于未知参数的估计量是一个随机变量，对于不同的样本有不同的估计量。
第2章一元线性回归模型
一元线性回归模型
回归分析是计量经济学的基础内容！
本章介绍一元线性回归模型，最小二乘估计方法及 其性质，参数估计的假设检验、预测等。
浙江财经大学 倪伟才
1
本章主要内容
2 .1 一元线性回归模型
2 .2 参数β0、β1的估计
2 .3 最小二乘估计的性质
2 .4 回归方程的显著性检验 2 .5 残差分析 2 .6 回归系数的区间估计
浙江财经大学 倪伟才 10
回归的术语
y的各种名称： 因变量(dependent variable)或被解释变量 (explained variable)或回归子(regressand)或内 生(endogenous)； X的各种名称： 自变量(independent variable)或解释变量 (explanatory variable)或回归元(regressor)或外 生(exogenous) U的各种名称： 随机误差项或随机扰动项(stochastic error term, random disturbance term ): 表示其它因素的影响，是不可观测的随机误差！
浙江财经大学 倪伟才
9
2.1一元线性回归模型
由于两个变量y, x具有明显的线性关系，故考虑直 线方程y=0+1x（函数表达的是确定性关系，有缺 陷！） y=0+1x+u, 其中u表示除x外，影响y的其它一切 因素。 将y与x之间的关系用两部分来描述： a. 一部分0+1x ，由x的变化引起y变化； b.另一部分u ，除x外的其它一切因素引起y变化。 参数(parameters) 0 , 1 ; 0 称为回归常数(截距)（intercept, constant）， 1称为回归斜率(slope)
一元线性回归模型的统计检验
预测分析
学习如何对新数据进行预测，进行误差分析，并利用置信区间来评估预测的 准确性。
模型选择
学习方差分析、逐步回归和信息准则等方法，探讨如何选择最佳的一元线性 回归模型。
实例分析
通过应用案例深入理解一元线性回归模型的统计检验，展示实际数据的应用和模型的术论文和研究报告等参考文献，帮助学习者进一步深入研 究一元线性回归模型的统计检验。
参数估计
掌握OLS估计法，解释回归系数的含义，了解拟合优度，并且能够根据参数估计法对一元线性回归模型 进行参数的估计。
模型检验
进行残差分析，检验模型是否符合要求，学习诊断性检验，发现模型中的问题并作出相应的调整。
显著性检验
学习t检验、p值和显著性水平的概念，了解在一元线性回归模型中如何进行 显著性检验。
一元线性回归模型的统计 检验
了解一元线性回归模型的统计检验。包括定义与介绍，相关理论，假设检验， 样本数据，参数估计，模型检验，显著性检验，预测分析，模型选择，实例 分析。
相关理论
了解线性回归方程、残差、误差、相关系数等相关理论，掌握它们在一元线性回归模型中的含义和应用。
样本数据
学习数据的收集、处理和描述，实现对一元线性回归模型的数据样本分析， 为后续的参数估计和模型检验打下基础。
Q& A
解答学生对于一元线性回归模型的统计检验相关问题，确保学生对所学内容的充分理解。
总结
对本次PPT的主要内容进行概括，总结重点和难点，帮助学习者回顾和巩固所 学知识。
答疑环节
解答学生在本次PPT学习中的遗留问题和疑惑，确保学生能够全面理解一元线 性回归模型的统计检验。
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的关系。
它可以
用来预测一个变量（被解释变量）的值，另一个变量（解释变量）的值已知。
回归系数是一元线性回归方程的重要参数，它可以用来衡量解释变量对被解释变量的影响程度。
回归系数的假设检验是一种统计学方法，用于检验回归系数是否具有统计学意义。
它的基本思想是，如果回归系数的值不是0，则表明解释变量对被解释变量有
显著的影响，反之则表明解释变量对被解释变量没有显著的影响。
回归系数的假设检验一般采用t检验或F检验。
t检验是检验单个回归系数是
否具有统计学意义的方法，而F检验是检验多个回归系数是否具有统计学意义的方法。
在进行回归系数的假设检验时，首先要确定检验的显著性水平，一般为0.05
或0.01。
然后，根据检验的类型，计算t值或F值，并与检验的显著性水平比较，如果t值或F值大于显著性水平，则拒绝原假设，即认为回归系数具有统计学意义；反之，则接受原假设，即认为回归系数没有统计学意义。
回归系数的假设检验是一种重要的统计学方法，它可以用来检验回归系数是否
具有统计学意义，从而更好地理解解释变量对被解释变量的影响程度。
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。
