高中数学讲义微专题53 求数列的通项公式
高中数学数列的通项公式及证明
高中数学数列的通项公式及证明数列是高中数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
数列的通项公式是指能够通过数列中的项数n来表示第n项的公式，它是数列的核心内容之一。
在解题过程中，掌握数列的通项公式及其证明方法是非常重要的。
一、等差数列的通项公式及证明等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
常见的等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
根据等差数列的通项公式，可得an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
等差数列的通项公式可以通过数学归纳法进行证明。
首先，假设当n=k时，等差数列的通项公式成立，即ak = a1 + (k-1)d。
然后，考虑当n=k+1时，即求第k+1项的值。
根据等差数列的定义，第k+1项可以表示为ak+1 = ak + d。
代入假设的通项公式，可得ak+1 = a1 + (k-1)d + d = a1 + kd。
因此，根据数学归纳法，等差数列的通项公式成立。
二、等比数列的通项公式及证明等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
常见的等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。
根据等比数列的通项公式，可得an = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 162。
等比数列的通项公式可以通过数学归纳法进行证明。
首先，假设当n=k时，等比数列的通项公式成立，即ak = a1 * r^(k-1)。
然后，考虑当n=k+1时，即求第k+1项的值。
根据等比数列的定义，第k+1项可以表示为ak+1 = ak * r。
代入假设的通项公式，可得ak+1 = a1 * r^(k-1) * r = a1 * r^k。
因此，根据数学归纳法，等比数列的通项公式成立。
数列通项公式的求法(最全)
非等差等比数列通 项公式的求法
构造法
构造法是一种常用 的数列通项公式求 法
构造法通过观察数 列的规律找出通项 公式
构造法需要一定的 数学基础和逻辑思 维能力
构造法可以应用于 非等差等比数列的 通项公式求法
数学归纳法
添加标题
定义：一种证明数学命题的方法通过证明一个命题对某个初始值成立并且假设对某个值 成立时可以推出对下一个值也成立从而证明命题对所有值都成立。
. 计算数列相邻项之间的差值得到差数列。 b. 观察差数列的规律寻找通项公式。 c. 验证通项公式的正确性。
适用范围：逐差法适用于等比数列、等差数列等有规律的数列。
单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼言简意赅的阐述观点。
注意事项：在使用逐差法时需要注意差数列的规律避免遗漏或错误。
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步骤： . 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或 公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
. 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
应用：适用于求解非等差等比数列的通项公式 单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
公式中的1表示首项d表示公差
公式法的适用范围：已知首项 和公差的等差数列
累加法
累加法原理：通过累加数列的前n项和得到通项公式 累加法公式：n=Sn-S(n-1)其中Sn为前n项和 累加法应用：适用于已知数列的前n项和求通项公式 累加法示例：例如已知数列{1,3,5,7,9}的前n项和为Sn=n^2则通项公式为n=2n-1
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的通项公式是找出数字之间的规律，从而可以用一个公式表示出数列中第N个数字与N的关系。
这样可以方便地计算数列中的任意项，而不需要逐个计算或列出所有的项。
以下是数列求通项公式的方法大全：1. 等差数列的通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
根据等差数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列的通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
根据等比数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
3. 斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为：an = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)其中，phi = (1 + sqrt(5)) / 2，an表示第n项。
4. 幂次数列的通项公式：幂次数列是指数列中每一项都是某个常数的指数函数。
幂次数列的通项公式为：an = a1 * (b^(n - 1))其中，an表示第n项，a1表示首项，b表示底数，n表示项数。
请注意，以上是一些常见的数列类型和其通项公式。
但实际上，还存在其他更复杂的数列类型，可能需要使用其他方法求解通项公式。
另外，在某些特定的数列中，可能无法找到通项公式，只能通过递推关系计算每一项。
举例说明：以等差数列为例，假设有一个等差数列的首项为2，公差为3。
现在需要求解数列中第10项的值。
根据等差数列的通项公式，可以得到：a10 = 2 + (10 - 1) * 3= 2 + 27= 29在这个例子中，我们利用等差数列的通项公式直接计算出了第10项的值。
如果没有通项公式，我们可能需要逐个计算前10项，而通项公式可以极大地简化计算过程。
数列的通项公式
数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。
在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。
通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。
一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。
数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。
项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。
二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。
这个公式就是等差数列的通项公式。
2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。
这个公式就是等比数列的通项公式。
3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。
例如斐波那契数列、调和级数等。
三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。
通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。
四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。
参考文献：1. 《高等数学》教材；。
高三数学数列通项的求法
高三备课组
求数列的通项方法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式
2、 代
利用迭加an-an-1=f(n)、an迭1 乘paan/nan-1q=f(n)、迭
3、a一n1阶 递A推 ,p我a们n 通A常 将
其化
为
4、利用换元思想
看成{bn}的等比数列
5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通
Hale Waihona Puke 幼儿早教加盟 早教品牌机构加盟例3、已知数列{an}满足a1=1, an 3n1 an1 n 2.
