第一章第3讲_LTI系统
信号与系统-连续时间LTI系统的稳定性_图文
劳斯（Rooth)判据 霍尔维茨(Horwitz)判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或3阶 以下系统稳定的简化的判别方法。
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
考虑因果系统的稳定性。
连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为
连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即
二．系统稳定性的判断
由系统函数判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性 H(s) 的假分式时，不稳定。
H(s) 的真分式，有可能稳定。 由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性
（1）当 H(s) 的所有极点全部位于平面的左半平面，不在虚轴上，则系统
是稳定的。
（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于
平面的左半平面，则系统是临界稳定的。
（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上
的极点时，系统是不稳定的。
二．系统稳定性的判断
当系统的参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，计算 出系统函数的每一个极点，然后根据极点位置来判断系统是否稳定 。
（2）阵列中首列元素有变号时，则含有 右半平面根，右半平面根的个数 为变号次数，则系统为不稳定系统。
通常联合使用罗斯—霍尔维茨准则：（简化判别过程）
(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。 (2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确
定其稳定性。
【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为 为使系统稳定， 应该满足什么条件？
lti连续系统分析
目录前言 (1)正文 (1)2.1设计目的和思想 (1)2.2数字电子钟基本设计原理及设计方法 (2)2.2.1时间计数单元设计 (4)2.2.2用74LS48和74LS90构成秒和分计数器电路 (8)2.2.3校时单元电路设计 (8)2.3数字电子钟的组装与调试 (9)致谢 (10)参考资料 (11)前言数字电子钟是日常生活中常见的一种工具，大到机场等公共场所的时间屏幕，小到我们的手表、闹钟等，而且其报时功能也给人们提供了方便，因此，了解报时电子钟的工作原理是很有必要的，也很有趣，因此我选择了这个题目—数字电子钟。
数字电路与逻辑设计课程的核心是时序逻辑电路、组合逻辑电路和触发器，这些也是我们学通信的的学生最基本要掌握的知识，通过实践可以加深对课本知识的理解，能够处理一些实际中的情况，因此这次数电课程设计，我选择了数字电子钟这个题目，虽然在日常生活中很常见，看起来也很简单，但是其中包含了很多学问。
在这个项目中，校时是一个很重要的模块，即要可以正常校时，又不能干扰到时间计数显示模块，而时间显示比较简单，用熟悉的芯片就可以做出来了，老师说过，对芯片等元器件的了解程度等于将军手中可以调动的兵力，掌握了芯片功能，也就掌握了主动权。
这次课程设计的选题—数字电子钟，不仅可以加深我对数字电路与逻辑设计课程的理解，也可以提高自己的动手能力以及实际中解决问题的能力，培养对这门课程的兴趣。
正文2.1设计目的和思想设计目的：1培养数字电路的设计能力；2掌握数字电子钟的设计、组装、和调试方法；3、进一步巩固所学的理论知识，提高运用所学知识分析和解决实际问题的能力4、提高电路布局、布线及检查和排除故障的能力。
数字电子钟是一种用数字电路技术实现时、分、秒计时的装置，与机械式时钟相比具有更高的准确性和直观性，且无机械装置，具有更更长的使用寿命，因此得到了广泛的使用。
数字电子时钟从原理上讲是一种典型的数字电路，其中包括了组合逻辑电路和时序电路。
《LTI系统描述》课件
成本与可扩展性
在设计和实现LTI系统时，需要考 虑成本和可扩展性，以满足不同 规模和复杂度的应用需求。
06
LTI系统的扩展与优化
非线性系统的线性化处理
幂级数法
通过将非线性函数展开为幂级数形式，将非 线性系统转化为线性系统进行处理。
同频率下的行为。
频域分析常用的工具是频率响 应函数和频率特性曲线。
时域分析
时域分析是通过直接求解系统微分方程或差分方 程来分析系统在时间域内的行为。
时域分析可以提供系统输出随时间变化的详细信 息，包括超调和欠调、上升时间和峰值时间等。
时域分析常用的工具是阶跃响应和脉冲响应。
稳定性分析
稳定性分析是评估系统在受到扰动后能否恢复 平衡状态的过程。
LTI系统可以用差分方程或传递函数来 描述，具有数学表达式的形式。
特性
线性性
LTI系统的输出与输入成正比，即输入信号 的倍数等于输出信号的倍数。
因果性
LTI系统的输出只与过去的输入有关，与未 来的输入无关。
时不变性
LTI系统的特性不随时间变化，即系统在不 同时刻的响应具有一致性。
稳定性
LTI系统在输入信号消失后，系统能够逐渐 恢复稳定状态。
