集合与命题的常见错误归纳分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析数学作为一门严谨的科学，集合论和命题逻辑是其重要的基础理论。
本文将对数学中的集合与命题逻辑的关系进行分析，并探讨它们在数学推理和证明中的应用。
一、集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的对象所组成的整体。
集合论研究的是集合的性质、运算以及集合之间的关系。
集合可以用数学符号表示，比如用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合间的关系包括等于、包含、相交等。
两个集合相等表示它们具有完全相同的元素。
一个集合包含另一个集合，表示前一个集合中的所有元素都属于后一个集合。
两个集合相交表示它们有共同的元素。
二、命题逻辑基础命题逻辑是研究命题与命题间关系的数学分支。
命题是陈述性句子，其可以被判定为真或假。
命题逻辑通过符号和运算符号来表达、连接和分析命题。
命题之间有与、或、非等常见的逻辑连接词。
与运算表示两个命题同时为真时整体命题才为真。
或运算表示两个命题中至少一个为真时整体命题为真。
非运算表示对命题的否定。
三、集合与命题逻辑的关系1. 集合与命题的关系集合中的元素可以看作是命题，而集合本身可以看作是表示多个命题的逻辑组合。
比如，集合A可以表示为{a, b, c}，其中a、b、c是具体的命题。
这样，集合A就表示了这些命题的逻辑组合。
2. 集合运算与命题逻辑的关系集合运算和命题逻辑运算有着一定的对应关系。
并集运算可以看作是命题的或运算，表示两个集合中的元素组成的集合。
交集运算可以看作是命题的与运算，表示两个集合中同时满足的元素组成的集合。
补集运算可以看作是命题的非运算，表示集合中不满足某个条件的元素组成的集合。
3. 集合与命题逻辑在数学推理中的应用集合与命题逻辑在数学推理和证明中起着重要的作用。
通过对集合中的元素进行逻辑分析，可以推导出集合的性质和运算规律。
通过命题逻辑的推理规则，可以证明一些数学定理和命题。
集合论与命题逻辑的结合，为数学推理提供了一个严密的逻辑基础。
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
高中生集合与函数概念学习中的典型错误及归因研究
Ｄ ． ， （ ） ＝ √ Ｙ １， 占 （ ｖ ） ： √ ．
一 Ｙ Ｊ—
解 集 的 并集 。
用 必要 条 件 代替 ， 解 集可 能扩 大 【 例６ １已知 方 程 一 ２ “＋ ４ ： ０的 两 根
答 错 误 的原 因 。 人在 学 习时 应 在错 误 中找 到
中图分类号 ： Ｇ ４ ２
文献标识 码： Ａ
文章编 号： １ ６ ７ ４ － ０ ９ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８（ ａ ） ． ０ １ ５ ７ — ０ ２
面对 数学 练 习题 ， 我 们 因 为对 习题 有 了
正 确 的 解 决方 法和 解 答 思 路 ， 往往 忽 略了解
创 新 教 育
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｅ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ： ａ ｌ ｄ ！
高 中生 集 合 与 函数 概 念 学 习 中的典 型 错 误 及 归因研 究
胡 晓飞 杨惠娟 （ 昭通学院 数学 与统 计学院 云南 昭通
解数 学题 时经常需要 分类讨论 。 分 类 讨 论 的原 则 ：（ １ ） 不遗漏， 即 划 分 所 得 的 子
个 数 学 习题 的解 决 ， 可 以采 取 多种 不
口 ） ， 且 Ｂ： Ｒ， 求 实数 ａ的取 值 范 围。 项 的总 和 应 该 等于 母 项 ；（ ２ ） 每 次 划分 应 对 过程清晰， 思 维 合 理而 经 济， 具 有 事 半 功 倍 学 生 可能 出错 的原 因 ：（ １ ） 不 清 楚 条 件 按 照同一 标 准 亍；（ ３ ） 不 重复 ， 即 划 分 得 的作用。 而 策 略 性 错误 有 两 个 含义 ： 一 是 策 与 条件 之 间的联 系 ， 以 及 条件 和 结 论 之 间的 子项 之 间 是不 相 容 的并 列关 系， 不 能是 交 叉 略 产生 错 误 的导 向， 因而 未能 使 问题 得 到 解 关系， 想 不 到 用 数 形 结 合 的 方 法 帮助 理 解 关 系或 是 从 属关 系；（ ４ ） 划 分应 当按 照层次 决； 二是 策 略 明显 地 增 加 了解 题 过 程 的难 题 意 ；（ ２ ） 会应 用数 形 结 合 的 方 法 ， 但会 因 逐 级 进行 。 度， 如果 加 上 时 间限制 这 个 因 素 ， 问题 很 有 为 考虑 不 全面 而忽 略 ａ ＝ １ 也成立。 【 例４ 】若 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｍ ｘ ＋ｍ ｘ － （ － ３， 对 可能得 不到解决。 策 略 性 错 误 主 要 表 现 为 １ ． ２概念、 性质 混 淆不 清 Ｘ∈ Ｒ ， ＿ 厂 （ ） ＞０恒 成 立 ， 求 ｌ 的取 值 范 围。 不 能 正 确识 别模 式 常见 的表现 有：（ １ ） 临近 概 念辨 别不 清 ； 学 生 可 能 出 错 的原 因是 没有 考 虑 ＝０ 西 蒙 等人 从 ２ ０ 世纪５ Ｏ 年代起 ， 以信 息 （ ２ ） 基本 数学 概 念 理 解 不透 彻 ； 的情况 。 分 类 不 当 的一 个 常 见 表 现 是 以 偏 １ １ 加 工 观 点 对 人 解 决 问题 的 过 程 进 行 了一 系 忽略特例， 这和 学 生 解题 时 的分 类意 【 例２ 】若 Ａ＝ 扛ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， Ｂ＝ ｛ ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， ｃ： 概全、 列研 究 ， 得 出 人 们 所 面 临 的 问 题 大 多数 是 １ 识 不强 、 思 考 问题 不 周密 有关 。 通 过 模 式 识 别 来 解 决 的 。函数 的 值 域 问题 ｛ （ 五 ） ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， 这 三个 集 合 分 别表 示 什么？ ２ ． ２ 不 等价 变 换 是 重点 ， 对 学生来说也 是难 点 。 求 值 域 的 学 生可 能 出错 的原 因：（ １ ） 对 集 合 描 述 在 某 些 球 解 题 中， 由于对 作 为解 题依 据 方 法 一 般 有 数形 结合法 、 换元法、 分离 常数 法的定义不清楚 ， 不 知 道 各 个 符 号 表 示 的 的 命 题 进 行 不 等 价 变 换 ， 常 导 致 解 集 的 缩 法、 判 别 式 法 和 利 用 导 数 求 出 单 调 性 进 而 意 义 ；（ ２ ） 虽然 知 道各 个 符 号 表 示 的意 义 ， 小或扩 大， 这 是 学 生 经 常 出现 的 一 种 逻 辑 求 得 函 数 的 值 域 。哪 一 种 类 型 用 哪 一种 方 但记 不 清 楚 反比例 函数 的 值 域 和 图像 。 错误。 法就需 要学生进行模式 辨认 。 辨 认 的 正 确 １ ． ３忽略公式、 性 质 成 立 的 条 件 用 充分 条 件 代 替 ， 解 集 可能 缩 小 与 否决 定 着所 提 取 的方 法 合 适与 否， 从 而决 形 式 地 记忆 性 质 、 公式 ， 不 注 重 公式 成 【 例５ 】解 不等 式 ｌ ｏ ｇ ， （ ４ ｘ － ３ ） ＞ ０． 定 解题 的结 果 正 确与 否。 立 的 条件 ， 对 公式 、 性 质 的 本 质 和应 用 缺 乏 ｒ ３ ＞１ 深刻理解， 因此 不 考虑 是 否 具 备应 有条 件 ，