（1）求a2,a3 ,a4
(2)证明：an
3n 1 2
练得想习对得： 所 到S设 有n并正 自证数 然明数 数？n列，{a有n}前tsnn项和t S2na，n 存, 则在通正过数归t，纳使猜
an
1,求
an
练习:(1):数列{an}中,a1=1,2an= an1 2(n 2),求 an
(2)
数列{an}中,a1=1, a n1
2an an 2
n
N
小长号一样的皮毛，头上是烟橙色土堆样的鬃毛，长着蓝宝石色香肠一般的瓜秧鸟毛额头，前半身是暗红色蜈蚣一般的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨仙长着褐黄 色香肠造型的脑袋和浓绿色豆包一般的脖子，有着水绿色熊胆似的脸和淡绿色铁链造型的眉毛，配着水蓝色荷叶样的鼻子。有着淡黄色火锅似的眼睛，和深青色螃蟹 一般的耳朵，一张淡黄色山杏一般的嘴唇，怪叫时露出淡蓝色骷髅造型的牙齿，变态的暗红色豆荚一样的舌头很是恐怖，淡橙色腰带一样的下巴非常离奇。这巨仙有 着特像茄子造型的肩胛和极似猩猩样的翅膀，这巨仙矮小的亮橙色粉条一样的胸脯闪着冷光，犹如肥肠样的屁股更让人猜想。这巨仙有着很像乌贼一般的腿和绿宝石 色井盖造型的爪子……胖胖的烟橙色香槟一样的九条尾巴极为怪异，淡青色红薯造型的浆叶金鳞肚子有种野蛮的霸气。亮橙色火腿样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘 息时有种水蓝色勋章一样的气味，乱叫时会发出米黄色铁锅似的声音。这个巨仙 头上火橙色烟囱 样的犄角真的十分罕见，脖子上美如弯月样的铃铛瘦弱的脑袋好像极 品的珍贵狂野……月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组 成了一个巨大的小鱼刀背鬼！这个巨大的小鱼刀背鬼，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分欢快的刀背！这巨鬼有着亮蓝色扣肉似的身躯和 天蓝色细小拐棍般的皮毛，头上是亮青色陀螺一样的鬃毛，长着淡灰色老虎似的旗杆雪峰额头，前半身是墨蓝色鲜笋似的怪鳞，后半身是狼狈的羽毛。这巨鬼长着墨 紫色老虎模样的脑袋和暗白色花豹似的脖子，有着紫宝石色灯泡样的脸和紫玫瑰色螃蟹模样的眉毛，配着雪白色筛子一样的鼻子。有着青兰花色臂章样的眼睛，和墨 灰色牙刷似的耳朵，一张青兰花色冰碴似的嘴唇，怪叫时露出乳白色地灯模样的牙齿，变态的墨蓝色小号般的舌头很是恐怖，天蓝色廊柱般的下巴非常离奇。这巨鬼 有着很像樱桃模样的肩胛和酷似粉笔一样的翅膀，这巨鬼变异的海蓝色茄子般的胸脯闪着冷光，特像菊花一样的屁股更让人猜想。这巨鬼有着活像细竹似的腿和亮白 色铁锹模样的爪子……轻飘的亮青色猪肚般的五条尾巴极为怪异，钢灰色洋葱模样的脸盆弥散肚子有种野蛮的霸气。海蓝色圆规一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘 息时有种雪白色方砖般的气味，乱叫时会发出紫红色舷窗样的声音。这个巨鬼头上鲜红色红薯一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如粉条一样的铃铛淡红色奶糖一样 的脑袋好像绝无仅有的神气飘然……这时那伙校精
如何求数列的通项公式
求数列的通项公式是高中数学试题中常见的一类题目，这类题目通常要求根据已知的递推关系式求得数列的通项公式.解答此类问题需重点研究数列的递推关系式，将其进行合理的变形.求数列的通项公式常用的方法有利用S n与a n之间的关系、观察法、累加法、累乘法.下面将结合例题谈一谈这几种方法的特点和应用技巧.一、利用S n与a n之间的关系若已知数列的前n项和S n，或S n与a n的关系式，就可以根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间关系：a n={S1，n=1，Sn-Sn-1,n≥2，(n∈N*)，来求得数列的通项公式.首先分别求得S n、S n-1的表达式，然后将二者作差.例1.已知数列{}a n的前n项和为S n，且S n=2a n+1，求数列的通项公式a n.解：令n=1，可得a1=S1=2a1+1，即a1=-1.当n≥2时，由S n=2a n+1可得S n-1=2a n-1+1，根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间关系可得，a n=S n-S n-1=()2an+1-()2an-1+1=2an-2an-1，即a n=2a n-1，所以{}a n是首项为a1=-1，公比为q=2的等比数列.由等比数列的通项公式可得an=-1∙2n-1=-2n-1.由于a n=S n-S n-1在n≥2的情况下成立，所以根据数列的前n项和S n与通项公式a n之间的关系求数列的通项公式，需分n=1和n≥2两种情况进行讨论.二、观察法若已知数列的若干项，则需仔细观察数列的各项，寻找其中的规律，明确数列的项数n与对应项之间的关系，进而写出数列的通项公式.例2.求下列数列的通项公式.①1，4，9，16，25；②2，5，10，17，26.解：①a1=1=12，a2=4=22，a3=9=32，a4=16=42，a5=25=52，所以数列的通项公式为a n=n2.②a1=2=12+1，a2=5=22+1，a3=10=32+1，a4=17=42+1，a5=26=52+1，所以数列的通项公式为an=n2+1.观察法一般只适用于求解较为简单的数列通项公式题.在求得数列的通项公式后，往往还需将其他项代入该式中，以验证所求的通项公式是否满足数列中的所有项.三、累加（乘）法累加法适用于由形如a n+1-a n=f()n的递推关系式求数列的通项公式；累乘法适用于由形如an+1an=f()n的递推关系式求数列的通项公式.在运用累加（乘）法求数列的通项公式时，要将n=1,2,3，…，n时的n个式子累加（乘），通过化简，求得a n的表达式.例3.在数列{}a n中，a1=1，若a n-a n-1=n-1，求数列{}a n的通项公式.解：由a n-a n-1=n-1可得an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，…，a3-a2=2，a2-a1=1，将上述各式累加可得a n-a1=1+2+3+…+(n-1)=[]1+()n-1∙()n-12，由a1=1，得a n=n2-n+22.根据递推关系式写出n=1,2,3，…，n-1时的表达式，并将这n-1个式子累加，即可求得数列的通项公式.例4.已知数列{}a n满足anan-1=n-1n(n≥2),a1=1，求该数列的通项公式.解：由anan-1=n-1n，n≥2，可得：an-1an-2=n-2n-1，an-2an-3=n-3n-2，…，a3a2=23，a2a1=12，将上述各式累乘可得，anan-1·∙an-1an-2∙…∙a3a2·a2a1=n-1n·n-2n-1∙…∙23∙12，因为a1=1,所以a n=1n，当n=1时，a1=1，满足上式.所以数列的通项公式为a n=1n.将n=1，2，3，…，n-1时的各式相乘，其中部分项的分子与分母相互抵消，即可得到a n的表达式.但要注意的是，求出数列的通项公式后，要讨论n=1时的式子是否满足所求的数列通项公式.总之，对于不同类型的题目，要根据题目中已知递推关系式的结构特征，选择合适的方法进行求解，这样可以快速求出数列的通项公式.（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）王爱春思路探寻43Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
求数列的通项公式
求数列的通项公式【典例1】【2021·安徽高三期末】已知数列{}n a 的前n 项和2392n n S +-=．（1）证明：{}n a 是等比数列． （2）求数列{}3log n a 的前n 项和．【思路引导】（1）根据2392n n S +-=，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，再利用等比数列的定义证明.（2）根据13n n a +=，得到3log 1n a n =+，再利用等差数列的前n 项和公式求解.【典例2】【2021·山东临沂市·高三模拟】 己知数列{}n a 满足()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈ （1）证明:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式; （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明14n S <【思路引导】（1）构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得结果. （2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式.【典例3】【2021·江苏盐城市·高三一模】设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：22111112ni i i a a =+<+-∑. 【思路引导】（1）先算1a ，再化成递推式求解. （2）带入化简，运用裂项相消法求和即可证明.【典例4】【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【思路引导】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可．【典例5】【2021江苏省南京市重点中学联考】 数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式.【思路引导】通过对递推关系式1212n n n a a a +-=-，变形可知113111n n a a +=-+++，令11n n b a =+，即111322n n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可知数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解n b ，从而得到n a .【典例6】【2021湖南省长沙市高三第一次联考】已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，22112()n n n n a a a a ++=++. （1）求{a n }的通项公式；（2）记b{b n }的前n 项和S n .【思路引导】（1）由已知递推关系，可得12n n a a +-=，即可写出{a n }的通项公式；（2）由（1）知2n b =，裂项相消法即可求前n 项和S n .【典例7】【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12112n n n a a a ++-=，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值. 【思路引导】(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可列出方程求出2q，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出{}n b 的通项公式，由错位相减法可求得n S ，代入已知不等式即可得解.1. 【2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考】 已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】（1）由已知得11112n n a a +-=，可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差的12的等差数列.（2）由（1）得23n a n =+，运用裂项求和法可求得答案.2. 【2021·湖南常德市一中高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*12n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足16b =，()*14n n nb S n N a =++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11221n nT =-+. 