状态反馈系统设计的主要缺点是需要 更多的传感器和计算资源，且对于非 线性系统的适用性可能有限。
05
LTI系统的实现与仿真
数字实现与模拟实现
数字实现
使用数字信号处理（DSP）技术，通过 编程语言（如C或MATLAB）和数字信 号处理器（DSP）或通用微处理器来实 现LTI系统。数字实现具有精度高、稳定 性好、易于实现复杂算法等优点。
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
1 (t ) iL (t )
2 ( t ) i L (t ) iC t
R2 1
y (t )
x1 (t )
1 C F 2
3 (t ) vC (t )
x2 (t )
电容Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电容C所在节点KCL：
d C 3 (t ) 1 (t ) 2 (t ) dt
电感L1所在网孔KVL：
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt
16/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1 2 L1 1H
a
1
L2
1 H 3
； 。
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
3/48
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
则系统的状态方程为：
1 (t ) f1 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
2 (t ) f 2 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
L1
iL1 t
iL3 t L3
L1
iL1 t
iS t
iL2 t
L2
图3
iL2 t
L2
图4
12/48
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
例：列写如图所示电路的状态方程，若输出信号为电压 y (t ) ，
离散时间LTI系统分析讲义-学生讲解
实验四 离散时间LTI 系统分析实验目的●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位冲激响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
●学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ●学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ●学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
实验原理及实例分析1 离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y=filter(b,a,x)其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 2];>>b=[1 2];>>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
LTI系统的频域分析
*
LTI hHale Waihona Puke t)傅里叶变换法=
变换 y(t) ③傅氏 Y (j ω ) 反变换
②傅氏 H(jω )
×
＝
频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变 换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即
Y ( j ) j[ y ( ) f ( )] Y ( j ) j ( ) H ( j ) e e H ( j ) F ( j ) F ( j )
|H(jω)| 1 ω - ωC 0 ωC θ (ω)
j t d , C e j t d H ( j ) g 2C ( ) e C 0,
(1)冲激响应
h(t ) F g 2c ( )e
1 jtd
c Sa[ ( t t )] c d
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )
y(t ) K f (t td ) Y ( j ) Ke
其频谱关系为
jtd
F ( j)
(2)无失真传输条件：
系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是： (a)对h(t)的要求： |H(jω)| K h(t)=K(t–td) (b)对H(j)的要求： ω H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 0 即 θ (ω)
例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，
若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的 响应。
θ(ω) π 1 -10 0 -π |H(jω)|
LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面.