高三复习数学11_集合与命题(有答案)
1.1 集合与命题一、解答题。
1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。
高考数学集合知识的命题意图与解答技巧分析
高考数学集合知识的命题意图与解答技巧分析江苏省白蒲高级中学(226511) 陈建军●摘 要:集合知识是高中数学教学中的基础知识,集合知识是高中教学中几何、函数和数列等知识的基础,因此集合知识的相关题目也是高考中数学试卷上必定会出现的问题,充分理解题目的命题意图,并使用相应的解答技巧进行解答就显得尤为重要.本文就针对高考数学集合知识的命题意图与解答技巧进行分析.关键词:高考;高中数学;集合知识;命题意图;解答方法中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1008-0333(2016)21-0009-02 一、集合知识的概念和关系(一)集合知识的重要性集合论(Set Theory)在19世纪末被首次提出,由德国数学家康托尔创立.集合论是现代数学的基础所在,现代数学中的各项数学概念都可以使用集合论的概念加以定义,也就是说集合论适用于各种复杂的数学概念和理论.集合论在现代数学理论的各项分支内也得到了广泛使用,在更好的定义各项数学分支的同时,也推进了现代数学的不断发展.现代数学强调数学语言的统一性,需要最大程度地将数学语言进行简化,而集合语言是现代数学语言的基础所在.在高中数学教学中,集合论贯穿了学生的整个高中数学历程,是重要的基本概念.在内容的编排上,集合论在高一数学教材的第一章第一节,由此可以看出集合知识的地位和重要性.(二)集合的概念及题型集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,将其中的对象称为元素,简单的来说,由一个或多个元素所构成的就是集合.集合是高考数学中的必考内容,按照所考核的方面不同,题型设计也会有所不同.通常针对集合关系、运算方法和术语符号的考查等对知识进行简单应用的考核,题型设计为填空题和选择题;而针对以集合为基础的函数、几何、方程等知识进行考核,为了考核高中学生的整体数学思维和数学能力,确保学生的逻辑能力,题型设计为解答题.(三)集合基本关系集合的概念分为多个方面,包括子集、全集和空集,高考数学对学生集合关系的掌握有很严格的要求,主要考查对子集、全集和空集等概念的理解程度,并熟练掌握集合之间的各种关系,以学生的整体数学思维和思想为主要考查对象.在重庆2015年数学高考试卷中就有相应的题目:已知全集U ={1,2,3,4},集合A ={1,2},B ={2,3},则∁U (A ∪B )=( ).A .{1,3,4} B .{3,4} C .{3} D .{4}因为A ∪B ={1,2,3},而U ={1,2,3,4},故▶化,以便使函数概念的本质能够被学生充分地认识.四、培养学生在函数学习过程中的建模能力(一)在函数知识已经被学生掌握以后,教师应当鼓励学生在生活实际中运用到函数知识,有利于学生将整体性的函数思维构建出来,提高自主学习的能力,体验到知识点在生活中运用的快乐和成就感.(二)数学教师应当在学生对问题进行解答时让他们对已知条件加强重视,对关键信息有所把握,能够综合分析出掌握了的有效信息.总结出此问题的一般思路可表示如下(1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量对应关系,即函数关系.(2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.正确进行建“模”是关键的一关.五、在解决函数问题中应用到类比和归纳思想(一)类比和归纳函数的方法是高中数学教学中常常会使用到的方法,简单来说,类比、化归的方法可以用来解决常见的函数问题,其能够在目标和已知条件之间通过转化后建立相关的联系,以便将解决问题的难度降低.(二)我们可以举例分析,比如研究了指数函数后我们可以模仿指数函数的研究内容和方式研究对数函数,在这里放手让他们研究.在函数的教学中无非研究三个要素,和性质图象,在研究函数时,图象和性质又是一对双胞胎,它们相辅相成.在数学函数学习过程中,学生深刻地掌握到数学的类比、化归、数形结合思想后,有利于学生的应变能力在数学问题解决过程中得到提升,促进函数学习兴趣的提高.因此,数学教师在课堂中,首先应当引导学生对初中阶段的函数知识点进行复习和巩固,有利于完整地将初高中之间的函数课程衔接好;在教学计划设计时,应当根据学生的学习特点、兴趣和心理展开,对于函数概念的重难点,智慧地选用一些恰当的生活实例进行知识点的运用和分析,有利于学生能够快速地掌握到知识内容.参考文献[1]杨黎.超级画板与高中函数教学整合的有效性研究[D ].海南师范大学,2012.[2]任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D ].内蒙古师范大学,2013.[3]傅婷.基于翻转课堂教学模式的高中函数教学实践研究[D ].陕西师范大学,2014.[4]刘春花.高中函数情境教学研究[D ].内蒙古师范大学,2013.[5]沈红娟.浅议提高高中数学课堂教学效率的途径[J ].高中数学教与学,2011,06:22-23.[6]满海波.支架式教学在函数教学中的应用研究[D ].河北师范大学,2013.[7]刘敏.高中函数概念教学研究[D ].陕西师范大学,2011.[8]高天富.如何提高高中数学函数教学效率策略探讨[J ].数理化学习,2014,04:58.[9]江苏省教育科学“十二五”规划课题《高中数学课程基地促进师生“智慧学习”的实践研究》—9—All Rights Reserved.∁U(A∪B)={4}.这道题目主要考察集合之间的关系和集合的基本概念,是高中数学集合知识中的基础所在. (四)集合基本运算并集与交集的概念也是高中数学集合知识中的重点,属于高考数学的必考题目,学生在解答这类问题需要拥有会求两个集合的并集与交集的能力,同时能够求出给定子集的补集.在高考数学中,还将韦恩图融入了题目之中,学生需要使用韦恩图进行集合运算.在北京2015年数学高考试卷中就有相应的题目:已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( ). A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}该道题目的正确答案为B,可以从公式{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}中得出.这道题目主要考查学生对集合交集运算的掌握程度,在进行解答时,需要明确“<和”“≤”的区别.另外,使用数轴也可以进行该题目的解答,且更加直观.(五)集合与其他知识的结合上文所述,集合是高中数学中各项数学概念的基础,包括方程、几何和函数等,因此高考数学中会有以集合为基础的组合型复杂题型,将集合语言作为主要表现形式,将各项概念作为载体,考查学生的数学逻辑和数学思想等综合数学能力.在陕西2015年数学高考试卷中就有相应的题目:设全集为R,函数f(x)=1-x2的定义域为M,则∁R M为( ).A.(-1,1)B.(-1,1)C.(+∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)该道题目的正确答案为D.首先要使函数f(x)= 1-x2有意义,则1-x2≥0,得出-1≤x≤1,则M=[-1,1],∁R M=(-∞,-1)∪(1,+∞).这道题目将集合与函数进行结合,考查学生对于补集计算和函数定义域的掌握程度,是一道综合性题目.二、高考数学集合知识解答技巧如果对历年来各省份的高考数学试卷进行汇总和分析,可以看出高考数学命题的规律和整体命题意图,按照题型可分为基本型、交汇型、计数型、逆向型和判断型几类,不同类型的题型具有不同的解答技巧. (一)基本型基本型题型的主要目的是考查学生对集合概念的掌握程度,知识面包括了基本概念、集合运算和集合之间的关系,解答基本型题目的方法可分为列举法、定义法、韦恩图法、性质法等等.