【思路引导】（1）由()*12n n S a a n N =-∈可得出数列{}n a 是等比数列，由()*14n n nb S n N a =++∈和16b =可算出1a ，进而求出通项公式； （2）算出()()11122121n n n n b --=++，再运用裂项相消法求和.3. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】 已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+. （1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+ ，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21n a n =-； (2)由 1221n n n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.4. 【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查】 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.5. 【2021·吉林省吉林市高三月考】设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【思路引导】（1）利用累加法求通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出n S .6. 【2021黑龙江省磐石市高三上学期期末】 已知数列{}n a 满足11a =，且()2111232121n n n n n n a a a ++++-+-=+-.（1）令121n n n a b +=-，证明：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）令123n n n na c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【思路引导】（1）根据递推关系式，利用等差数列的定义即可证明.（2）由（1）求出1nb 的通项公式，进而得出n a 的通项公式.（3）利用等比数列的前n 项和公式以及错位相减法即可求解.7. 【2021·济南市·山东省实验中学高三月考】 已知数列{}n a 满足1112n n n a a a +++=+，1n a ≠-且11a =. （1）求证：数列1{}1n a +是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n b a =+，求数列11{}n n b b +的前n 项和n S . 【思路引导】（1）根据数列的递推公式可得111111n n a a +-=++，即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，再求出通项公式即可； （2）先求得212n n b -=，则n S 利用裂项相消法即可求出.8. 已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 【思路引导】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ； （2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <.9. 【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测】 已知数列{}n a 的各项均为正数,且()()2*23420n n a n a n n N---+=∈,正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ,且1382,1b S a ==-.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式; （2）若n T 为数列111n n n a a b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求n T【思路引导】（1）对条件()223420n n a n a n ---+=进行因式分解可得n a ，由于{}n b 是正项等比数列，解出基本量可以得出n b ；（2）对数列的通项111n n na ab ++进行研究可得，可采用裂项求和法和公式法进行组合求10. 【2020届安徽省安庆市上学期高三期末】 已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<．【思路引导】 （1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明.11. 【广东省肇庆市2019-2020学年高中第一次统考】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n，若n a =n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【思路引导】（1）根据题意，有a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合n a ==1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，据此思路引导可得答案；（2）由（1）的结论可得c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；进而可得T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，由错位相减法思路引导可得答案．12. 【2021届河北省邯郸市高三年级质量检测】 在数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，11n n a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n b 满足：()*111121222n n n n b b b n n N a a a --++⋅⋅⋅+=+-∈． ①求数列{}n b 的通项公式；②令196n n c b b a =+-，若119102k k k c c c ++++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的值．【思路引导】（1）根据n a 与1n a +的递推式,确定n a 与1n a +的关系,再由等比数列的通项公式，求出n a 的通项公式.（2）①观察()*11112122N 2n n n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=+-∈可知，通过错位相减法的逆运算，求出等差数列n b 的通项公式.②对n c 的通项公式进行分类讨论，再结合等差数列的前n 项和公式，可求出19k S +与1k S -的关系式，最后求出满足条件的正整数k 的值.参考答案【典例1】【2021·安徽高三期末】已知数列{}n a 的前n 项和2392n n S +-=．（1）证明：{}n a 是等比数列． （2）求数列{}3log n a 的前n 项和．【思路引导】（1）根据2392n n S +-=，利用数列通项和前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，再利用等比数列的定义证明.（2）根据13n n a +=，得到3log 1n a n =+，再利用等差数列的前n 项和公式求解.【解析】（1）当2n ≥时．，21113332n n n n n n a S S +++--=-==，又119a S ==，所以{}n a 的通项公式为13n n a +=．因为13n na a +=，所以{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列． （2）因为13n n a +=，所以3log 1n a n =+，所以数列{}3log n a 的前n 项和：231n T n =++++2(21)322n n n n+++==. 【典例2】【2021·山东临沂市·高三模拟】 己知数列{}n a 满足()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈ （1）证明:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式; （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明14n S <【思路引导】（1）构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得结果.（2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式.【解析】（1）由题对1120n n n n a a a a ++-+=两边同时除以1n n a a +得1112n na a +-= 又112a =，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()12212n n n a =+-=，所以12n a n= （2）由()()11111114141n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭所以()1111111111114223141441n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 因为*n N ∈所以()1114414n -<+，即14n S < 【典例3】【2021·江苏盐城市·高三一模】设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：22111112ni i i a a =+<+-∑. 【思路引导】（1）先算1a ，再化成递推式求解. （2）带入化简，运用裂项相消法求和即可证明.【解析】（1）当1n =时，由22n n n S a a =+，得()1110a a -=因为正项数列，所以10a >，所以11a =因为当1n ≥时，22n n n S a a =+ 所以当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+两式相减得2211122n n n n n n S S a a a a ----=-+- 即22112n n n n n a a a a a --=-+- 所以()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+- 因为数列{}n a 的各项均正，所以10n n a a -+> 所以当2n ≥时，11n n a a --= 故数列{}n a 是公差为1的等差数列 故数列{}n a 的通项公式为n a n =（2）因为222211111111(1)12(1)21i i a a i i i i i i +⎛⎫===- ⎪+-++-++⎝⎭故2211111111111111122231212ni i i a a n n n =+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 【典例4】【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末】已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【思路引导】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可． 解：()1141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯①，()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-()()()()224622424482n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．【典例5】【2021江苏省南京市重点中学联考】数列{}n a 中，12a =-，1212n n na a a +-=-，求n a 的通项公式.