无失真传输条件r(t) Ke(t t0 )
无失真：保持波形不变
长春理工大学
§4.7LTI的频域分析 如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视 为在传输中未发生失真。
y(t) kx(t t0 )y(n) kx(n n0 )
这就要求系统的频率特性为
H ( j ) ke jt0 H (e j ) ke jn0
长春理工大学
§4.7LTI的频域分析
V2(
j)
j
E j
(1
e
j
)
E j
(1
e
j
)
E
j
(1
e
j
)
v2 (t) E[u(t) u(t )] E[e u(t) e (t )u(t )] E(1 e )u(t) E[1 e (t ) ]u(t )
长春理工大学
§4.7LTI的频域分析
e(t)=δ(t) F(jω)=1 e(t)
E(jω)
h(t) r(t)=h(t) H(jω) R(jω)=H(jω)
h(t)
H(jω)
r(t)=e(t)* h(t)
R(jω)= E(jω) H(jω)
长春理工大学
§4.7LTI的频域分析
例7.求RC电路的系统函数
(1) 微分方程法
V1(t) R C V2(t)
矩形脉冲通过RC低通网络
V1(t)
R C
V2(t)
Sa(t)--sinc(t)
Sa(t)--sinc(t) 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
LTI系统描述
dt 2
dt
y(0) y '(0) 0
解: 齐次方程为
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
y(t) 5y(t)
0
特征方程：
2 6 5 0
特征根：
1 5，2 1
该方程的齐次解为： yh (t) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
系统传输算子：
令 A(P) P2 a1P a0 , B(P) b2P2 b1P b0
则 A(P) y(t) B(P) f (t) , y(t) B(P) f (t) H (P) f (t) A(P)
H (P)
B(P) A(P)
b2P2 b1P b0 P2 a1P a0
u
1 pC
i
i
u R
i
1u pL
i pC u
4．RLC微分算子方程的建立：
（1） R、L、C元件的算子模型：
R：
算子模型：
U (t) Ri(t)
U (t) Ri(t)
L：
算子模型：
U (t) L d i(t) dt
C：
算子模型：
U (t) pLi(t)
U (t)
1
t
i( )d
C
U (t) 1 i(t) pC
例1：Pf (t) d f (t)
dt
Pn
f
(t )
dn dt n
f (t )
1 f (t) t f ( )d
P
例2： y(t) 3y(t) 2y(t) 2 f (t) 5 f (t)
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的建立
n (t ) f n 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
系统的输出方程为： y1 (t ) g1 1 (t ), 2 (t ), , n (t ), x1 (t ), x2 (t ), , x p (t ), t
1 (t ) d11 (t ) 2 d 21 n (t ) d q1
d12 d1 p x1 (t ) x (t ) d 22 d 2 p 2 d q 2 d qp x p (t )
b1 p x1 (t ) x (t ) b2 p 2 bnp x p (t )
λ (t ) Aλ (t ) Bx (t )
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
y1 t c111 t c12 2 t c1n n t d11 x1 t d12 x2 t d1 p x p t y2 t c211 t c22 2 t c2n n t d 21 x1 t d 22 x2 t d 2 p x p t …… yq t cq11 t cq 22 t cqn n t d q1 x1 t d q 2 x2 t d qp x p t
连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组， 设系统有 n 个状态变量
1 (t ), 2 (t ),, n (t ) ；
状态变量的一阶导数用 1 (t ), 2 (t ),, n (t ) 表示；
信号与系统 连续时间LTI系统的频率响应 27页PPT文档
所以系统频率响应只是包含了系统零状态响应或正弦稳 态响应的信息，而系统起始状态对系统的作用不能从系统频 率响应中求得。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
综上所述，系统频率响应有以下几种等价的定义。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
y (t) H ( )c o t s
上式还为实验手段测量系统频率响应提供了理论依据。 实验方法测量系统频率响应一般是让输入正弦信号幅度 恒为1，改变输入正弦信号的频率 测量输出信号的幅度就可以得到系统的幅频响应 测量输出信号与输入信号的相条件是
