一元线性回归中的假设检验和预测
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§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测
一、线性假设的显著性检验
H 0 : b 0 H1 : b 0
ˆ ~ N (b, 2 S ), b xx
Qe
2
~ 2 ( n 2)
ˆ b b S xx ~ t ( n 2) ˆ
ˆ和 b
Qe 相互独立，有
其中 ˆ ˆ2
625 916 ˆ y bx a 0.7961 6.5142 16 16
即线性回归方程为：
ˆ 6.5142 0.7961 x y
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
序号 能源消耗量（十 万吨）x 1 35 2 38 3 40 4 42 5 49 6 52 7 54 8 59 9 62 10 64 11 65 12 68 13 69 14 71 15 72 16 76 合计 916
§5.3
(1)
可化为一元线性回归的例子
ln ~ N (0, 2 )
Y e x ,
取对数，有
lnY ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
(2)
Y x ,
Y0 a bx0 0 , 0 ~ N (0, )
2
ˆx 进行预测 ˆ a 由于 Y0 无法观测，用 Y ˆ b 0 0
2 ( x x ) 1 2 0 ˆ ~ N a bx , Y 0 0 n S xx
工业总产值 （亿元）y 24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58 625
x2
y2
xy
840 950 960 1176 1568 1612 1998 2360 2542 2560 3055 3400 3381 3621 3456 4408 37887
ˆ a Βιβλιοθήκη Baidu bx y
由计算表知n 16, x 916, y 625,
2 xy 37887 , x 55086 ,
ˆ b
n xy x y n x x
2 2
16 37887 916 625 0.7961 2 16 55086 916
ˆ 相互独立， 而 Y0 和 Y 0
于是
1 ( x0 x ) 2 2 ˆ Y ~ N 0, 1 Y 0 0 n S xx
即
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 1 n S xx
2
~ N 0, 1
ˆ 和 Qe 相互独立，而 而 Y0 ， Y 0
1225 576 1444 625 1600 576 1764 784 2401 1024 2704 961 2916 1369 3481 1600 3844 1681 4096 1600 4225 2209 4624 2500 4761 2401 5041 2601 5184 2304 5776 3364 55086 26175
ln ~ N (0, 2 )
取对数，有
lnY ln ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
2 ~ N (0, )
(3)
Y h( x ) ,
~ N (0, 2 )
取 x h( x ) 对数，有
Qe n2
当 H 0 为真时:
ˆ b ˆ
t
S xx ~ t ( n 2)
ˆ b ˆ
H 0的拒绝域为
S xx t / 2 ( n 2)
容易得到系数b的置信区间
ˆ ˆ t ( n 2) b /2 S xx
二、预测 对指定点 x x0处的因变量 Y0 进行预测
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
案例分析
建立工业总产值对能源消耗量的线性回归方程 资料
【分析】因为工业总产值与能源消耗量之间存在高度
2 正相关关系（ ），所以可以拟合 r 0.9757, r 0.9520 工业总产值对能源消耗量的线性回归方程。
解：设线性回归方程为
Qe
2
~ 2 ( n 2)
可以证明
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 n S xx
~ t n 2
Y0 的 1 的置信域为
2 ( x x ) 1 0 ˆ t ( n 2) Y ˆ 1 0 /2 n S xx
一、线性假设的显著性检验
H 0 : b 0 H1 : b 0
ˆ ~ N (b, 2 S ), b xx
Qe
2
~ 2 ( n 2)
ˆ b b S xx ~ t ( n 2) ˆ
ˆ和 b
Qe 相互独立，有
其中 ˆ ˆ2
625 916 ˆ y bx a 0.7961 6.5142 16 16
即线性回归方程为：
ˆ 6.5142 0.7961 x y
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
序号 能源消耗量（十 万吨）x 1 35 2 38 3 40 4 42 5 49 6 52 7 54 8 59 9 62 10 64 11 65 12 68 13 69 14 71 15 72 16 76 合计 916
§5.3
(1)
可化为一元线性回归的例子
ln ~ N (0, 2 )
Y e x ,
取对数，有
lnY ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
(2)
Y x ,
Y0 a bx0 0 , 0 ~ N (0, )
2
ˆx 进行预测 ˆ a 由于 Y0 无法观测，用 Y ˆ b 0 0
2 ( x x ) 1 2 0 ˆ ~ N a bx , Y 0 0 n S xx
工业总产值 （亿元）y 24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58 625
x2
y2
xy
840 950 960 1176 1568 1612 1998 2360 2542 2560 3055 3400 3381 3621 3456 4408 37887
ˆ a Βιβλιοθήκη Baidu bx y
由计算表知n 16, x 916, y 625,
2 xy 37887 , x 55086 ,
ˆ b
n xy x y n x x
2 2
16 37887 916 625 0.7961 2 16 55086 916
ˆ 相互独立， 而 Y0 和 Y 0
于是
1 ( x0 x ) 2 2 ˆ Y ~ N 0, 1 Y 0 0 n S xx
即
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 1 n S xx
2
~ N 0, 1
ˆ 和 Qe 相互独立，而 而 Y0 ， Y 0
1225 576 1444 625 1600 576 1764 784 2401 1024 2704 961 2916 1369 3481 1600 3844 1681 4096 1600 4225 2209 4624 2500 4761 2401 5041 2601 5184 2304 5776 3364 55086 26175
ln ~ N (0, 2 )
取对数，有
lnY ln ln x ln , ln ~ N (0, 2 )
模型转化为
Y a bx ,
2 ~ N (0, )
(3)
Y h( x ) ,
~ N (0, 2 )
取 x h( x ) 对数，有
Qe n2
当 H 0 为真时:
ˆ b ˆ
t
S xx ~ t ( n 2)
ˆ b ˆ
H 0的拒绝域为
S xx t / 2 ( n 2)
容易得到系数b的置信区间
ˆ ˆ t ( n 2) b /2 S xx
二、预测 对指定点 x x0处的因变量 Y0 进行预测
Y a bx ,
~ N (0, 2 )
案例分析
建立工业总产值对能源消耗量的线性回归方程 资料
【分析】因为工业总产值与能源消耗量之间存在高度
2 正相关关系（ ），所以可以拟合 r 0.9757, r 0.9520 工业总产值对能源消耗量的线性回归方程。
解：设线性回归方程为
Qe
2
~ 2 ( n 2)
可以证明
ˆ Y Y 0 0 1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 n S xx
~ t n 2
Y0 的 1 的置信域为
2 ( x x ) 1 0 ˆ t ( n 2) Y ˆ 1 0 /2 n S xx