【思路引导】通过对递推关系式1212n n n a a a +-=-，变形可知113111n n a a +=-+++，令11n n b a =+，即111322n n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可知数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解n b ，从而得到n a .【解析】1212n n n a a a +-=-，121212111222n n n n n n n na a a a a a a a +--+-+∴+=+==--- 两边取倒数得：()11321311111n n n n n n a a a a a a +-++-===-+++++，令11n n b a =+，则113n n b b +=-+,可得111322n n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又1111132122b a -=-=-+ 所以数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32-，公比为3的等比数列 113322n n b -∴-=-⨯，故1131313322222n nn n b --=-⨯=-=即11312n n a -=+，解得2113n na =-- 【典例6】【2021湖南省长沙市高三第一次联考】已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，22112()n n n n a a a a ++=++. （1）求{a n }的通项公式；（2）记b{b n }的前n 项和S n .【思路引导】（1）由已知递推关系，可得12n n a a +-=，即可写出{a n }的通项公式；（2）由（1）知2n b =，裂项相消法即可求前n 项和S n .【解析】（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112,n n n n n n a a a a a a ++++-=+ 又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-.（2）由（1）知n b ===，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦=【典例7】【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12112n n n a a a ++-=，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值. 【思路引导】(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可列出方程求出2q，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出{}n b 的通项公式，由错位相减法可求得n S ，代入已知不等式即可得解.解：（1）由{}n a 是等比数列，令1n =可得2123112112222a a a q q-=⇒-= 2202q q q ⇒--=⇒=或1q =-（舍去），故2n n a =. （2）由题14log 2n n n n b a a n -==⋅，所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯又12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 两式相减得1(1)2nn S n =+-⨯易知n S 单调递增，且891793,=40972020S S =>，故n 的最大值为8.1. 【2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考】已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】（1）由已知得11112n n a a +-=，可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差的12的等差数列.（2）由（1）得23n a n =+，运用裂项求和法可求得答案. 【解析】解：（1）证明：因为122nn n a a a +=+，所以1212n n na a a ++=，所以11112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差的12的等差数列.（2）由（1）知11113(1)22n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+， 所以4114(3)(4)34n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭. 2. 【2021·湖南常德市一中高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*12n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足16b =，()*14n n nb S n N a =++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11221n nT =-+. 【思路引导】（1）由()*12n n S a a n N =-∈可得出数列{}n a 是等比数列，由()*14n n nb S n N a =++∈和16b =可算出1a ，进而求出通项公式； （2）算出()()11122121n n n n b --=++，再运用裂项相消法求和. 【解析】（1）当2n ≥时，()111112,222n n n n n n S a a a a n S a a ---=-⎧⇒=≥⎨=-⎩. ∵11114b a a =++，∴11a =，∴{}n a 是等比数列，∴12n n a .（2）由（1）可得21n n S =-.()()()1*111112212111423223222n n n n n n n n n n n n b S n N a ------⋅+++=++=++=∈⋅=. ∴()()111121121212121n n n n n n b ---==-++++. ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为0112111111111212121212121221n n n nT -=-+-++-=-+++++++. 3. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】 已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+. （1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+ ，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21n a n =-； (2)由 1221n n n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.解：（1）因为1131n n n n a a a a ++-=+，所以113n n n a a a +-=+， 两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+，所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，且首项是11112a =+， 所以112n n a =+，即21n a n=-. （2）因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和1211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①则12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②由①－②，得()121111212122121n n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=--，所以()121nn S n =-⋅+.4. 【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查】 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 解：（1）由2112122(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =，故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11nn n =-=++． 5. 【2021·吉林省吉林市高三月考】设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【思路引导】（1）利用累加法求通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出n S . 【解析】（1）由已知，当2n ≥时，2123n n n a a ---=⋅，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时，11131a -==符合上式，13n n a -∴=，*n N ∈.（2）由（1）知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯，()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n nn -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23n n =-⋅所以，3nn S n =⋅，*n N ∈.6. 【2021黑龙江省磐石市高三上学期期末】 已知数列{}n a 满足11a =，且()2111232121n n n n n n a a a ++++-+-=+-.（1）令121n n n a b +=-，证明：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）令123n n n na c -+=，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【思路引导】（1）根据递推关系式，利用等差数列的定义即可证明.（2）由（1）求出1nb 的通项公式，进而得出n a 的通项公式. （3）利用等比数列的前n 项和公式以及错位相减法即可求解.【解析】（1）由题意可知：()()221111112222212121n n n n n n n n n n a a a b a +++++++++--==-+-- ()()()()2111212122212121n n n n n n n nn a a a a a +++++-++=+-+--，则1121111222n n n n n a b a b +++-==++，即1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）可知：()1112112221n n n n n b a -=+-==+，即1221n n a n +-=- （3）112433n n n n c --⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭记13n n -的前n 项和为n T ，则01112333n n n T -=++，①21123333n nnT =++，②， ①-②可得02121111333333n n nn T -=++++-， 1131133132313nnn nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-=--， 所以19133991342344323n nn nnn n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=-⋅- ⎪⋅⋅⎝⎭ 2413991324432313n nn n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⋅-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦-139292711243243n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7. 