h(t) dt
亦即狄里赫利条件中的绝对可积条件。
(2) 频率响应具有共轭对称性，即 H()H()
即
H()H()
H(ω) 称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为
H ()H ()ej
H ( ) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应
或幅频特性。 () 称为系统的相频响应特性，简称相频响应
令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)
根据傅立叶变换的时域卷积性质有 Y()H ()X ()
Fh(t)H()YX(())
信号与系统
Fh(t)H()YX(())
说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。 h(t)和H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。
H ()H ()ej
H ( ) 系统的幅频响应。是 ω 的偶函数。
LTI系统
主 讲
∫ 教 ∫ 师
② 当 0 < t < T 时，y(t) = ③ 当T < t < 2T 时，y(t) =
tτ dτ = 1 t2
0 t
τ dτ
2 = Tt
−
1T2
：
祁
∫ 永
敏
④
当 2T <t <3T 时，y(t) =
t −T
2T τ dτ
=
2T 2
2 −
1
(t
−
T
)2
t −T
2
⑤ 当 t > 3T 时， y(t) = 0
k =−∞
∫ y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∞ x(τ )h(t − τ )dτ −∞
∞
∫= x(t − τ )h(τ )dτ = h(t) ∗ x(t) −∞
2012-10-12
25
通信工程学院
主 讲 教 师
h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
⇒
h(t) h(n)
（齐次性）
∫ ∫ 祁
永 敏
∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
→
∞ x(τ )h(t −τ )（叠加性）
−∞
LTI系统对任意输入 x(t) 的响应可表示为：
∫ y(t) = ∞ x(τ )h(t −τ )dτ = x(t) ∗ h(t) −∞
表明:LTI系统可以由它的单位冲激响应h(t) 来表征。
讲 教
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号
∞
xΔ
(t
)
，
∑ 师
：
即：xΔ (t) = x(kΔ)δΔ (t − kΔ) ⋅ Δ
LTI系统
k =−∞
k =−∞
2012-10-12
8
通信工程学院
因此，只要得到了LTI系统对δ (n) 的响应 h(n)
主
讲 教
单位脉冲响应( impulse response )，
师
： 就可以得到LTI系统对任何输入信号 x(n) 的响应：
祁
∞
∑ 永
敏
y(n) =
x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n)
：
祁 永 敏
h(n)
=
⎧α
⎨
n
⎩0
α > 1, 0 ≤ n ≤ 6
otherwise
x(k )
h(n − k) = α n−k
1
k
k
0
4
n−6
0
n
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12
通信工程学院
①
主
讲
教②
师
n < 0 时，
0 ≤ n ≤ 4 时，
y(n) = 0
n
n
∑ ∑ y(n) = α n−k = α n α −k
k =0
k =0
： 祁
=
α
n
⋅
1 − α −(n+1) 1− α −1
= 1− α n+1 1−α
永
敏 ⎧n − 6 ≤ 0
③⎨ ⎩
4≤n
⇒ 4 ≤ n ≤ 6 时，
∑ y(n)
=
4
α n−k
k =0
=αn
⋅
1 1
− −
α α
−5 −1
= α n−4 − α n+1 1−α
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连续lti系统的分析课程设计
连续lti系统的分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解连续线性时不变系统（LTI系统）的基本概念，掌握其数学描述和性质。
2. 学会运用拉普拉斯变换分析连续LTI系统的时域和频域特性。
3. 掌握连续LTI系统的零状态响应和零输入响应的计算方法。
技能目标：1. 能够运用数学工具对连续LTI系统进行建模，并进行稳定性分析。
2. 能够运用拉普拉斯变换解决连续LTI系统的控制问题。
3. 能够运用所学知识对实际电路和信号处理系统进行分析和设计。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对连续LTI系统分析的兴趣，激发学生主动探索科学问题的热情。