列举2015年高考全国卷Ⅰ中相应的具体题目:已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则( ). A.A∩B=Ø B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B该题正确答案为B.因为x(x-2)>0,因此x<0或x>2,根据图象(图1)可以看出集合A与B,从而得出答案A∪B=R.该题将集合之间的关系与不等式结合,考查学生对集合关系的掌握程度.这种将集合关系与不等式结合的方式是近年来高考数学的热点题型,在进行判断时,可以合理地使用数轴和韦恩图的方法,通过有效的数形结合得出问题答案.(二)交汇型交汇类题型通过各种数学概念与集合的交汇,形成综合知识,对学生集合知识的灵活运用程度进行考查,主要包括了集合与几何解析、函数等方面知识的结合.列举四川2015年数学高考试卷中的相关题目:设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=( ).A.{-2}B.{2}C.{-2,2}D.Ø该题正确答案为A.由题目可看出A={-2},B= {-2,2},得出A∩B={-2}.这道题目是集合知识与函数方程的结合,对集合之间的关系和集合运算方面进行考查,在高考数学中属于较为简单的题目. (三)计数型在这类题型中,集合是主要背景,题目对象为计算子集、元素的个数,解答这类题型通常使用图表法和公式法.列举2015年高考全国卷中的相关题目:已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ). A.3 B.6 C.8 D.10该题正确答案为D.要使x-y∈A,当x=5时,y可以是1,2,3,4,当x=4时,y可以是1,2,3,当x=3时,可以是2,当x=2时,y可以是1,因此得出元素个数为10个.解答这道题目考查集合运算以及集合之间的关系,使用的是分类讨论的数学思想,难度较为基础. (四)逆向型逆向型题目通常已知集合的关系以及集合运算的结果,需要写出集合关系与运算的可能表达式,考查学生的逆向思维和数学逻辑能力.列举上海2015年高考数学试卷中的相应题目:设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-α)≥0},B= {x|x≥α-1},若A∪B=R,则α的取值范围为( ).A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)该题的正确答案为B.使用数轴的方法讨论集合A可得出答案(-∞,2].这道题目的思路在于使用分类讨论与数轴相结合的方法,在答题时需要理清公式内各个部分的关系和区别,该题主要考查学生对不等式与集合运算结合的掌握程度,综合难度较高.教师在教学中需要深化集合的概念,强调学生在构建集合概念的心理过程,注重子集、并集等概念相互关系的教学.掌握高考数学中集合知识的命题意图,根据题型的差别使用相应的解答技巧,善用分类讨论、数形结合的数学思想是高中数学学习的关键所在.参考文献[1]沈婕.基于考生水平表现标准科学评价考生及教学———以2014年普通高考(天津卷)数学(理工类)考生水平分析为例[J].考试研究,2015,01:34-45.[2]陈昂,单旭峰,任子朝.我国高考命题的范式和范式转换研究[J].中国高教研究,2015,03:10-14.[3]慧力.三年高考四川卷数学试题分析[J].内江师范学院学报,2008,12:76-80.[4]胡耀华,杨雪艳.新课程标准下的数学高考试卷分析———以部分省份2012年数学高考试卷为例[J].考试研究, 2013,05:11-19.[5]陈国军,卢谢峰,杜超雄,袁拥军.2013年湖南省高考数学学科(理科)考生水平评价及教学建议[J].教育测量与评价(理论版),2013,11:4-21.[6]黄光扬.当前高考命题改革首要关注的若干问题研究[J].课程·教材·教法,2011,06:9-14.[7]卢寒芳.对高考数学模拟试卷命制方法的思考[J].北京教育学院学报(自然科学版),2014,03:18-22,53.—01—All Rights Reserved.。
数学错题分析
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括为一真一假）。
数学错题分析
一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
集合的运算、命题与充要条件
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件，必要条件和充要条件
教学内容
一、基础知识点：
知识点复习： 1、交集的运算性质
A B B A；A B A ；A B B ；A U A；A A A；A
2、并集的运算性质：
例4
p 是 q 的充要条件的是 [ A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于 x 的方程 ax＝1 有惟一解 ]
练习：若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件，C 是 B 成立的充要条件，则 D 是 A 成立的 [ A．充分条件 C．充要条件 B．必要条件 D．既不充分也不必要条件 ]
判断充判断充判断充分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件知识点复习
（
）
10．已知全集 I＝N，集合 A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则 A．I＝A∪B 11．设集合 M= { x | x A．M =N
k 2
（
）
B．I＝ C I A ∪B
ห้องสมุดไป่ตู้ 1 4
C．I＝A∪ C I B
k 4 1 2
D．I＝ C I A ∪ C I B （ ）
A B B A；A B A ；A B B ；A U U ；A A A；A A。
高考数学 集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)
②若B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为 (－∞，3]．
[答案] (－∞，3]
[易错提醒] 将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条 件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等 式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把 端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 集合子集个数的判定
含有n真子集的个数为2n－2(除空集 和集合本身，此时n≥1)．
[例1] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x
＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由
题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，
{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．
[答案] D
[易错提醒] (1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是 任何非空集合的真子集． (2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万 不要忘记．
∵
2x
－
3>0
，
∴
x>
3 2
，
∴
B
＝
3 xx>2
.
∴
A∩B
＝
{x|1<x<3}∩xx>32 ＝32，3. [答案] D