【2021·济南市·山东省实验中学高三月考】 已知数列{}n a 满足1112n n n a a a +++=+，1n a ≠-且11a =. （1）求证：数列1{}1n a +是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n b a =+，求数列11{}n n b b +的前n 项和n S .【思路引导】（1）根据数列的递推公式可得111111n n a a +-=++，即可证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，再求出通项公式即可； （2）先求得212n n b -=，则n S 利用裂项相消法即可求出. 【解析】（1）1112n n n a a a +++=+，1n a ≠-且11a =， ∴12111n n n a a a ++=++，即()111111n n n a a a +++=++，∴111111n na a +-=++， 数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列.∴()111112n n a =+-⋅+，∴12112n n a -=+，∴3221n na n -=-. （2）由（1）知212n n b -=， ∴()()11411221212121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111213352121n S n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 14212121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 8. 已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 【思路引导】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ； （2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 解： （1）1359a a a ++=，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >，解得2q，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n n n n c b =-=-，()()()1122424242n n n B =-+-++-()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n n n n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9. 【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测】 已知数列{}n a 的各项均为正数,且()()2*23420n n a n a n n N---+=∈,正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ,且1382,1b S a ==-.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式; （2）若n T 为数列111n n n a a b +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求n T【思路引导】（1）对条件()223420n n a n a n ---+=进行因式分解可得n a ，由于{}n b 是正项等比数列，解出基本量可以得出n b ；（2）对数列的通项111n n na ab ++进行研究可得，可采用裂项求和法和公式法进行组合求 解：()1由()223420n n a n a n ---+=，得()()2120n n a n a --+=⎡⎤⎣⎦，因为数列{}n a 的各项均为正数，()212n n a n a ∴=-=-舍去， 12,b =且{}n b 是正项等比数列，381S a ∴=-即为()22114q q ++=，解得()23q q ==-舍去，2nn b ∴=。
求解数列的通项公式
求解数列的通项公式数列是数学中常见的一种数的有序序列。
在数学中，我们常常需要通过观察一列数的规律来推导出这列数的通项公式，进而可以通过公式得出数列中任意一个位置上的数值。
本文将介绍求解数列通项公式的一般方法以及具体的例子。
一、数列的定义和常见类型数列是一系列按照一定顺序排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用字母a表示，下标表示项的位置。
数列常用大写字母表示，例如{a₁, a₂, a₃, ……, aₙ}。
常见的数列类型有等差数列和等比数列。
1. 等差数列：数列中任意两个相邻项之间的差值都相等。
一般形式为：aₙ = a₁+ (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差（相邻两项的差值），n为项数。
2. 等比数列：数列中任意两个相邻项之间的比值都相等。
一般形式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比（相邻两项的比值），n为项数。
二、求解数列通项公式的方法要求解一个数列的通项公式，我们需要通过观察数列的规律，推导出一个公式。
下面介绍两种通用的求解方法。
1. 列表法：通过枚举数列的前几项，将每一项的值列在一张表格中，并观察数列的规律和规律的变化。
通过观察数列项之间的关系，可以确定数列的类型，并进一步推导出数列的通项公式。
以等差数列为例，假设数列为{1, 4, 7, 10, 13, ……}，通过列举的形式可以发现，相邻项之间的差值始终为3。
因此，可以推导出数列的通项公式为：aₙ = 1 + (n-1)3。
2. 递推法：递推法是通过前一项和递推关系推导出后一项的值，再不断递推直到推导出通项公式。
以等比数列为例，假设数列为{2, 6, 18, 54, 162, ……}，通过观察可以发现，每一项都是前一项乘以3得到的。
因此，可以推导出数列的通项公式为：aₙ = 2 * 3^(n-1)。
三、具体例子以下是两个具体的例子，分别是等差数列和等比数列：1. 等差数列例子：数列{2, 5, 8, 11, 14, ……}为等差数列，通过观察可以发现，相邻项之间的差值始终为3。
求数列的通项公式课件
解：an = 2n- 1 + 1 .
1 1 3 5 7 (3) , , , , , ; 2 4 8 16 32
3 2n 解：a n . n 2
n(n 1) 1 解 ：an . n(n 1) 注：如果数列的各项是分数，则可以把分子和 分母分别考察，看它们各有什么样的变化规律，以 上两个小题都可以这样考虑.
an 2n 1 . n 数列的通项公式为 an = n ( 2n – 1 ) .
• •
5. 分类法： 若把数列的项分为奇数项、偶数项两类，且奇 数项和偶数项与其项数的关系容易求出，不妨设数 列{ an } 的通项为 当 n为 奇 数 ， f (n) an 则数列的通项公式为 当 n为 偶 数 ， g (n) (1) n 1 an [ f (n) g (n)] [ f (n) g (n)] . 2 2 例 7 求下列数列的通项公式： 2， 0 ， 2， 0， 2， 0， · · · ( 2，0 交替出现 ) .
所以当 n = k + 1 时公式也成立 .
由①、②可知，公式对任何正整数 n 都成立 .
数列的通项公式为 an
1 . n
注：“观察——猜想——证明”是求数列通项公式的基本 方法之一，通过观察前面的若干项，来发现通项公式的构造 规律，而后再用数学归纳法加以证明，我们把这种求通项公 式的方法称为归纳法.
当n为 奇 数 ， 2 解 ： 显 然 an 当n为 偶 数 ， 0 (1) n 1 an (2 0) (2 0) 1 (1) n1 . 2 2
•
6.
例8
归纳法（只作介绍即可）：
在 数 列{a n }中 ， 若a1 1， 且an1 an 1 an
数列通项的求法(适用于高中)
（1）求 an的通项公式.
（2）证明： n 2 时， 1 1 1 3 .
a1 a2
an
（3）若 f x 满足 f 1 a1 ， f n 1 [ f n] 2 f (n) ，证明： 1 + 1 +…
f (1) 1 f (2) 1
+
f
1 (n) 1
4
（1）证明：{ 1 (1) n}等比，并求出 an的通项公式.
an
（2）设 bn an (1) n+1，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，证明： Tn 4 .
7
习题课：
数列的综合题.
1.已知 a1 1，并且 anan 1 n 1 ，证明： 1 1 1 2 n 1 1 .
令 bn an 1 an ，可以得到 bn 1 bn .（ n 1,, n ）
我们直接给出求通项的一般公式：
若得到两个特征根 , ，得到的是 an t1 n+ t 2 n，然后把初始条件 a1, a2 的值代入， 解出 t1, t 2 ，最后得到通项公式.
an C
若有两个不等的根 x1 和 x2 （包括虚数根），则分别代入以后得到：
an 1 x2 A x2 an x2 和 an 1 x1 A x1 an x1 ，两式相除以后得到：
an C
an C
a x n 1
1
a x n 1
关键是在于对 f (n) 的求积，至于书写格式方面因人而异，只要有信心，同样可以使
用 符号.
4.一阶线性递推关系处理方法：
一般形式： an 1 pan q ，已知条件是数列 an 中的某一项即可
数列与数列的通项公式的推导
数列与数列的通项公式的推导数列是指按照一定规律排列的一系列数字的集合。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列，并且研究它们之间的关系。
数列的通项公式是指能够用一个式子来表示数列中各项之间关系的公式。
本文将探讨数列与数列的通项公式的推导方法。
一、等差数列与通项公式的推导等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可表示为an = a₁+ (n-1)d，其中n为数列中的项数。
推导过程如下：1. 根据等差数列的定义可知，第n项与第一项之间的差值为(n-1)d。
所以第n项可以表示为：an = a₁ + (n-1)d。
2. 将公式an = a₁ + (n-1)d进行化简，得到通项公式。
二、等比数列与通项公式的推导等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则数列的通项公式可表示为an = a₁ * q^(n-1)，其中n为数列中的项数。
推导过程如下：1. 根据等比数列的定义可知，第n项与第一项之间的比值为q^(n-1)。
所以第n项可以表示为：an = a₁ * q^(n-1)。
2. 将公式an = a₁ * q^(n-1)进行化简，得到通项公式。
三、斐波那契数列与通项公式的推导斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项起，每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式可表示为an = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n项的值。
推导过程如下：1. 根据斐波那契数列的定义可知，第n项与前两项之和相等。
所以第n项可以表示为：an = f(n-1) + f(n-2)。
2. 将公式an = f(n-1) + f(n-2)进行化简，得到通项公式。
通过以上推导过程，我们可以得到等差数列、等比数列和斐波那契数列的通项公式。
这些通项公式能够帮助我们快速计算数列中任意一项的值，也方便了数学问题的求解。
除了上述常见的数列，还有其他类型的数列，比如等差数列的扩展形式、等比数列的扩展形式等。
求数列通项公式精品讲义
n
f(k)
k=1
16．已知数列 an 满足 a1 = 1，an + 1 = 2nan，求数列 {an} 的通项公式 .