2. 培养学生严谨的科学态度，提高学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 培养学生的团队协作精神，提高学生在学术讨论中表达自己观点的能力。
课程性质分析：本课程为电子信息类专业的高年级本科生开设，旨在帮助学生建立连续LTI系统的基本理论体系，提高学生运用理论知识解决实际问题的能力。
学生特点分析：高年级本科生已具备一定的数学基础和专业知识，具有较强的自学能力和逻辑思维能力，但对连续LTI系统的实际应用可能缺乏深入了解。
教学要求：1. 结合实际案例，深入浅出地讲解连续LTI系统的理论知识。
2. 注重培养学生的动手能力，通过课后习题和实验，使学生将所学知识应用于实际问题。
3. 鼓励学生进行课堂讨论，提高学生的思维活跃度和学术交流能力。
二、教学内容1. 连续LTI系统的基本概念：介绍连续LTI系统的定义、特点及其数学描述方法，包括微分方程和传递函数。
教材章节：第一章 连续系统基础2. 拉普拉斯变换：讲解拉普拉斯变换的定义、性质和应用，以及如何将连续LTI系统转换为s域分析。
教材章节：第二章 拉普拉斯变换3. 连续LTI系统的时域分析：介绍零状态响应、零输入响应和全响应的计算方法，分析系统稳定性。
教材章节：第三章 时域分析4. 连续LTI系统的频域分析：讲解频率响应函数，分析系统频率特性，介绍波特图和尼奎斯特图。
LTI系统的时域分析和信号卷积
LTI系统对信号的响应
将信号表示成一类基本信号的线性组合， 满足
由这类基本信号能构成相当广泛的信号 LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上应
十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一 个很方便的表达式
例：δ(t)、δ[n]及其派生 例：复指数信号
n
n
n
(x[k]h[k]) x[n]( h[k]) ( x[k]) h[n]
k
k
k
卷积的性质及其在LTI系统分析中的作用
卷积运算与相关函数之间的关系和匹配滤 波器
Rxg (t) x(t) g*(t) Rxg[n] x[n] g*[n]
n m1
mk 1
x[n]h[n] k{x[n]} h[mk ] x[mk ] k{h[n]}
m1 m2mk m1 m2mk
k次
k次
奇异信号及其在信号与系统理论和方法中的 作用
δ(t)及其派生的一类奇异函数及其离散时间 对偶都可以作为分析连续和离散时间系统 的基本信号
y[n] x[n] s[n] (x[k] x[k 1])s[n k]
k
LTI系统的单位阶跃响应
与单位冲激响应起着相同的作用
系统全部功能和特性的充分表征 体现LTI系统的各种属性 可表征LTI系统的三种互联
与单位冲激响应的关系
t
s(t) u(t) h(t) h( )d h(t) s' (t)
卷积积分的微分及卷积和的差分性质
d [x(t) h(t)] x(t) [ d h(t)] [ d x(t)] h(t)
的LTI系统。
以及 yn 1 ，yn 2 ， …，yn 1 ，yn 2 ，…，等。
例4-4 系统方框如图4-23所示， 写出其差分方程。
解: yn ayn 1 xn xn
yn
则 yn ayn 1 xn
a 1/ E
等式左边由未知序列 yn 及其移位序列 yn 1 构成，
yn C1 C2n C3n2 2n
代入边界条件 y0 C1 0 y1 C2 C3 2 2
整理：
y2 2C2 4C3 22 2
C1 0
C2 C3 1
C2 2C3 1/ 4
得到 ， C3 3 / 4
C2 7 / 4
最后
yzi n
1 4
7n 3n2
2n
是输出信号的输出端不同。前者是从延时器的输入端取 出，后者是从延时器的输出端取出。
当系统的阶数不高，并且激励不复杂时，可以用迭代 （递推）法求解差分方程。
例4-6已知yn ayn 1 xn，且 yn 0 ，n 0 ，
xn n ，求 yn 。
解： y0 ay1 x0 n 1 y1 ay0 x1 a y2 ay1 x2 a2
yn ayn 1 0
y0 C
将差分方程改写为
yn ayn 1 0
用递推(迭代)法，yn 仅与前一时刻 yn 1 有关，以
y0 为起点:
y1 ay0 ； y2 ay1 a2 y0 ；
y3 ay2 a3 y0 ；
…
当 n 0 时，齐次方程解为
yn y0an Can
这个结果是一个公比为 a 的几何级数，其中 C 取决于 初始条件 y0 ，一阶系统的零输入响应。
方式给出 yn、yn 1 、yn 2 、…、yn N ，称为前向
1 LTI 系统分析方法评述
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) （2.3） 试求系统的全响应 y (t ) 。 解：将输入信号 f (t ) 代入 LTI 系统方程式
（2.3） ，则
[ y(t ) 3 y(t )] 2[ y(t ) 3 y(t )]
12et u (t ) 12et u (t ) [ y(t ) 3 y(t )]e2t 2[ y(t ) 3 y (t )]e 2t
结论 1： 在 t (, ) 区间上，LTI 系统的零状态响 应 y (t ) 等于输入信号 f (t ) 与系统的单位冲激响 应 h(t ) 的卷积积分，即
C1 4 0 C2 3 0
于是
C1 4 C2 3
y(t ) f (t ) h(t )