2019年高考数学集合与函数易错点分析
2019年高考数学集合与函数易错点分析1.实行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图实行求解。
2.在应用条件时，易忽略是空集的情况。
3.你会用补集的思想解决相关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。
6.求解与函数相关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存有反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存有反函数，此函数不一定单调。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。
这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?。
2023年高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语 第3节：简单的逻辑联结词 (教师版)
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。
基于学生错误类型的数学考试质量分析——聚焦集合、命题与不等式
、
研究背景
笔者在上 海市某高 中一年级 挑选 了一个班 级， 对该班 ３ 名学 生在期 中数学试卷 中的错误 ７ 进 行分析．该高 中是上海市浦东新 区的一个 区 重点， 高一年级共有约 ３ ０ ５ 名学生． 本次期 中考
试 主要考查学 生对 集合、命题与不等 式 内容的 掌握情况．
二、研 究框架 本文 的研 究框 架 主要借 鉴 Ｎ ｔａ Ｍｏ ｓｏ ｉ ｖｈ － ｓ
三、 典型错误分析 以下笔者给 出六个例子， 它们分别对应六种 错误类型， 同时也是学生卷面 中的常见错误， 使
读者对错 误分类系统有一个更为清晰的认识．
（Ｙ杀 ；Ｄ ＝＋ ． ｃ ） （ｙｘ ）
错解： Ａ） （ ．
错 误 分 析 ：当 Ｘ ＞ ０时， Ｙ＝ Ｘ＋ 土 ≥ ２ 学 ，
生忽略了Ｘ＞ｏ Ｋ个条件， 而在 （ 。＋。 ） 一。 ， ｏ 上应 用平均不等式， 于误解定理 或定义． 属
例 ５ 已知集合 ｛ｘ ＋ ２ ， ）＝ ．，｝ 则整 ［ ４， ７
２ １年第 ７ ０１ 期
数学教学
’３ 一ｓ
基 于学生 错 误 类型 的数 学考 试 质 量分 析
一
聚 焦 集 合、 题 与 不 等 式 命
２０ １ 华东师范大学数学系硕士研究生 袁思情 赵纪诺 ０２ ４
直 以来， 考试作为一种有效的评价学生的 方式始 终贯穿在教学活 动之中．教师通 过测试
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳单选题1、若集合A ={x ∣|x |≤1,x ∈Z }，则A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A ={x ∥x ∣≤1,x ∈Z } ={−1,0,1}，则A 的子集个数为23=8个，故选：D.2、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C3、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B ={−2,−1,1}，则A ∩(∁U B )={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、已知集合A={x|x+2x−4<0}，B={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A)∩B=（）A．{5}B．{4,5}C．{2,3,4}D．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A，再根据补集的运算得到∁R A，再根据交集的运算即可得出答案.因为A={x|x+2x−4<0}=(−2,4)，所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.5、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.6、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.7、下列命题中正确的是（）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x−1)2(x−2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.8、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.多选题9、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2答案：ABC解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N=R，则{a<23+a>4，解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N=∅，则{a≥23+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.故选：ABC.10、定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合B={1,2,3}的孙子集的是（）A．∅B．{1}C．{1,2}D．{1,2,3}答案：BC分析：根据孙子集的定义，结合各选项集合与集合B的关系，即可确定正确选项.A：∅为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求；B：{1}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；C：{1,2}为集合B的真子集，且为非空集，符合要求；D：{1,2,3}为集合B的子集，但不是真子集，不合要求.故选：BC11、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．B∩A=B D．A=B=C解析：根据集合A,B,C中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于90∘的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC小提示：本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.填空题12、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．，+∞）．答案：{0}∪[94分析：分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，，故成立；解得x=13当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，；解得a≥94综上所述，a的取值范围是{0}∪[9，+∞）．4，+∞）．所以答案是：{0}∪[9413、已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.答案：a>18分析：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.因为命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是假命题，不合题意；当a≠0时，得{a>0Δ=1−8a<0，解得a>18.所以答案是：a>18小提示：关键点点睛：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题求解是解题关键.14、已知集合A={x|x≥4或x<−5}，B={x|a+1≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围_________．答案：{a|a<−8或a≥3}分析：根据B⊆A，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B⊆A，只需a+3<−5或a+1≥4，解得a<−8或a≥3．所以实数a的取值范围{a|a<−8或a≥3}.所以答案是：{a|a<−8或a≥3}解答题15、用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．答案：(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}分析：（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)}。