17． 已知数列 an
满足
a1
=
2 3
，an
+
1
=
n+n1 an
，求数列
{an}
的通项公式
.
18． 已知数列 an 满足 a1 = 3，an + 1 = 33nn+−21 an (n ≥ 1)，求数列 {an} 的通项公式 .
21．已知数列
{an}
满足
an
+
1
=
an 3an + 1
，a1
=
1，求数列
{an}
的通项公式．
6 同除法：
1° 形如
an
+
1
=
λan
+
λn
−
1，同除
λn
+
1
⇒
an +1 λn + 1
=
λan λn + 1
+
λn−1 λn + 1
22．已知数列 {an} 满足 an + 1 = 3an + 3n − 1，a1 = 1，求数列 {an} 的通项公式．
分析 ：把已知关系通过
an
=
SS1n,-n
=1 Sn - 1,n
≥
2
转化为数列
an
或 Sn 的递推
关系，然后采用相应的方法求解．
9．若数列
{an}
的前
n
项和
Sn
=
2 3
数列的通项公式
数列的通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，研究数列的性质和规律是一个重要的课题。
而数列的通项公式则是数列中任意一项与序号之间的关系式，它可以方便地计算数列中任意一项的数值。
一、等差等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值恒定的数列。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列中第n项的数值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a₁=1，公差d=2。
我们可以使用通项公式计算出数列中任意一项的数值。
二、等比等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值恒定的数列。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列中第n项的数值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，首项a₁=2，公比q=2。
我们可以使用通项公式计算出数列中任意一项的数值。
三、斐波那契斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式不是简单的简单的乘法或加法关系，而是由一个特殊的公式来计算。
通项公式为：Fₙ = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5其中，Fₙ表示数列中第n项的数值，φ是黄金分割比（约等于1.618），(-φ)^(-n)表示负的黄金分割比的n次方。
例如，斐波那契数列的前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...，我们可以使用通项公式计算出数列中任意一项的数值。
四、其他除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他特殊的数列，它们也都有自己的通项公式。
根据数列的规律，我们可以通过观察和推理来找到数列的通项公式。
例如，特殊数列如平方数列、立方数列、阶乘数列等，它们都有着特定的通项公式。
总结：数列的通项公式是计算数列中任意一项数值的公式。
对于等差数列、等比数列以及斐波那契数列等常见的数列，我们可以使用通项公式来方便地计算数列中任意一项的数值。
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是数学中经常使用的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为项，而数列求通项公式的方法则是为了找到这些数列中的规律，从而可以通过公式来表示数列中的任意一项。
本文将介绍一些常用的数列求通项公式的方法。
一、等差数列求通项公式等差数列是一种数列，其中任意两项之间的差值保持不变。
等差数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
二、等比数列求通项公式等比数列是一种数列，其中任意两项之间的比值保持不变。
等比数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
三、费波纳契数列求通项公式费波纳契数列是一种特殊的数列，其规律是每一项都是前两项的和。
费波纳契数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)其中，an表示第n项。
四、算术几何平均数列求通项公式算术几何平均数列是一种结合了等差数列和等比数列的数列，其规律是每一项既满足等差数列的差值规律，又满足等比数列的比值规律。
算术几何平均数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (a1 * r^n - b1)/(r - 1)其中，an表示第n项，a1表示等差数列的首项，r表示等比数列的公比，b1表示几何数列的首项。
五、斐波那契-黄金分割数列求通项公式斐波那契-黄金分割数列是一种结合了费波纳契数列和黄金分割比例的数列，其规律是每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例（约为1.618）。
斐波那契-黄金分割数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * Phi^n其中，an表示第n项，a1表示首项，Phi表示黄金分割比例（约为1.618）。
高三数学数列通项公式的求法
4n 5
1 ) [( n 1 ) 1 ] 2 n 1
由于 a 1 不适合于此等式 0 ( n 1) ∴ a
n
2n 1
(n 2)
六、 换元法
当给出递推关系求 a n 时，主要掌握通过引进 辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。 例8，已知数列{ a n } 的递推关系为a n 1 2 a n 1 ，且 a 1 1 求通项公式 a n 。
注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 n 的，如2，4，8，……。可归纳成 a n 2 或 2 者a n n n 2 两个不同的数列（ a 4 便不同）
二、迭加法（又叫加减法，逐加法）
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列时，就可用迭加法 进行消元
n
1
∴ a ∴ a
n
1
1 a1
2 ( n 1)
5 4n 2
n
2 5 4n
在中国，有关抠神的传说源远流长。成书于二千多年前的《山海经》，就已记载了有关抠神的种种传说。《太平广记》里也收录了大禹囚禁商 章氏、兜庐氏等抠神的故事。《五藏山经》里还对诸抠神的状貌作了详尽的描述。 ； /xs/0/993/ 抠神 lgh21neh 古代中国人民将山岳神化而加以崇拜。从抠神的称谓上看抠神崇拜极为复杂，各种鬼怪精灵皆依附于山。最终，各种鬼怪精灵的名称及差异分 界都消失了，或者你中有我，我中有你而互相融合了。演变成了每一地区的主要山峰皆有人格化了的抠神居住。《礼记·祭法》：“山林川谷 丘陵，能出云，为风雨，见怪物，皆曰神。”虞舜时即有“望于山川，遍于群神”的祭制，传说舜曾巡祭泰山、衡山、华山和恒山。历代天子 封禅祭天地，也要对抠神进行大祭。祭山时大多用玉石和玉器埋于地下，也有用“投”和“悬”的祭法，即将祭品鸡、羊、猪或玉石投入山谷 或悬在树梢。 亲，凝儿，你不要瞒着姐姐，你快告诉我，你的心中可是有什么其它的人？”“没……，没……，没有。”“没有就好，没有就好。凝儿，你 可是吓死姐姐了！如果你心里有什么想法，姐姐在这里劝你，壹定不要再去想了！你已经被皇上赐婚，那王府可是天家，咱们年府可是胳膊拧 不过大腿啊！你生是王爷的人，死是王府的鬼，那些不切实际的想法，姐姐求你，壹定不要再想了！”“凝儿，没有。”“凝儿，姐姐知道， 你样貌好，有才学，家人又都是宠你，你的心气儿太高了，眼光也是太高了！不过姐姐保证，王爷真的是壹个完完全全能够配得上妹妹的良 人！”“姐姐，您不要再说王爷的好话了！”“凝儿，不管姐姐说不说王爷的好话，你今天壹定要跟姐姐发誓，今生今世，心中只有王爷壹 人！”“姐姐！”“凝儿，你为什么不敢跟姐姐发誓？你如果不敢发誓，就说明你心中还有别的人！”“凝儿，真的……”“你要对我说：凝 儿发誓，今生今世，心中只有王爷壹人！”“凝儿，凝儿，发誓，心中，有王爷……”“凝儿，你壹辈子都不要忘记今天说过的话，姐姐替你 记得。”“姐姐！姐姐！凝儿的命为什么这么苦啊！”“凝儿，姐姐的命也是壹样的苦啊！谁让咱们是年家的儿女，谁让咱们年家被划入了王 爷的门下啊！”第壹卷 第五十四章 嫁衣五月初十的壹大早，天还没有亮，冰凝就起了身，来自宫中的二十个嬷嬷、二十个宫女，二十个太监 也全都早早地来到年府，做着紧张而忙碌的准备工作。玉盈和冰凝几乎整夜没有合眼，两人哭了又说，说了又哭，壹直到了四更天，两个人的 嗓子都说哑了，才算迫不得以勉强止住了泪水和说话。挤在壹张床上，两人手拉着手，共度这最后的壹夜。即使玉盈和冰凝不再说话，两个人 谁都没有睡着，各自想着心事。玉盈虽然劝了冰凝壹晚，可是她的心壹直在滴血，王爷，是那么丰神俊朗、冷峻沉静的壹个人，哪里像二哥哥 说的那样心狠手辣呢？分明是有情深似海、义薄云天的人啊！凝儿永远是那么的幸运，天底下最好的东西，永远是属于凝儿的，自己虽然能得 到王爷的爱恋，可是，命运为什么要这么捉弄人？对自己心生爱慕的王爷，转瞬之间，就要成为凝儿的夫君，老天爷，这是为什么？为什么失 去了爹娘，又要失去爱恋的人，老天，这是为什么？！冰凝虽然被玉盈硬逼着发下誓言，可是，她怎么可能忘记那春风沉醉的夜晚，忘记那琴 瑟合鸣的欢愉，忘记那神仙眷属的向往？为什么，就只差了壹步，就错过了壹生中的最爱！今生今世，就这样永远地错过了！为什么！老天要 这样捉弄她，让她看到梦想，又失去希望？！两姐妹壹夜未眠，待含烟、吟雪、月影和翠珠进来服侍的时候，两个人都是眼睛红肿，脸色煞白， 头昏脑涨。宫里的