所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。
一、参数估计量的置信区间在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^β是随机变量i y 的函数，即：i i y k ∑=1ˆβ，所以它也是随机变量。
在多次重复抽样中，每次的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。
现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。
即回答1β以何种置信水平位于()a a +-11ˆ,ˆββ之中，以及如何求得a 。
在变量的显著性检验中已经知道)1(~^^---=k n t s t iii βββ (2.5.1)这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2αt ，那么t 值处在()22,ααt t -的概率是α-1。
表示为ααα-=<<-1)(22t t t P即αββαβα-=<-<-1)(2^2^t s t P iiiαββββαβα-=⨯+<<⨯-1)(^^2^2^iis t s t P i i i于是得到：在（α-1）的置信水平下i β的置信区间是)(^^2^2^iis t s t i i βαβαββ⨯+⨯-，i=0,1 （2.5.3）在某例子中，如果给定01.0=α，查表得012.3)13()1(005.02==--t k n t α 从回归计算中得到01.0,15,21.0ˆ,3.102ˆ1ˆˆ10====ββββS S 根据（2.5.2）计算得到10,ββ的置信区间分别为()48.147,12.57和（0.1799,0.2401） 显然，参数1β的置信区间要小。
一元线性回归模型(计量经济学)
回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。它基于最小二乘法，寻找最合适的直线来描述变 量间的线性关系。通过回归分析，我们可以理解变量之间的因果关系和预测未知数据。
一元线性回归模型的假设
1 线性关系
2 独立误差
一元线性回归模型假设自变量和因变量之 间存在线性关系。
模型的残差项是独立的，不受其他因素的 影响。
3 常数方差
4 正态分布
模型的残差项具有恒定的方差，即方差齐 性。
模型的残差项服从正态分布。
一元线性回归模型的估计和推断
1
模型估计
使用最小二乘法估计模型的回归系数。
2
参数推断
进行参数估计的显著性检验和置信区间估计。
3
模型拟合程度
使用残差分析和R平方评估模型的拟合程度。
模型评估和解释结果
通过残差分析和R平方等指标评估模型的拟合程度，并解释模型中回归系数的 含义。了解如何正确使用模型的结果，并识别异常值和离群点对模型的影响。
一元线性回归模型(计量 经济学)
在本节中，我们将介绍一元线性回归模型，探讨回归分析的基本概念和原理， 了解一元线性回归模型所做的假设，并学习模型的估计和推断方法。我们还 将探讨模型评估和解释结果的技巧，并通过实例应用和案例分析进一步加深 对该模型的理解。最后，我们将总结和得出结论。
回归分析的基本概念和原理
实例应用和案例分析
汽车价格预测Байду номын сангаас
使用一元线性回归模型预 测汽车价格，考虑车龄、 里程等因素。
销售趋势分析
通过一元线性回归模型分 析产品销售的趋势，并预 测未来销售。
学术成绩预测
应用一元线性回归模型预 测学生的学术成绩，考虑 学习时间、背景等因素。
2.4-5 一元线性回归的预测及实例
区间估计思想： 区间估计思想：构造一个已知概率的统计量（如t分布的统 计量）该统计量包含Y0的真实均值和估计量，再将该统计 量取值的置信区间转化为Y0真实均值的置信区间
6
总体条件均值与个值预测值的区间估计 构造统计量
已知
Y0 = β 0 + β 1 X 0
2 ~ N (β , σ ) β1 1 ∑ xi2
E (Y0 ) = E ( β 0 + β 1 X 0 ) = E ( β 0 ) + X 0 E ( β 1 ) = β 0 + β 1 X 0
4
举例
所建立的家庭可支配收入利用 P34 例2.2.1 所建立的家庭可支配收入-消费支出 模型，求家庭可支配收入为6000 6000元时家庭消费支出均值 模型，求家庭可支配收入为6000元时家庭消费支出均值 和个值的预测值。 和个值的预测值
Y0 ( β 0 + β 1 X 0 ) t= ~ t (n 2) S Y
0
其中
S Y
0
1 (X 0 X )2 = σ ( + ) 2 n ∑ xi
2
Why?