高中数学集合与常用逻辑用语专题复习-2
易错点，若，则实数的值为A．B．C．D．或或【错解】由得或，解得或或，所以选D．【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当时，A=B={1,1,1}也不满足元素的互异性；当时，A=B={1，−1,0}，满足题意．集合中元素的特性：（1）确定性.一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；（2）互异性.集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素（3）无序性.集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系1．集合{x –1，x 2–1，2}中的x 不能取得值是A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当x =2时，x –1=1，x 2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =3时，x –1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误；当x =4时，x –1=3，x 2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确；当x =5时，x –1=4，x 2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确；故选B ．【答案】B错点2误解集合间的关系致错已知集合，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是A ．B ．C ．D ．【错解】因为，所以，所以，故选B ．【试题解析】因为，所以，则集合是集合B 中的元素，所以，故选D ．【参考答案】D（1）元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作（或）；如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.2．若集合，，则有A ．B ．C ．D ．【解析】，，故.故选B ．易错点3忽视空集易漏解已知集合，，若，则实数m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有，所以错解中忽略了时的情况.【试题解析】∵，∴.，①若，则，即，故时，；②若，如图所示，则，即.由得，解得.又∵，∴.由①②知，当时，.【参考答案】C（1）对于任意集合A ，有，，所以如果，就要考虑集合可能是；如果，就要考虑集合可能是.（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即，.3．集合，若，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B ．是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别设,则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【错解】选A ．【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.【试题解析】若，则，但当时也有，故本题选B ．【参考答案】B（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ⇒A 且A B ；（2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ⇒B 且.4．已知，，若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【解析】由基本不等式得，，由，又因为的一个充分不必要条件是，则，故选A．错点5命题的否定与否命题的区别命题“且”的否定形式是A．B．C．D．【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“且”的否定形式是“”．故选D．【参考答案】D1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定（1）对“若p，则q”形式命题的否定；（2）对含有逻辑联结词命题的否定；（3）对全称命题和特称命题的否定．学！科网（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．5．已知，则¬p是¬qA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】∵，∴5x−2>3或5x−2<−3，∴x>1或，∴¬p：.∵，∴x2＋4x−5>0，∴x>1或x<−5，∴¬q：−5≤x≤1，∴¬p⇒¬q，但¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件．【答案】A将命题的否定形式错误地认为：，∴x2＋4x−5<0导致错误．一、集合1．元素与集合的关系：.2．集合中元素的特征：（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或4．集合间的基本关系（或）是任何非空集合的真，个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非）子集关系的传递性，即.）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.5．集合的基本运算）二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若，则逆否命题若，则2．四种命题间的关系都是任意(所有)的任两个()）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.等价转化法判断充分条件、必要条件的充分不必要条件是的充分不必要条件；的必要不充分条件是的必要不充分条件；的充要条件是的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若，则p是q的充要条件；⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.三、逻辑联结词、全称量词与存在量词1．常见的逻辑联结词：或、且、非一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：p q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假3．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等4．