[ y(t )e ] C1et 4(e4t et )u (t )
3t
w( )e3(t )u (t )d
12(e2t et )u (t )
y (t )e3t C2 C1et (e4t 1)u (t ) 4(et 1)u (t ) [6(e2t 1) 12(et 1)]u(t )
y (t ) [et (C1 4)e2t (C2 3)e3t ]u (t ) [6et (C1 12)e2t (C2 6)e3t ]u (t ) 考 虑到系统的状态 y () y() 0 ，则
应。
h(t ) y (t ) (t ) [e2t u (t ) e3t u (t )] e2t u (t ) e3t u (t ) (3.3) 式（3.3）中， h(t ) 为 LTI 系统的单位冲激响
3.2 LTI 系统的复频域分析法
3_2连续时间LTI系统响应的时域分析
y (0) A B 1 / 3 1
y '(0) 2 A 4 B 1 / 3 1 2 4 t 1 t 2 t y ( t ) 2e e e , t 0 3 3
解: (3) 求方程的全解
y (t ) y h (t ) y p (t ) Ae
2 t
Be
4 t
A= 11/4，B=－7/4 1 y '(0) 2 A 4 B 2 2 11 7 1 y ( t ) e 2 t e 4 t te 2 t , t 0 4 4 2
[例] 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程 y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) x(t ), t 0 初始条件y(0)=1, y' (0)=2, 输入信号x(t)=e－2t u(t)，求全解y(t)。
解: (2) 求方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t)
2.基于零输入响应和零状态响应的方法
系统响应 y(t ) = 零输入响应 yzi (t )+ 零状态响应yzs (t ) 求解齐次微分方程
y zs ( t ) x ( t ) h ( t )
※ 零输入响应求解
※ 冲激响应的求解 ※ 零状态响应求解
当输入x(t)=0
y( n ) (t ) an1 y( n1) (t ) a1 y '(t ) a0 y(t ) 0
上式为齐次方程，因此零输入响应具有齐次解的形式
2离散LTI系统模型
离散时间模型在控制理论中，我们需要考虑两种基本类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。
对于前者，自变量是连续可变的，因此该信号在自变量的连续值上都有定义；对于后者，它仅仅定义在离散时刻点上，比如股票指数就是离散时间信号的一个例子，再比如人口变化。
离散信号同连续信号一样都是自然界存在的一类信号。
有关连续与离散信号的详细内容，请参考《信号与系统》教材。
为了区分连续和离散信号，我们用 t 表示连续时间变量，而用 k 或 kT 表示离散时间变量。
值得注意的是，离散时间信号 )k (x 仅仅在自变量的整数值上有定义。
有时为了更加强调这一点，就干脆称 )k (x 为离散时间序列。
考虑数字序列),2,1,0k ()},kT (x { =。
这样的序列可以想象为由—连续波形（也就是具有连续时间变量的函数）在时刻 kT ，（ ,2,1,0k =）经过采样得到的。
该序列的Z 变换定义为： ∑∞=-==0k k z)kT (x )]kT (x [Z )z (X （1）（该式与 Laplace 变换相比有点类似。
Laplace 变换定义如下 ∑⎰∞=-∞-∆≈=0k k st k 0st k e )t (x dt e )t (x )s (X若取 kT t T k k ==∆ 并定义 sT e z =，则与Z 变换相似。
） 其中 z 是复变量。
尽管初看起来表示式（1）好象没有任何明显的用处，但它对于离散运算确实为我们提供了一条能够加深理解并简化运算的途径。
例如采用 Z 变换可以将许多有用的离散信号以封闭的形式写出。
关于Z 变换的详细内容请参考《信号与系统》等教材。
以下是两个离散信号及其Z 变换的例子。
1、 离散单位脉冲 )kT (δ⎩⎨⎧≠==δ0k 00k 1)kT ( 1)]kT ([Z =δ（注意对照区别：理想脉冲函数)t (δ的面积为1，拉氏变换为1； 离散单位脉冲的高度为1，Z 变换为1。
）2、 离散单位阶跃 )kT (u⎩⎨⎧<==0k 0,...2,1,0k 1)kT (u 1z 11)]kT (u [Z --= 离散时间单位脉冲和离散单位阶跃之间存在着密切的关系。
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系统分析的步骤：1、建模 2、求解
系统分析 建立数学模型
输入-输出描述法
（单输入单输出系统）
状态变量描述法
（多输入多输出系统）
系统数学模型求解
时域法
变换域法
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集总参数系统： 只由集总参数元件组成的系统。数学模型为
常微分方程 分布参数系统： 含有分布元件的系统。
数学 模型为偏微分方程
本课程主要研究集总参数线性非时变系统