8
置信区间的构造过程： 置信区间的构造过程：
易得：
P( t α < t < t α ) = 1 α
2 2
即
等价于
进而 于是，在1-α的置信度下，总体均值 总体均值E(Y|X0)的置信区间为 总体均值 的置信区间为
由P35 表2.2.1 可得： 可得：
10
解续： 解续： 进而，可求得： 进而，可求得：
E(Y|6000)预测值 预测值95%的置信区间为 预测值 的置信区间为
即
11
总体个值预测值的区间估计
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
一元线性回归模型及其假设条件
§4.2 一元线性回归模型及其假设条件1．理论模型y=a+bx+εX 是解释变量，又称为自变量，它是确定性变量，是可以控制的。
是已知的。
Y 是被解释变量，又称因变量，它是一个随机性变量。
是已知的。
A,b 是待定的参数。
是未知的。
2．实际中应用的模型x b a yˆˆˆ+= ，bˆ，x 是已知的，y ˆ是未知的。
回归预测方程：x b a y += a ,b 称为回归系数。
若已知自变量x 的值，则通过预测方程可以预测出因变量y 的值，并给出预测值的置信区间。
3．假设条件满足条件：（1）E （ε）=0；（2）D （εi ）=σ2；（3）Cov (εi ,εj )=0,i ≠j ; (4) Cov (εi ,εj )=0 。
条件（1）表示平均干扰为0；条件（2）表示随机干扰项等方差；条件（3）表示随机干扰项不存在序列相关；条件（4）表示干扰项与解释变量无关。
在假定条件（4）成立的情况下，随机变量y ～N （a+bx ，σ2）。
一般情况下，ε～N （0，σ2）。
4．需要得到的结果a ˆ，b ˆ，σ2§4.3 模型参数的估计1．估计原理回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种，我们这里介绍最小二乘法。
估计误差或残差：y y e i i i -=，x b a y i +=，e e y y ii i i x b a ++=+= （5.3—1）误差e i 的大小，是衡量a 、b 好坏的重要标志，换句话讲，模型拟合是否成功，就看残差是否达到要求。
可以看出，同一组数据，对于不同的a 、b 有不同的e i ，所以，我们的问题是如何选取a 、b 使所有的e i 都尽可能地小，通常用总误差来衡量。
衡量总误差的准则有：最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。
我们的准则取：误差的平方和最小。
最小二乘法：令 ()()∑∑---∑======n i ni n i i x b a y y y e i i i i Q 112212 （5.3—2）使Q 达到最小以估计出a 、b的方法称为最小二乘法。
一元线性回归方程检验
回归方程的概念是在统计学中被广泛使用的概念，它用于预测和解释变量之 间的关系。
一元线性回归方程的定义
回归方程
一元线性回归方程是描述两个变量之间线性关系的数学模型。
变量关系
它表示一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
斜率和截距
通过回归方程的斜率和截距可以计算两个变量之间的线性关系。
归方程是否显著。
3
计算F统计量
通过计算F统计量，可以评估整个回归方 程的显著性。
拒绝或接受
根据F统计量的大小和显著性水平，可以 拒绝或接受回归方程的显著性。
使用t检验进行回归方程的参数估计
t检验
t检验可用于估计回归方程的参数，并检验这些参数 的显著性。
参数估计
通过t检验可以得到一元线性回归方程的截距和斜率 的估计值。
回归方程的假设检验
1 零假设
回归方程的假设检验需要 建立一个零假设，来测试 回归方程参数的显著性。
2 显著性水平
根据显著性水平确定的临 界值，可以判断回归方程 的参数估计是否符合显著 性要求。
3 统计检验
使用统计检验方法，如t检 验，对回归方程进行显著 性检验。
检验回归方程的显著性
1
F分布
2
将F统计量与F分布进行比较，以确定回
数据分析
通过数据分析，计算回归方程的 参数估计和回归方程的显著性。
假设检验
使用假设检验方法，对回归方程 的参数进行显著性检验。
对一元线性回归方程做显著性检验
假设检验
使用t检验对回归方程的截距 和斜率进行显著性检验，以 确定其是否显著。
计算标准误差
通过计算标准误差，可以评 估回归方程的参数估计的可 靠性。
实验二 一元线性回归模型的估计、检验、预测和应用-分解
实验场地及仪器、设备和材料 实验室：普通配置的计算机，Eviews 软件及常用办公软件。
实验训练内容（包括实验原理和操作步骤）：
【实验原理】
相关分析，格兰杰因果关系检验，普通最小二乘法(OLS)，拟合优度的判定系数 检验和参数显著性t检验等，计量经济学预测原理。
552.2429
Median
201.0450
Maximum
2289.070
Minimum
27.04000
Std. Dev.