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：含有逻辑联结词的命题的真假判断：）中一假则假，全真才真．）中一真则真，全假才假．p与真假性相反．学科网注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.1．（2018浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A．B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知集合，，则A．B．C．D．3．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知集合，，则A．B．C．D．4．（2018天津文科）设集合，，，则A．B．C．D．5．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（2018天津文科）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2018北京文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A=，B=，则A．A B=B．A BC．A B D．A B=R9．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合，则A．B．C．D．10．（2017北京文科）已知全集，集合，则A．B．C．D．11．（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（2016四川文科）设p:实数x，y满足且，q:实数x，y满足，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．已知集合，则实数a的值为A．−1B．0C．1D．214．已知集合,,则A．B．C．D．15．设命题p:,则为A．B．C．D．16．“若，则，都有成立”的逆否命题是A．，有成立，则B．，有成立，则C．，有成立，则D．，有成立，则17．已知集合，集合，则集合A．B．C．D．18．已知集合，，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．19．“”是“函数在区间无零点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件20．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是A．B．C．D．且21．已知命题:对任意,总有是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A．B．C．D．22．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是A．B．C．D．23．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A．为真命题B．为真命题C．为真命题D．为真命题24．（2018北京）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．25．已知集合，集合，若，则实数=________．26．若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．27．已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．28．下列有关命题的说法一定正确的是________.（填序号）①命题“，”的否定是“，”②若向量，则存在唯一的实数使得③若函数在上可导，则是为函数极值点的必要不充分条件④若“”为真命题，则“”也为真命题29．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题，的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________.。
数学命题中常见的错误及其诱因分析
Δ = b2 - 4 a2 ≥0 , 即 b ≥2 | a | 或 b ≤- 2 | a | , 既而利用线性规划的知识得 , 点 ( a , b) 在 aOb 平面 上的区域 ( 不包含边界) 为 C. 题目分析 这是一道颇有争议的试题 , 不少师 生认为这是一道错题 , 原因是答案 C 中的 b 轴没有 虚化 . 但省考试中心专家认为 , 这一道题括号内的说 明 ( 不包含边界) 针对的就是答案 , 因为在题中没有 图形 , 只有 4 个答案选项是图形 . 毫无疑问 , 说明即 是指图形里的阴影不包括边界. 该题本身有 3 条边 界 , 2 条已经虚化 , 另一条就是 b 轴 , 不包含边界也就 是指不包含 b 轴 , 因而维持原答案 . 本人认为 , 从学术的角度看 , 题目确有不完善之 处 , 这道题争议的起因是 b 轴 , 如果在制题时能换一 种表达方式 , 也许就能避免引起议论了. 比如 , 除将
a 为已知量一种情形讨论 , 还应分 x 为已知量 , a 为
未知数的情形讨论 , 这才算全面 .
3 源于题设存在性的错误
心理学的研究表明 , 思维定势现象人人都存在. 所谓思维定势 , 就是指由于先前的活动而造成的心 理活动的一种准备状态 , 使人们按照一种固定了的 思路去考虑问题 . 它有积极的一面 , 也有消极的一 面 . 其消极的一面往往表现在思维的惰性和呆板性. 思维定势在解决同类问题时有积极影响 , 但在解决 不同类型问题时有干扰作用 , 特别对于形似质异的 问题干扰作用更大 , 更易产生错误 .
1 值应为 , 若将题中 “值域” 改为 “范围” , 则就是答 2 案 C 了. 2 思维定势的负迁移作用产生的错误
3log a a > 0 , a ≠1) .
集合与常用逻辑用语知识点总结与归纳
集合与常用逻辑用语知识点总结与归纳本文旨在总结和归纳集合与常用逻辑用语的知识点。
以下是相关概念和要点的简要介绍：集合定义集合是由一组特定元素构成的整体。
常用符号- ∪：表示并集，包括所有在两个或多个集合中的元素。
- ∩：表示交集，包括同时存在于两个或多个集合中的元素。
- ∈：表示元素属于某个集合。
- ∅：表示空集，即不包含任何元素的集合。
常见概念- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集。
- 真子集：一个集合是另一个集合的真子集，当且仅当它是该集合的子集且不等于该集合本身。
- 并集：两个或多个集合中的所有元素构成的集合。
- 交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
逻辑用语常用逻辑符号- ∧：表示逻辑与（and），指两个命题都为真才为真。
- ∨：表示逻辑或（or），指两个命题只要有一个为真就为真。
- ¬：表示逻辑非（not），指对命题的否定。
- ⇒：表示逻辑蕴含（implies），指如果前提为真，则结论也为真。
- ⇔：表示逻辑等价（equivalence），指前提与结论互相为真或互相为假。
常见概念- 命题：陈述性句子，可以判断为真或为假。
- 否定：与命题相反的判断。
- 合取：将多个命题通过逻辑与连接起来的复合命题。
- 析取：将多个命题通过逻辑或连接起来的复合命题。
- 蕴含：由前提推导出结论的关系。
- 等价：前提与结论互相为真或互相为假的关系。
总结本文对集合与常用逻辑用语进行了概念、符号和概念的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些知识点。
深入学习和理解集合和逻辑用语将有助于在不同领域的问题解决和决策过程中的应用。
浅谈高中数学解题的错误原因分析及方法