高考数学复习专题讲座 数列通项公式的求法
高考数学复习专题讲座 数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n nn n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
求数列的通项公式
济南历城二中人文数学学案———————————————————————————————————————— 5.6求数列的通项公式一.公式法1、等差数列与等比数列公式 例1、（1）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式；（2）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式.2、知n S 求n a例2、（1）已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
（2）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式；班级： 姓名： 学号：————————————————————————————————————————小结：利用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并。
3、叠加法方法:对于形如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥； 例3、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
4、叠乘法方法:形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥； 例4、已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求通项公式n a ．变式练习：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
高中数学知识点求数列的通项公式
求数列的通项公式知识要点：求数列的通项公式是认识数列进而研究数列的关键，实际上，当数列的各项，如果能用项数n 的解析式来表示即：()a f n n =，找到这个解析式就得到了数列的各项，又因为数列是一类特殊的函数，作为函数来研究数列的性质时，若有解析式：()a f n n =，设法求得这个通项公式则与之有关的问题应刃而解。
由于数列的类型多，每个数列的通项公式表现是不同的，有的是“显性”在给出的数列中只要认真观察，联想便可得到，有的数列实际上是等差数列或等比数列，其通项公式已有定式，也有的数列其a n 与项数n 的规律必须从题目中设法挖掘出来。
为此，依求通项公式的方法可以有以下几种。
1、观察法：一些数列给出前n 项便可归纳出通项公式，有的数列观察前几项便可分析出是等差数列或等比数列，由等差、等比数列的通项公式，直接写出通项公式。
如：写出下列各数列的一个通项公式：①2，－6，18，－54，162，－486，……这可以分析依等比数列（公比为（－3））的通项公式得到：()a n n =--231 ②1121213131414151516-----，，，，，…… 观察规律：n a n ==-----123451121213131414151516………… 归纳得出：a n n n =-+111③15，25，35，45，55，……观察，数列各项间有：a a a a a a 21324310-=-=-==…这是个等差数列：()a n n n =+-=+151101052、已知数列{}a n 的前n 项的和S n ，求通项公式a n 。
这是又一种数列的给出形式即：()S g n n =型一般是以a n 与S n 的关系考虑：()a S a S S n n n n 1112==-≥-如：已知数列{}a n 的前n 项的和S n n n =+-31求它的通项公式。
解法是：a S 111111==+-=()()()[]n n n n n n a S a n n n =+---+--=-+===-+33211211113322332此时∴为所求数列的通项公式3、已知递推关系式求通项公式如果一个数列若干项后的任一项都可以用与它相邻的前面若干项表示出来。
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微专题53求数列的通项公式一、基础知识——求通项公式的方法1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=，则可利用累加法求通项公式①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式例：数列{}n a 满足：11a =，且121nn n a a +-=+，求na 解：121nn n a a +-=+1121n n n a a ---=+ 12121a a -=+累加可得：()2112221n n a a n --=++++- ()122112321n n n n --=+-=+--22n n a n ∴=+-（2）累乘法：如果递推公式形式为：()1n na f n a +=，则可利用累加法求通项公式例：已知数列{}n a 满足：11a =，且()11n n na n a +=+，求n a 解：()1111n n n n a n na n a a n+++=+⇒=1212112121n n n n a a a n n a a a n n ----∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-- 1na n a ⇒=1n a na n∴==2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。
通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如()11,0n n a pa q p q -=+≠≠的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。
例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式思路：观察到n a 与1n a -有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对n a 与1n a -分别加上同一个常数λ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出λ解：设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+对比132n n a a -=+，可得1λ=()1131n n a a -∴+=+{}1n a ∴+是公比为3的等比数列()11113n n a a -∴+=+⋅1231n n a -∴=⋅-（2）形如1nn n a pa q -=+，此类问题可先处理nq ，两边同时除以nq ，得11n n n n a a p q q-=+，进而构造成111n n n n a p a q q q --=⋅+，设n n n a b q =，从而变成11n n pb b q-=⋅+，从而将问题转化为第（1）个问题例：在数列{}n a 中，11a =，1323nn n a a -=+⋅解：1323nn n a a -=+⋅11233n n n n a a --∴=+3n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列()115122333n n a a n n ∴=+-⋅=-5233nn a n ⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如()1n n a pa f n -=+（其中()f n 为关于n 的表达式），可两边同时除以np ，()11n n n n n f n a a p p p --=+。
设nn n a b p=，即()1n n nf n b b p--=，进而只要()nf n p可进行求和，便可用累加的方法求出n b ，进而求出n b 。
以（1）中的例题为例：132n n a a -=+ 1112333nn n n n a a --⎛⎫∴=+⋅ ⎪⎝⎭设3n n n a b =，则113b =1123nn n b b -⎛⎫∴-=⋅ ⎪⎝⎭112123n n n b b ---⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭221123b b ⎛⎫∴-=⋅ ⎪⎝⎭122311111331111122113333313n nn n b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴-=+++=⋅=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 1112133333n nn b ⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121231333nn n n n a a -⎛⎫∴=-⇒=⋅- ⎪⎝⎭（3）形如：11n n n n qa pa a a ---=，可以考虑两边同时除以1n n a a -，转化为11n n q pa a --=的形式，进而可设1n nb a =，递推公式变为11n n qb pb --=，转变为上面的类型求解例：已知在数列{}n a 中，10,2n a a ≠=，且112n n n n a a a a ++-=解：1111122n n n n n na a a a a a +++-=⇒-=-1112n