653.1881
Skewness
1.213628
Kurtosis
3.336095
Jarque-Bera
7.005291
Probability
0.030118
Sum
15462.80
GDPS
SLC
Mean
5442.928
2163.893
Median
2170.420
948.0950
Maximum
22366.54
7882.640
Minimum
185.8500
79.86000
Std. Dev.
6300.570
2340.232
Skewness
1.190005
0.972056
Kurtosis
注：在实验中对应的空白处写出实验的结果。全部完成后，把该文档自己学号
为名进行命名，提交到教师机。
（一）建立工作文件
进入Eviews，建立一工作文件，并命名为GD，新建4个序列，并对应输入广东省 经济数据表中的数据：收入法国内生产总值-GDPS，财政收入-CS，财政支出-CZ，社 会消费品零售额-SLC。
一元线性回归的基本假设有哪些,数学表达式如何
.一元线性回归的基本假设有哪些，数学表达式如何1回归模型是正确设定的2解释变量X是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值E(μi)=0 i=1,2, …,nVar (μi)=σμ2 i=1,2, …,nCov(μi, μj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n3解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数Cov(X i, μi)=0 i=1,2, …,n4随机误差项μ具有给定X条件下的零均值，同方差以及不序列相关性μi~N(0, σμ2) i=1,2, …,n5随机误差项与解释变量之间不相关6随机误差项服从零均值，同方差的正态分布回归分析主要内容：1根据样本观察值对计量经济学模型参数进行估计，求得回归方程2对回归方程，参数估计值进行显著性检验3利用回归方程进行分析，评价及预测虚拟变量的设置原则，引入方法和模型具体形式写出1）如果一个定性因素有m方面的特征，则在模型中引入m-1个虚拟变量（2）如果模型中有m个定性因素，而每个定性因素只有两方面的属性或特征，则在模型中引入m个虚拟变量；如果定性因素有两个及以上个属性，则参照“一个因素多个属性”的设置虚拟变量。
（3）虚拟变量取值应从分析问题的目的出发予以界定；（4）虚拟变量在单一方程中可以作为解释变量也可以作为被解释变量。
）（1）加法方式：其作用是改变了模型的截距水平；（2）乘法方式：其作用在于两个模型间的比较、因素间的交互影响分析和提高模型的描述精度；（3）一般方式：即影响模型的截距有影响模型的斜率。
计量经济学建模步骤答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤包括：①设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；②收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；③估计模型参数；④检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
01-一元线性回归模型的预测
3
第五节 一元线性回归模型的预测
在样本数据反映的经济变量之间的关系基本上没有变化的情况下， 可利用经过参数估计和检验的模型，由已知或事先测定的解释变量的 数 值，预测被解释变量的数值。
利用例2-3建立的消费函数模型，求家庭可支配收入为60000元时家庭平 均消费支出的预测值。
析： 将家庭可支配收入
代入样本回归函数
可得家庭平均消费支出的预测值为
90
二、总体均值 E（Y/ X0）的预测置信区间
Yˆ0
也可以表示为
Y（i i
1，2，，n）的线性组合，Yˆ 服从正态分布。 0
由于 可以证明
0
0
其中
SE（e）= 0
ˆ2[1
1 n
(X0 X )2
n
xi2
]
i 1
对于给定的显著性水平
P(
t
2
YS0 E（Yeˆ）0 0
t
2
) 1
由此可得，个别值 Y0 的置信度为1的预测置信区间为
[ Yˆ0t SE（e0），Yˆ0 t SE（e0）]
（2-51）
2
2
95
例2-9
以例2-3为例（假设一个由100个家庭构成的总体，并假设这100个家庭的月 可 支配收入水平只限于13000元、18000元、23000元、28000元、33000元、 38000 元、43000元、48000元、53000元、58000元10种情况，每个家庭的月可 支配收 入与消费数据如表2-1所示，要研究这一总体的家庭月消费支出Y与家 庭月可支 配收入X之间的关系，以便根据已知的家庭月可支配收入水平测算 该总体的家 庭月消费支出平均水平。）