浅谈高中数学解题的错误原因分析及方法作者：单成香来源：《高中生学习·师者》2014年第07期【摘要】高中数学的教学不仅是对知识的传授，对学生做题中出现的错误的方法也应该给予相应教育，从而使得学生掌握新的方法。
学会解题是高中数学教学的重要任务，很多学生在求解题目时，常常有看懂题目，但是解不正确的情况，这实际是未能真正看懂题目，长此以往，会导致学生对于数学学习的兴趣降低。
本文分析了高中生数学解题中常见问题，并且提出了正确求解的方法策略。
【关键词】高中数学原因分析方法【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A【文章编号】1674-067X(2014)07-019-01隶贝恩布里曾经说：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用，则是不能原谅。
”学生在解题过程中的错误如果不加以利用、研究，则使得教学收到甚微的效果，纠正一道题目，并且对于该题目进行相关的分析，可以总结得出一类题目的求解方法，由此可见，这比多讲几道题目要好得多。
一、高中学生解题错误的原因分析1.简单的知识理解错误。
正确理解题目的含义是正确解题的关键所在，将题目所给的信息全部消化并且对题目进行相关的分解。
未能正确地分清楚题目的已知与未知条件和结论，不清楚条件与条件之间的联系，以及条件和结论之间的关系，想不到数形结合的方法帮助其理解，这些都会导致学生未能正确求解题目的含义。
例如：数列｛a2｝的前n项之和为Sn=n2+n+b （b为常数），试判断｛a2｝是否为等差数列？很多同学往往得出错误的解题过程：因为an=Sn-Sn-1=（n2+n+b）-[（n-1）2+（n-1）+b]=2n，an+1=2（n+1），所以an+1-an=2（n+1）-2n=2,故｛an｝是等差数列。
此题的错误在于学生未能对于定义等差数列的概念很好的理解，从而会使得题目求解错误。
2.审题不清。
做题是因为没有审清楚题意，没有注意题目当中的隐含意思，受到以前做过的习题的影响等，而这些都是非智力因素。
四川省部分中学2023高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语微公式版重点归纳笔记
四川省部分中学2023高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语微公式版重点归纳笔记单选题1、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23 答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14 ， 由集合中元素的互异性，得{x =12y =14， 则x −y =12−14=14， 故选：C ．2、设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B分析：由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 求解二次不等式x 2−4≤0可得：A ={x|−2≤x ≤2}，求解一次不等式2x +a ≤0可得：B ={x|x ≤−a 2}. 由于A ∩B ={x|−2≤x ≤1}，故：−a 2=1，解得：a =−2.故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、若全集U =R ，集合A ={0,1,2,3,4,5,6}，B ={x|x <3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A．{3,4,5,6}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3}D．{4,5,6}答案：A分析：根据图中阴影部分表示(∁U B)∩A求解即可.由题知：图中阴影部分表示(∁U B)∩A，∁U B={x|x≥3}，则(∁U B)∩A={3,4,5,6}.故选：A4、下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x2＝2时，只能得到x为±√2，由此可判断；对于③，方程x2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.5、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.6、在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A．{x|x≤−3或x≥3}B．{x|−3≤x≤3}C．{x|x≤−3}D．{x|x≥3}答案：B分析：在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{x|−3≤x≤3}，故选：B7、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．8、已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A可以是（）A．{3}B．{1,3}C．{2,3}D．{1,2}答案：D分析：由题可得集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.∵{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，∴集合A可以是{1,2}，{1,2,3}.故选：D.9、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.10、已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可答案：B分析：由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．∵2∈A，∴m＝2 或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．填空题11、设集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是___________.答案：(−3,−1)分析：由题意，S∪T=R，可得a<−1,a+8>5，求解即可由题意，集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，因为S∪T=R，故可得a<−1,a+8>5解得a∈(−3,−1).所以答案是：(−3,−1)12、若全集U=R，集合A={x|−3≤x≤1}，A∪B={x|−3≤x≤2}，则B∩∁U A=___________.答案：{x|1<x≤2}##(1,2]分析：由集合A，以及集合A与集合B的并集确定出集合B，以及求出集合A的补集，再根据交集运算即可求出结果.因为A={x|−3≤x≤1}，A∪B={x|−3≤x≤2}，所以∁U A={x|x<−3或x>1}，{x|1<x≤2}⊆B⊆{x|−3≤x≤2}，所以B∩∁U A={x|1<x≤2}.所以答案是：{x|1<x≤2}.13、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；②−3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.答案：3分析：根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明④的真假.①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；②由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故③正确；④假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，④正确；所以答案是：3小提示：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.