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3、系统的因果性
当t>0时作用于系统的激励，在t<0时不会在系统产生响应。因 果的意义：
1.7 系统模型及其分类
（一）系统的概念 广义地说，系统就是由一些相互作用和相互依赖 的事物组成的、具有特定功能的整体。 在本书中，把能够对信号完成某种变换或运算功能 的集合体称为系统
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（二）系统的分类
一般，系统的物理特性都可用数学模型来描述， 不同类型的系统其数学模型表现形式不同。 1、线性系统与非线性系统
r1(t) e1(2t) e2 (t) e1(2t t0 )
r2 (t) e2 (t) e1(2t t0 ) e1(2t 2t0 ) r1(t t0 )
当怀疑一个系统是时变时，通常的办法是举出一个反 例。
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（四）系统分析与综合 系统分析：
对给定的某系统，求出它对于给定激励的响应。 系统综合：
根据提出的对给定激励和响应的要求，设计出 具体的系统。
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y2 (t) sin[x2 (t)] sin[x1(t t0 )]
又因为： y1(t t0 ) sin[x1(t t0 )]
所以：
ห้องสมุดไป่ตู้
y2 (t) y1(t t0 )
例2：
r(t) e(2t)
迭加性： 如果 e1(t) r1(t) e2 (t) r2 (t)
则： e1(t) e2 (t) r1(t) r2 (t) 线性：
a1e1(t ) a2e2 (t ) a1r1(t ) a2r2 (t )
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如果在输入信号上有一个时移，而在输出中产生同 样的时移，则系统是时不变的。
x(t) y(t) x(t t0 ) y(t t0 )
例1：判断 y(t) sin[x(t)] 的时变性 解：令x1(t)是系统任一输入，且 y1(t) sin[x1(t)]
若x2(t)=x1(t-t0),则输出为：
线性系统： 凡能同时满足齐次性与迭加性 的系统。
非线性系统： 不能同时满足齐次性与迭加性的系统
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（三）线性非时变系统的基本性质
1、线性性质： 包括齐次性和迭加性
齐次性： 如果 e(t) r(t) 则: ae(t) ar(t)
与它过去的工作状态无关。也称无记忆系统，例如 由电阻元件组成的系统。 动态系统：
系统的输出信号不仅取决于同时刻的输入信 号，还与它过去的工作状态有关。也称记忆系统如 由电容、电感元件组成的系统。
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5、集总参数系统与分布参数系统
图解线性系统
e1(t)
r1(t)
C*e1(t)
C*r1(t)
e1(t) e2(t)
r1(t) r2(t)
e1(t)+e2(t)
r1(t)+r2(t)
e1(t) e2(t)
r1(t)
C1*r1(t)+C2*r2(t)
C1*e1(t)+C2*e2(t) r2(t)
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3、连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统： 系统的输入信号与输出信号均为连续时间信号
离散时间系统： 系统的输入时间信号与输出时间信号均为离散
时间信号
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4、即时系统与动态系统
即时系统： 系统的输出信号只取决于同时刻的激励信号，
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2、非时变性：
在同样的初始条件下，系统的响应与施加于系 统的时刻无关
e(t)
r(t)
E
Tt
t
E e(t t0 )
r(t t0)
t0 t0T t
t0
t
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2、时变系统与非时变系统
时变系统：
如果系统的参数随时间变化，则称其为时 变系统或参变系统。
非时变系统：
系统的参数不随时间而改变,则称其为非时变 系统。
假定某一输入e1(t)产生一个输出r1(t)，若： e2(t)=e1(t-t0)，且e2(t)引起的输出为r2(t)，则 r2(t)=r1(t-t0)
激励是响应产生的原因，响应是激励产生的结果。
r1(t) e1(t 1) r2 (t) e2 (t 1)
因果系统 非因果系统
通常由电阻器、电感线圈、电容构成的实际物理系统都是因果 系统，而在信号处理技术领域，待处理的时间信号已经被记录， 可以利用后一时刻的输入决定前一时刻的输出。 借助“因果”这一名词，常把t=0时接入的信号称为“因果” 信号。对于因果系统，在因果信号激励下，响应也是因果信号。