n a a -∴-=-12112n n a a --∴-=- 21112a a ∴-=-∴累加可得：()11121n n a a -=--111152222222n n n n a a ∴=-+=-+=-1255422n a nn ∴==--（4）形如()21n n n pa p q a qa k ++-++=，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：()()211n n n n p a a q a a k +++---=的形式，将1n n n b a a +=-，进而可转化为上面所述类型进行求解例：已知数列{}n a 中，121,3a a ==，且2124n n n a a a ++-+=，求n a 解：()()21211244n n n n n n n a a a a a a a +++++-+=⇒---=设1n n n b a a +=-，则14n n b b +-=，且1212b a a =-={}n b ∴为公差是4的等差数列()11442n b b n n ∴=+-⋅=-142n n a a n +∴-=-()1412n n a a n --=--21412a a -=⨯-()()1412121n a a n n ∴-=+++---⎡⎤⎣⎦ ()()214212422n n n n n -=⋅--=-+2243n a n n ∴=-+4、题目中出现关于,n n S a 的等式：一方面可通过特殊值法（令1n =）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯n S 或纯n a 的递推式，然后再求出n a 的通项公式。
例：已知数列{}n a 各项均为正数，()1,2n n n a a S n N ++=∈，求na 解：()()11111,22n n n n n n a a a a S S ---++==两式相减，可得：()()()11111,222n n n n n n a a a a S S n Nn --*-++-=-∈≥222211112n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----+-∴=⇒+=-()()111n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-0n a > 11n n a a -∴-={}n a ∴是公差为1的等差数列在()12n n n a a S +=中，令1n =，可得()1111112a a S a +=⇒=()11n a a n d n∴=+-=5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。
尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。
（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式解：132n n a a -=+ ①132n n a a +∴=+②②-①可得：()113n n n n a a a a +--=-{}1n n a a +∴-是公比为3的等比数列21325a a =+=214a a ∴-=()11121343n n n n a a a a --+∴-=-⋅=⋅2143n n n a a --∴-=⋅31243n n n a a ----=⋅ 02143a a -=⋅累加后可得：()1211314133423231n n n n a a -----=+++=⋅=⋅-- 1231n n a -∴=⋅-6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）例1：在数列{}n a 中，()2111,23,21n n n na a a n n N n n --==+⨯∈≥-，求数列{}n a 的通项公式na 思路：观察递推公式中111n a n n -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭的特点，两边同时除以n 可得211231n n n a a n n --=+⨯-，进而可将n a n 视为一个整体，利用累加法即可得到n an 的表达式，从而求出n a 解：21231n n n na a n n --=+⨯-211231n n n a a n n --∴=+⨯-即21231n n n a a n n ---=⨯-则有21231n n n a a n n ---=⨯-3122312n n n a a n n ----=⨯-- 21221a a -=累加可得：()()121231213331n n n a a n ----=+++=- 即111313n n na a n--=+-=13n n a n -∴=⋅例2：已知在数列{}n a 中，11a =，2221nn n S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________思路：在本题中很难直接消去n S ，所以考虑n a 用1n n S S --进行表示，求出n S 之后再解出n a 解： 当2,n n N *≥∈时，1n n n a S S -=-222111222221nn n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，整理可得：112n n n n S S S S ---=1112n n S S -∴-=1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列()1111221n n n S S ∴=+-⋅=-121n S n ∴=-11,221231,1n n a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩点评：在,n n S a 同时存在的等式中，例3：数列{}n a 满足110,2n n a a a n +=+=，则2015a =_________思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即()()121,2,n n a a n n n N *-+=-≥∈，两式相减可得：()112,2,n n a a n n N *+--=≥∈，从而可得在{}n a 中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以2015110072014a a d =+=答案：2014例4：已知数列{}n a 满足：132a =，且()1132,21n n n na a n n N a n *--=≥∈+-，则数列{}n a 的通项公式为_________思路：观察到递推公式的分子只有1n a -，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：111111312121212133333n n n n n n n n n na a n n n n a a n a na n na a a ------+---=⇒==+⇒=+-，从而找到同构特点，并设为辅助数列：n n nb a =，求出{}n b 通项公式后即可解出n a 解：11321n n n na a a n --=+-11112121333n n n n a n n a na n na ---+--∴==+12133n n n n a a --∴=+设n n n b a =，则11233n n b b -=+，11123b a ==而()1112111333n n n n b b b b --=+⇒-=-{}1n b ∴-为公比是13的等比数列()111113n n b b -⎛⎫∴-=-⋅ ⎪⎝⎭113nn b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭即113nn n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭331113nn nnnn a ⋅∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭例5：已知数列{}n a 为正项数列，且1212444222nn n S S S S a a a +++=+++ ，求na 解：1212444222nnn S S S S a a a +++=+++ ①1211121444222n n n S S S S a a a ---+++=+++ ()2,n n N *≥∈②①-②可得：24422nn n n n n S a S a a a =⇒=++，2n ≥在已知等式中令1n =，可得：()1111114422S S S a a a =⇒=++③，满足上式242n n n S a a ∴=+④211142n n n S a a ---=+⑤两式相减可得：2211422n n n n n a a a a a --=+--()22112n n n n a a a a --⇔+=-，()()22111n n n n n n a a a a a a ----=+- 12n n a a -∴-={}n a ∴为公差是2的等差数列，由③可解得：12a =()112n a a n d n∴=+-=例6：已知数列{}n a 的各项均为正数，且112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求n a 思路：所给为,n n S a 的关系，先会想到转为n a 递推公式，()1111122n n n S a n a ---⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，两式相减可得：111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=+--⇒+=-，很难再往下进行。