解答题14、已知集合A ={x|x 2−8x +m =0,m ∈R },B ={x|ax −1=0,a ∈R}，且A ∪B =A ．（1）若∁A B ={3}，求m ，a 的值．（2）若m =12，求实数a 组成的集合．答案：（1）m =15，a =15；）（2）{0,12,16} 分析：（1）依题意可得3∈A ，3∉B ，即可求出m ，从而求出集合A ，则5∈B ，即可求出a ；（2）首先求出集合A ，依题意可得B ⊆A ，对集合B 分类讨论，即可求出参数的取值；解：（1）因为A ={x|x 2−8x +m =0,m ∈R },B ={x|ax −1=0,a ∈R}，且A ∪B =A ．∁A B ={3}，所以3∈A ，3∉B ，所以32−8×3+m =0解得m =15，所以A ={3,5}，所以5∈B ，所以5a −1=0，解得a =15（2）若m =12，所以A ={2,6}，因为A ∪B =A ，所以B ⊆A当B =∅，则a =0；当B ={2}，则a =12；当B ={6}，则a =16；综上可得a ∈{0,12,16} 15、已知集合A 为非空数集，定义：S ={x|x =a +b,a,b ∈A}，T ={x|x =|a −b|,a,b ∈A}（1）若集合A ={1,3}，直接写出集合S ，T .（2）若集合A ={x 1,x 2x 3,x 4}，x 1<x 2<x 3<x 4，且T =A ，求证：x 1+x 4=x 2+x 3（3）若集合A ⊆{x|0≤x ≤2020,x ∈N}，S ，S ∩T =∅，记|A|为集合A 中元素的个数，求|A|的最大值. 答案：（1）S ={2,4,6}，T ={0,2}；（2）证明见解析；（3）1347.解析：（1）根据题目定义，直接计算集合S 及T ；（2）根据两集合相等即可找到x 1，x 2，x 3，x 4的关系；（3）通过假设A 集合{m ，m +1，m +2，…，2020}，m ⩽2020，m ∈N ，求出相应的S 及T ，通过S ∩T =∅建立不等关系求出相应的值．（1）根据题意，由A={1,3}，则S={2,4,6}，T={0,2}；（2）由于集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，且T=A，所以T中也只包含四个元素，即T={0,x2−x1,x3−x1,x4−x1}，剩下的x3−x2=x4−x3=x2−x1，所以x1+x4=x2+x3；（3）设A={a1,a2,⋅⋅⋅a k}满足题意，其中a1<a2<⋅⋅⋅<a k，则2a1<a1+a2<a1+a3<⋅⋅⋅<a2+a k<a2+a k<a3+a k<⋅⋅⋅<a k−1+a k<2a k，∴|S|≥2k−1，a1−a1<a2−a1<a3−a1<⋅⋅⋅<a k−a1，∴|T|≥k，∵S∩T=∅，|S∪T|=|S|+|T|≥3k−1，S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|S∪T|≤2a k+1，∴3k−1≤2a k+1≤4041(k∈N∗)，k≤1347，实际上当A={674,675,676,⋅⋅⋅,2020}时满足题意，证明如下：设A={m,m+1,m+2,⋅⋅⋅,2020}，m∈N，则S={2m,2m+1,2m+2,⋅⋅⋅,4040}，T={0,1,2,⋅⋅⋅,2020−m}，依题意有2020−m<2m，即m>6731，3故m的最小值为674，于是当m=674时，A中元素最多，即A={674,675,676,⋅⋅⋅,2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347.小提示：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
高考数学高频考点归纳与分析_上_
例１ （１）已知 集 合 Ａ＝ ｛ｘ｜ｙ＝ 槡４－ｘ｝，
Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝，则 Ａ∩Ｂ＝
．
（２）已知集合 Ａ＝｛１，３，ａ｝，集 合 Ｂ＝｛１，ａ２
－ａ＋１｝，若 ＢＡ，则ａ＝
．
解 析：（１）集 合 Ａ 表 示 的 是 函 数 ｙ ＝
槡４－ｘ的定义域，集 合 Ｂ 表 示 的 是 函 数ｙ＝ｘ２
０ 时 ，０２＋０２１＋１＝１，因 此 ④ 正 确 ．故 填 ③ ④ ．
考点 ８ 含 有 逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假
判断
判断含有逻 辑 联 结 词 的 命 题 的 真 假 时，应
首先判断组成这个命题的每个简单命题的真
假 ，然 后 根 据 真 值 表 判 断 这 个 命 题 的 真 假 ．对 于
认清集合的 本 质 特 征，准 确 地 转 化 为 图 形
关 系 ，是 解 决 集 合 运 算 中 的 重 要 数 学 思 想 ．一 定
要 牢 固 掌 握 两 个 重 要 工 具 ：韦 恩 图 和 数 轴 ，连 续
取 值 的 数 集 运 算 ，一 般 借 助 数 轴 处 理 ，而 列 举 法
表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理．
② 当 Ｂ≠ 时，有烅ｍ＋１≥－２， 解 得 ２
烆２ｍ－１≤５．
≤ｍ≤３．
综合（１）（２），得 ｍ 的取值范围是ｍ≤３．
考 点 ５ 集 合 的 交 汇 题 将集合问题 与 其 他 知 识 交 汇 命 题，既 可 以
考 查 集 合 知 识 ，又 可 以 考 查 相 关 问 题 ．
例５ 已知 Ω＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ≤６，ｘ≥０，ｙ ≥０｝，Ｈ＝ ｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≤４，ｙ≥０，ｘ－２ｙ≥０｝，若 向区域 Ω 内随机投一点Ｐ，则点 Ｐ 落入区域 Ｈ 的 概 率 为 （ ）．
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集合与命题的常见错误归纳分析
发表时间：2012-07-04T16:44:32.457Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2012年第29期供稿作者：邱元春[导读] 高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建在集合的基础上的．山东诸城第一中学邱元春
高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建在集合的基础上的．这部分知识点的掌握都比较重要．但实际上同学们这部分有些知识都掌握得并不是很好，甚至是一些贯穿整个集合于命题知识的内容，这些问题我们不可以忽视．我在教学期间，及时总结一些常见错题，得到一些一手资料，现给出相关归纳分析．
一、错误点：关于集合小范围可推出大范围问题
这个问题的出错率相当之高，而且贯穿于整个命题学习过程中，尤其是在学习命题推出关系的时候，对这个问题掌握的好坏程度直接影响了做题的正确性．
二、错误点：命题的否定形式常常思考得不够透彻，或者不知道否定形式的写法是怎么样的例2 写出命题“男生爱踢足球”的否命题．
错解：男生不爱踢足球．
分析：思维过于直观，认为对命题的否定就是对命题中谓语“爱”的否定“不爱”就可以了．解决问题方法：从否命题的定义以及些否命题的步骤走下手，先把命题写成“如果……那么……”的形式，然后分别对条件和结论写否定形式就是命题的否定形式了．
正解：Step1：命题改写成“如果一个人是男生，那么这个人爱踢足球”；
Step2：分别否定条件和结论：“如果一个人不是男生（是女生），那么这个人不爱踢足球”．故否命题为：“女生不爱踢足球．”
三、错误点：被题目似乎正确的面目所蒙蔽，没看到实质上的东西，结果致使功亏一篑。