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ln ~ N (0, 2 )
取对数，有
lnY ln ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
2 ~ N (0, )
(3)
Y h( x ) ,
~ N (5.3
(1)
可化为一元线性回归的例子
ln ~ N (0, 2 )
Y e x ,
取对数，有
lnY ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
(2)
Y x ,
Qe n2
当 H 0 为真时:
ˆ b ˆ
t
S xx ~ t ( n 2)
ˆ b ˆ
H 0的拒绝域为
S xx t / 2 ( n 2)
容易得到系数b的置信区间
ˆ ˆ t ( n 2) b /2 S xx
二、预测 对指定点 x x0处的因变量 Y0 进行预测
工业总产值 （亿元）y 24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58 625
x2
y2
xy
840 950 960 1176 1568 1612 1998 2360 2542 2560 3055 3400 3381 3621 3456 4408 37887
ˆ 相互独立， 而 Y0 和 Y 0
于是
1 ( x0 x ) 2 2 ˆ Y ~ N 0, 1 Y 0 0 n S xx
即
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 1 n S xx
2
~ N 0, 1
ˆ 和 Qe 相互独立，而 而 Y0 ， Y 0
Qe
2
~ 2 ( n 2)
可以证明
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 n S xx
~ t n 2
Y0 的 1 的置信域为
2 ( x x ) 1 0 ˆ t ( n 2) Y ˆ 1 0 /2 n S xx
Y0 a bx0 0 , 0 ~ N (0, )
2
ˆx 进行预测 ˆ a 由于 Y0 无法观测，用 Y ˆ b 0 0
2 ( x x ) 1 2 0 ˆ ~ N a bx , Y 0 0 n S xx
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
案例分析
建立工业总产值对能源消耗量的线性回归方程 资料
【分析】因为工业总产值与能源消耗量之间存在高度
2 正相关关系（ ），所以可以拟合 r 0.9757, r 0.9520 工业总产值对能源消耗量的线性回归方程。
解：设线性回归方程为
§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测
一、线性假设的显著性检验
H 0 : b 0 H1 : b 0
ˆ ~ N (b, 2 S ), b xx
Qe
2
~ 2 ( n 2)
ˆ b b S xx ~ t ( n 2) ˆ
ˆ和 b
Qe 相互独立，有
其中 ˆ ˆ2
1225 576 1444 625 1600 576 1764 784 2401 1024 2704 961 2916 1369 3481 1600 3844 1681 4096 1600 4225 2209 4624 2500 4761 2401 5041 2601 5184 2304 5776 3364 55086 26175
625 916 ˆ y bx a 0.7961 6.5142 16 16
即线性回归方程为：
ˆ 6.5142 0.7961 x y
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
序号 能源消耗量（十 万吨）x 1 35 2 38 3 40 4 42 5 49 6 52 7 54 8 59 9 62 10 64 11 65 12 68 13 69 14 71 15 72 16 76 合计 916
ˆ a bx y
由计算表知n 16, x 916, y 625,
2 xy 37887 , x 55086 ,
ˆ b
n xy x y n x x
2 2
16 37887 916 625 0.7961 2 16 55086 916